地球物理学进展  2014, Vol. 29 Issue (1): 57-60   PDF    
引用本文
刘全生, 宋健, 杨联贵. Coriolis力作用下的β效应与层结效应的Rossby孤立波[J]. 地球物理学进展, 2014, 29(1): 57-60, doi: 10.6038/pg20140108  
LIU Quan-sheng, Song Jian, YANG Lian-gui. Solitary Rossby waves with beta effect and stratification effect in the Coriolis force. Progress in Geophysics, 2014, 29(1): 57-60, doi: 10.6038/pg20140108   
Coriolis力作用下的β效应与层结效应的Rossby孤立波
刘全生1, 宋健1,2, 杨联贵1     
1. 内蒙古大学数学科学学院, 呼和浩特 010021;
2. 内蒙古工业大学理学院, 呼和浩特 010051
收稿日期: 2013-6-16 修回日期: 2013-9-9 .
基金项目：国家自然科学基金（11362012）、国家自然科学基金青年科学基金（11202092，11301259）、中国科学院海洋环流与波动重点实验室开放研究基金（KLOCAW1108）、内蒙古自然科学基金（2011MS0112， 2012MS0107， 2013MS0105） 和内蒙古自治区研究生教育创新计划研究生科研创新资助项目（1402020201-01007， 1402020201-01006）联合资助.
作者简介：刘全生，男，讲师，主要从事地球流体力学和非线性大气动力学的研究.（E-mailsmslqs@imu.edu.cn）
通讯作者：杨联贵.（E-maillgyang@imu.edu.cn）
摘要：从包含完整Coriolis力的大气运动方程组出发， 利用半地转近似导出了β效应、层结效应和地球旋转水平分量fh共同作用下的非线性Rossby波满足KdV方程以及KdV-mKdV方程.结果表明β效应、层结效应和地球旋转水平分量对Rossby的作用.
关键词： Coriolis力     β效应     层结效应     KdV和KdV-mKdV方程    
Solitary Rossby waves with beta effect and stratification effect in the Coriolis force
LIU Quan-sheng1, Song Jian1,2, YANG Lian-gui1    
1. School of Mathematical Science, Inner Mongolia University, Hohhot 010021, China;
2. College of Sciences, Inner Mongolia University of Technology, Hohhot 010051, China
Abstract: The nonlinear Rossby waves with bate effect and stratification effect in a horizontal component of the earth rotation are studied by using the semi-geostrophic approximate, which have a constant of the Coriolis parameter. The solitary Rossby waves described by KdV and KdV-mKdV equation are derived. The results show the horizontal component, beta effect and stratification effect can be important to the Rossby waves.
Key words: Coriolis force     β effect     stratification effect     KdV and KdV-mKdV equation    

0 引 言

地球流体中，地球旋转对许多现象都有重要的影响，它是通过Coriolis力作用而产生，传统近似是采用准地转近似，即在控制方程中省略了地球旋转作用的水平分量，但从动力学角度而言，一直有争议(Philips 1966，1968；Veronis 1968；Wangsness 1970；Burger 1991；White et al.,1995)对纬向动量平衡的尺度分析说明，对于行星大尺度的大气运动保留地球旋转水平分量的作用是合理的. 现在Coriolis力参数水平分量在地球流体中的重要性得到了广泛的重视(Sun, 1995; Leibovich, 1985; Draghici, 1987; Raymond, 2001; Kasahara, 2003; Durran, 2004; Grimshaw, 1975; Hoskins, 1975; 刘式适等, 1987; 赵强等, 2004). 赵强等人(2004,2008)采用地转近似(Hoskins, 1975, 刘式适等, 1987)给出了完整Coriolis力作用下非线性Rossby波的精确解，杨洁等 (2010)在Boussinesq近似下考虑了无摩擦的Burger模式给出了完整Corilois力和热源影响下超长波的解析解. 他们虽然考虑了Coriolis参数的水平分量对地球物理流体的影响，但忽视了β平面近似模式下β参数随纬度变量y的变化，同时也没有考虑层结效应对Rossby波的影响. 赵强等 (2006)讨论了雅可比椭圆函数在大气和海洋动力学的应用，巢纪平等 (2008)解释了热带扰动在大尺度经圈中的行为，张立凤等 (2011a,2011b)讨论了真实基流中Rossby演变特点，这些说明了大尺度非线性运动的大气特征.随着人类文明的发展加剧了全球变暖和全球海平面大幅度的升高,这都说明地形会随时间发生变化.张永垂等 (2010)利用15年(1993-2007年)月平均的海表面高度(SSH)异常资料，分析了Rossby波的传播作用在中纬度海域的副热带环流中西部和夏威夷岛以东起着重要作用, 刘秦玉等 (2007)根据对卫星观测的海平面高度资料的分析，这两支向东的逆流区Rossby波的特性不同：副热带逆流区70～210天周期振荡对应的Rossby波西传过程中增幅，在台湾以东振幅达到最大；而在夏威夷背风逆流区，70～210天周期Rossby波在西传过程中不出现增幅现象.本文在完整Coriolis作用下，采用半地转方法给出了β效应与层结效应的Rossby孤立波的演变.

1 控制方程

在Boussinesq近似下，绝热无摩擦的完整Coriolis力大气运动方程组为

其中0为位温的典型值，N(z)是Brunt-Vaisala频率，它是表征层结的作用， 是位温，是势函数，f是Coriolis力参数，g是重力加速度，fh是Coriolis参数水平分量，fh=2Ωcos，是纬度.

Grimshaw(1975)指出方程组(1)中fh是常数，f随纬度变化，并且假定Coriolis参数随纬度变化较小，即f=f0+β(y)y， |β(y)y| <0，其中f0是常数，β(y)是纬度变量y的函数.

由文献(赵强等,2008)方程组(1)化为

方程组(2)中包括了重力惯性波和Rossby波两类波动，为了克服准地转模式下波特解不能突出非线性作用的缺点，采用半地转近似. 由于在半地转近似中，非线性平流项的平流风为实际风，被平流风为地转风，因此半地转近似部分考虑了非地转平流效应，它滤去了高频快波，同时又能反映Rossby波的非线性特征，方程组(2)化为

其中,，它们分别是地转风的x,y方向的分量.

从方程组(3)可以得到了大气中地转水平分量、β效应与层结效应下的非线性Rossby波的方程组为

方程组(4)中第一式为地转水平分量与β效应下的涡度方程，第二式是地转水平分量、β效应下的散度方程，对于大尺度运动已将涡度方程的 项中的v和散度方程的 项中的u分别用地转风vg和ug代替(赵强等,2008).

将方程组(4)中的涡度方程化为

方程(5)中算子.

与文献(赵强等,2008)中的方程组(5)相比，在方程组(4)中的涡度方程与散度方程考虑了β效应，即β是纬度变量y的函数与层结效应N(z). 方程组(4)式是完整Coriolis力作用下β效应与层结效应的非线性Rossby波的基本数学模式.

2 KdV、KdV-mKdV方程的导出

设方程组(4)的波动解为(赵强等,2008)

这里，θ是位相函数，k,l,n分别为x,y,z方向的波数，ω是圆频率. 将(6)式代入方程组(4)得

将(7)式中的前三式积分一次(积分常数取为零)得

将(8)式中第三式代入(8)中的第一式和(7)中的第四式，得到

消去(9)式中的Φ，并且在nW+ω≠0的条件下得

其中，F(W)是W的非线性函数，W=0是方程(10)的平衡点，将F(W)在W=0处作Taylor级数展开得

2.1 线性Rossby波

如果(11)式右端只取第一项，得到

(12)式是描述线性Rossby波的常微分方程，它若表示波动，必须要求

(13)式为大气中线性Rossby波的频散关系，它与β效应、层结效应和水平分量fh有关.如果P′(θ),I(θ)为常数，(13)式是大气中三维线性Rossby波的频散关系，它只与地球旋转水平分量有关(赵强等,2008;杨洁等，2010).

2.2 带有强迫项的KdV方程

(11)式的右端取前两项，并对θ求导一次，得

这里，是对θ的一阶导数. 方程(14)是带有强迫项的KdV方程，它是描述非线性Rossby波在β效应、层结效应和完整Coriolis力作用下满足带有强迫项的KdV方程. 如果P′(θ),I(θ)为常数，则强迫项Q1(θ)=0，此时方程(14)为KdV方程，其孤立波解为(赵强等,2008;杨洁等, 2010)

2.3 带有强迫项的KdV-mKdV方程

对(11)式右端取前三项，并对θ求导一次，得

是对θ的一阶导数. 方程(16)是带有强迫项的KdV-mKdV方程，它刻画了非线性Rossby波在β效应、层结效应和完整Coriolis力作用下满足非线性KdV-mKdV方程. 如果P′(θ),I(θ)为常数，则强迫项Q2(θ)=0，此时方程(16)为KdV-mKdV方程，其类孤立子解为(赵强等,2008;杨洁等，2010)

其中

3 结 论

从包含完整Coriolis力和β效应、层结效应的绝热无摩擦的大气运动方程组出发，在半地转近似下利用Taylor级数展开法，得到了非线性Rossby波动满足带有强迫项的KdV方程和KdV-mKdV方程，并给出了没有强迫项时的孤立波解及其类孤立子解. 分析表明，Coriolis参数分量fh、β效应和层结效应对非线性Rossby有影响.

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