2017, Vol. 32
2. 中国地质大学 (武汉) 地球物理与空间信息学院, 武汉 430074
3. 中国石油青海油田分公司勘探开发研究院, 敦煌 736202
2. Institute of Geophysics and Geophysics, China University of Geosciences, Wuhan 430074, China
3. Research Institute of Exploration and Development Petro China Qinghai Oilfield Company, Dunhuang 736202, China
20世纪50年代初A.N.Tikhonov和L.Cagnird分别提出来一种以天然交变电磁场为场源的电磁勘探法——大地电磁测深方法 (MT)，具有很宽的频率范围，勘探深度可达几十公里甚至于上百公里，能为地壳和上地幔构造研究提供有用信息.我国的大地电磁测深工作始于20世纪60年代初，经过刘国栋和陈乐寿 (1984)、陈乐寿和王光锷 (1990)、王家映 (1997)、等先辈们若干年的推广发展，大地电磁方法已经发展成具有广泛应用的有效地球物理方法.在地球物理资料处理解释中，反演是核心部分.目前，尽管三维大地电磁反演技术得到发展和推广 (谭捍东等，2003；胡祥云等，2012)，三维反演技术尚未完全实用化，二维反演解释仍然是大地电磁资料解释的主流 (胡祖志等，2005；韩波等，2012).大地电磁反演问题是欠定问题，存在解的不稳定性、非唯一性等问题，而正则化反演方法是目前抑制反演过程中产生冗余构造，降低解的非唯一性的最有效的反演方法 (陈小斌等，2005；柳建新等，2012).大地电磁反演方法种类繁多，有Constable等 (1987)提出的奥可姆法 (OCCAM) 反演方法；Siripunvaraporn和Egbert (2000)在OCCAM算法基础上做了些改进，提出数据空间奥克姆反演法 (DASOCC)、简化基奥可姆反演法 (REBOCC)；Smith和Booker (1991)提出快速松弛法 (RRI)；Uchida (1993)提出Akaike’s Bayesian information criterion；戴世坤和徐世浙 (1997)提出MT二维和三维连续介质快速反演; 徐义贤和王家映 (1998)提出大地电磁多尺度反演方法；Smith等 (1999)提出尖锐边界反演法; Rodi和Mackie (2001)提出非线性共扼梯度 (NLCG) 反演方法；李晓磊 (2003)提出人工鱼群反演方法；Yi等 (2003)提出光滑约束最小二乘法; 刘小军等 (2007)提出聚焦反演方法；胡祖志等 (2010)提出模拟退火反演方法；胡祖志等 (2015)将人工鱼群算法引入到大地电磁的反演之中.
大地电磁二维反演方法众多，且都有坚实的理论依据.在实际应用中，如何选取更适合的反演方法对不同极化模式数据反演是一个困扰着很多资料处理工作者的问题.本文从地球物理正则化反演理论出发，详细给出OCCAM、REBOCC、NLCG三种反演方法的理论基础.设计两个理论地电模型——高、低阻体组合模型和断裂模型，用有限单元法对地电模型进行正演计算，分析TE极化模式、TM极化模式数据对MT的正演响应拟断面图.应用这三种反演方法对TE极化模式、TM极化模式以及TE & TM极化模式响应数据进行MT二维反演，对反演结果进行分析对比.考察不同反演方法、不同极化模式数据对反演结果的影响.方便处理者在实际应用中更好的选取大地电磁二维反演方法.
1 二维大地电磁反演理论 1.1 二维模型大地电磁场谐变场的Maxwell方程组为
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(1) |
取地质构造走向为x轴，倾向为y轴，z轴垂直向下，把上述前两个公式分别展开得：
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(2) |
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(3) |
讨论二维情况，则对x的求导值都为零，于是有以下两组方程式:
TE (横电) 极化模式
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(4) |
TM (横磁) 极化模式
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(5) |
可见两组模式相互独立，TE极化模式包括场分量Ex、Hy、Hz，电场仅有水平分量；TM极化模式包括场分量Hx、Ey、Ez，磁场仅有水平分量.
1.2 MT正则化二维反演方法大地电磁测深反演问题具有不稳定性和解的非唯一性等特点，正则化反演通过加入先验约束条件改善问题，行之有效.本文讨论的NLCG、OCCAM和REBOCC都是正则化方法中常见的方法.正则化反演可表示为 (柳建新等，2012)：
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(6) |
其中Φ为总目标函数，Φd为观测数据目标函数，Φm为模型约束目标函数，m为模型向量，α正则化因子.
常见的模型约束目标函数有以下三种：
(1) 最小模型约束，数学上即模型参数平方和最小，即距离达到最小值，公式为
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(7) |
(2) 最平缓模型约束，模型参数的一阶导数平方和最小，即各点的斜率平方和最小，即斜率的距离最小，曲线起伏较小，公式为
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(8) |
(3) 最光滑模型约束，模型参数的二阶导数平方和最小，二阶导数表示原函数图像的凹凸性，平方和越小曲线越光滑，公式为
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(9) |
OCCAM二维反演算法是DeGroot-Hedin和Constable (1990)由其一维反演方法扩展而来，为了提高反演稳定性，抑制冗余构造，引入模型粗糙度 (R) 定义为
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(10) |
可见∂ym是倾向的粗糙度矩阵，∂zm是深度方向的粗糙度矩阵.则反演目标函数变为
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(11) |
μ-1为正则化因子.
用F(m) 的一阶导数，即雅克比矩阵线性化处理F(m)，有：
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(12) |
使
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(13) |
REBOCC (reduce basis OCCAM) 是Siripunvaraporn等人把OCCAM二维反演改进后得到的反演方法，定义总目标函数为
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(14) |
其中定义Xm2(m-m 0)T Cm-1(m-m 0) 为模型目标函数，Xd2=(d-F[m])T Cd-1(d-F[ m ]) 为数据目标函数，式中m0为初始模型参数，Cm：模型协方差矩阵，Cd：数据协方差矩阵.
通过求解
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(15) |
式中Γkm=JkT Cd-1Jk.
为了降低反演内存和时间，REBOCC将问题从模型空间转到数据空间 (韩波等，2012)，公式为
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(16) |
目标函数变为
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(17) |
式中Γkn= JkCmJk-1是N×N阶对称半正定矩阵，βk+1= 
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(18) |
式中：Gk为L×M阶子集灵敏度矩阵 (L < N); αk+1为L维系数向量. Jk可表示为
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(19) |
式中B为N×L插值矩阵.
总目标函数变为
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(20) |
式中Γkl= GkCmGkT.
由此已经把N×N维数据空间转化到了L×L维数据子空间的搜索.Siripunvaraporn考虑到常见的MT仪器采集频率分布情况，认为L可以远远小于N，可见计算量被大大减少.
1.2.3 NLCG二维反演NLCG (nonlinear conjugate gradient) 目标函数为
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(21) |
式中，λ为正则化因子；V为与误差相关的协方差矩阵；L为与模型参数相关的二维微分矩阵.其迭代过程为
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(22) |
式中，步长αk通过非精确的一维搜索确定.
搜索方向通过迭代产生，表达式为
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(23) |
要满足条件
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(24) |
式中：Ck为预条件因子 (或先验条件)；
可见NLCG主要计算量在于梯度的计算和关于步长选取的一维搜索程序.步长要使得目标函数满足一定的准则即停止搜索.Rodi等选取Ck=(γkI +λCm-1)-1为预条件因子，其中γk是一个特定的标量，当没有先验条件时，先验矩阵变为单位矩阵，即Ck= I.
2 合成模型反演对比分析设计两个理论地电模型——高、低阻体组合模型和断裂模型.
2.1 高、低阻体组合模型设计模型包括两个地质异常体，其模型如图 1.研究区域为100 Ω·m的均匀半空间，存在一低一高两个地质体：电阻率为10 Ω·m的低阻体，大小为400 m×400 m，水平方向上的位置为500~900 m，深度方向上的位置为-400~-800 m；电阻率为1000 Ω·m的高阻体，大小为400 m×400 m，水平方向上的位置为1100~1500 m，深度方向上的位置为-400~-800 m.
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图 1 高、低阻体组合地电模型 Figure 1 High-low geoeletric mode |
采用有限单元法进行正演计算，设计TE、TM极化模式的网格剖分单元为43×63，模拟测点数21个，采用20个记录频点.图 2为正演模拟所得的MT响应拟断面图，包括了两种极化模式的视电阻率和阻抗相位数据.从正演模拟结果可以看出异常体对两种极化模式的视电阻率和阻抗相位资料都有影响，但TM极化模式对异常体的正演模拟结果比TE极化模式的分辨率高，而且高阻体对TM极化模式MT响应影响远大于对TE极化模式的影响.
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图 2 高、低阻体组合模型的MT响应拟断面图 (a) TE模式视电阻率；(b) TM模式视电阻率; (c) TE模式阻抗相位；(d) TM模式阻抗相位. Figure 2 MT sounding pseudo section map of the High-low combination mode (a) Apparent resistivity of TE mode; (b) Apparent resistivity of TM mode; (c) Impedance phase of TE mode; (d) Impedance phase of TM mode. |
选取如图 1的高、低阻体组合模型，对TE极化模式、TM极化模式以及TE & TM极化模式响应数据进行MT的二维反演——采用OCCAM、REBOCC、NLCG方法.这里，TE & TM极化模式反演是联合TE极化模式的MT响应 (包括TE模式的视电阻率和相位阻抗) 和TM极化模式的MT响应 (包括TM模式的视电阻率和相位阻抗) 进行优化计算，并对两种模型的相应数据进行拟合.
2.1.1 TE极化模式的反演结果在对TE模式数据的反演过程中，初始模型选取为电阻率为100 Ω·m的均匀半空间.分别用OCCAM、REBOCC及NLCG这三种MT二维反演方法进行反演.使用OCCAM方法，经过17次迭代，RMS (均方根误差) 约为1.1，在计算机平台上耗时约63 s，完成反演计算，反演结果如图 3a所示；使用REBOCC方法，经过7次迭代，RMS约为1.5，在计算机平台上耗时约9.8 s，完成反演计算，反演结果如图 3b所示；使用NLCG方法，经过35次迭代，RMS约为1.4，在计算机平台上耗时约19 s，完成反演计算，反演结果如图 3c所示.三种反演方法都是拟合的，拟合曲线如图 3d.与真实模型相比，TE模式的三种反演方法的反演结果基本圈定了低阻异常体的位置、延伸范围及边界，在反演数值上，低阻异常体的电阻率值基本接近真实值.OCCAM、REBOCC反演结果显示高阻异常体位置靠下，NLCG反演结果较好的圈定出高阻体的形态位置；三种反演结果高阻体的电阻率值都明显偏小，NLCG最小.
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图 3 TE极化模式数据的不同方法反演的电阻率断面图及三种方法的拟合曲线 (a) OCCAM反演电阻率断面图；(b) REBOCC反演电阻率断面图; (c) NLCG反演电阻率断面图；(d) 拟合曲线. Figure 3 Different method's resistivity profile under the TE mode & fitting curve of the three methods (a) OCCAM's resistivity profile; (b) REBOCC's resistivity profile; (c) NLCG's resistivity profile; (d) Fitting curve. |
在对TM模式数据的反演过程中，初始模型选取为电阻率为100 Ω·m的均匀半空间.分别用OCCAM、REBOCC、NLCG这三种MT二维反演方法进行反演.使用OCCAM方法，经过21次迭代，RMS约为0.95，在计算机平台上耗时约38 s，完成反演计算，反演结果如图 4a；使用REBOCC方法，经过6次迭代，RMS约为1.5，在计算机平台上耗时约5 s，完成反演计算，反演结果如图 4b；使用NLCG方法，经过45次迭代，RMS约为1.2，在计算机平台上耗时约10 s，完成反演计算，反演结果如图 4c.三种反演方法都是拟合的，拟合曲线如图 4d.与真实模型相比，TM极化模式的三种反演方法的反演结果基本圈定了异常体的位置及左右边界；在反演数值上，高阻异常体的电阻率值基本接近真实值.OCCAM反演结果对低阻异常体位置、延伸范围圈定较准确，REBOCC反演结果对高阻异常体位置及延伸范围圈定较准确，NLCG反演结果对两个地质体位置、延伸范围及边界圈定准确，OCCAM反演结果在低阻体的左侧出现了多余的高阻体异常.
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图 4 TM极化模式数据的不同方法反演的电阻率断面图及三种方法的拟合曲线 (a) OCCAM反演电阻率断面图；(b) REBOCC反演电阻率断面图; (c) NLCG反演电阻率断面图；(d) 拟合曲线. Figure 4 Different method's resistivity profile under the TM mode & fitting curve of the three methods (a) OCCAM's resistivity profile; (b) REBOCC's resistivity profile; (c) NLCG's resistivity profile; (d) Fitting curve. |
在对TE & TM极化模式数据的反演过程中，初始模型选取为电阻率为100 Ω·m的均匀半空间.分别用OCCAM、REBOCC、NLCG这三种MT二维反演方法进行反演.使用OCCAM方法，经过30次迭代，RMS约为1，在计算机平台上耗时约103 s，完成反演计算，反演结果如图 5a；使用REBOCC方法，经过5次迭代，RMS约为1.5，在计算机平台上耗时约14 s，完成反演计算，反演结果如图 5b；使用NLCG方法，经过57次迭代，RMS约为1.6，在计算机平台上耗时约41.6 s，完成反演计算，反演结果如图 5c.三种反演方法都是拟合的，拟合曲线如图 5d.与真实模型相比，TE & TM模式的三种反演方法的反演结果基本圈定了异常体的位置、延伸范围及边界；在反演数值上，异常体的电阻率值都更接近真实值.OCCAM反演结果基本圈定了高阻体上下边界，NLCG反演结果圈定了地质体上下边界.OCCAM反演结果在低阻体异常左侧出现了多余的高阻异常体，高阻体右侧出现了多余的低阻异常体.
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图 5 TE & TM极化模式数据的不同方法反演的电阻率断面图及三种方法的拟合曲线 (a) OCCAM反演电阻率断面图；(b) REBOCC反演电阻率断面图; (c) NLCG反演电阻率断面图；(d) 拟合曲线. Figure 5 Different method's resistivity profile under the TE & TM mode & fitting curve of the three methods (a) OCCAM's resistivity profile; (b) REBOCC's resistivity profile; (c) NLCG's resistivity profile; (d) Fitting curve. |
与TE极化模式和TM极化模式的反演结果相比，TE & TM极化模式的反演结果更接近真实模型的地电参数.将OCCAM第30次迭代反演结果模型、REBOCC第5次迭代反演结果模型和NLCG第57次迭代反演结果模型分别进行有限单元法正演计算，其MT响应数据分别如图 6、7和8所示，把反演模型响应数据 (图 6、7和8) 分别与正演合成数据 (图 2) 进行对比，可见二者相当接近，说明三种反演方法在反演过程中数据拟合的非常好.
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图 6 TE & TM模式下OCCAM反演结果模型的响应数据拟断面图 (a) TE模式视电阻率；(b) TM模式视电阻率; (c) TE模式阻抗相位；(d) TM模式阻抗相位. Figure 6 MT sounding pseudo section map of the OCCAM under the TE & TM mode (a) Apparent resistivity of TE mode; (b) Apparent resistivity of TM mode; (c) Impedance phase of TE mode; (d) Impedance phase of TM mode. |
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图 7 TE & TM模式下REBOCC反演结果模型的响应数据拟断面图 (a) TE模式视电阻率；(b) TM模式视电阻率; (c) TE模式阻抗相位；(d) TM模式阻抗相位. Figure 7 MT sounding pseudo section map of the OCCAM under the TE & TM mode (a) Apparent resistivity of TE mode; (b) Apparent resistivity of TM mode; (c) Impedance phase of TE mode; (d) Impedance phase of TM mode. |
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图 8 TE & TM模式下NLCG反演结果模型的响应数据拟断面图 (a) TE模式视电阻率；(b) TM模式视电阻率; (c) TE模式阻抗相位；(d) TM模式阻抗相位. Figure 8 MT sounding pseudo section map of the NLCG under the TE & TM mode (a) Apparent resistivity of TE mode; (b) Apparent resistivity of TM mode; (c) Impedance phase of TE mode; (d) Impedance phase of TM mode. |
设计如图 9的断裂地电模型，研究区域存在一条隐伏正断层，右倾，倾角大约76度，上断点位于横向900 m，埋深-400 m，下断点位于横向1100 m，埋深-1200 m，断裂将一个二层模型断开，第一层电阻率为100 Ω·m，第二层电阻率为1000 Ω·m.
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图 9 断裂地电模型 Figure 9 Fault geoeletric mode |
采用有限单元法进行正演计算，设计TE、TM极化模式的网格剖分单元为33×35，模拟测点数21个，采用20个记录频点.图 10为正演模拟所得的MT响应拟断面图，包括了两种极化模式的视电阻率和阻抗相位数据.从正演模拟结果可以看出，断裂对两种极化模式的视电阻率和阻抗相位资料都有影响，但断裂对TM极化模式的MT响应，远比对TE极化模式的MT响应的影响大得多.并且，断裂使TM极化模式的高阻电阻率值增大，使TE极化模式的高阻电阻率值减小.
选用如图 9的断裂模型，分别对TE极化模式、TM极化模式以及TE & TM极化模式响应数据进行MT二维反演.本次反演采用NLCG二维反演方法.
在对TE极化模式数据的NLCG二维反演过程中，初始模型选取为100 Ω·m的均匀半空间，经过53次迭代，RMS约为2，便完成了TE模式数据的反演，结果如图 11a；在对TM极化模式数据的NLCG二维反演过程中，初始模型选取为100 Ω·m的均匀半空间，经过68次迭代，RMS约为1.5，便完成了TM模式数据的反演，给果如图 11b；在对TE & TM极化模式数据的NLCG二维反演过程中，初始模型选取为100 Ω·m的均匀半空间，经过64次迭代，RMS约为1.6，便完成了TE & TM模式数据的反演，给果如图 11c.与真实模型相比，三种模式的反演结果基本圈定了断裂上断点的位置，对倾向和倾角都有反应.TE模式的反演结果对上盘顶层深度位置体现不明显且倾角偏小；TE & TM模式的反演结果对上盘顶层深度有体现，但在埋深-800 m时断层倾角变小；TM模式的反演结果对上盘顶层深度、倾角反应准确；反演数值上，三种模式的反演结果首层的低阻值与真实模型相近，但TE模式及TE & TM模式的反演结果的第二层电阻率值与真实模型差异较大，而TM模式的反演结果第二层的电阻率值接近真实模型.将TM模式下第68次迭代反演结果模型进行有限单元法正演计算，其MT响应数据如图 12所示.把反演模型响应数据与正演合成数据 (图 10) 进行对比，可以看出二者相当接近，说明反演过程中数据拟合的非常好.
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图 10 断裂模型的MT响应拟断面图 (a) TE模式视电阻率；(b) TM模式视电阻率; (c) TE模式阻抗相位；(d) TM模式阻抗相位. Figure 10 MT sounding pseudo section map of the Fault mode (a) Apparent resistivity of TE mode; (b) Apparent resistivity of TM mode; (c) Impedance phase of TE mode; (d) Impedance phase of TM mode. |
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图 11 不同极化模式数据的NLCG方法反演的电阻率断面图 (a) TE极化模式；(b) TM极化模式；(c) TE & TM极化模式. Figure 11 NLCG's resistivity profile under the different modes (a) TE mode; (b) TM mode; (c) TE & TM mode. |
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图 12 TM模式下NLCG反演结果模型的响应数据拟断面图 (a) TE模式视电阻率；(b) TM模式视电阻率; (c) TE模式阻抗相位；(d) TM模式阻抗相位. Figure 12 MT sounding pseudo section map of the NLCG under the TM mode (a) Apparent resistivity of TE mode; (b) Apparent resistivity of TM mode; (c) Impedance phase of TE mode; (d) Impedance phase of TM mode. |
由高、低阻体组合模型的反演测试可知，OCCAM二维反演结果电阻率值与真实模型接近，但计算时间较长，并且有明显的冗余构造；REBOCC二维反演结果圈定异常体边界较差，用时最短，迭代次数最少；NLCG二维反演结果圈定地质体形态、位置、边界较好，但电阻率值与真实模型相差稍大，尤其是高阻体.TE极化模式数据的反演结果较好的圈定了低阻体的位置，低阻异常体的反演电阻率值接近真实模型；TM极化模式数据的反演结果较好的圈定了高阻体的位置、延伸范围，很好的圈定了异常体的边界；TE & TM极化模式数据反演结果的电阻率值更加接近真实模型.
3.2由断裂模型可知，TE & TM极化模式数据进行NLCG二维反演的反演结果对于高阻体的电阻率数值更加接近真实模型，TM极化模式数据进行NLCG二维反演的反演结果更准确的反应了断层模型的地电参数.
3.3不同的MT二维反演方法有各自的特点，在工作中应根据实际地质条件和特点选取相应的反演方法以及不同的极化模式数据进行反演，以便更好的发挥反演方法的优点.
致谢 感谢中国海洋大学韩波博士后对本文的指导，感谢审稿专家提出的修改意见和编辑部的大力支持！| [] | Chen L S, Wang G E. 1990. Method of magnetotelluric sounding[M]. Beijing: Geological Publishing House. |
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