2016, Vol. 31
2. 中海油渤海油田研究院, 天津 300450
2. Bohai Oilfield Research Institute, Tianjin Branch of CNOOC, Tianjin 300450, China
时深转换是将时间域成果转换到深度域的过程，是石油地质研究重要的环节.在油气勘探阶段，多特指将地震剖面时间域层位转换到深度域.时深转换的方法很多，如井拟合法、井间平均速度法、叠加速度体变速时深转换法等(黄兆林等，2011；凌云等，2011；张英德等，2012；杨金海等，2015)，方法不同，适用条件不同.在勘探初期，钻井数量比较少的时候，应用拟合公式法进行时深转换是一种相对简单、快速、高效的方法.拟合公式法就是利用数学方法对钻井揭示的时间-深度数据对进行曲线拟合，将得到的拟合公式(深度与时间的函数)用来计算任意时间对应的深度.拟合公式法在浅层钻井揭示的层段内，由于有拟合数据约束，拟合度高，且不同拟合方法变化不大.但在深层，由于没有拟合数据的约束，拟合曲线外推趋势主要由所应用的拟合方法(模型)决定，通常情况下，不同的拟合方法在趋势外推过程中，距离拟合数据点越远，拟合曲线差异越大，换句话说，层位越深，时深转换的不确定性越显著.针对这一问题，本文以南海北部深水某地区实际数据为例，用MATLAB软件进行拟合，深入分析了与拟合过程相关的拟合方法选择、拟合数据的变化以及拟合公式中常数项是否为零三个影响因素，指出了实际工作中的注意事项，对应用公式法进行深层时深转换具有重要的借鉴意义.
1 拟合方法目前常用于时深数据拟合的方法有多项式拟合法和幂函数拟合法，其中多项式拟合主要使用二次和三次多项式(周蒂等，2008).图 1是研究区南海北部深水区4口井VSP时深数据分布图，图中数据分布趋势稳定，较好地反映了深度随时间的变化规律，深度最大时间-深度点对为(2.62 s，3715 m).
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图 1 研究区4口井时深拟合数据分布图 Figure 1 Distribution map of 4 wells data for time-depth fitting in project |
利用MATLAB软件对这些数据分别进行二次多项式、三次多项式和幂函数拟合，可以看到在数据范围内拟合度都很高，二次多项式0.9948、三次多项式0.9951、幂函数0.9944.但当时间t超出拟合的散点数据而进入外推阶段后，三条拟合曲线开始出现不同程度的变化(图 2).三次多项式与幂函数比较接近，只是在t>6 s以后，两条拟合曲线开始明显分离.二次多项式拟合曲线则不同，当t>3 s后，开始快速“下弯”，显著偏离三次多项式和幂函数拟合曲线.对于三种不同的拟合方法拟合得到的三条拟合曲线，在深层即超出拟合散点数据后，哪一个拟合式更合理呢？用什么方法来判别呢？深层地球物理资料研究认为地层速度随深度增加而增大，但增速逐渐减小，且新生界基底以上的沉积层层速度不超5500 m/s(刘成斋等，2002；张中杰等，2009；李伍志等，2011；邱宁等，2014).利用这一规律可以帮助我们判断以上三种拟合方法哪一个更合理(周蒂等，2008).公式(1)、(2)、(3)分别是二次多项式、三次多项式、幂函数的拟合公式，将公式(1)、(2)、(3)对时间t求一阶导数再乘以2(时间为双程时)即得到三条拟合曲线对应的时速(时间-速度)关系式(4)、(5)、(6)为
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图 2 三种不同拟合方法拟合4口井时深数据曲线 Figure 2 Fitting curves of three different fitting methods of 4 wells |
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式中D为深度，单位m；t为时间，单位s；V为层速度，单位m/s.
从时速曲线看，幂函数拟合转换得到的层速度随深度增大而增大，但增速逐渐减小，在本区基底最大埋深附近(6 s)沉积层的层速度为5023 m/s，完全符合速度客观规律.二次多项式拟合转换得到的层速度随深度增大同样增大，呈线性快速增加，不符合深层速度增加但增速减小的规律，而且在基底6 s处，层速度达到7770 m/s，显然不符合速度判别标准.三次多项式拟合转换的时速曲线最为特殊，呈“U”型，即速度在4.4 s处达到4425 m/s的极值后开始反转减小，并在6 s减小到4036 m/s，速度随深度增加而减小显然不合理.但需要指出的是，在速度反转之前，即0～4.4 s范围内，速度增加但增量减小，是合理的，可以用来时深转换(图 3).通过以上速度分析不难判别幂函数拟合时深曲线最合理.
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图 3 三种不同拟合方法对应的层速度曲线 Figure 3 Interval velocity curves of three different fitting methods |
从图 2可以看到，三次多项式拟合曲线与幂函数拟合曲线在小于6 s深度内比较接近，而上文分析认为三次多项式只是在0～4.4 s范围内速度变化合理，那么4.4～6 s的外推趋势是否正确呢？首先，需要明确这一现象产生的原因.尽管三次多项式转换的层速度在4.4 s达到极值并开始逐渐减小，但转换深度依然在随时间增加而缓慢增加，只是增加率减小，图上表现为三次多项式曲线逐渐上抬，并在5.6处与幂函数相交后继续上抬减小，开始背离正确的幂函数曲线.根据三次多项式极值求取法则，式(2)在t=9.74 s处出现极值，即三次多项式拟合曲线将在t=9.74 s以后深度开始随时间增加而减小.通过以上分析可以认为三次多项式拟合曲线在4.4～6 s内与幂函数拟合曲线相近是数学运算的结果，尽管不影响时深转换，但对应的层速度不正确.实际工作中，如果有速度分析资料(丁梅花等，2008；刘爱群等，2008；王衍棠等，2008)，可以辅助判断拟合公式的准确性.过研究区凹陷中心深部的速度分析资料表明，在6 s处由叠加速度转换得到的层速度为5400 m/s(图 4)，考虑到速度分析和拟合公式转换层速度的误差，幂函数计算的基底层速度5023 m/s最为合理，证明了幂函数拟合曲线的正确性.
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图 4 研究区凹陷中心速度分析图 Figure 4 Velocity analysis chart of sag center |
通过上面的分析，似乎问题已经解决，在超出拟合数据段的深层，二次多项式拟合的时深曲线速度增速过快，拟合深度大于实际深度；三次多项式拟合的时深曲线速度会出现反转而降低过多，拟合深度小于实际深度，特别是在深层；幂函数拟合时深曲线速度随深度增加而增加，但增速减小，拟合的深度最为合理.这里需要强调的是以上结论只是用4口井时深数据拟合的结果，笔者发现当拟合用的时深数据变化时，即使变化不明显，以上结论也会有变化.
2 拟合数据在4口井时深数据的基础上，再增加1口井的时深数据(24个样点)，该井的数据分布趋势与前4口井基本一致，但速度略高，在2.6 s处，与原数据最大深度差约300 m，但与4000 m的深度相比，相对误差约为8%.第5口井速度偏高的原因是因为该井位于凹陷边缘靠近物源区，整个井段沙地比略高于其他4口井，从而造成速度略有增加.在勘探早期阶段针对中深层的时深转换中，这种由于地质条件变化而导致的有限误差数据可以用来进行时深关系拟合(图 5).针对5口井的时深数据，同样进行二次、三次多项式和幂函数的时深曲线拟合.在拟合数据段内拟合度依然很高，超出拟合数据段后，与4口井的拟合结果相比，出现一些变化(图 6).总体而言，5口井的三种不同拟合式深度转换结果均大于4口井的对应拟合式的深度转换结果，但拟合方法不同，结果误差程度不同.以t=6 s为例，三次多项式5口井与4口井的转换深度误差达6320 m，相对误差达40%；对于二次多项式，二者之差已明显减小，为727 m，相对误差为5%；对于幂函数，5口井与4口井的转换深度误差为768 m，相对误差为6.5%.
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图 5 新增第5口井时深数据与4口井时深数据分布图 Figure 5 Data map of time-depth of the fifth well and the original 4 wells |
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图 6 三种不同拟合方法分别对4口井和5口井拟合数据拟合曲线对比图 Figure 6 Fitting curves of 4 wells and 5 wells by three different fitting methods |
从对比结果看，二次多项式与幂函数的拟合式在不同拟合数据情况下误差较小，产生误差的原因正是因为第5口井的速度偏高引起，5%与6.5%的相对误差也符合拟合数据(最大8%的深度误差)引起的误差传递(图 4).误差最大的是三次多项式.在5口井拟合数据的三种不同拟合方法中，三次多项式拟合式转换深度最大，而在4口井拟合数据的三种不同拟合方法中，三次多项式拟合式转换深度最小，“最大与最小之差”必然导致误差最大.同样是拟合数据由4口井增加到5口井，为什么二次多项式拟合和幂函数拟合误差较小，而三次多项式拟合误差如此之大？这与三次多项式本身的拟合特点相关.
公式(7)是5口井的三次多项式拟合式，表达式为
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(7) |
与4口井的三次多项式拟合公式(2)相比，三次项的系数一正一负.正是正负号的不同导致了拟合公式趋势的巨大差异.时深拟合曲线的走势决定于时速曲线.公式(5)是4口井的时速关系计算公式(二次多项式)，该公式二次项系数为负数，对于二次多项式V=at2+bt+c(a、b、c分别为二次项、一次项和常数项系数)，在t=－b/2a=4.4 s时，V将出现极值点，大小为V=－b2/4a+c =4425 m/s(图 7).当时间t在0～4.4 s之间，速度单调递增，且增速逐渐减小，符合速度变化规律，这段深度内可以用三次多项式的拟合式进行时深转换；当时间大于4.4 s后，速度反转，开始单调递减，由此造成时间越大，转换深度快速减小的不合理现象.公式(8)是5口井的时速关系计算公式，表达式为
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图 7 三次多项式对4口井和5口井数据拟合对应的时间-速度曲线 Figure 7 Velocity-Time chart of time-depth fitting of cubic polynomial for 4 wells and 5 wells |
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(8) |
该公式二次项系数为正数，它的极值出现在t=－b/2a=-6.5 s时，V=-1646 m/s.时深转换是物理可实现过程，负时间单位没有实际意义.当时间t>0 s后，时速曲线呈单调递增趋势，特别是t>3 s后，速度快速增加(图 7)，导致深度随时间加深而显著增大，这一变化过程不符合深层速度变化规律，并最终造成了4口井与5口井时间-深度拟合曲线在外推过程中当t>3 s后出现快速分开而引起巨大误差(图 6).
尽管拟合数据只增加了1口井，时深数据对只从493个增加到517个，增加量不足5%，且增加的拟合数据符合总体数据分布趋势(图 4)，但结果差异明显.三次多项式对拟合数据的变化最为敏感，时深拟合结果极不稳定，时速关系变化大，既可以出现速度反转的错误结果，也可以出现速度随深度增加而快速增大的不合理现象.与三次多项式相比，二次多项式和幂函数拟合结果对拟合数据的变化相对稳定.
3 拟合公式中常数项前面讨论中所有拟合公式常数项均为零.通过对比，发现常数项是否为零，对最终时深转换结果的影响绝不是仅仅多加一个常数那么简单.下面仍以4口井拟合数据为例，列出二次多项式、三次多项式和幂函数常数项不为零的拟合公式为
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与常数项为零的拟合公式(1)、(2)、(3)相比，除了都增加了常数项之外，各拟合式的系数都有不同程度改变，导致拟合式在深层计算结果也出现不同程度变化(图 8).对于二次多项式拟合式，二次项系数和一次项系数变化都不大，计算结果也最相近.对于幂函数拟合式，系数减小12%，指数增加9%，计算结果有一定的误差，在5 s时，转换深度相差690 m，相对误差8%，哪一个更合理呢？仍然通过速度来判断.对公式(11)求一阶导数后得到：
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图 8 三种不同拟合方法在有无常数项时对应的拟合曲线图 Figure 8 Fitting curves of having constant term or not for three different fitting methods |
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(12) |
当t=6 s时，即凹陷基底最大埋深附近，计算得到沉积层的层速度为5937 m/s，显然大于速度谱分析资料5400 m/s(图 4)，也超过了新生界基底沉积层层速度5500 m/s的理论值.相比之下，没有常数项的幂函数层速度公式(6)计算的层速度为5023 m/s，因此在本区没有常数项的幂函数拟合式更合理.
对于三次多项式，有无常数项对拟合式影响巨大，三次项系数、一次项系数分别相差一个数量级，二次项系数也相差一倍，有常数项的三次拟合式过早的出现反转，而没有常数项的三次拟合式的拟合外推曲线变化趋势则与无常数项的幂函数拟合曲线一致(图 8)，因此有常数项的三次多项式拟合结果是错误的.
4 结 论时深转换中常用的二次多项式、三次多项式和幂函数三种拟合式在拟合数据段内拟合度都很高，但在超出拟合数据段的深层，三种方法差异明显.幂函数拟合最为稳定，对于拟合数据的增减和有无常数项的情况，拟合结果变化小，由幂函数计算的层速度也符合深层速度变化规律，推荐首选.三次多项式拟合对拟合数据多少和有无常数项都极为敏感，拟合结果差异大.三次多项式只有在拟合式无常数项且三次项系数为负数时，在一定深度范围内，与幂函数拟合曲线相似，可以用来时深拟合，但要注意速度倒转的问题.二次多项式深层速度呈线性快速增加，不符合速度变化规律，不建议采用.
致谢 感谢审稿专家提出的修改意见和编辑部的大力支持！| [1] | Ding M H, Wang N, Yang X K, et al.2008. Velocity analysis in different seismic-data processing software[J]. Natural Gas Exploration and Development (in Chinese), 31 (2) : 23–25. |
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