地球物理学进展  2016, Vol. 31 Issue (3): 988-991   PDF    
引用本文
杨红丽, 刘福梅, 王丹妮, 杨联贵. 2016. 近赤道完整Coriolis力作用下的非线性Rossby波[J]. 地球物理学进展, 31(3): 988-991, doi: 10.6038/pg20160308  
YANG Hong-li, LIU Fu-mei, WANG Dan-ni, YANG Lian-gui. 2016. Nonlinear Rossby waves near the equator with complete Coriolis force. Progress in Geophysics, 31(3): 988-991, doi: 10.6038/pg20160308   
近赤道完整Coriolis力作用下的非线性Rossby波
杨红丽, 刘福梅, 王丹妮, 杨联贵     
内蒙古大学数学科学学院, 呼和浩特 010021
收稿日期: 2015-10-11 修回日期: 2016-02-02.
基金项目: 国家自然科学基金(11362012)资助.
作者简介: 杨红丽,1979年生,副教授,研究方向地球流体力学和水波动力学.(E-mail:hongliyang3@sohu.com)
通讯作者: 杨联贵,1961年生,教授,研究方向地球流体力学和水波动力学.(E-mail:lgyang@imu.edu.cn)
摘要: 从既含有Coriolis力垂直分量又含有水平分量的位涡方程出发, 采用不同的摄动方法推导了近赤道非线性Rossby波的演化方程, 得到非线性Rossby波振幅演化满足非齐次Boussinesq方程或改进的Korteweg-de Vries方程. 从演化方程可以看出Coriolis力水平分量对非线性Rossby波的影响, 并且本文取特殊情况时包括了已有的一些结果.
关键词: 完整Coriolis力     β效应     非线性Rossby波    
Nonlinear Rossby waves near the equator with complete Coriolis force
YANG Hong-li, LIU Fu-mei, WANG Dan-ni, YANG Lian-gui     
School of Mathematical Sciences, Inner Mongolia University, Hohhot 010021, China
Abstract: Nonlinear Rossby Waves near the equator in a potential vorticity equation which includes both the vertical and horizontal components of Coriolis force are studied. The wave evolution is described by the inhomo-geneous Boussinesq equation or the modified Korteweg-de Vries equation depending on the different perturbation methods. From the evolution equations, the effect of the horizontal components of Coriolis force on the nonlinear Rossby waves is evident. As expected, the equations derived also include, as special cases, those obtained before.
Key words: complete Coriolis force     β effect     nonlinear Rossby waves    
0 引 言

地球旋转对于地球物理流体力学中的许多现象都有深刻影响，它的作用是通过在流体动力学Navier-Stokes方程中出现额外加速度项2Ω×V，其中Ω=Ω0(0，cosφ，sinφ)为Coriolis矢量，V=(u，v，w)是三维速度矢量，Ω0是地球旋转角速度，φ是纬度. 许多研究Rossby波的工作都忽略了地球旋转作用的水平分量，即作了“传统近似”. Long(1964)得到β平面近似下Rossby波振幅演变满足Korteweg-de Vries(KdV)方程. Redekopp(1977)和Wadati(1973)从正压流体和分层流体的模式推导了Rossby孤立波振幅演变满足KdV方程和改进的KdV方程(mKdV)，极大地推广了Long的结果. Charney和Straus(1980)基于准地转位涡方程考虑了含有地形、非绝热加热和摩擦的正压大气模式，开创了大气多平衡态非线性动力学的研究. Boyd(1980，1983)采用多重尺度法，从基本方程出发推导出在正压流体中小振幅Rossby 孤立波振幅演变满足非线性KdV方程和mKdV方程. 刘式适和谭本馗(1992)研究了Rossby参数 f=2Ω0sinφ随纬度的变化，罗德海(Luo，1991; 罗德海，1995)用推广的β平面近似模式研究了Rossby孤立波和β随纬度变化的关系，得到β随纬度变化可能是偶极子阻塞的原因. 达朝究和丑纪范(2008)考虑了地形随时间缓慢变化时Rossby波振幅的演变. 宋健和杨联贵(宋健和杨联贵，2010; 宋健等，2012，2013)给出了β效应和地形效应对Rossby孤立波振幅的影响.

然而，就动力学角度而言，“传统近似”也一直是个有争议的问题(Philips，1966，1968; Veronis，1968; Wangsness，1970). 近年来，在地球物理流体动力学的许多研究中，Coriolis力的水平分量 fH=2Ω0cosφ的作用也越来越引起重视(Leibovich and Lele，1985; Draghici，1987; Sun，1995; White and Bromley，1995). White和Bromley(1995)和Burger(1991)通过对纬向动量平衡的尺度分析表明，对于行星尺度的大气运动，保留 fHw是可取的. Draghici(1987)注意到在中尺度运动的范围内也有 fHu大于dw/dt. 赵强和刘式适(2001，2004)从原始方程出发考虑了地球旋转水平分量对赤道β平面上的波动和Rossby波的影响，Gerkema和Shrira(2005)也从原始方程出发考虑了非传统近似下的近惯性波，但他们都作了线性近似. 赵强和于鑫(2008)考虑了完整Coriolis力作用下的非线性Rossby波的解，但也作了半地转近似. 刘全生等(2014)考虑了推广的β平面作用下具有完整Coriolis力的Rossby孤立波，但也作了半地转近似. 本文从含有完整Coriolis力的位涡方程出发研究了非线性的Rossby波，得到了非线性Rossby波振幅满足的演化方程.

1 数学模型

既含有Coriolis力垂直分量又含有水平分量的位涡方程为(Dellar and salmon，2005)

其中，f和fH分别为Coriolis力2Ω的垂直分量和水平分量.B(x，y)是底地形，Ψ(x，y，t)为流函数.其他符号和常规的表示相同.

侧边界条件为刚壁条件为

其中y=y1，y=y2为南北方向的边界.

假设Coriolis力的水平分量fH为常数，垂直分量f是纬度的函数f=β(y)y.

引入无量纲参数为

其中无量纲的物理量带有星号. U0表示速度尺度，L0和H分别表示水平和垂直尺度，并引入一个无量纲的参数表征垂直尺度和水平尺度的大小：δ=H/L0.

这样，位涡方程(1)和边界条件(2)化为

为方便起见去掉了星号.

假设流函数由基本流函数和扰动流函数两部分构成，公式为

这样方程(4)化为
其中

下面我们通过不同的摄动方法求解方程(7).

2 演化方程的推导 2.1 非齐次Boussinesq方程

为了使方程中的非线性和频散效应相平衡，引入缓慢变量为

并假设，扰动流函数展开为
对于最低阶O(ε0)：
假设Ψ0(X，y，T)=A(X，T)Φ0(y)，并带入到方程(10)中，得
已假设U-c0≠0. 方程(11)构成一个本征值问题，从该本征值问题可以确定本征函数Φ0(y). 但是在这个问题中只能确定Rossby波随纬度的变化规律，不能确定Rossby波振幅A(X，T)的演化，所以继续求解高阶问题，公式为
假设Ψ1(X，y，T)=B(X，T)Φ1(y)，可以得到，从而，其中Φ1(y)满足条件为
从方程(13)中还是不能确定A(X，T)，我们继续求解更高阶的问题公式为
其中
若方程(14)有效，为避免出现共振现象，F必须满足消奇异条件为
把方程(15)带入到方程(16)中，并利用方程(11)和(13)，得非线性Rossby波振幅A(X，T)满足方程为
其中
其中Φ0(y)，Φ1(y)分别由本征值问题(11)和(13)确定.

方程(17)是一个非齐次的Boussinesq方程，系数R0和S0依赖于β(y)和U(y)，进一步验证基本流有切变，非线性β效应是Rossby波产生的重要因子. 而非齐次项f(X)依赖于Coriolis力的水平分量fH和底地形，说明Coriolis力的水平分量fH和底地形可以作为强迫力作用在非线性Rossby波上，从而影响Rossby波振幅的经向结构，进而影响波动的演变规律.如果考虑传统近似fH=0或底地形取为平底，则方程(17)化为齐次的Boussinesq方程，此情况与宋健和赖俊峰(2010)不考虑地形和外源的结论一致.

2.2 改进的Korteweg-de Vries方程

如果引进缓慢变量为

并假设，利用类似的方法可以得到非线性Rossby波振幅A(X，T)满足下面的mKdV方程
其中系数
其中Φ0(y)，Φ1(y)分别由下面的本征值问题确定

从方程(23)可以看出，Coriolis力的水平分量fH出现在系数T1中，从而可以影响波动传播的频率特征. 如果考虑传统近似fH=0，则方程(23)中系数T1=0，方程退化为Song和Yang(2009)的结果.

3 结 论

本文研究了完整Coriolis力作用下的近赤道非线性Rossby波振幅的演化规律，进一步验证基本流有切变，非线性β效应是Rossby波产生的重要因子. 同时也说明了Coriolis力的水平分量fH和底地形可以作为强迫力作用在非线性Rossby波上，从而影响波动经向结构的振幅. Coriolis力的水平分量fH还可以影响波动传播的频率特征. 如果考虑传统近似fH=0，本文的结论与宋健和赖俊峰(2010)不考虑地形和外源的结果以及宋健和杨联贵(2010)的结果一致.

致 谢  感谢审稿专家的修改意见和编辑部的大力支持！

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