地球物理学进展  2014, Vol. 29 Issue (1): 291-299   PDF    
引用本文
陈辉, 关继腾, 程媛媛, 房文静. 油水饱和泥质砂岩流动电位的频散特性[J]. 地球物理学进展, 2014, 29(1): 291-299, doi: 10.6038/pg20140141  
CHEN Hui, GUAN Ji-teng, CHENG Yuan-yuan, FANG Wen-jing. The frequency dispersion characteristics of the streaming potential in oil-water bearing argillaceous sandstone. Progress in Geophysics, 2014, 29(1): 291-299, doi: 10.6038/pg20140141   
油水饱和泥质砂岩流动电位的频散特性
陈辉, 关继腾, 程媛媛, 房文静    
中国石油大学(华东) 理学院, 青岛 266580
收稿日期: 2013-8-10 修回日期: 2013-11-12 .
基金项目：国家自然科学基金项目（41174101）和山东省自然科学基金项目（ZR2011DM002）联合资助.
作者简介：陈辉，男，1988年生，山东菏泽人，硕士研究生，主要从事应用地球物理和电磁场理论方法研究.（E-mail：chenhuiliuge@126.com）
摘要：油水饱和泥质砂岩中流动电位的研究对于揭示含油储层震电勘探和动电测井的机理有着重要的意义.本文首先从岩石孔隙的微观结构出发， 构造了描述水润湿条件下油水饱和泥质砂岩储层的毛管模型.在模型中依据油水流动遵守的Navier-Stokes方程和电化学传质动力学理论， 建立了描述油水饱和泥质砂岩流动电位的数学方程， 并数学模拟了岩石储渗参数对流动电位频散特性的影响规律.研究结果表明：储层孔隙内流体受到的粘滞力与惯性力控制着水相和油相的流动， 从而决定了流动电位的频散特性.随着孔隙度的增大， 油水两相各自的有效渗透率均增大；而含水饱和度的升高使得水相有效渗透率增大， 油相有效渗透率减小.在水润湿条件下， 流动电位耦合系数随含水饱和度升高而增大， 随束缚水饱和度的升高而减小.另外， 流动电位相对耦合系数也随含水饱和度的升高而增大， 但无频散现象.
关键词： 油水饱和泥质砂岩     流动电位     毛管模型     有效渗透率     频散特性    
The frequency dispersion characteristics of the streaming potential in oil-water bearing argillaceous sandstone
CHEN Hui, GUAN Ji-teng, CHENG Yuan-yuan, FANG Wen-jing    
Faculty of Science, China University of Petroleum, Qingdao 266580, China
Abstract: It is well known that utilizing the seismo-electric prospecting and electrokinetic logging could obtain the more formation information including porosity, permeability and water saturation which are the most important parameters to evaluate the hydrocarbon. And the study of frequency-dependent streaming potential in oil-water bearing argillaceous sandstone can help geophysicist understand their microscopic mechanism. But it is very difficult to quantitatively describe the phenomenon because of the complicated pore-throat structure, the distribution of oil and water in the pore, and the influence of wettability. To solve the problem, this paper firstly created a new capillary model considering water wettability to describe oil-water bearing the rocks according to its microscopic pore structure, and gave the conversion formulas between macroscopic transport parameters of the reservoir rocks and microscopic parameters of the capillary model. Then, based on the solution of Navier-Stokes equation obeyed by the water and oil flow, respectively, and combined with the theory of electrochemistry transfer dynamics, the mathematical method to describe the frequency-dependent streaming potential was established. Finally, quantitatively analyze the influence of water saturation on the frequency response of streaming potential. This results show that the frequency dispersion characteristics of streaming potential are dependent on interaction between the viscous force and inertial force because that they control the fluid flow. Both of oil-phase and water-phase effective permeability increase with the increasing of porosity. The higher water saturation increases the water-phase effective permeability and decreases the oil-phase effective permeability. With the water-wet condition, the coupling coefficient of the streaming potential increases with the increasing of water saturation, and decreases with increasing of irreducible water saturation. Additionally, the relative coupling coefficient of streaming potential also increases with the increasing of water saturation, and doesn’t have dispersion phenomenon.
Key words: oil-water bearing argillaceous sandstone     streaming potential     capillary model     effective permeability     frequency dispersion characteristics    

0 引 言

孔隙度、渗透率和含水饱和度是评价油气储层重要的地层信息，通常以声场和电场等单一地球物理场来获得这些参数.随着对声场与电场相互耦合效应的研究，人们逐渐意识到利用这种耦合效应可以提高地球物理探测的水平(Garambois et al., 2001；Haines et al, 2006，2007；Zhu et al., 2000)，实时监测油田中油水界面位置(姚军等，2013；Revil et al., 2007；Saunders et al., 2008)，研究地层的储渗特性(陈辉等，2012；于华等，2013)，为震电勘探(Garambois et al., 2001；Haines et al, 2006，2007；Zhu et al., 2000)和动电测井(关威等，2011；Zhu et al., 2008)提供相应的理论基础，具有广阔的应用前景.储层岩石和地层水的相互作用在其交界面处形成了双电层结构使得孔隙内剩余过量的离子，在压力作用下这些离子随着地层水流动产生电势差称为流动电位，它对于研究声电耦合效应具有重要的意义.

近年来，储层岩石中流动电位研究的主要发展趋势是从宏观尺度向微观尺度过渡，使理论研究不断向基于精确且定量的微观结构知识体系的深度发展，从而实现从微观到宏观的全尺度范围内的精确计算.Ishido 等(1981)选取圆直毛细管模型，给出了稳恒条件下孔隙介质中动电耦合系数的表达式.Pride(1994)对流体饱和的多孔介质采用平均体积法得出了弹性波和电磁波的耦合特性与频率的关系式.Reppert 等(2001)利用单个圆直毛细管模型研究了周期性流动电位的频率响应特性，并设计了一套实验装置首次测量了流动电位的实部和虚部的大小.Guichet等(2003)用气体驱替饱和含水的砂岩，首次测量了不同含水饱和度下流动电位的大小，发现流动电位随含水饱和度的下降而减小.Jackson(2008，2010)利用不等径的直毛管束模型对两相饱和的多孔介质中稳态流动电位现象做了细致地研究，理论分析了孔隙不均匀性、润湿性、含水饱和度和双电层厚度等因素对流动电位耦合系数的影响.Glover等(2010，2012b)借助计算Zeta电位、溶液电导率、溶液粘度等经验公式对经典的H-S方程进行修正，提出了新的计算流动电位耦合系数的理论模型，研究了溶液浓度、孔喉尺寸、pH值和温度等多种因素对稳态流动电位耦合系数的影响，并通过实验证实了流动电位效应受到众多储层岩石物性参数的影响.另外，Tardif等(2011)和Glover等(2012a，c)还在前人的基础上设计改进了用于测量谐变流动电位耦合系数的装置，使得测量频率的范围扩展到1000Hz，这极大地推动了流动电位技术的发展.于华等(2013)利用微观毛管理论，建立了描述饱和水储层岩石流动电位频散特性的数学方法，定量分析了频率域储层岩石动态渗透率、动电耦合系数和流动电位耦合系数随储层岩石孔隙度、溶液浓度和阳离子交换量的变化规律.Revil等(2006，2007，2011，2013)利用岩石的表征单元体模型，引入剩余电荷概念，使用平均体积法得到了饱和含水多孔介质中渗流流速的达西定律和电流密度的欧姆定律，从而建立了渗流场与电流场相互耦合的理论，随后借助相对渗透率、流体流动弛豫时间等经验公式将饱和含水多孔介质中动电耦合理论扩展到非饱和孔隙介质中.

现有资料表明，目前流动电位的理论研究和实验研究大多针对稳恒条件下饱和含水储层岩石，而对于谐变条件下的含油储层岩石流动电位的研究甚少，还没有形成完备的数学方法和理论体系，制约了流动电位相关技术的推广与应用.本文建立一种考虑储层水润湿性的毛管模型，推导出描述油水饱和泥质砂岩频率域中流动电位的数学模型，数学模拟了孔隙度、含水饱和度和束缚水饱和度等对油水两相各自的有效渗透率和流动电位频散特性的影响.

1 油水饱和泥质砂岩的毛管模型

泥质砂岩为水润湿型岩石，一般认为该类岩石孔隙内壁上吸附一层水膜，水膜水依靠分子引力作用滞留在孔隙壁上(贺承祖等，1995).本文使用毛管模型模拟储层岩石的孔隙结构，尽管它十分粗糙简单，然而在该模型中可以方便地引入流体的渗流方程和电化学传质动力学理论，更重要的是利用毛管模型研究储层岩石中的流动电位效应所取得的结论不失一般性，孔隙结构更多参数的讨论并不影响关键性结论(Ishido et al., 1981；Jackson，2008，2010).考虑到油水饱和泥质砂岩孔隙中的流体分布状况和孔隙的储集性质，毛管模型中的毛管束最简可分为了三类，如图1所示.前两类毛管代表泥质砂岩中具有储集性质的“有效孔隙”，第三类毛管代表泥质砂岩中被岩石颗粒或微毛细管包围的孤立孔隙，即“死孔隙”.前两类毛管内的自由流体分别为水相和油相，第三类毛管内的流体为油水两相共存，其中水相和油相的体积比为β(1-β).针对模型中各部分流体的流动性和导电性，做以下假设：1)水膜厚度为δ且无法流动，“有效孔隙”中的自由流体可以流动，“死孔隙”中的自由流体不流动；2)水膜导电，“死孔隙”中的自由流体不导电，“有效孔隙”中的水导电，油不导电.

设模型中毛管半径为r0，单位面积上第i类毛管的毛管数为ni(i=1， 2， 3)，总毛管数为n0.根据储层流体饱和度的定义，可以得到图1模型中宏观参数含水饱和度Sw、含油饱和度So、束缚水饱和度Swi、残余油饱和度Sor与微观参数之间的关系式

且有饱和度方程Sw+So=1.Sw、So、Swi、Sor的取值可以从岩心资料中获取，毛管半径r0和单位面积上的总毛管数n0可由直毛管模型中微观参数与宏观参数的关系求出(陈辉等，2012；于华等，2013)，水膜厚度δ的取值由人为设定.故四个等式中共有n1、n2、n3、β四个未知数，方程存在唯一解.联立以上四式求解，即得到模型中微观参数的表达式

2 油水饱和泥质砂岩流动电位的频散特性
2.1 泥质砂岩的双电层电位理论

泥质砂岩中固-液交界面处的双电层结构是流动电位产生的基础.由文献(陈辉等，2012；于华等，2013)可知，毛管中扩散双电层电位分布为

式中，λD= εRT 2F2Z2C0 为双电层厚度；ζ为双电层Zeta电位，其大小可由泥质砂岩中阳离子交换量Qv算出(关继腾等，2010).

毛管中离子浓度满足Boltzmann分布为

式中，C0为溶液初始浓度，F=9.65×104C/mol为Faraday常数，Zi为组分i的价数，ψ为双电层形成的电位，R=8.314 J/(k·mol)为气体普适常数，T为绝对温度.
2.2 第一类毛管频率域的达西定律和欧姆定律

图1中第一类毛管内流体为水相，在孔隙中水相流体的流动满足广义的Navier-Stokes方程为

式中，ρw为孔隙中水相流体密度，Pw为水相流体压力.令电场强度 E =－ Δ U，U为流动电位， u w1为第一类毛管中水相流速，μw为水相流体粘度.

假设在毛管中沿轴向(z方向)加入谐变压力场，Pw=Pw0e－iωt，则其激发的流动电位也是谐变量，U=U0e－iωt，式中，ω=2πf，f为谐变频率.结合流速边界条件：1)在r=0处，uw1为有限值；2)当r=r0－δ时，uw1=0，可得第一类毛管内水相流体的速度分布为(陈辉等，2012；于华等，2013)

其中，K2w= iωρw μw ，式(12)为水相流体在第一类毛管内的速度分布.

将此速度分布沿毛管截面积分，得单根毛管中的流量为

其中上标1表示第一类毛管.

另外，第一类毛管中无油相，因此油相流量Qo1=0.

对于稀溶液，该类毛管内溶液第i组分的摩尔通量为

式中，vi为第i组分离子迁移率.将式(16)沿毛管截面积分可得单根毛管第i组分离子流密度：

第一类毛管中电流密度为

将其沿毛管截面积分，得毛管内中电流强度为

式中，

其中Rw= F2Z2C0(v++v－) －1为地层水溶液的电阻率，上标1表示第一类毛管.
2.3 第二类毛管频率域的达西定律和欧姆定律

图1中第二类毛管内流体为油相，油水交界面上产生的双电层结构对孔隙中离子分布的影响与固液交界面上的双电层对离子分布的影响相比可忽略不计(Revil et al., 2007)，因此在孔隙中油相流体的流动满足Navier-Stokes方程为

图 1 油水饱和泥质砂岩的毛管模型 Fig.1 Capillary model of oil-water bearing argillaceous sandstone

式中，ρo为孔隙中油相流体密度，Po为油相流体压力， u o2为油相流速，μo为油相流体粘度.

利用流速边界条件：1)在r=0处，uo2为有限值；2)当r=r0－δ时，uo2=0.方程(22)的解为

其中，K2o= iωρo μo ，式(23)为第二类毛管内油相流体的速度分布.

将此速度分布沿毛管截面积分，得单根毛管中的流量为

式中κ2Do(ω)上标2表示第二类毛管，其中

另外，第二类毛管中水相以水膜形式存在，不能流动，所以

该类毛管束缚水膜内溶液第i组分的摩尔通量为

将式(10)代入式(27)且沿毛管水膜截面积分，得出单根毛管第i组分离子流密度为

可得毛管水膜内中电流强度为

其中,

2.4 第三类毛管频率域的达西定律和欧姆定律

图1所示第三类毛管表示“死孔隙”，其内流体不能流动，因此单根毛管中的水相流量Qw3和油相流量Qo3均为零.另外，与第二类毛管相同，第三类毛管中流体不导电，但其覆盖的水膜导电，且σ3(ω)=σ2(ω)，因此该类毛管水膜内的电流强度I3=I2.

2.5 油水饱和泥质砂岩频率域的达西定律和欧姆定律

如图1所示，油水饱和泥质砂岩单位面积上中的电流强度j为

式中，L21=n1L121为动电耦合系数，σ(ω)=n1σ1(ω)+n2σ2(ω)+n3σ3(ω)为复电导.

油水饱和泥质砂岩中水相渗流流速为

式中，κDw(ω)=n1κ1Dw(ω)为水相有效渗透率，L12=n1L112为电动耦合系数.

油水饱和泥质砂岩中油相渗流流速为

式(34)即为油水饱和泥质砂岩频率域中电流密度的欧姆定律，L21 P z 项表示流动电流；式(35)为油水饱和泥质砂岩频率域中水相渗流流速的达西定律，L12 U z 项表示电渗流；式(36)为油水饱和泥质砂岩频率域中油相渗流流速的达西定律；式(34)~(36)描述了油水饱和泥质砂岩频率域中渗流场和电流场之间的耦合关系.

定义油水饱和泥质砂岩流动电位耦合系数KS：当流过岩样的电流密度为零时，岩样两端的电位差ΔU与作用于岩样两端的流体压强差ΔP之比的负值.故由式(34)得

由上述理论可知油水饱和泥质砂岩中KS是含水饱和度的函数，这里我们引入流动电位相对耦合系数Kr概念，它是泥质砂岩中含水饱和度为Sw时流动电位耦合系数与最大含水饱和度(Sw=1－Sor)时流动电位耦合系数的比值为

流动电位耦合系数KS和相对耦合系数Kr是表征油水饱和泥质砂岩动电耦合能力的两个重要参数.由式(37)知，

3 计算实例

模拟计算时需要给出一组储层宏观储渗参数的数据，用以确定毛管模型中的微观参数.选取的宏观参数如表1所示，利用文献(关继腾等，2010)中的储层孔隙度与渗透率的关系式来确定渗透率k.此外，实际计算中，应将地层中的孔隙度φ、含水饱和度Sw、含油饱和度So、束缚水饱和度Swi、残余油饱和度Sor校正为流体流通通道所占据的φ、Sw、So、Swi、Sor，校正公式分别为φ⇒1－(1－φ)1/3，Sw⇒1－(1－Sw)1/3，So⇒1－(1－So)1/3，Swi⇒1－(1－Swi)1/3和Sor⇒1－(1－Sor)1/3；而由实验室测定的阳离子交换量引入到本文对油水饱和泥质砂岩的计算中应校正为Qv⇒φ·Sw·Qv.

表1 流动电位计算基本参数表 Table 1 Basic parameters to calculate the streaming potential
3.1 油水两相有效渗透率的频散特性

由油水饱和泥质砂岩频率域中油水两相渗流流速的达西定律可知，孔隙中流体的流动受到粘滞力和惯性力的作用，有效渗透率的相位反映了惯性力与粘滞力的比值大小.当有效渗透率的相位等于45°时，粘滞力和惯性力对流体流动的影响相当，此时对应的频率称为临界频率fc.当频率低于fc时，粘滞力对岩石孔隙中流体的运动起到主导作用；当频率高于fc时，惯性力对岩石孔隙中流体的运动起到主导作用.

根据上述理论，从表1中选取相应的参数，改变频率，可得油水两相有效渗透率的频散特性如图2所示，图中模数为孔隙度，实线表示有效渗透率的模值，虚线表示渗透率的相位.从图2中可以看出，随着频率的升高，储层中的流体受到惯性力制约作用的增强，有效渗透率模值随之减小，而其相位逐渐增大，这一规律与文献(Charlaix et al., 1988)中实验所测动态渗透率随外加频率变化趋势相一致.随着孔隙度的增大，流体的渗流能力增强，油水两相各自的有效渗透率模值均增大，而临界频率fc左移减小.对比两图可知，油相有效渗透率的临界频率远高于水相有效渗透率的fc，其原因是油相粘度大于水相粘度导致油相流动受到的粘滞力远大于水相的粘滞力，而油相只能在频率更高时才能使得所受惯性力等于其粘滞力大小.

图 2 有效渗透率的频散特性与孔隙度的关系

(a)水相有效渗透率频散特性；(b)油相有效渗透率频散特性 Fig.2 Relationship between the frequency dispersion characteristics of effective permeability and the porosity (a) Water-phase effective permeability; (b) Oil-phase effective permeability.

改变Sw的大小，可以得到油水两相有效渗透率频散特性随含水饱和度变化曲线，如图3所示.含油储层岩石中水相有效渗透率随含水饱和度的升高而增大，而油相有效渗透率随之增大而减小；由于有效渗透率的相位取决于惯性力与粘滞力之比，因此储层岩石中含水饱和度对油水两相各自的临界频率的无影响，这在图3中得到了印证.

图 3 有效渗透率的频散特性与含水饱和度的关系
(a)水相有效渗透率频散特性；(b)油相有效渗透率频散特性. Fig.3 Relationship between the frequency dispersion characteristics of effective permeability and the water saturation
(a) Water-phase effective permeability; (b) Oil-phase effective permeability.
3.2 含水饱和度对流动电位耦合系数的影响

利用式(37)，改变含水饱和度的大小，可以得到流动电位耦合系数与频率的关系曲线，如图4所示，图中实线表示耦合系数的实部，虚线表示其虚部.泥质砂岩中流动电位是孔隙中离子随流体流动产生的，而流体的流动受粘滞力和惯性力共同支配，因此流动电位频散特性也是这二力相互作用后的体现.当频率较低时，流体受到的惯性力远小于粘滞力，孔隙内流体流动呈现似稳流，离子有足够的时间运移到孔隙两端积累形成较强的流动电位，流动电位耦合系数表现为实部较大，虚部近似为零；随着频率的升高，流体受到的惯性力增强，流体流动震荡加快，越来越多的离子不能到达孔隙两端，耦合系数的实部逐渐减小，而虚部逐渐增大；在高频时，流体惯性力的作用对流体流动起主导作用，孔隙内流体流动震荡剧烈，绝大部分离子没有足够的时间到达孔隙两端积累，从而形成的流动电位较弱，耦合系数实部和虚部逐渐减小趋于零.这一结论与文献(Reppert et al., 2001)得出的结论相一致.另外从图4中可以看出，随着含水饱和度的增大，流动电位增加.其原因是流动电位只能产生在第一类毛管中，随着含水饱和度的升高，第一类毛管数目所占比重增高，从而使得流动电位耦合系数增大，这一结论与文献(Guichet et al., 2003)中实验结果相吻合.

图 4流动电位耦合系数频散特性与含水饱和度的关系 Fig.4 Relationship between the frequency dispersion characteristics of streaming potential coupling coefficient and the water saturation

利用式(39)，计算流动电位相对耦合系数的频散特性如图5所示.从图5中可以看出相对耦合系数随频率几乎无变化.注意到双电层厚度在纳米量级上，且远小于孔隙半径，对式(39)中三类毛管的电导率做近似处理得

图 5 流动电位相对耦合系数的频散特性 Fig.5 The frequency dispersion characteristics of streaming potential relative coupling coefficient

由以上三式可看出，三类毛管的电导率几乎与频率无关，因此流动电位相对耦合系数无频散现象.

从低频到高频依次计算1 Hz，1×103 Hz，1×104 Hz，6×104 Hz(临界频率)，5×106 Hz五个频率下的流动电位相对耦合系数，如图6所示.研究发现不同频率下的相对耦合系数的模值随含水饱和度增加而增大，但在同一含水饱和度下完全重合，即相对耦合系数与频率无关.另外，当孔隙中水相完全以束缚水形式存在时无法流动，不能产生流动电位，这与图6中相对耦合系数在束缚水处急剧减小为零相吻合.Revil 等(2007)和 Guichet等(2003)对饱和含水砂岩进行驱替实验时发现流动电位相对耦合系数随含水饱和度减小而减小，该实验结论进一步证实了本文所建模型的正确性.

图 6 含水饱和度对不同频率下流动 电位相对耦合系数的影响

Fig.6 Relationship between relative streaming potential coupling coefficient and water saturation

图7给出了不同束缚水饱和度下流动电位耦合系数与频率的关系，在含水饱和度一定的情况下，束缚水饱和度升高使得第二三类毛管所占比重增加，第一类毛管数目减少，从而减小了流动电位耦合系数.

图 7流动电位耦合系数频散特性与束缚水饱和度的关系 Fig.7 Relationship between the frequency dispersion

characteristics of streaming potential coupling coefficient and the irreducible water saturation

3.3 水膜厚度对流动电位耦合系数的影响

图8给出了不同水膜厚度下流动电位耦合系数的频散特性.从图8中可以看出，随着水膜厚度的增大，流动电位耦合系数迅速减小.泥质砂岩孔隙壁上的双电层是流动电位产生的基础，由式(9)可知，双电层的作用在远离岩石壁面呈指数衰减，因此双电层穿越的水膜越厚对第一类毛管中可动地层水中的离子分布影响越弱，从而形成的流动电位越小.

图 8 流动电位耦合系数频散特性与水膜厚度的关系 Fig.8 Relationship between the frequency dispersion characteristics of streaming potential coupling

coefficient and the water film saturation
4 结 论

本文通过建立一种新的考虑储层水润湿条件下的毛管模型，将油水饱和泥质砂岩宏观物性参数与微观毛管模型参数联系了起来，推导出了含油岩石频率域中渗流流速的达西定律和电流密度的欧姆定律，从而得出了流动电位耦合系数的表达式，并分析了岩石物性参数对其频散特性的影响，得到以下结论：

(1)在周期性压力场作用下，油水饱和泥质砂岩中水相和油相的流动受粘滞力和惯性力的共同支配.随着频率的升高，流体流动受到惯性力的制约作用增强，有效渗透率和流动电位耦合系数的频散特性体现了这种作用.

(2)随着孔隙度的升高，流体的渗流能力增强，油水两相有效渗透率增大，二者的临界频率减小.水相和油相粘度的差异导致油相的临界频率远高于水相的临界频率.另外，含水饱和度越高，水相有效渗透率模值越大，而油相有效渗透率模值越小，但对二者的相位均无影响.

(3)流动电位耦合系数随着含水饱和度的升高而增大，随着束缚水饱和度的升高而减小；水膜厚度对流动电位效应影响很大，水膜厚度越薄流动电位耦合系数越大.流动电位的相对耦合系数是含水饱和度的函数，无频散现象.

致 谢 感谢审稿专家和编辑部老师提出的建设意见，使本文论述更加清晰.

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