2017, Vol. 32
气候变化如全球变暖, 冰川融化及伐木取材等社会以及人类活动, 已经对我们的生活产生了重要的影响.在地球流体力学中，采取合适的数学模型可以研究这些影响，而Rossby是影响地球流体大尺度运动的主要波动. Rossby (1939)最早提出了Rossby波的形成原理，之后Redekopp和Weidman (1978)考虑在切变流中的Rossby孤立波的产生；Maslowe和Redekopp (1980)研究了纬向流的切变对Rossby波的影响；Meng和Lü (2002) 采用时空伸长变换导出了在地形和耗散强迫下的非齐次BDO-Burgers方程；Ono (1975, 1981) 用多重尺度法从准地转位涡方程出发推出Rossby孤立波振幅满足BDO方程；赵强和刘式适 (2001)考虑了基本切变对赤道波动的影响, 其Rossby波包满足非线性Schrödinger方程，也分析了切变纬向流对非线性赤道Rossby孤立波包的影响；宋健等 (2011b)推导了强迫耗散与β效应与地形效应作用下的非线性Rossby波包；同时宋健等 (2014)研究了缓变下垫面和耗散作用下的非线性Rossby波振幅的演变.
但是他们没有考虑地球旋转水平分量fH=2Ωcosφ0的影响.我们知道地球旋转对地球流体力学中的许多现象都有重要影响, 在赤道附近, Coriolis力的垂直分量f的值较小, 平均而言, f=10-5 s-1, 所以f0≈0, 即赤道β平面近似 (f=β0y, β0=2Ωcosφ0/a).但是, Coriolis另一参数fH是非常重要的, 甚至可以近似为常数, fH=2Ωcosφ0≈2Ω.所以在许多情况, fH是不可以忽略的. Hoskins (1975)采用地转近似给出了完整Coriolis力作用下非线性Rossby波的精确解；White和Bromley (1995)通过对纬向动量平衡的尺度分析表明，分析了对于行星尺度的大气运动，地转水平分量的影响不可完全忽略；赵强和刘式适 (2004)研究了β效应和地球旋转水平分量对Rossby波的影响；赵强和于鑫 (2008)考虑了在完整Coriolis下的非线性Rossby波；刘全生等 (2014)考虑了Coriolis力作用下的β效应与层结效应的Rossby孤立波, 他们从包含完整Coriolis力的大气运动方程组出发, 利用半地转近似导出了非线性Rossby波满足KdV方程和Kdv-mKdV方程.本文在基本气流切变下, 考虑地形、耗散和地球旋转水平分量对Rossby波振幅演变的影响.
1 数学模型考虑有地形和地球旋转水平分量作用下的地转位涡方程为 (Dellar and Salmon, 2005)：
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(1) |
其中ψ为流函数，Coriolis力的垂直分量取为f=f0+βy, fH是Coriolis力的水平分量, f0、β、fH均为常数；H是流体静止时的高度；B(x, y) 是地形轮廓；k是耗散系数, 取正数；▽2为Laplace算子, 定义为：
引入无量纲参数
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(2) |
其中引入了两个无量纲参数λ0与δ, λ0=fH/f0表征Coriolis力的水平分量与垂直分量比值的大小, λ0=0时方程即化为传统近似下的准地转正压涡度方程；δ=H/L0表征垂直尺度与水平尺度的大小, 即形态比.
为了得到非齐次BDO-Burgers方程, 切变基本流U为 (Redekopp and Weidman, 1978)：
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(3) |
这里c1, c2为常数.
2 演化方程 (非齐次BDO-Burgers方程) 的推导取基本流函数为纬向流，公式为
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(4) |
其中c0相当于线性Rossby波在切变基本流U(y) 中当波长很长时的波速, 为了使地形强迫和非线性问题达到平衡.设：
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(5) |
总的流函数为
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(6) |
其中ψ′(x, y, t) 是扰动流函数, 把式 (5), 式 (6) 代入方程 (2) 中, 得到扰动流函数方程为
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(7) |
其中
方程 (7) 表示在区域0≤y≤1的方程, 它的边界线为y=0, y=1, 根据Ono (1981)，在外部区域y < 0和y>1不考虑地形, 且取柯氏力f=0.由 (7) 式知外部区域方程为
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(8) |
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(9) |
为了使方程 (7) 中的非线性效应与频散项相平衡, 对变量x, t引入Gardener-Morikawa变换，公式为
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(10) |
将式 (10) 式代入方程 (7) 得到：
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(11) |
这样方程中就没有快变量x, t, 有慢变量X, T, 在方程 (11) 中
扰动流函数有如下的小参数展开形式，公式为
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(12) |
将式 (12) 代入方程 (11) 得到各阶约化摄动问题的方程.
对于O(ε0) 阶, 有：
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(13) |
设ψ0有如下形式的分离变量解，公式为
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(14) |
将式 (14) 代入方程 (13) 中, 得到
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(15) |
若给定U (y), 利用外部条件能够确定Φ(y) 与c0.由于β(y) 是关于维度变量y的非线性函数, 方程 (15) 很难获得解析解.另外, 在本阶问题中, 只能确定Rossby波的空间结构, 而不能确定Rossby波的振幅随时间的演变.继续求解高阶问题.
对于O(ε1) 阶, 有：
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(16) |
本阶问题中出现了X方向的频散效应, 而Jacobi算子项在本阶问题中出现了非线性效应, 因此它们分别为弱频散效应和弱非线性效应, 用Φ(y) 乘以方程 (16) 的两端, 并在变量y的区间[0, 1]上积分, 公式为
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(17) |
方程 (17) 的左端由式 (8), 式 (9) 确定.由于外部扰动是通过内部产生的, 因此设：
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(18) |
将方程 (18) 代入式 (8) 和式 (9), 得到最低阶的外部方程为
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(19) |
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(20) |
这里U1-c0≠0, U2-c0≠0.
根据Ono (1975)，由方程 (19), (20) 得：
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(21) |
方程 (21) 的解为
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(22) |
其中P表示上述积分主值, 对方程 (22) 式关于变量y求导得：
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(23) |
y方向的内部解在y=0, 1处光滑, 因此在O(ε1) 有：
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(24) |
与
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(25) |
由式 (14) 和式 (24) 得
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(26) |
将式 (24) 代入式 (23) 得:
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(27) |
这里有
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(28) |
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(29) |
方程 (28) 就是方程 (15) 的边界条件, 由此可以确定本征函数Φ(y) 与本征值c0.
将方程 (26), (28), (29) 代入式 (17) 得：
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(30) |
其中
方程 (30) 说明在缓变下垫面和地球旋转水平分量的作用下的Rossby孤立波振幅的演变满足非齐次BDO-Burgers方程.从方程中可以看出, 地球旋转水平分量fH和缓变下垫面随纬度经度变化的共同作用 (增加了系数W) 改变了非齐次项 (如果W>0, 非齐次项增强；否则, 非齐次项减弱), 从而会使Rossby波振幅的演变过程发生变化.
当不考虑地球旋转水平分量fH的作用时, 即取λ0=0, 则方程 (30) 退化为宋健等 (2014)的结果.当不考虑耗散的作用, 即取γ=0, 则方程 (30) 退化为非齐次BDO方程, 与宋健等 (2013)的结果一致.如果不存在地形、耗散和地球旋转水平分量, 此时方程 (30) 是齐次BDO方程.其孤立波解为
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(31) |
其中A0是初始孤立波振幅, 
我们考虑地形，有公式为
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(32) |
由 (30) 式的系数可知，当基本气流不存在切变时，U=const，(β(y)/U-c0)′=0，这时γ=0，非齐次BDO-Burgers方程就不存在.所以假定大气中西风气流存在线性弱切变 (罗德海, 1989)，设：
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(33) |
利用 (28) 式，则方程 (15) 式变为
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(34) |
将Φ, c0按下列级数展开，即：
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(35) |
将 (35) 式代入 (34) 中，则取最低阶近似值为
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(36) |
其中
利用边界条件：
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(37) |
其中m=nπ, n=±1, ±2.对 (37) 式的平方模进行归一化，近似得：
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(38) |
则将Φ(y) 和Ω代入 (30) 式的系数，近似得：
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(39) |
由上面的系数看出，切变基本流u0，地球旋转水平分量fH的作用会使Rossby波振幅的演变过程发生变化，同时也清楚的看到缓变下垫面的影响 (含eX项).
4 结论本文从完整Coriolis力的地转位涡方程出发, 导出了非线性Rossby孤立波振幅的演变满足非齐次BDO-Burgers方程.同时也说明地球旋转水平分量fH和缓变下垫面随纬度经度变化的共同作用会使Rossby波振幅的演变过程发生变化.当不考虑地球旋转水平分量fH的作用时, 即取λ0=0, 方程 (30) 退化为宋健等 (2014)的结果.当不考虑耗散的作用, 即取λ=0, 则方程 (30) 退化为非齐次BDO方程, 与宋健等 (2013)的结果一致.因此, 气流有水平切变、地形、耗散和地球旋转水平分量, 这些都是非线性Rossby波产生的重要因子.
致谢 感谢审稿专家提出的修改意见和编辑部的大力支持！| [] | Dellar P J, Salmon R. 2005. Shallow water equations with a complete Coriolis force and topography[J]. Physics of Fluids, 17(10): 106601. DOI:10.1063/1.2116747 |
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