2017, Vol. 32
瑞雷波是一种沿地球自由表面传播的地震波，由纵波与横波在地表干涉形成，其质点振动轨迹为在垂直平面内的逆径椭圆 (Rayleigh, 1885).瑞雷波具有频散的特性，不同频率的成分具有不同的传播速度和波长，携带了地下不同深度处的介质信息，因此可以利用瑞雷波传播的频散特性达到对地下介质横波速度结构探测的目的 (Haskell, 1953; Dorman and Ewing, 1962)，而横波速度是评价近地表地层动力学性质的一个重要参数 (Xia et al., 1999; Yilmaz et al., 2006)，这一参数通常由钻孔或野外地震数据观测得到.相比钻孔测定的方法，瑞雷波探测具有衰减小、信噪比高、对测试场地无破坏以及适用取样困难地区 (破碎带、滑坡发育地区等) 的优点 (邵广周和李庆春，2010)，因此近年来已经在介质品质因子估算 (Xia et al., 2002)、地下空洞探测 (刘云祯和王振东, 1996; Xia et al., 2004; 李庆春等, 2006)、工程质量无损检测 (杨成林等, 1996；周熙襄和王振国, 2004；刘远等, 2014) 和地震安全性评价 (薛晓东等, 2014) 等近地表横波速度结构的探测中被广范的采用.
准确的测定瑞雷波的频散曲线是这项探测技术的关键，1983年，Stokoe和Nazarian (1983)提出了面波谱分析法 (Spectral Analysis of Surface Waves, SASW)，从两道检波器采集的瑞雷波信号中提取出了频散曲线，并利用最小二乘技术反演了生成了近地表的横波速度剖面，然而这种方法仅能提取出瑞雷波的基阶模式频散曲线，并且计算时需要进行相位解缠，在没有参考模型的情况下，得到的相位差会有2Nπ倍的误差，为频散曲线的计算带来了影响 (周竹生等，2012).20世纪90年代以来发展起来的多道面波分析技术 (Multi-channel Analysis of Surface Waves, MASW) 弥补了SASW方法的不足，该方法利用多道观测系统采集瑞雷波数据，单次采集记录生成的频散能量谱不仅可以提取较准确的基阶模式频散曲线，同时也可以提供高阶模式瑞雷波的频散信息 (Park et al., 1999)，而高阶模式的频散曲线有时携带了更丰富的介质信息，能够为反演提供更多的约束 (Xia et al., 2003).在实际数据处理中，由于受震源的频带范围和传播介质滤波作用的影响，瑞雷波信号的能量在各频率处是严重不均等的，这使得信号能量集中在一个较窄的频带范围内，其余频带内的能量受到了压制，造成高阶模式的频散能量不易识别 (卢建旗, 2013)，因此提高MASW技术对高阶模式频散能量的识别能力十分必要.通常，多道面波分析提取频散曲线的方法有F-K变换法 (Yilmaz, 1987)，τ-p变换法 (陈淑珍和刘怀林, 2000) 和相移法 (Park et al., 1998) 等.τ-p变换法对基阶模式低频段的提取效果较差，在计算过程中易出现假频和端点效应，相移法对基阶模式提取效果好，而对高阶模式的分辨率不高 (邵广周和李庆春，2010).F-K变换法通过二维傅立叶变换，生成瑞雷波的频率-波数谱计算频散曲线，具有运算简便、易于实现的特点，因此本文提出一种改进的F-K变换法提取瑞雷波的多模式频散曲线.
在本文中，我们首先介绍了F-K变换法的原理和对其改进的方法和计算步骤，F-K变换得到的能量谱可以分为相位谱和振幅谱两部分，瑞雷波的频散信息主要携带在相位谱中，而频散能量的分辨率受振幅谱的影响较大，因此在不改变相位谱的前提下，我们对振幅谱进行改造，改善了F-K变换法提取频散曲线的效果.然后我们利用改进的F-K变换法对人工合成的瑞雷波记录和实际瑞雷波资料进行了处理，提取频散曲线并与传统F-K变换法计算的结果对比，结果表明改进的F-K变换法能够呈现出更清晰的多阶模式频散能量信息，保证了高阶模式频散曲线的有效提取，取得了理想的效果.
1 F-K变换法的原理及其改进 1.1 F-K变换原理F-K变换法的实质是对x-t(时空) 域中的一个共炮点道集记录d(x, t) 做二维傅立叶变换，首先对记录d(x, t) 沿时间轴做傅立叶变换，将x-t域信号变换到x-f(时间-频率) 域，计算式为
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(1) |
然后对得到的D(x, f) 信号沿x轴做傅里叶变换，将x-f域信号变换到f-k(频率-波数) 域，公式为
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(2) |
式中k表示波数，f表示频率，这样经过两次傅里叶变换，x-t域的信号被变换至f-k域，又因为波数与频率有关系式为
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(3) |
因此可以通过映射计算，将f-k域的频率波数谱变换为f-VR域的频散能量谱，然后对频散能量谱的峰值进行识别，即可提取出瑞雷波的频散曲线.
1.2 改进的F-K变换在实际数据处理中，由于受震源的频带范围和传播介质的滤波作用的影响，瑞雷波信号的能量在各频率处是严重不均等的，这种不均等使得F-K变换后的信号能量集中在一个很窄的频带范围内，因此通常需要对变换后得到的信号进行振幅谱的归一化处理.然而，基阶瑞雷波能量占主导时，归一化后的信号中高阶模式信号的能量仍然较弱，不易识别，为频散曲线的提取带来困难，因此需要对频散能量谱上每个频点对应的曲线的振幅进行改造，Lu等 (2013)提出了利用加权滑动平均的技术对f-VR域的振幅谱进行处理，公式为
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(4) |
其中N为窗口宽度，λ为平滑因子，计算点位于窗口中心样点，
瑞雷波信号经过F-K变换后，通常须进行归一化处理，这样f-VR域信号的最大振幅值将为1，我们对f-VR谱上同一频率处不同速度值的振幅值求λ次幂，公式为
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(5) |
其中λ做为振幅均衡因子，为取值范围在 (0, 1) 的常数，经过 (5) 式计算，信号的主峰值将保持不变，而次级峰值将得到增强，主次峰值的差异减小，同时没有改变原始振幅曲线各个峰值之间的主次关系，使瑞雷波不同模态的频散能量得到均衡.
图 1表示为一组瑞雷波数据的f-VR谱上25 Hz频率处的原始振幅曲线与振幅均衡处理后的曲线对比图，我们分别用加权滑动平均与单点求λ次幂两种方法处理.图中黑色曲线为原始的速度振幅变化的曲线，该曲线有样点501个，其主峰值与次峰值幅值差异较大，主次峰幅值比为4.2.如图 1a所示，点划线为经过加权滑动平均方法处理后的振幅曲线，我们通过多次试算确定了最佳的加权平均参数：窗口宽度N设为10，平滑因子λ设为0.4，处理后的曲线主峰值和次峰值的幅度整体减小，同时主次峰间幅值的差异减小，主次峰幅值比降低为2.1.图 1b表示单点求λ次幂方法处理后的效果，我们将λ值取为0.5，图中虚线表示处理后的振幅曲线，与原始曲线相比 (黑色实线)，其振幅主峰幅值未变，而次峰幅值得到增强，主次峰幅值比降低为1.6，可见两种方法处理的曲线主次峰值振幅都得到了均衡，并且求λ次幂的处理方法不需要对速度谱曲线分段分别求取加权系数，计算效率较高，对主次峰幅值比处理的效果更好.
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图 1 原始振幅曲线与振幅均衡处理后曲线对比图 (a) 原始振幅曲线与加权滑动平均处理结果对比；(b) 原始振幅曲线与单点λ次幂处理结果对比. Figure 1 Comparison of original curve and amplitude equalizing processed curve (a) Comparison of original curve and weighted moving averaged curve; (b) Comparison of original curve and λth power gained curve. |
在本章中，我们分别利用传统的和改进的F-K变换法对数值模拟和实际采集的瑞雷波记录进行处理，并将二者的计算结果对比，验证改进的F-K变换法提取频散曲线的有效性与实用性.
2.1 理论模型实例我们采用高阶交错网格有限差分和PML吸收边界 (邵广周等, 2015) 的方法进行波场的正演计算，模拟生成了两组典型地层模型 (含高速夹层模型和速度递增模型) 的多道瑞雷波记录，模型参数由横波速度 (vs)、纵波速度 (vp)、密度 (ρ) 和层厚度 (h) 组成.
模型一为一个含高速夹层的地层模型，模型参数见表 1，模型尺寸长×宽为80 m×50 m，我们设置41道接收，道间距1 m，最小偏移距5 m，采样间隔0.1 ms，采样长度0.5 s，震源采用主频为25 Hz的雷克子波，该模型对应的理论频散曲线通过快速delta矩阵算法 (Buchen and Ben-Hador, 1996) 计算得到.
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表 1 模型一参数 Table 1 Parameters of model 1 |
图 2a为数值模拟得到的模型一的瑞雷波单炮记录，图中可以看出能量占主导的基阶模式瑞雷波以及能量较弱的高阶模式瑞雷波波形.为了获得频散曲线，我们首先对该单炮记录进行二维傅立叶变换，由傅立叶变换的性质可知，当炮集排列的道数较少时，信号在变换后的k(波数) 域分辨率将较低，因此需在x(距离) 域的傅立叶变换计算过程中对道数进行充零补充，以提高信号在波数域的分辨率，在该炮集的计算中，我们将道数补充至256道.图 2b即为该炮集经过变换后生成的f-k域频率-波数谱 (图 2b)，从频率-波数谱中可以看出瑞雷波能量主要分布在15~55 Hz范围内，其峰值位于25 Hz附近，图中也显示出了多个能量团，其中较强的为基阶模式瑞雷波，较弱的为高阶模式瑞雷波能量.然后我们利用2.1节的 (3) 式，将频率-波数谱上每一个数据点对应的k(波数) 值换算为VR(速度) 值，由 (3) 式可知，该计算过程为倒数映射关系，会导致等间隔的波数变换成不等间隔的速度，使得变换后的频散能量的分辨率降低，因此需对f-VR(频率-速度) 域的结果进行插值，提高频散能量的分辨率，图 3a即为换算并插值后得到的频散能量图，通过频散能量连续的峰值区域我们可以识别出两个模式的频散曲线，基阶模式效果较好，频散能量连续且集中，而位于其右上侧的高阶模式能量则较弱，可识别频带较窄，图中的黑色点状虚线为利用快速delta矩阵算法得到的理论频散曲线，可见在5~95 Hz的频率范围内共有五个模式，随着模式增高，频散曲线上相同频率的相速度值依次增大，因此为了提高对高阶模式频散曲线的识别能力，我们利用改进的F-K变换法对数据做进一步处理.
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图 2 (a) 模型一的合成地震记录；(b) 合成地震记录的频率-波数谱 Figure 2 (a) Synthetic seismic records of model 1; (b) f-k spectrum of the synthetic seismic records |
通常在瑞雷波信号中基阶模式能量占主导，这就使得f-VR域频散能量谱上的基阶频散曲线能量清晰，高阶模式能量被压制导致频散曲线不易提取，针对这一现象，我们利用2.2节所述方法对频散能量的振幅谱进行改造，突出高阶模式能量的峰值.首先抽取出频散能量谱上每个单频点所对应的速度-振幅曲线，对曲线上不同速度点的振幅值进行归一化，这会使得每条曲线的最大振幅值为1，其他振幅取值范围在 (0，1) 之间，然后再对每条曲线上每一个速度点对应的振幅值求λ次幂，并令λ小于1，这样曲线的最大峰值将保持为1不变，而其他点的振幅值将相对原值得到加强，并且始终小于最大振幅值1，同时曲线上各点振幅值的大小次序也保持不变.在该炮集数据处理中，我们取λ=0.5，经过计算后，重新绘制频散能量谱 (图 3b)，可见高阶模式明显增强，频散信息更为连续，可识别的频带范围也得到拓宽，与传统的F-K变换法得到的结果对比，提高了对高阶频散曲线的识别能力.
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图 3 模型一合成记录的频散能量图 (a) 传统的F-K变换法对模型一合成数据计算得到频散能量图；(b) 改进的F-K变换法对模型一合成数据得到的频散能量图.图中的黑色圆点代表模型一的理论相速度值. Figure 3 Dispersive images of model 1 (a) Dispersive image generated by conventional F-K transform; (b) Dispersive image generated by improved F-K transform. Black circles denote the theoretical phase velocities of model 1. |
模型二为一地层速度递增模型，模型参数见表 2.模型长×宽为1000 m×500 m，设置81道接收，道间距4 m，最小偏移距40 m，采样间隔0.5 ms，采样长度1.2 s，震源为主频30 Hz的雷克子波，模型对应的理论频散曲线通过快速delta矩阵算法 (Buchen and Ben-Hador, 1996) 计算得到.
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表 2 模型二参数 Table 2 Parameters of model 2 |
图 4a为数值模拟得到的模型二的瑞雷波单炮记录，图中可以看出占主导的能量较强的基阶模式瑞雷波以及能量较弱的高阶模式瑞雷波波形.我们利用与模型一数据相同的计算方法，首先通过二维傅立叶变换生成了该炮集在f-k域的频率-波数谱 (图 4b)，从频率-波数谱中可以看出瑞雷波能量主要分布在10~40 Hz范围内，其峰值位于25 Hz附近，图中也显示出了多个能量团，其中较强的为基阶模式瑞雷波，较弱的为高阶模式瑞雷波能量.同时由于模型二的炮集排列有81道检波器，比模型一排列的检波器个数多，因此其频率-波数谱的分辨率较高，频散能量峰值更加集中，不同模式能量更易分辨.
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图 4 (a) 模型二的合成地震记录；(b) 合成地震记录的频率-波数谱 Figure 4 (a) Synthetic seismic records of model 2; (b) F-k spectrum of the synthetic seismic records |
然后我们利用模型一数据处理中同样的方法，将f-k域的频率-波数谱插值变换为f-VR域的频散能量谱.图 5a即为生成的频散能量谱图，图中的黑色点状虚线为利用快速delta矩阵算法得到的理论频散曲线，可见在5~60 Hz的频率范围内共有七个模式，而通过图中能量峰值连续的区域仅可以识别出两个模式的频散曲线，基阶模式效果较好，频散能量连续且集中，高阶模式能量则较弱，可识别频带较窄，因此为了提高对高阶模式频散曲线的识别能力，我们对数据做进一步处理，抽取出频散能量谱上每个单频点所对应的速度-振幅曲线，对曲线上不同速度点的振幅值进行归一化，然后再对每条曲线上每一个速度点对应的振幅值求λ次幂，在模型二炮集数据的处理中，我们也取λ=0.5，处理完毕后重新绘制其频散能量谱 (图 5b)，可见高阶模式明显增强，频散信息更为连续，可识别的频带范围也得到拓宽，与传统的F-K变换法得到的结果对比，保证了对高阶频散曲线的提取.
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图 5 模型二合成记录的频散能量图 (a) 传统的F-K变换法对模型二合成数据计算得到频散能量图；(b) 改进的F-K变换法对模型二合成数据得到的频散能量图.图中的黑色圆点代表模型二的理论相速度值. Figure 5 Dispersive images of model 2 (a) Dispersive image generated by conventional F-K transform; (b) Dispersive image generated by improved F-K transform. Black circles denote the theoretical phase velocities of model 2. |
为了进一步说明改进的F-K变换法的应用效果，我们对某研究区实际采集的瑞雷波资料进行处理.研究区位于内蒙河套地区，区内面波信号采用重锤垂向敲击铁板激发，24道检波器接收，道间距1 m，最小偏移距8 m，检波器采样间隔0.5 ms，每道采样点数1024个.图 6a为区内采集的一个单炮记录，经过二维傅立叶变换我们得到其f-k域的频率-波数谱 (图 6b)，从谱上可以看到明显的基阶模式瑞雷波以及能量较弱的高阶模式瑞雷波信息，瑞雷波能量主要分布在20~60 Hz范围内，其峰值位于45 Hz附近.然后我们对f-k域频率-波数谱进行插值变换得到其f-VR域的频散能量谱 (图 7a)，可见其基阶模式频散信息非常清晰，频散能量连续且集中，而高阶模式几乎无法识别，因此我们再利用改进的F-K变换法对频散能量图进行改造，对每个频率点对应的速度-振幅曲线进行归一化，然后求每个速度点对应幅值的0.6次幂，计算完毕后再重新绘制其频散能量谱 (图 7b)，由图 7b可见高阶模式得频散信息得到了有效的分辨.实际资料处理结果表明，改进的F-K变换法能够提高多阶模式瑞雷波频散曲线提取的能力.
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图 6 (a) 塔尔湖研究区的单炮瑞雷波记录；(b) 实际瑞雷波记录的频率-波数谱 Figure 6 (a) Seismic records acquired from Tar Lake area; (b) f-k spectrum of the seismic records |
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图 7 实际数据的频散能量图 (a) 传统的F-K变换法对实际单炮数据计算得到频散能量图；(b) 改进的F-K变换法对实际单炮数据得到的频散能量图. Figure 7 Dispersive images of the real-world shot gather (a) Dispersive image generated by conventional F-K transform; (b) Dispersive image generated by improved F-K transform. |
F-K变换法是一种常用的提取瑞雷波频散曲线的方法，由于受震源的频带范围以及传播介质的滤波作用的影响，传统的F-K变换法对高阶频散曲线的识别能力较差，而高阶模式的瑞雷波频散曲线通常携带了更丰富的地下介质信息，可以在横波速度结构反演中提供更多的约束，因此需要对传统的F-K变换法进行改进以提高其提取高阶频散曲线的能力.瑞雷波的能量谱可以分为相位谱和振幅谱两部分，频散信息主要携带在相位谱中，而F-K变换法得到的频散能量图的分辨率主要受振幅谱的控制，因此在不改变相位谱的前提下，仅改造振幅谱可以提高高阶模式频散能量的分辨率.我们通过对频散能量谱上每个点的振幅值求λ次幂的方法对振幅谱进行了改造，在不改变振幅曲线主次峰次序的情况下，增强了次峰的振幅，提高了F-K变换法对高阶模式瑞雷波频散信息的分辨能力，拓宽了提取的频散曲线的频带范围，与加权滑动平均处理方法相比，对振幅值求λ次幂的方法计算较为简便，效率更高.加权滑动平均处理需要将每个频点对应的速度谱分段，分别对每段时窗求振幅加权系数，最佳时窗宽度也需要多次试算获得，运算效率较低，在需要处理的炮数较多数据量较大时，对振幅求λ次幂的方法更易于实施，可以编程实现批量化自动处理，提高工作的效率.
3.2在本文中，我们提出了利用改进的F-K变换法提取瑞雷波的频散曲线，通过对理论模型与实测数据的处理与分析，得出了以下两点认识：(1) 利用改进的F-K变换法可以改善瑞雷波频散能量图的分辨率，有效的提取出高阶模式频散曲线，同时拓宽频散曲线的频带；(2) 与加权滑动平均方法相比，对振幅值求λ次幂的改进方法计算过程更为简便，对高阶模式频散能量的成像效果更好.
致谢 感谢审稿专家提出的修改意见和宝贵建议，感谢编辑部对本文的大力支持！| [] | Buchen P W, Ben-Hador R. 1996. Free-mode surface-wave computations[J]. Geophysical Journal International, 124(3): 869–887. DOI:10.1111/gji.1996.124.issue-3 |
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