地球物理学进展  2016, Vol. 31 Issue (6): 2482-2486   PDF    
引用本文
张永利, 杨联贵 . 2016. 正压大气模式中在地形效应和β效应作用下的非线性Rossby包络孤立波. 地球物理学进展, 2016, 31(6): 2482-2486, doi: 10.6038/pg20160617  
ZHANG Yong-li, YANG Lian-gui . 2016. Nonlinear Rossby envelope solitary waves with topographic effect and β effect in the barotropic atmospheric model. Progress in Geophysics (in Chinese), 31(6): 2482-2486, doi: 10.6038/pg20160617   
正压大气模式中在地形效应和β效应作用下的非线性Rossby包络孤立波
张永利, 杨联贵     
内蒙古大学数学科学学院, 呼和浩特 010021
收稿日期: 2016-03-14; 修回日期: 2016-07-14.
基金项目: 国家自然科学基金（11362012）和国家自然科学基金青年科学基金（11202092，11301259）联合资助..
作者简介: 张永利,男,硕士研究生,主要研究方向地球流体力学与非线性大气动力学.(E-mail:1260815941@qq.com)
摘要: 在正压大气模式下，采用多重尺度法研究了基本气流具有弱切变的正压非线性Rossby孤立波包，得到了当波振幅和纬向波数都是缓变情况下Rossby波包振幅的演变满足带有β效应和小尺度地形作用的非线性非齐次Schrödinger方程.说明β效应和地形效应是诱导Rossby包络孤立波的重要因素.
关键词： 地形效应     β效应     非线性Schrödinger方程     Rossby孤立波    
Nonlinear Rossby envelope solitary waves with topographic effect and β effect in the barotropic atmospheric model
ZHANG Yong-li , YANG Lian-gui     
School of Mathematical Science, Inner Mongolia University, Hohhot 010021, China
Abstract: Rossby waves are intrinsic in the large-scale systems of fluids, so Rossby waves are the most important waves in the atmosphere and ocean. In barotropic fluid, the nonlinear Rossby envelope solitary waves in a shear flow are investigated by the asymptotic method of multiple scales, Here, the β-plane approximation f=f0+β0y(β0 is a constant) is extended into f=f0+β(y)y,which includes a nonlinear function β(y)taking the place of β-plane approximation. Such an approximation can depict more precisely the motion of the atmosphere and ocean, especially in the middle and high latitude regions. With β effect is deduced, the terrain effect of the nonlinear Schrödinger equation. Points out that the β effect、topographic effect is induced the important factor of Schrödinger equation, illustrates the effect of topographic forcing satisfy certain conditions, Rossby envelope solitary wave in the play the nonlinear Schrödinger equation; Also pointed out that when a wave amplitude and phase are graded, still satisfied the generalized nonlinear、inhomogeneous Schrödinger equation.
Key words: topographical effect     β effect     nonlinear Schr dinger equation     Rossby solitary waves    
0 引言

大气和海洋中,Rossby波是重要的大尺度永久性波动,并且这些波动具有稳定的大振幅孤立波特征.对于正压流体,Long(1964)作了开创性的研究,得到在β平面近似下Rossby振幅演变满足Korteweg-de Vries(KdV)方程．Benney(1966)推广了Long的结论,同时还得到Rossby孤立波波速和波振幅有关的结论,刻画了非线性的重要性.Charney和Straus(1980)基于准地转位涡度方程构造了一个β平面通道中考虑地形、非绝热加热和摩擦的正压大气模式,这项工作开创了大气多平衡态非线性动力学的研究．Boyd(1980,1983)用多重尺度法,从基本方程导出在正压流体中小振幅Rossby孤立波振幅演变满足非线性KdV方程和mKdV方程. 罗德海(1991,1992,1995,1996,1998)研究了Rossby孤立波和β随纬度变化的关系,得到β随纬度变化可能是偶极子阻塞的原因．蒋后硕和吕克利(1998)利用扰动展开和时空伸长变换导出了包括地形和耗散的FKdV-Burgers方程,讨论了近共振地形强迫Rossby孤立波的产生,显示出地形对扰动具有明显的增幅作用．后又经过许多人的研究,非线性波动的研究已经取得了重大进展．罗德海和纪立人(1989)在仅考虑非线性Rossby波包的振幅是缓变的情况下得到了非线性Rossby波包的振幅所满足的非线性Schrödinger方程．随后罗德海(1991)又考虑了纬向波数是缓变的情况下,得到了非线性Rossby波包的振幅满足一个推广的非线性Schrödinger方程．刘式适和谭本馗(1992,2003)研究了Rossby参数随纬度的变化.宋健等(2008,2010,2011,2012,2013)在基本气流有切变的条件下,首次提出推广的β平面近似(β看成是关于y的函数β(y))；从而研究了β平面近似与非线性地形变化对Rossby孤立波振幅的演变．本文中,在基本气流具有弱切变和纬向波数是缓变的条件下,得到了非线性Rossby包络孤立波的振幅在β平面近似与非线性地形变化的作用下满足一个推广的非线性非齐次Schrödinger方程.

1 正压模式和推广的非线性Schrödinger方程 1.1 控制方程

不计摩擦力作用,考虑地形无量纲形式的正压涡度守恒方程为

(1)

方程(1)中,ψ是流函数,∇2为二维Laplace算子,定义为Δ为Jacobian算子,β平面近似取为β(y)y,即β是纬度变量y的函数,h(x,y)是地形轮廓．

1.2 多重尺度法推导Schrödinger方程

将流函数ψ分解为纬向平均及其扰动偏差两部分,即：,代入方程(1)式可变为

(2)

其中ψ′为扰动流函数,u″=d2udy2,在行星大气中,运动具有多时间和空间尺度,除了波的振幅具有多尺度外,波数也具有多尺度特征,因此可以引入如下慢时空变量,公式为

(3)

并且此时的位相函数为

(4)

此时可作下列坐标变换,公式为

(5)

将(5)式代入方程(2)式,有

(6)

再将ψ′按WKB方法展开有

(7)

其中ψn(n=1,2,3…)均为θ,τ,T,X,ξ的函数.为了体现(6)式中地形效应,不妨设

(8)

此处也就是把地形看成了小尺度地形考虑问题．

将(7)、(8)式代入(6)式,同时略去地形函数的撇号,得到

对于Ο(ε1)

(9)

其中,

对于Ο(ε2)

(10)

对于Ο(ε3)

(11)

其边界条件为

(12)

方程(9)式就是线性Rossby波动方程,在许多研究中只考虑了圆频率是缓变的,而没有考虑纬向波数的缓变,但是在实际大气中,波的振幅和波数都是缓变的,本文在波数缓变的基础上考虑了地形效应和β效应,来说明地形效应和β效应对非线性Rossby孤立波的影响,于是可设方程(9)式的谐波解为

(13)

其中c.c.表示它前项的共轭,A为复振幅,它是慢变量的函数,其随时空的演变特征将由高阶近似问题来确定．φ1(y)决定波动的经向结构．

将(13)式代入(9)式,结合边界条件,得到

(14)

方程(14)构成了Sturm-Liouville方程的本征问题,对于已经确定的基本风速u和常数β,这便是给定的本征值问题,则φ1式可以完全确定的本征函数.对于一般的速度廓线u(y)和β(y),这是一个变系数问题,很难求出解析解.对于不考虑基本气流影响(u=0)且β是常数,方程(14)的本征值为：,取y1=0,y2=L.

再将(13)式代入(10)式,得到

(15)

对方程(15)式消除长期项有

(16)

其中,从物理意义上讲C1实际为群速度,利用(16)式,方程(15)式可以变为

(17)

其中,

(18)

ω=Ck；设方程(17)式的谐波解为

(19)

其中B是复振幅,c.c.表示它的前项的共轭.

将式(19)代入方程式(17),得到

(20)

其中,(),边界条件为

(21)

在方程(20)式中,可以看出A和B不是两个独立变量,由于A和B都为慢变量(τ,T,X,ξ)的函数,并且B与A2成正比例,为简单起见可以写为

(22)

于是,方程(20)式可以变为

(23)

再将(13)和(19)式代入(11)式,则

(24)

利用本征函数的正交性,对方程(24)式消除长期项,并利用(14)、(22)、(23)则得

(25)

方程(25)式的两边同乘 φ12,并在区间[y1,y2]上积分,得到振幅A所满足非线性非齐次的Schrödinger方程为

(26)

方程(26)式就是考虑纬向波数k随着τ,T,X,ξ变化情况与地形效应和β效应下共同作用下的非线性Rossby孤立波所满足的推广的非线性非齐次的Schrödinger方程．在这里,我们没有考虑耗散和热外源对Rossby孤立波的影响；β效应的应用将原来的平面近似成了曲面,更好地与实际相接轨,尤其是在中高纬度,更能描述运动的准确度．而纬向波数k的缓变也在很大程度上完善了之前仅仅考虑圆频率w单一缓变的情况,同样使条件更加贴近现实.

当纬向波数k和频率w不是一次缓变,但可以是T、ξ的函数时,在这种情况下,P=Q=0,于是方程(26)式可以写成

(27)

此时要计算出非线性Rossby孤立波包的流场是十分困难的,为此假定k不是t,x的缓变函数,在这种情况下,作为一种特例对非线性Rossby孤立波包的流场进行了计算,由于k是常数,于是方程(27)式可变为

(28)

令

(29)

这时方程(28)式化为标准的非线性Schrödinger方程为

(30)

其中,R0是R在(x,t)=(0,0)处的值,c.c.表示它前项的共轭,λδ>0时,非线性Schrödinger 方程的解由频散波列若干包络孤立波构成,λ和δ的值与扰动波数和基本气流状态有关,所以对于一定的基本流分布,只有某些特定波数的扰动才能产生包络孤立波；若基本气流不存在切变时,当β是纬度变量y的函数,由(18)式知G(y)≠0,这时δ≠0非线性项消失,方程(30)仍是非线性Schrödinger 方程．这说明即使没有基本气流切变,只要β效应存在,非线性Rossby孤立波包振幅演变也满足非线性Schrödinger 方程．只有当基本气流不存在切变时,非线性项消失,因而非线性Schrödinger方程就不存在了.

2 结论 2.1  

在正压流体中,应用多重尺度摄动法,在考虑纬向Rossby波数k是缓变函数情况下,从描写非线性Rossby波的位涡方程出发推导了在切变基本纬向流中β是纬度变量y的函数,以及小尺度地形综合作用下,非线性Rossby孤立波包振幅演变满足非线性非齐次Schrödinger 方程；在k为常数情况下,推广的非线性Schrödinger方程变为标准的Schrödinger 方程．此外,孤立波的存在还必须有.并进一步说明基本气流有切变,非线性β效应,地形(小尺度)效应都是Rossby包络孤立波产生的重要因子．

2.2  

本文我们是在局地直角坐标系下完成的,而如果建立在旋转坐标系下,那么得到的结果必然会更加接近实际情况,势必会使得Rossby孤立波孤立解更加精确；因此我们计划将在同时包含地形效应和β效应的基础上,在旋转坐标系中考虑具有耗散和热外源的情况下对Rossby包络孤立波进行进一步的分析．还有不同尺度的地形也会对结果造成不同的影响,所以对地形效应的分析也将是我们今后讨论的重点.

致谢 感谢评审专家和编辑老师的宝贵建议和意见.
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