2016, Vol. 31
2. 中国地震局地壳应力研究所, 北京 100085
2. Institute of Crustal Dynamics, China Earthquake Administration, Beijing 100085, China
中国是最早将钻孔应力观测用于地震预报的国家.从新丰江水库地震之后，李四光就有了利用钻孔应力观测地震的想法.随着对观测精度的要求越发严格，逐步由钻孔应力过渡到钻孔应变观测.尽管期间也曾遇冷，但在美国“板块观测计划”的推动下，钻孔应变观测赢得了新的发展机遇.由于其更高的灵敏度，以及能在测量频率范围弥补GPS和测震的不足(Silver and PBO Steering Committee，2000；刘志广等，2013；梁洪宝等，2015)，在地壳形变观测中日益受到相关研究人员重视.钻孔应变仪能记录到一些很小但是非常重要的构造形变信息，例如著名的慢地震现象(Linde et al.，1996；Wang et al.，2008；Liu et al.，2009)，蠕变(Langbein，2010; Roeloffs，2010)，由地震引起的静态断层的位移(Johnston et al.，2006)，火山活动(Linde et al.，1993; Sturkell et al.，2006；Voight et al.，2006)，同震应变阶(Barbour and Agnew，2011)以及地震触发的自由震荡(邱泽华等，2007；Park et al.，2008).钻孔应变仪不仅能记录到这些重要的信号，在捕捉地震前兆也发挥了很大作用(Asada，1988；张鸿旭等，2011；池顺良，2011；邱泽华等，2012).
分量钻孔应变观测最重要的前提是满足自洽关系.观测数据必须满足自洽方程，否则观测结果就是不合格的(邱泽华，2014).安装钻孔应变仪时，由于钻孔开挖，围岩、水泥、仪器的弹性参数不一致，必然导致耦合作用出现.此时仪器输出并不是仪器安装之前观测点处应变.因此，必须对观测数据进行标定，将直接观测值转换为地壳应变场(Gladwin and Hart，1985；Hart et al.，1996；Roeloffs，2010；Hodgkinson et al.，2013；Qiu et al.，2013；张凌空和牛安福，2013).目前，通常的标定方法是选取理论固体潮作为已知参考信号，采用钻孔应变观测系统理论模型求解耦合系数，最终将观测值转换为应变场.Langbein(2010)认为理论固体潮的计算会产生误差，甚至距海岸线数万公里的观测点这种误差也会存在.Hodgkinson(2013)等人的结果表明了固体潮模型不准确会使仪器标定出现很大的误差，观测点附近海潮可能会影响仪器的标定.前人的结果告诉我们在标定过程中，理论固体潮的精确性会对标定产生很大影响.为了避免这些影响，在标定之前，必须清楚观测值是否自洽.钻孔应变观测自洽虽然不能标定仪器，但通过自洽可以知道理论固体潮模型合适与否，元件方位角是否有偏差(Roeloffs，2010).满足自洽是我们进行标定的前提.此外，探头和围岩耦合之后钻孔应变观测才能进行，通常情况下我们没法知道耦合好坏与否，四分量钻孔应变观测的自洽却很好的解决了这个问题(邱泽华，2014).
前人对影响钻孔应变观测的因素进行了大量研究，地形起伏对观测的影响(Emter and Zürn，1985；Sato and Harrison，1990; Zadro and Braitenberg，1999)、气压变化引起外部载荷变化的影响(周龙寿等，2008；Gebauer et al.，2010)、岩性的影响(Kroner et al.，2005；Gebauer et al.，2009).以上这些研究主要关注外部环境对观测的影响，由于钻孔应变仪安装在地下，安装过程中操作不当也会对观测产生影响.相比其他观测仪器，钻孔应变仪一旦出现问题，探头无法取出维修.这样造成的后果就是安装直接报废或者勉强观测.前者造成大量人力物力浪费，后者会使得观测数据失真.这对我们来说都是巨大的损失.早在2004年，石耀霖就考虑过仪器安装偏心会影响观测(私人通信).程惠红等(2011)也分析了地应力观测中偏心造成的误差.
考虑到钻孔应变观测自洽的重要性，钻孔应变观测自洽是我们深入分析的基础，分析偏心对自洽的影响非常重要.本文模拟探头安装偏心对钻孔应变观测自洽的影响.考虑不同偏心条件下，自洽关系的变化.同时对失真的数据进行校正及相对标定，去除偏心对观测数据的干扰，尽量使得观测满足我们的要求.本文的研究结果证实了探头偏心对观测自洽的影响，同时本研究也探讨了相对标定的有效性和局限性，对实际钻孔应变观测的数据分析可以提供一定的参考.
1 钻孔应变仪的理论模型最初的研究，只考虑由围岩与仪器筒壁组成的单环模型(Jaeger and Cook，1976；潘立宙，1981)，没有考虑水泥的耦合作用.后来Sakata等(1982)人虽然意识到水泥的影响，但是他们的分析结果没有体现水泥的作用.随着对水泥耦合作用的逐步理解，钻孔应变观测的理论模型发展为弹性力学里的“双环模型”(Gladwin and Hart，1985).由观测点处的围岩、水泥以及仪器筒壁三层介质焊结而成(图 1).对此结构可以看作一个无限大平板，在平板中间开挖半径为r3的圆孔，圆孔处安装内半径为r1、外半径为r2的圆筒柱状应变仪.仪器筒壁和围岩之间用水泥进行耦合.在平板两端无穷远处受到最大、最小主应力σ1，σ2.在此作用下，钻孔θ方向的孔径相对变化，公式为
 | 图 1 钻孔应变仪理论模型 Fig. 1 Theoretical model of borehole strainmeter |
为了模拟钻孔应变观测的孔径相对变化，本文将观测系统简化为二维模型.并且假定平面应力条件.在进行数值模拟时，无限大平板无法实现，板的尺度有限.如图 1，当板边长L与开挖圆孔的直径2r3之比超过4倍时，板尺寸影响可以不用考虑(黄维扬，1986)，有限板可以看作无限板.按照程惠红等(2011)人的计算结果，在开挖圆孔半径不变时，增加板尺度，数值模拟精度会越来越高.当平板边长与圆孔直径比值超过10倍时，就可以得到十分精确的结果.本文选取L/2r3=10建立模型.为了模拟探头偏心，分别考虑探头未偏心和探头沿x轴正向偏心3 mm，4 mm，5 mm，6 mm，如图 3所示.
 | 图 3 钻孔偏心示意图 Fig. 3 Sketch of eccentric hole in infinite plate |
模型几何大小按照池顺良研制的YRY-4型钻孔应变仪进行设计，探头直径为108 mm，仪器筒壁内、外半径之比为1.09，开挖圆孔的直径为130 mm(程惠红等，2011).随着单元数目的增加，计算精度会得到很大的提高.但与此同时，过多的单元会造成计算时间过长.在我们的模拟过程中，当单元数目达到20000个计算得到结果就足够精确了.在本文模型中，偏心3 mm、4 mm、5 mm、6 mm以及未偏心对应的单元、节点数分别为58675、59142、58983、59097、57008，177379、178796、178315、178645、172368.在我们重点关注的仪器筒壁区域进行了网格细分.
2.2 材料属性、载荷的施加本文主要分析探头偏心对应变观测自洽的影响.为了简单起见，我们选取各向同性线弹性材料.材料的弹性参数参考程惠红等(2011)人的文章.模型中仪器筒壁的弹性模量E3=2.1E11Pa，泊松比μ3=0.31，水泥弹性模量E2=2.0E10Pa，泊松比μ2=0.30，围岩弹性模量 E1=3.0E10Pa，泊松比μ1=0.25，在图 2有限元模型中东西方向施加最大主应力σ1=1.39E6Pa，南北方向施加最小主应力σ2=8.33E5Pa.
 | 图 2 有限元模型网格 Fig. 2 Finite element model |
钻孔应变仪四个元件间隔45°进行布设，这种巧妙的设计带来很大的方便.通过(1)可得四个元件对应孔径的相对变化为
 | 图 4 探头偏心与自洽的关系 Fig. 4 The relation between the borehole deviation and self-consistency |
四分量钻孔应变仪直接测量孔径相对变化，并不是所谓的线应变.因为“双环模型”下，岩石、仪器筒壁以及对这二者进行耦合的水泥的弹性参数不一致，观测系统产生耦合效应.进行钻孔应变观测的目的是为了知道观测点应变变化.因此我们必须求得耦合系数A、B，这样才能进行进一步研究.根据圣维南原理，平板开挖圆孔时，有孔和无孔的应力状态只在圆孔附近有明显差异.距孔较远的地方，应力状态的差别可以忽略.对于平面应力问题，无孔岩石的主应力和主应变有如下关系(张凌空和牛安福，2013)：
本文模型中平板边长与圆孔直径之比L/2r3=10，圆孔在板边缘的应力状态可以看作无孔情性.由此可以通过(4)式，将施加的主应力载荷转换为主应变载荷，带入(1)式求得耦合系数A，B.对有限元模型分别施加4组应力载荷，如表 1所示.分别得到4组孔壁径向位移，将孔壁径向位移转换为孔径相对变化.将应力带入(4)式可知最大、最小主应变.因为在模型中东西向施加最大主应力，南北向施加最小主应力，所以(1)式中φ=90°.通常，直接采用(2)式计算耦合系数，采用一组观测元件的4组数据，利用最小二乘法求得A、B.(2)式假定A、B在四个元件对应方位角上为常数，但这不一定正确.我们直接采用(1)式进行计算，不用考虑A，B是否为常数.(1)式中有2个未知耦合系数A、B，我们必须建立至少包含两个方程的一个方程组.我们将(Ⅰ)、(Ⅱ)设置为一组方程，(Ⅲ)、(Ⅳ)设置为一组方程.至此，我们可由(1)式得到两组耦合系数.如图 5、图 6所示，结果显示2组载荷作用下所得到A，B是一致的，耦合系数A，B均与载荷无关.只有清楚A，B与载荷无关，我们才能确定将2组不同载荷设置为一组方程求解耦合系数的做法正确.
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表 1 四组应力载荷 Table 1 Four groups stress load |
 | 图 5 耦合系数A与原件方位角的关系红线表示(Ⅲ)、(Ⅳ)载荷下的耦合系数A，黑线表示(Ⅰ)、(Ⅱ)载荷下的耦合系数A (a)未偏心;(b)偏心3 mm;(c)偏心4 mm;(d)偏心5 mm;(e)偏心6 mm. Fig. 5 The relationship between A and azimuth.The red line is A from the (Ⅲ)、(Ⅳ) load, the black line is A from the (Ⅰ)、(Ⅱ) load (a)No eccentric; (b) 3 mm eccentric;(c) 4 mm eccentric;(d) 5 mm eccentric;(e) 6 mm eccentric. |
 | 图 6 耦合系数B与原件方位角的关系红线表示(Ⅲ)、(Ⅳ)载荷下的耦合系数B，黑线表示(Ⅰ)、(Ⅱ)载荷下的耦合系数 (a)为钻孔未偏心;(b)钻孔偏心3 mm;(c)钻孔偏心4 mm;(d)钻孔偏心5 mm;(b)钻孔偏心6 mm. Fig. 6 The relationship between B and azimuth.The red line is B from the (Ⅲ)、(Ⅳ) load, the black line is B from the (Ⅰ)、(Ⅱ) load (a)No eccentric; (b) 3 mm eccentric;(c) 4 mm eccentric;(d) 5 mm eccentric;(e) 6 mm eccentric. |
从图 5、6可知探头不偏心时，A、B为常数.探头偏心时，A、B随着元件方位角发生变化.由于观测系统对称，我们只考虑筒壁的右半部分，从图中可以看出在方位角为0°~90°区间，探头偏心时，A随着方位角增大而变小.因为模型本身关于x轴对称(方位角90°)，所以A关于90°对称也是十分合理的.在图 6中需要特别指出的是在45°、135°处有明显的“阶跃”现象，这是因为在本文模型中，φ=90°，当θ=45°、135°时，cos2(θ-φ)=0所引起“奇异”产生的.不考虑“奇异”点影响，我们发现B的变化趋势和A相反，在方位角为0°~90°区间，B随着方位角增大而变大.同样，B也关于x轴对称.对比A、B整体大小受探头偏心的影响，发现探头偏心越多，A会变大，B会变小.
3.3 不自洽原因分析知道探头偏心造成了不自洽，但更想知道偏心为什么会引起不自洽.在3.2节得到耦合系数，探头偏心时耦合系数随元件方位角变化.由(3)式可知，当耦合系数为常数时，“1+3=2+4”肯定成立.似乎是耦合系数的变化引起观测的不自洽，我们将偏心时的耦合系数带入(1)式，得到方程为
 | 图 7 元件方位角与自洽的关系 (a)直接采用观测值计算的(S1+S3)-(S2+S4);(b)求得耦合系数之后由(5)式得到的(S1+S3)-(S2+S4). Fig. 7 The relationship between self- consistency and azimuth (a) This is (S1+S3)-(S2+S4) calculated using the observed values; (b) This is (S1+S3)-(S2+S4) calculated by equation (5). |
 | 图 8 在不同偏心条件下，校正系数和元件方位角的关系 Fig. 8 The relationship between correction factor and azimuth |
 | 图 9 每组仪器的4个元件的相对标定系数 (a)偏心3 mm; (b)偏心4 mm; (c)偏心5 mm; (d)偏心6 mm. Fig. 9 Relative calibration factor (a) 3 mm eccentric;(b) 4 mm eccentric;(c) 5 mm eccentric;(d) 6 mm eccentric |
和安装在地表的观测仪器不同，钻孔应变仪安装在地下.即使在室内对仪器灵敏度进行过标定，但是当仪器安装之后，仍然可能遇到一些干扰，使得测值并不是真值.遇到这样的问题，如果我们仍然直接使用观测数据就会造成分析结果不准确.为了解决这个问题，邱泽华等(2005)人提出了钻孔应变观测的相对标定.主要是考虑环境变化对观测的影响，对仪器输出进行校正，使得自洽关系成立.在本文中，可以假设我们的目的是在仪器安装不偏心的情况下进行观测，对应的仪器输出是探头不偏心下的观测数据.但可能由于安装不理想，探头偏心.我们以探头偏心3 mm为例，此时仪器输出是探头偏心3 mm下的观测结果s，并不是仪器不偏心下的观测数据S.我们将S看作应该测得的真值，但是由于偏心影响，我们测得s.因此，我们必须对偏心3 mm的观测数据进行校正.将偏心的观测数据校正到没偏心情况，即:
运用3.1节模型下的模拟结果S、s，我们可以得到校正系数K.我们选取一组元件，方位角分别为20°、65°、110°、155°，得到的校正系数为0.99545、1.00057、1.00055、0.99363.并且从图 4可知，进行校正后的数据一定满足自洽.通过上面的例子，我们知道在偏心这一确定的影响因素下校正是合理的，很明显，当观测受到多种干扰综合影响时，我们也可以进行这样的校正，我们不必考虑某一个因素对观测的影响，只需宏观上将受干扰的观测值校正为未受干扰的真值，校正后的数据必定满足自洽.
3.4.2 相对标定的有效性在3.4.1 里，对偏心的结果进行了校正.是将受干扰的数据校正到没干扰的情性.在校正的作用下，观测数据满足自洽.但是在实际的观测中，没法像3.4.1里的(6)式一样直接进行计算.因为实际观测过程中没法得到“真值”，只有实际观测数据，此时可行的办法就是采用相对标定对数据进行校正.为了更好的运用钻孔应变观测的实际结果，邱泽华等(2005，2013)人提出了钻孔应变观测的相对标定.Qiu等(2013)人通过台站观测数据证明了相对标定的作用，尤其佘山，德令哈台站，进行相对标定之后，数据可信度有了明显提升.相对标定基本公式为
对比相对标定和上文里的校正方法，我们知道二者的基本思想是一致的，都是将受干扰的观测值修正到没受干扰下的“真值”.采用相对标定的办法得到4个元件的系数，得到如下的结果.相对标定系数如图所示：
对数据进行相对标定，对比理论应变值(钻孔未偏心时的应变值)和标定前后主应变，检验相对标定是否有明显作用.将理论主应变和标定前后主应变列在表 2.
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表 2 标定前后主应变大小 Table 2 Effects of relative calibration correction for principal strain |
在本文分析中，观测受到的影响都是探头偏心.通过表 2，发现偏心3 mm时，相对标定有一定的作用，相对标定之后最大、最小主应变都向理论主应变值靠近.但随着偏心尺度越大相对标定相反得到不好的结果，标定之后应变值更偏离理论值.回顾相对标定过程，进行相对标定目的是消除外界干扰带来的影响，使观测值满足“自洽”.实际上真正的标定系数应该是由(6)或者(7)得到的校正系数，但是无法知道“真值”，无法通过上述两式得到该校正系数.同时也无法求解齐次线性方程，所以也无法由(8)得到标定系数.只能做一个相对处理，我们是令kij=kj/ki，当i=j时，kij=1.在(9)中令k11、k22、k33、k44分别为1.使齐次方程转换为非齐次方程，然后利用(10)式得到相对标定系数.(9)式可以看作是对(7)式做近似处理.在(7)式中，明显可知偏心程度越小时，Si，Ri值越接近.ki也更接近1.此时令(9)式中k11、k22、k33、k44分别为1，和实际ki相差不大，所以当偏心3 mm时相对标定结果比较理想.但偏心较大时，ki会和1相差较大，此时再令k11、k22、k33、k44分别为1这和实际情况有了很大的出入，所以相对标定结果不理想.这说明相对标定有效，但是在一定的范围以内.在本文里就是探头偏心在一定程度以内相对标定是有帮助的.
4 结论与讨论
4.1 本文在平面应力假设下，建立各向同性弹性体模型.在模拟探头不偏心时，发现钻孔观测满足自洽，说明该数值模拟过程合理.让探头偏心不同程度，偏心越多，观测数据越不满足自洽.在文中，探头偏心是引起不自洽的唯一因素.模拟得到的结果还显示了耦合系数的特征，通过计算，我们知道耦合系数大小与施加载荷无关.对于不同方位角耦合系数，在仪器偏心时，虽然它们绝对大小变化不是很大，但变化趋势非常明显，探头不偏心时耦合系数为常数.以前的研究当中，将观测值转换为应变分量，都需要先得到耦合系数，计算耦合系数时将耦合系数看成常数，如今按照本文得到的结果，这样的处理可能会影响分析结果的精确性.本文还证实了相对标定的合理性和有效性，在观测过程中，由于一些不确定因素干扰，如本文中探头偏心，会使得仪器的输出并不是我们最初想要得到的结果.通过相对标定，去除干扰对观测影响.相对标定对观测值进行校正是十分必要的.
4.2 本文在建模、观测理论模型、设置材料参数等方面都尽量接近观测系统本身.但是仍然有很多地方是需要进行改进的.在本文中，我们将观测模型高度简化，只是考虑二维情性，假定材料为各向同性线弹性体.这与观测系统本身的实际特征会有差异.在现有的条件下，我们的钻孔应变仪理论模型都是在钻孔不偏心前提下得到的.在文中，计算所采用的钻孔应变仪的理论模型我们没有偏心和不偏心.以上的这些因素都可能对我们的结果有一定的影响.将二维模型向更接近真实的三维各向异性弹性体转化，建立更加合适的理论模型都是我们以后需要重点关注的方向.本文中施加的载荷都是静态载荷，在后续的研究中，我们可以考虑施加动态载荷，将真实观测结果和数值模拟结果进行比对，得到丰富的信息.
致 谢 感谢审稿专家提出的修改意见和编辑部的大力支持！| [1] | Asada T. 1988. Earthquake prediction study in Japan[C]. //Proceedings of 9th World Conference on Earthquake Engineering. Tokyo-Kyoto, Japan. |
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