地球物理学进展  2017, Vol. 32 Issue (1): 18-25   PDF    
基于菲涅尔带理论的无线电波层析正则化方法研究
董一飞1,2,3, 张致付3     
1. 国土资源部海底矿产资源重点实验室, 广州 510760
2. 中国地质调查局广州海洋地质调查局, 广州 510760
3. 中国地质大学 (北京), 北京 100083
摘要:无线电波透视法是常用的工作面地质构造探测方法之一,目前煤矿上多采用基于射线理论的联合代数重建(SIRT)层析方法反演介质电磁波衰减系数.由于发射的电磁波频率范围在几百千至几兆赫兹,基于高频近似的射线理论在模拟电磁波传播时存在局限性,而SIRT方法本身受矿井观测方式的限制,在垂直测线方向反演分辨率不高.本文研究基于菲涅尔带理论的正演方法,电磁波频率越高其第一菲涅尔带半径越小,即越接近射线条件;采用约束正则化方法进行层析成像,推导了Tikhonov正则化的最小化问题表达式,说明了正则参数的作用和意义,利用迭代反演法求最优折衷解.对不同异常模型及实际资料进行了层析成像实验,结果表明对于低频电磁波菲涅尔带理论分辨率优于射线理论,正则化方法具有更好的分辨率,识别出的异常构造基本吻合已知疑似构造位置,说明了其在实际应用中的可行性.
关键词无线电波透视    层析成像    菲涅尔带    Tikhonov正则化    
Regularization method of radio wave tomography based on Fresnel zone theory
DONG Yi-fei1,2,3 , ZHANG Zhi-fu3     
1. MLR Key Laboratory of Marine Mineral Resources, Guangzhou 510760, China
2. Guangzhou Marine Geological Survey, China Geological Survey, Guangzhou 510760, China
3. China University of Geosciences (Beijing), Beijing 100083, China
Abstract: Radio-wave penetration method is one of the most popular methods for geological anomaly detection. Based on ray-based theory and Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique (SIRT) method, the attenuation coefficients of coal seam are reconstructed. The electromagnetic wave frequency ranges from a few hundred thousand to a few megahertz is adopted, which leads to unsatisfied with high frequency approximation for ray path theory. And the inversion resolution using SIRT method is reduced by low SNR data and the poor geometry in mine tunnel. In our study, Fresnel zone theory, which includes interference effects of wave propagation, is used to compute theoretic field strength. The higher the frequency of the electromagnetic wave is, the smaller the Fresnel zone radius is. The Tikhonov regularization method for minimization problem is derived to inverse the attenuation coefficients. Different regularization parameters are tested to account for effect on model solutions and the trade-off value is used. Conclusions are reached from inversion experiment for theoretical models and field data. The resolution based on Fresnel zone theory is better than that based on ray path theory. The inversion results well confirm to the known geological anomalies, which shows the feasibility and reliability of the above method for the practical application.
Key words: radio-wave penetration method     tomography     Fresnel zone     Tikhonov regularization method    
0 引言

坑道无线电波透视法 (坑透法) 是常用的地质构造探测方法,该方法对于预先探明采煤工作面内的隐伏地质构造,保证机械化采煤工作的安全进行,具有重要的意义.自从20世纪20年代由前苏联科学家A·A·彼得罗夫斯基提出以来,无线电波透视法被广泛应用于矿产勘探、工程勘查及油气开发等领域,取得了良好效果 (Lager and Lytle, 1977Peterson et al., 1985).在国内,无线电波层析成像技术在煤矿物探中发挥了重要作用,该方法可以快速探测出陷落柱的发育影响范围以及复杂断层的位置、走向、延展长度等信息,以避免事故发生,而其在煤层厚度的推测工作中的应用也取得了良好的效果 (刘志新等,2008王勃等,2012刘鑫明等,2013).

电磁波层析成像技术可以分为走时层析成像技术、相位层析成像技术和衰减系数层析成像技术三种.走时层析成像方法是根据电磁波的走时来反演被测物体内部的电磁波慢度 (速度的倒数) 分布的 (刘盛东和李盛华,2000);相位层析成像的研究在我国相对薄弱,其理论基础是不同地质构造的相位系数不同,利用电磁波传播时发射接收点的相位差进行异常体相位参数层析成像 (刘志新等,2013);电磁波衰减系数层析成像在跨孔测量以及煤矿巷道中应用广泛,该方法的物理基础是不同介质对电磁波的吸收能力不同,电磁波传播路径上衰减系数的变化造成电磁场强度的变化,通过场强数据,就可以推测测区介质的物性变化 (董守华和王琦,2003).由于电磁波的走时信息不容易测量,本文采用电磁波衰减系数层析成像方法.

从电磁波的波运动学和波动力学特征出发,无线电波透视的正演原理可分为两类:基于高频射线近似的射线理论方法以及基于散射理论的方法 (Buursink et al., 2008).研究早期,受限于计算机水平,当波的频率无限高,研究者基于高频近似理论把波的传播路径近似为零体积的射线来进行正演,该方法精度不足,只能近似地描述波的运动学特征.后来又发展了基于散射理论的正演方法,Hagedoorn (1954)首次提出射线宽度的理论,即波的传播路径是有宽度的,并阐述了第一菲涅尔带的概念;Vasco和Majer (1993)认为波传播时的主要能量集中在射线对应的第一菲涅尔带内,由此提出了基于菲涅尔体的层析方法;Stephan和Kissling (2001)Vidale (1988)的有限差分射线追踪做了改进,提出了“胖射线”的概念,基于“胖射线”理论的射线路径计算方法极大地提高了运算速度;Montelli等 (2004)同样利用射线宽度的概念,将有限核频率灵敏度方法应用于层析成像的研究,取得了重大成果;刘玉柱等 (2009)则推导了带限菲涅尔体层析核函数表达式,取得了较高反演精度.

常用的层析方法包括ART方法 (代数重建法,Algebraic Reconstruction Technique)、SIRT方法 (联合代数重建法,Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique) 以及Tikhonov正则化方法等.ART算法是20世纪30年代提出的一种解方程组的迭代技术,Gordon等 (1970)将其应用于地球物理反演问题.SIRT算法是Gilbert (1972)提出的一种迭代算法,该方法通过计算经过工作面某一网格单元内所有射线的平均修正值来完成图像重建.Tikhonov正则化是吉洪诺夫在20世纪70年代提出的,该方法将解的范数作为约束条件,把反演问题转化为求二次函数的最小化问题 (Tikhonov and Arsenin, 1977).Neubauer (1987)提出了带约束的Tikhonov正则化方法,标志着正则化方法由无约束到有约束的转变.翁爱华等 (2002)应用Tikhonov正则化方法,提出了最光滑解估计、最平滑解估计和最小能量解估计的相应算法.傅初黎等 (2006)针对带状工作面 (典型的即煤矿井下工作面) 提出了Carasso-Tikhonov正则化方法,使得正则化近似解的误差达到最优.Fu和Han (2011)提出一种Tikhonov正则化-Homotopy方法,该方法可以在初始估计精度不高时,仍然能得到稳定的解和较高的分辨率.张纯等 (2012)在Tikhonov正则化约束条件中引入光滑函数,并将其应用于结构损伤识别中,该方法可以改善非光滑解的识别能力,提高分辨率.韩波等 (2012)利用混和正则化方法研究了二维电阻率成像问题,改善了重构效果,有效地提高了层析成像的分辨率.

目前,煤矿上常用的是基于射线理论的SIRT方法.该方法要求足够角度的观测范围,但受矿井观测方式及电磁波能量衰减快的限制,其电磁波“发-收”角度有限,不能满足观测要求,导致层析反演结果 (特别是对垂直测线方向的地质异常) 的准确率和分辨率降低.本文用第一菲涅尔带理论代替射线理论,来进行电磁波场强模拟计算;同时采用带约束的Tikhonov正则化方法来进行层析成像,提高层析分辨率.

1 方法原理

无线电波透视法是利用不同介质之间的电性差异来进行地质解释的一种方法.在矿井巷道两端,一端激发电磁波,另一端接收,电磁波穿透目标层,煤层、岩石及地质构造对电磁波吸收能力不同,在电磁波传播路径上衰减系数的变化造成电磁场强度的变化,通过实测场强数据,就可以反推测区介质的物性变化.求电磁场强度的过程称为正演,反推测区介质物性的过程称为反演.

1.1 正演计算方法 1.1.1 射线理论方法

在高频近似条件下,均匀介质中电磁波的主能量沿直射线轨迹传播.将工作面网格化,通过追踪射线轨迹,可以计算电磁波的场强衰减量.

在巷道一端发射电磁波,由于发射天线与观测点方向基本接近正交,两者之间的夹角可以近似为90°,则工作面中任意点的场强表达式为

(1)

式中,HH0分别为某点的实测场强和发射点处的初始场强;β为电磁波衰减系数;R为某条射线的总长度,r为射线穿过网格后截得的线段长度.其中,最主要的影响因素是射线穿过的网格中β值的变化,工作面任意网格衰减系数β表达式为

(2)

式中,ω=2πf为天线角频率,μ是磁导率,ε是介电常数,σ是电导率.

1.1.2 菲涅尔带理论方法

根据惠更斯原理和克希霍夫积分公式,波的传播空间中处于振动状态的每一点,都可以看成是二次元波点震源.由它们产生二次扰动,其包络面即为新波前.新波前上某一观测点上的扰动是旧波前上各点形成的二次扰动在该观测点上相互叠加的结果,而形成相长干涉二次扰动的源点所组成的一块面积就为第一菲涅尔带.在均匀介质下,波可以视为沿直射线传播;而在非均匀介质下,波是沿弯曲射线传播的,此时中心射线的菲涅尔带边界就很难确定了 (Eaton,1991姚姚,2005).

本文的研究范围是均匀介质条件下的二维第一菲涅尔带,如图 1.

图 1 菲涅尔带半径求解示意图 Figure 1 Radius of Fresnel Zone

均匀介质中,电磁波从发射点A传播到接收点B,射线传播路径AB上任一点的菲涅尔带半径D都可以通过电磁波波长λ,该点到发射点的距离r0以及到接收点的距离R0来确定,公式为 (杜世通,1996):

(3)

由公式 (3) 可知,电磁波传播中菲涅尔带的半径与波长λ成正比,即与电磁波的频率f成反比.射线频率越高,菲涅尔带半径越小,越接近射线条件;射线频率越低,菲涅尔带半径越大,越能体现电磁波传播的波场特征.如图 2所示,白色线段是电磁波传播的中心射线,灰色区域是其对应的菲涅尔带,可以看到,当电磁波频率逐渐增大,菲涅尔带面积逐渐减小,并集中于中心射线附近.

图 2 不同频率电磁波对应的菲涅尔带示意图 (a) 电磁波频率=2 MHz; (b) 电磁波频率=3 MHz; (c) 电磁波频率=6 MHz; (d) 电磁波频率=30 MHz. Figure 2 Fresnel Zone for different electromagnetic wave frequency (a) Frequency=2 MHz; (b) Frequency=3 MHz; (c) Frequency=6 MHz; (d) Frequency=30 MHz.
1.2 层析反演原理

反演是将实测场强反投影,推测巷道内地质信息的过程.当采用多发射点观测系统时,其主要是求解形如DX=Y的高阶、稀疏、不适定的线性方程组.式中,D为线段长度矩阵,矩阵内存放所有射线穿过网格后在各网格单元中的截距;X为网格衰减系数矩阵,是反演要求的目标量;Y为场强相关的常数.

本文采用Tikhonov正则化来代替目前常用的SIRT方法进行无线电波层析.Tikhonov正则化是一种传统的处理不适定问题的方法,其基本思想是:用一簇与原问题相邻近的适定问题的解去逼近原问题的解 (徐娜,2007).具体做法是将解的范数作为先验信息,在求解过程中加入约束条件Ω=||I(x-x*)||2,即解的L2范数,式中,I通常是单位矩阵,x*是对解的初始估计,本文只考虑x*为零矩阵的情况,即Ω=||I(x)||2.当解的范数取最小值时,正则化的解光滑且稳定.

引入约束条件Ω之后,Tikhonov正则化通常可以表示为如下的最小化问题:

(4)

式中,||Dx-y||2是残差的范数,该项取最小后可以使得正则解与衰减系数模型的差最小,即使解最符合异常分布.如果残差范数||Dx-y||2与解的范数||I(x)||2同时取最小,求得的解既贴近异常又稳定.但是两者不可能同时取最小值,此时加入正则参数λ,两个范数在正则参数的控制下互相制约,当λ增大时,解更光滑稳定,当λ减小时,解更贴近异常.当公式 (4) 取整体最小值时,解是最优折衷解,既稳定又能满足精度要求,对应的正则参数称为最优正则参数.

在Tikhonov正则化反演求解过程中,本文利用L曲线法求最优正则参数 (王彬等,2012马涛等,2013),并采用非线性牛顿-高斯迭代反演法求解工作面最终衰减系数模型 (王振宇和刘国华,2005;张云姝等,2005).

2 模型与实测数据层析

本文实现了无线电波透视法射线理论正演、菲涅尔带理论正演以及分别基于两种理论的Tikhonov正则化方法的层析反演.针对几个典型的衰减系数异常模型进行了正、反演运算,最后,对实际的坑透资料进行了层析成像,将结果与已知的疑似地质构造异常位置进行了对比分析.

2.1 模型数据层析结果 2.1.1 观测系统

工作面划分成34×40的网格,中心区域为30×30网格,下方31发射/接收点,上方32发射/接收点.在进行模拟时,选用满覆盖的观测系统,即下方31点全部发射电磁波,每个发射点都对应上方32个接收点,射线条数共计992条,是中心区域内所允许的最大射线密度,完成对工作面的完全覆盖,如图 3所示.

图 3 观测系统示意图 Figure 3 Observation system
2.1.2 块状异常模型

图 4a是块状异常模型,异常中部有一块状高衰减系数区域.

图 4 块状异常模型各反演方法结果对比 (a) 中央块状异常模型示意图; (b) SIRT方法反演结果; (c) 射线理论Tikh正则化反演结果; (d) 菲涅尔带Tikh正则化反演结果. Figure 4 Inversion results of different methods for block model (a) The block model; (b) SIRT method; (c) Tikhonov regularization based on ray path theory; (d) Tikhonov regularization based on Fresnel Zone theory.

满覆盖观测系统下SIRT方法、射线理论及菲涅尔带理论Tikhonov正则化 (以下简称Tikh正则化) 的反演结果如图 4b~图 4d所示.由反演结果看出,SIRT方法对于块状异常区域的左右边界可以准确地识别,但是在上下边界 (即垂直测线方向) 分辨率不高,且对衰减系数数值的确定精度不高;基于两种理论的Tikh正则化方法则分辨率很高,均可以清晰定位块状区域的所有边界,基于菲涅尔带理论的反演结果更加光滑.

2.1.3 高低衰减异常模型

图 5是高低衰减异常模型各反演方法结果的对比图,可以看到,SIRT方法无法准确识别高衰减区域上下边界,对低衰减区域分辨率较低;两种理论的Tikh正则化方法对两个异常区域都具有很高分辨率.

图 5 高低衰减异常模型各反演方法结果对比 (a) 高低衰减异常模型示意图; (b) SIRT方法反演结果; (c) 射线理论Tikh正则化反演结果; (d) 菲涅尔带Tikh正则化反演结果. Figure 5 Inversion results of different methods for high/low attenuation block model (a) High/low attenuation block model; (b) SIRT method; (c) Tikhonov regularization based on ray path theory; (d) Tikhonov regularization based on Fresnel Zone theory.
2.1.4 倾斜断层异常模型

设计了倾斜断层异常模型,目的是检验不同反演方法对类似实际工作面中存在的小断层界面的识别能力.图 6是倾斜断层异常模型各反演方法结果的对比图,SIRT方法的结果存在两个问题,一是对断层边界分辨率不高,二是在右下区域对断层做了不合理延伸;两种理论的Tikh正则化方法则没有这种问题,均可以准确定位断层位置.

图 6 倾斜断层异常模型各反演方法结果对比 (a) 倾斜断层异常模型示意图; (b) SIRT方法反演结果; (c) 射线理论Tikh正则化反演结果; (d) 菲涅尔带Tikh正则化反演结果. Figure 6 Inversion results of different methods for tilted fault model (a) Tilted fault model; (b) SIRT method; (c) Tikhonov regularization based on ray path theory; (d) Tikhonov regularization based on Fresnel Zone theory.
2.2 实测坑透数据层析结果

下面,以山西某煤矿实际的坑道透视资料为例,分别用各种方法进行层析处理,并对比分析层析结果.实际工区如图 7所示,工作面巷道长800 m,宽200 m,沿巷道水平延伸.巷道两边均为15个发射点,对应对面巷道14或15个接收点,总射线条数328条,基本完成对工作面目标区域的覆盖.

图 7 工作面巷道图及疑似异常区域分布图 Figure 7 The sketch of working face tunnel and suspected geological anomalies areas

根据工作面异常出露情况,在巷道左起约180~200 m处,存在疑似带状薄煤层,与巷道延伸方向基本垂直,略有角度,连续性未知;距薄煤带右侧沿巷道延伸方向约250 m的巷道下方有一断层,向巷道内侧延伸,不知具体规模.

处理数据时,读入发射接收点坐标,将原始不规则坐标投影到标准网格面中,构建观测系统.观测系统见图 8,一条线段代表一个发射-接收对.

图 8 实测数据观测系统 Figure 8 Observation system of working face tunnel

SIRT方法反演结果如图 9所示,图中白色阴影标记的是已知疑似薄煤带区域分布情况,白色方框标记的是巷道外可见的断层的位置.可以看到,在疑似薄煤带区域,有一带状高衰减异常区域,与白色阴影区域的推测分布情况相吻合,基本可以确定是薄煤带区域.对于另一处断层异常,SIRT方法没有明显反应.

图 9 工作面巷道SIRT方法反演结果 Figure 9 Inversion result of SIRT method for working face tunnel

射线理论和菲涅尔带Tikh正则化的反演结果分别如图 1011所示,两种正则化反演同样都准确识别出了薄煤带异常的位置.射线理论Tikh正则化识别出的薄煤带宽度大于已知疑似区域,且比较杂乱,反映出薄煤带内部连续性未知;菲涅尔带Tikh正则化确定的薄煤带宽度与白色阴影区域基本吻合,带状异常区域连续性好.对于左起约450 m处巷道下方的断层,两种正则化方法均有明显反映,位置大约在巷道左起450~470 m处,与已知地质异常情况相吻合,该处断层规模不大,未向巷道内部延伸太多.

图 10 工作面巷道射线理论Tikh正则化反演结果 Figure 10 Inversion result of Tikhonov regularization based on ray path theory for working face tunnel

图 11 工作面巷道菲涅尔带Tikh正则化反演结果 Figure 11 Inversion result of Tikhonov regularization based on Fresnel Zone theory for working face tunnel
3 结论

本文重点对基于菲涅尔带理论的无线电波层析方法进行了研究.利用射线理论和菲涅尔带理论进行了正演计算,针对不同的异常模型,分别使用SIRT方法和Tikhonov正则化方法进行了电磁波衰减系数层析成像模拟实验,最后对实际坑透数据进行了层析成像.经过研究,得出以下结论:

(1) Tikhonov正则化方法的层析分辨率高于目前常用的SIRT方法,特别是在垂直测线方向.

(2) 对于低频电磁波而言,基于菲涅尔带理论的层析方法分辨率优于射线理论.

(3) 对实际坑透资料的层析结果表明,Tikhonov正则化方法识别出的异常构造基本吻合已知疑似构造位置,证明了该方法在实际应用中的可行性、可靠性.

致谢 感谢审稿专家提出的修改意见和编辑部的大力支持!
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