2016, Vol. 31
Hartzell (1978)提出了用大地震的前震或余震作为经验格林函数合成大地震的半经验方法(经验格林函数方法).其基本思想是：将大地震震源看成是由一系列子震震源构成的，选择适当的小震记录作为点源引起的地面反应即经验格林函数，然后按一定的破裂方式，把这些经验格林函数叠加就能得到大地震地震动时程.由于小震记录本身己经包含了传播介质的影响，所以用小震记录合成的大地震时程也考虑了传播介质的复杂性，并能克服计算理论格林函数的困难，因此得到了广泛应用.
Irikura (1983, 1986)结合实际震例验证了经验格林函数方法的有效性.以后有很多学者对格林函数方法进行了研究(Kanamori, 1979；Hadley and Helmberger 1980; Hartzell, 1982；Munguia and Brune, 1984；张敏政, 1986; Dan et al., 1987; 廖振鹏和魏颖, 1988；罗奇峰, 1988, 1989; 金星, 1989, 1992)，吴迪(2008)和王海云(2004)他们的工作都证明了格林函数方法的有效性.
Harzell首先提出了经验格林函数方法，其历史地位是公认的.其方法的不足之处是没有考虑大小地震之间震源参数之间关系，其中一些物理量的物理意义和确定方法没有得到清晰说明.以后Kanamori (1979)和Dan等(1987, 1989)进一步研究了确定子震数目的方法，一定程度上提高了经验格林函数方法理论上的严密性.
Irikura (1983, 1986)的方法是由于该假设大小地震具有相似性，限制了经验格林函数的适用范围；同时由于该方法中假定大地震断层面上的位错是均匀的，使得模拟结果与记录符合的程度有提高的空间.随后，罗奇峰(1989)证明了在大、小地震不满足相似条件的情况下，依然可以用经验格林函数方法合成大地震.Dalguer等(2008)的研究表明地震断层的相似律不是普遍存在的，特别是对于大地震.
Irikura (1983, 1986)为解决用经验格林函数方法模拟结果在高频部分与记录符合得不够理想的问题，提出在小震记录中增加一个随机相位的办法，但该方法是没有物理根据的，是对问题的经验处理(金星，1992；Zhang et al., 2003; 王卫民等，2008).
为了解决用经验格林函数方法合成的地震动有一个“人造周期”(或“人造频率”)的问题，Irikura (1983, 1986)把小震上升时间缩小到了n分之一，使“人造频率”移到工程感兴趣的25赫兹之外，有效地消除了“人造频率”.但是把小震记录缩小到了n分之一后，又增加了小震记录的n-1倍次叠加，缺少物理根据，是一种数学上的处理方法.
鉴于经验格林函数方法存在的问题，用这种方法模拟地震必然存在着较大误差，有必要对其进行改进.
1 改进的经验格林函数方法合成地震动理论推导假设大小地震发生在相同介质区域并且具有相同的震源机制.我们用Haskell (1964)提出的位错模型来描述震源(如图 1)，该模型是由长方形断层组成的.
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图 1 Haskell矩形断层模型中的断层平面和坐标 Figure 1 Fault plane and coordinate in Haskell rectangular fault model |
如图 2，在无限均匀弹性介质中断层∑上的位错为ΔU(ξ, η, t)，它在Q点产生的位移ΔUC(x, t)为
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图 2 根据小震的尺寸，把大地震的断层划分为N×N个单元 Figure 2 According to the size of small earthquakes, the fault of the large earthquake is divided into N×N unit |
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(1) |
其中：
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(2) |
假定有一大地震，其断层长度为L，宽度为W，位错为D.有一小震，其断层长度为Ls，宽度为WS，位错为Ds.按公式(3)中的原则，把大震断层分别沿长度方向和宽度方向分解成NL和NW个子断层.为此，子断层的长Le，宽We和子震的位错De应满足下列公式为
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(3) |
公式中(3)中的[ ]是取整符号.从公式可以看出，我们把大地震断层分为NL×NW单元，每个单元称之为子断层，子断层的尺寸与小震断层的尺寸相等，子震的位错等于小震的位错.如图 2.方程(2)写为
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(4) |
其中：
大地震的位错时间函数ΔU(x, t)可以写为
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(5) |
公式中的τ是地震的上升时间，以后出现的τe是子震的上升时间，τs是小震的上升时间.我们假设在子断层面∑e上的点(ξ, η)上发生了子震，并假定子震的位错时间函数ΔUe(ξ, η, t)与(5)有相同的形式.它的上升时间为τe，最终的位错为De.于是，在大小地震滑动速度相等的前提下，我们可以得到：
滑动速度V0=D/τ=De/τe=Ds/τs，也可以写为
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把上式带入公式(3)得到：
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(6) |
大地震子断层的位错时间函数与子震的位错时间函数关系可以表示为
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(7) |
对公式(4~7)微分得：
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(8) |
这种关系可以从图 3中得到解释.在大地震子断层上要发生几个子震，子震的上升时间之和等于大震的上升时间，子震的位错之和等于大震的位错.这就要求大震和子震具有相同的震源时间函数和相同的震源时间函数的微分，否则图 3中的上图斜线不会重合.
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图 3 大地震和子震位错函数之间关系以及大地震和子震位错函数微分之间的关系 Figure 3 The relationship between the function of the dislocation function of the large earthquake and the sub-earthquake and the relationship between the differential of the large-and sub-seismic dislocation functions |
把公式(8)带入公式(4)中得：
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(9) |
公式(9)中的双重积分项表示的是以点(ξ1, ηm)为开始点的子震的震源时间函数.当大地震的开始点在(0，0)点时，可以得到：
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(10) |
其中Se是子震的震源时间函数.公式中tdklm为
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我们现在用一个(或几个)与子震具有相同震源时间函数小震记录代替子震，可以得到：
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(11) |
其中：Ss为小震震源时间函数，tslm=(rlm-r0)/vc为子震(也是小震)传播距离不同引起的时间延迟.
但是，在一般情况下，大震的震源时间函数与小震并不相同.公式(6)中各项的比值ND并不严格相等，而是：
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(12) |
大震的震源时间函数与小震的震源时间函数之比应满足关系式为
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(13) |
在公式(13)中，m是大小地震的滑动速度比值，m值反应了大小地震滑动速度的不同.如果认为大小地震的上升时间是常数，那么m值的变化是由大小地震的位错不同产生的.由于我们一般认为小震断层面的位错是均匀的，所以说m的数值也反应了大地震断层位错的不均匀性.
Miyake提出强震生成区的概念.强震生成区是断层面上具有较大滑动速度的区域，Miyake证明了强震生成区的大小和位置与凸凹体的大小和位置是一致的.由于凸凹体是位错较大的区域，上述事实也说明了m的数值反映了大地震断层面上的位错或滑动速度的不均匀性.
从公式(13)中可以看出，当大小地震滑动速度不相等时，大小地震位错比并不等于大小地震上升时间比，相差了一个系数m.m可以理解为调整了小震位错，使之与大震位错相匹配，并使大小地震上升时间相匹配.
由公式(13)得：
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(14) |
大震的震源时间函数为
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(15) |
公式(15)说明大地震的震源时间函数S(x, t)可以由考虑了时间延迟的小震的震源时间函数Ss(x, t)来表示.其中NL, NW, ND，由公式(3)确定.
把公式(15)带入公式(1)得：
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(16) |
对大小地震上式分别写为
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上面两个公式联立可以得到：
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(17) |
其中：
比例因子NL，NW和ND分别是大小地震长、宽和位错的比值取整.该比值一般不是整数，但小震数目必须为整数，所以，目前的经验格林函数方法不是高估就是低估了地震动.并且这个整数取值只能靠经验判断，经验判断有失经验格林函数方法的严密性.
我们规定公式(3)中的比值向上取整，即都取公式(3)中的比值的整数部分加1作为比例因子NL，NW和ND的数值(如果比值为整数就直接取该整数)，公式(17)变为
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(18) |
其中：
公式(18)中的Kl，Km和Kd的取值方法如下：
当大小地震长、宽和位错的比值为整数时，公式(18)中的Kl，Km和Kd都为1.
当大小地震长、宽和位错的比值不为整数时，Kl，Km和Kd如下取值：
Kl=1, 当l=1, 2…NL-1时.
Kl=大小地震长度比值的小数部分，当l=NL时.
Km=1, 当m=1, 2…NW-1时.
Km=大小地震宽度比值的小数部分，当m=NW时.
Kd=1，当K=1, 2…ND-1时.
Kd=大小地震位错比值的小数部分，当K=ND时.
公式(18)是改进的经验格林函数方法的基本公式.
2 卢龙地震的模拟研究1982年10月19日河北省卢龙发生了ML=5.7级地震，位于39.877N，118.923E，震源深度为9.6 km.在12#台站(39.878N，118.87E)观测到这次地震.同日位于相同的位置39.877N 118.923E发生了ML=4.2级余震，在12#台站也记录到了这次余震.
根据罗奇峰(1989)研究的结果，卢龙地震断层面的走向为北56°东，倾角43°倾向西北.
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表 1 两次地震的相关参数 |
把上述参数代入公式就可以计算出N=3，也就是用9条子事件(4.2级小震)合成卢龙地震(5.7级).卢龙地震断层面离散图如图 4.
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图 4 卢龙卢龙地震断层面划分子断层情况 Figure 4 The simulation of dividing fault in Lulong earthquake into subfaults |
图 5是卢龙地震余震在南北方向的加速度记录，图 6是卢龙地震在南北方向记录、用经验格林函数方法模拟和用改进的经验格林函数方法模拟得到的加速度时程，图 7是上述三种情况下反应谱比较.可以看出用改进的经验格林函数方法模拟得到的反应谱更接近地震记录反应谱.
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图 5 卢龙地震余震南北方向加速度记录 Figure 5 Acceleration records of the north and south direction of Lulong earthquake |
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图 6 卢龙地震南北方向三种情况下加速度时程 Figure 6 Acceleration time history of three cases of Lulong earthquake in North and south direction |
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图 7 卢龙地震南北向加速度反应谱比较 Figure 7 Comparison of response spectra between the north and south of Lulong earthquake |
图 8是卢龙地震余震东西方向的加速度记录，图 9是卢龙地震东西方向记录、用经验格林函数方法模拟和用改进的经验格林函数方法模拟得到的加速度时程，图 10是上述三种情况下反应谱的比较，通过对上述图的分析可以得出，用改进的经验格林函数方法模拟得到的反应谱更接近地震记录反应谱.
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图 8 卢龙地震余震东西方向加速度记录 Figure 8 After shock of Lulong earthquake in the East and west direction Acceleration record |
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图 9 卢龙地震东西方向三种情况下加速度时程 Figure 9 Acceleration time history of three kinds of cases in East and west direction of Lulong earthquake |
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图 10 卢龙地震东西方向加速度反应谱的比较 Figure 10 Comparison of response spectrum of acceleration response in East and west direction of Lulong earthquake |
图 11是卢龙地震余震在竖直方向加速度记录，图 12是卢龙地震竖直方向记录、用经验格林方法模拟和用改进的经验格林函数方法模拟得到的加速度时程，图 13是上述三种情况下反应谱比较.通过对上述图的分析可以得出，用改进的经验格林函数方法模拟得到的反应谱更接近地震记录反应谱.
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图 11 卢龙地震余震竖直方向加速度记录 Figure 11 Vertical acceleration record of Lulong earthquake aftershock |
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图 12 卢龙地震竖直方向三种情况下加速度时程 Figure 12 Acceleration time history of three cases in vertical direction of Lulong earthquake |
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图 13 卢龙地震竖直方向加速度反应谱的比较 Figure 13 Comparison of acceleration response spectra of vertical direction in Lulong earthquake |
本文用经验格林函数方法和改进的经验格林函数方法模拟了卢龙地震，结果表明无论是地震图，还是反应谱，用改进的经验格林函数方法模拟的结果都比用经验格林函数方法模拟的结果与地震记录符合得非更好好.说明改进的格林函数方法是模拟地震动的有效方法，可以在工程实践中应用推广.
致谢 感谢审稿专家和编辑部老师的支持帮助| [] | Dalguer L A, Miyake H, Day S M, et al .2008. Surface rupturing and buried dynamic-rupture models calibrated with statistical observations of past earthquakes[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 98 (3) : 1147–1161. DOI:10.1785/0120070134 |
| [] | Dan K, Watanabe T, Tanaka T .1989. A semi-empirical method to synthesize earthquake ground motions based on approximate far-field shear-wave displacement[J]. Journal of Structural and Construction Engineering, 396 : 27–36. |
| [] | Dan K, Tanaka T, Watanabe T .1987. Simulation and prediction of strong ground motion in epicentral region of the 1979 Imperial Valley earthquake by semi-empirical method[J]. Journal of Structural and Construction Engineering, 373 : 50–62. |
| [] | Hadley D M, Helmberger D V .1980. Simulation of strong ground motions[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 70 (2) : 617–630. |
| [] | Hartzell S H .1978. Earthquake aftershock as Green's function[J]. Geophysical Research Letters, 5 (1) : 1–4. DOI:10.1029/GL005i001p00001 |
| [] | Hartzell S H .1982. Simulation of ground accelerations for the May 1980 Mammoth Lakes, California, earthquakes[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 72 (6A) : 2381–2387. |
| [] | Haskell N A .1964. Radiation pattern of surface waves from point sources in a multi-layered medium[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 54 (1) : 377–393. |
| [] | Irikura K .1983. Semi-empirical estimation of strong ground motions during large earthquakes[J]. Bulletin of the Disaster Prevention Research Institute, 33 : 63–104. |
| [] | Irikura K. 1986. Prediction of strong acceleration motion using empirical Green's function[C].//Proceedings of 7th Japan Earthquake Symposium. Expanded Abstracts, 151-156. |
| [] | Jin X. 1989. From the source of the non uniformity of synthesis design acceleration time history (in Chinese)[MSc thesis]. Harbin:The State Seismological Bureau of the Institute of Engineering Mechanics. |
| [] | Jin X. 1992. The research of the design ground motion and the earthquake motion field of the major engineering site of the engineering field of the engineering field of the research (in Chinese)[Ph. D. thesis]. Harbin:The Engineering Mechanics of the State Seismological Bureau. |
| [] | Kanamori H .1979. A semi-empirical approach to prediction of long-period ground motions from great earthquakes[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 69 (6) : 1645–1670. |
| [] | Liao Z P, Wei Y .1988. A semi-empirical model for simulating design accelerograms[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration (in Chinese), 8 (1) : 12–30. |
| [] | Luo Q F. 1989. The semi empirical synthesis of near field acceleration (in Chinese)[Ph. D. thesis]. Harbin:National Seismological Bureau Engineering Mechanics Research Institute, 11:20-21. |
| [] | Munguia L, Brune J N .1984. Simulation of strong ground motion for earthquakes in the Mexicali-Imperial Valley region[J]. Geophysical Journal International, 79 (3) : 747–771. DOI:10.1111/j.1365-246X.1984.tb02866.x |
| [] | Wang H Y. 2004. Finite fault source model for predicting near-field strong ground motion (in Chinese)[Ph. D. thesis]. Harbin:Institute of Engineering Mechanics, China Earthquake Administration. |
| [] | Wang W M, Zhao L F, Li J, et al .2008. Rupture process of the MS 8.0 Wenchuan earthquake of Sichuan, China[J]. Chinese Journal of Geophysics, 51 (5) : 1403–1410. DOI:10.3321/j.issn:0001-5733.2008.05.013 |
| [] | Wu D. 2008. Concave body model of seismic synthesis of semi empirical based on (in Chinese)[Ph. D. thesis]. Shanghai:Tongji University. |
| [] | Zhang M Z. 1986. Estimation of engineering parameters of near field strength of Engineering (in Chinese)[Ph. D. Thesis]. Harbin:Institute of Engineering Mechanics, China Earthquake Administration. |
| [] | Zhang W B, Iwata T, Irikura K .2003. Heterogeneous distribution of the dynamic source parameters of the 1999 Chi-Chi, Taiwan, earthquake[J]. J. Geophys. Res., 108 (B5) : 2232. |
| [] | 金星. 1989.从震源非均匀性考虑合成设计加速度时程[硕士论文].哈尔滨:国家地震局工程力学研究所. http://www.oalib.com/references/17450257 |
| [] | 金星. 1992.重大工程场地设计地震动与地震动场的研究[博士论文].哈尔滨:国家地震局工程力学研究所. http://www.oalib.com/references/17449391 |
| [] | 廖振鹏, 魏颖.1988. 设计地震加速度的合成[J]. 地震工程与工程振动, 8 (1) : 12–30. |
| [] | 罗奇峰. 1989.近场加速度的半经验合成[博士论文].哈尔滨:国家地震局工程力学研究所, 11:20-21. http://www.oalib.com/references/17450255 |
| [] | 王海云. 2004.近场强地震动预测的有限断层震源模型[博士论文].哈尔滨:中国地震局工程力学研究所. http://www.oalib.com/references/15991859 |
| [] | 王卫民, 赵连锋, 李娟, 等.2008. 四川汶川8.0级地震震源过程[J]. 地球物理学报, 51 (5) : 1403–1410. DOI:10.3321/j.issn:0001-5733.2008.05.013 |
| [] | 吴迪. 2008.基于凹凸体模型的地震动半经验合成研究[博士论文].上海:同济大学. http://www.docin.com/p-1290210585.html |
| [] | 张敏政. 1986.近场强地震动工程参数的估计[博士论文].哈尔滨:国家地震局工程力学研究所. http://www.oalib.com/references/17450253 |