2. 黑龙江省油气藏形成机理与资源评价重点实验室, 大庆 163318;
3. 东北石油大学非常规油气研究院, 大庆 163318;
4. 东北石油大学陆相页岩油气成藏与高效开发教育部重点实验室, 大庆 163318;
5. 吉林大学地球探测科学与技术学院, 长春 130021;
6. 东北石油大学数学与统计学院, 大庆 163318
2. Key Laboratory of Oil and Gas Reservoir Formation Mechanism and Resource Evaluation in Heilongjiang Province, Daqing 163318, China;
3. Institute of Unconventional Oil and Gas, Northeast Petroleum University, Daqing 163318, China;
4. Key Laboratory of Continental Shale Hydrocarbon Accumulation and Efficient Development, Ministry of Education, Northeast Petroleum University, Daqing 163318, China;
5. College of Geo-Exploration Science and Technology, Jilin University, Changchun 130021, China;
6. School of Mathematics and Statistics, Northeast Petroleum University, Daqing 163318, China
近年来,混合域空间波数算子被用于地震波场递推,Fowler等(2010)和Du等(2014)将这些方法称为递归积分时间外推(Recursive Integral Time Extrapolation,RITE)法,此类方法能在大时间步长情况下进行地震波场模拟,且不受数值频散干扰.根据对波动方程求解策略的不同,RITE法主要分为两类:
一类方法是基于多项式展开,Tal-Ezer(1986)、Tal-Ezer等(1987)提出利用Chebyshev多项式求解声波波动方程,在此基础上,Kosloff等(1989)提出了快速展开(Rapid-Expansion,RE)法,后被Pestana和Stoffa(2009, 2010)、Pestana和Revelo(2017)应用至逆时偏移方法中;Revelo和Pestana(2019)将RE法推广应用于地震波场的上下行波分离、各向异性介质的逆时偏移成像及噪声压制,实现了该方法在非均匀介质成像领域中的应用;Araujo和Pestana(2020)在RE法中引入完全匹配层(Perfectly Matched Layer,PML)吸收边界条件,显著减少了边界反射干扰;Araujo同年提出使用多倍角公式以及二、四阶泰勒展开式近似余弦算子,提升了RE法的计算效率和精度(Araujo and Pestana, 2019).理论上,RE法可以看做是Lax-Wendroff方法(Lax and Wendroff, 1964;Chen,2011)的一种,即利用等效的空间导数代替时间导数,计算精度和稳定性均优于传统方法中对二阶时间偏导项的直接近似策略.基于多项式展开方法的另一分支,即Zhang和Zhang (2009)提出的一步波场延拓方法,简称一步法(One-Step Wave Extrapolation,OSE),通过构造解析波场,将二阶声波方程转化为单程波方程形式进行求解,进而通过多项式近似实现了地震波场的稳定外推,该方法同样不受数值频散和稳定性条件影响.在此基础上,Revelo和Pestana(2016)提出了OSE矩阵(OSE Matrix,OSEM)解法,通过引入Jacobi-Anger展开式和Chebyshev多项式近似指数算子,求解Zhang(2009)的OSE法方程;该方法后被应用至上下行波分离(宋利伟等,2018)、逆时偏移的存储策略(柯璇和石颖,2017)和成像条件(Revelo et al.,2016)等领域.
另一类方法则是基于低秩分解理论,通过使用低秩分解方法近似空间-波数域地震波场外推算子,此类方法优势在于能够灵活折衷于计算效率和计算精度,实现波场的高效高精度模拟(Fomel et al.,2013).Sun等(2016a)将该方法应用于OSE逆时偏移方法中,以期实现稳定的波场递推和成像算法的同时,降低计算成本.近年来,低秩分解法同样广泛应用于黏声介质、各向异性介质中的地震波场数值模拟和成像算法中(Sun et al.,2015,2016b;黄金强和李振春, 2017, 2019).
本文从声波方程的OSE解法出发,利用欧拉公式将OSE法的复数方程转化为关于虚实波场的耦合方程组,结合多倍角公式将方程组中的简谐函数算子(正弦函数算子、余弦函数算子)转换为关于简谐函数算子的多项式形式;分别采用三、四阶泰勒展开对简谐函数算子多项式进行逐项近似.相比于直接对简谐函数算子应用泰勒展开,能够获得更高的计算精度.针对本文方法进行了稳定性分析,为保证地震波场稳定外推的参数选取提供参考.理论分析和模型测试表明,本文方法计算精度高,且计算效率优于OSEM方法,更适合扩展应用至地震数据正演(Liao et al.,2009;段沛然等,2019;崔晓娜等,2020;刘立彬等,2020)、成像(Shi and Wang, 2016;Chen and Sacchi, 2017;Ke et al.,2018;Zhang and Shi, 2019;Shi et al.,2019;Liao et al.,2017;Li et al.,2020;刘伟等,2020;赵超峰等,2020;Zhang et al.,2020a,2021)、反演(郭雪豹等,2016;Yang et al.,2015; Zhang et al.,2020b)等方法中.
1 方法原理 1.1 OSE法的耦合方程组解法二维常密度声波波动方程可表示为:
(1) |
式中,P(x, t)为压力波场,▽2代表拉普拉斯算子,v(x)为介质速度场,其中x=(x, z),x和z为二维空间笛卡尔坐标,t为时间.
根据Zhang和Zhang(2009)提出的OSE法,构建复数波场
(2) |
式中,Q(x, t)是波场P(x, t)在时间方向的希尔伯特变换,i是虚数单位.方程(1)可重新整理为:
(3) |
式中,
(4) |
引入欧拉公式,式(4)可整理为:
(5) |
分离(5)式中的实部虚部,可以得到两个耦合方程,为便于表述,省略波场中的空间坐标并将其整理为方程组形式:
(6) |
然而,式(6)中的简谐函数算子无法直接进行数值求解,因此,后文将阐述如何利用多倍角公式和泰勒展开式对其进行近似求解.
1.2 简谐函数的多倍角公式和泰勒展开Bromwich和MacRobert(1991)给出了正弦函数多倍角表达式:
(7) |
为简化推导,本文只考虑n为奇数的情况,以保证(7)式中仅包含sin函数.因此,令n=2r+1,其中,r=1, 2, 3…,同时引入Ψr, j,且令:
(8) |
经计算,系数Ψr, j如附录表A1所示,式(7)可整理为:
(9) |
余弦函数多倍角表达式为(Bromwich and, 1991;Araujo and Pestana, 2019b):
(10) |
式中,
(11) |
经计算,系数Γn, j如附录表A2所示,式(10)可整理为:
(12) |
式中,"\"为取余计算.
将公式(9)中的x替换为x/(2r+1),公式(12)中的x替换为x/n,整理可得:
(13) |
(14) |
在阶数固定的情况下,泰勒展开式对小角度的简谐函数的近似效果更好.如图 1所示,当弧度x>1.5时,采用三、五阶泰勒展开式近似sin(x)函数(分别见图 1a中圆形、正三角形符号线),采用二、四阶泰勒展开式近似cos(x)函数(分别见图 1c中圆形、正三角形符号线)所取得的近似精度显著下降;而采用多倍角公式将sin(x)和cos(x)函数分别展开为关于sin[x/(2r+1)]和cos(x/n)的多项式形式后,再进行泰勒展开式近似则能取得较好效果,如图 1a、c中标记为"T(r=1~5)"和"T(n=3~9)"的其他图形符号曲线所示.根据图 1b、d所示的误差曲线也可看出,"多倍角+泰勒展开式"的近似方案能够取得更好的近似效果,且多倍角参数越大,近似效果越好.
因此,利用式(13)、(14)即可将式(6)中简谐函数算子展开,进而对展开所得多项式再逐项进行泰勒展开,能够获得更高的近似精度,下节将对此进行详细论述.
1.3 OSE法的耦合方程组解法为方便表示,引入算子Ir=sin[LΔt/(2r+1)]和On=cos(LΔt/n),并将式(13)和(14)代入式(6),可得:
(15) |
方程组(15)是本文方法的基本框架,其中,Ir和On则可应用诸如泰勒展开式、Chebyshev多项式、Hermite展开式或Legendre展开式等多项式形式近似求得.本文分别采用三、四阶泰勒展开式近似Ir、On,则有:
(16) |
(17) |
式中的拟微分算子L,很难在空间域直接求解,需在波数域进行计算,即:
(18) |
式中,FT和IFT分别代表正、反傅里叶变换.将式(16)和(17)代入方程组(15)中,并将其写为波数域形式,可得:
(19) |
式中,
为此,本文将方程组(19)
中的泰勒展开项进行展开并重新整理为关于
(20) |
式中,S和C分别为整理后的多项式系数.上标代表泰勒展开的阶数,下标r和n分别表示正、余弦算子的多倍角参数,m为多项式的项数序号,经计算,本文给出了关于Sr, m3和Cn, m4的系数表,详见附录表A3、A4.
理论上,方程组(20)完全等效于方程组(19).然而,由于方程组(20)中,经泰勒展开的正弦、余弦算子项被重新整理为关于
本节分析了所提出方法的稳定性条件,应用平面波方程
(21) |
具体推导过程详见附录B.随着vkΔt的增大,算法稳定的条件是式(21)中不等号左侧多项式的值应分布于区间[-1, 1]内,根据式(21)所绘曲线如图 2所示.
显然,图 2中,不同的多倍角参数r、n会导致曲线在区间[-1, 1]内延伸的长度不同,且延伸长度与r、n呈正相关,表明r、n的值越大,算法的稳定性越强.但需要注意的是,采用较大的多倍角参数能够提升算法的稳定性,但会随之带来更高的计算成本.根据式(21),可计算得出选取不同的多倍角参数r、n后,算法能容许的最大vkΔt值,如表 1和表 2所示.
实际应用中,在确定了模型参数的情况下,即可计算出最大速度vmax
基于方程组(20)的波场延拓方法实现如流程1所示.
由于RITE波场模拟方法中的拟微分算子需在波数域进行求解,因此需要进行多次傅里叶变换计算.本文方法中:①采用欧拉公式对方程(4)中的指数项进行展开,提出了基于多倍角公式OSE法的方程组解法,可对不同传播时间的实波场P(t)和虚波场Q(t)及其拟微分算子实现解耦计算,而这在OSEM法中是无法实现的(Revelo and Pestana, 2016);②在此基础上,如前节所述,通过将方程组(19)转化为方程组(20)的形式,使得本文方法在进行编程实现时,能够大幅减少正傅里叶变换次数,提升算法的执行效率.
为便于分析本文方法对一步法计算效率的提升,在满足稳定性条件的情况下,将本文方法与OSEM法(Revelo and Pestana, 2016)进行对比.通过比较二者所需的傅里叶变换次数来评估算法的计算成本,结果如表 3所示.
可以看出,随着vmaxkNyquistΔt的增加,两种算法均需引入更多次的傅里叶变换以维持算法稳定,当vmaxkNyquistΔt较小时,二者所需的傅里叶变换次数相当,随着vmaxkNyquistΔt的增大,本文提出的算法的计算量要明显小于OSEM法.
2.2 匀速介质模型测试采用3000 m·s-1的匀速介质进行测试,模型网格尺寸为201×201.水平和垂向空间网格间距均为20 m,采用主频8 Hz的雷克子波作为震源子波,布置于(x,z)=(2 km,2 km)处.截取400 ms时波场快照,如图 3所示,当多倍角参数为r=4、n=5,时间步长分别选取1 ms、2 ms、4 ms和8 ms时,根据所得波场快照可知,即使给定较大时间步长,本文方法仍能保持稳定的波场外推,且所得结果与应用小时间步长参数时无明显差异.
为进一步分析本文方法的计算精度和稳定性,采用相同的模型参数,并在(x, z)=(2 km,1.6 km) 位置处设定检波器用于记录采用不同参数时所得的单道地震记录.由于时间步长越小,波场模拟的数值结果越接近解析解,因此在本次测试中,选择时间步长为1 ms时,OSEM法所得结果作为参考解,如图 4a—d中的方形符号曲线所示.
时间步长分别选取为1 ms、2 ms、4 ms和8 ms,多倍角参数设置分别为r=1,2,3,4和n=2,3,4,5的组合时,所得结果如图 4所示,采用不同参数的情况下,本文方法均能实现波场的稳定模拟,且各组合方案所得结果均与参考解无明显差异.
为进一步验证本文方法的适用性,模型参数保持不变,分别采用一、二阶泰勒展开近似公式(15)中的正、余弦算子,具体推导过程不再赘述,多倍角参数选取为r=4和n=8,分别选取了1 ms、2 ms、4 ms和8 ms的时间步长参数进行波场模拟测试.所得结果如图 5a—d所示,根据波场快照可以发现,即使一定程度上降低泰勒展开阶数,采用不同时间步长参数的情况下,本文方法均能保持稳定的波场外推,所得结果间并无明显差异.
在(x, z)=(2 km,1.6 km)位置处设定检波器记录采用不同参数时所得的单道地震记录,测试结果如图 6a—d所示,当时间步长为1 ms、2 ms和4 ms时,本文选取的几组多倍角参数组合方法均能实现波场的稳定模拟,且各组合方案所得结果均与参考解无明显差异,如图 6a—c所示.当时间步长取8 ms时,较小的多倍角参数无法满足稳定性条件,因此仅展示r=3、n=6和r=4、n=8时所得单道地震记录,如图 6d所示,所得结果与参考解整体匹配较好,局部放大后,虽然波场模拟结果和参考解存在稍许误差,但仍在可接受范围内.
选用Marmousi模型,如图 7a所示,对本文方法和OSEM法进行波场模拟的对比测试,以比较分析两种方法的计算量.速度模型网格尺寸为水平方向737×垂直方向240,水平和垂向空间网格间距均为20 m.在(x, z)=(7 km,2 km)位置处载入主频为10 Hz的雷克子波作为震源.时间步长为2 ms,计算得出vmaxkNyquistΔt=2.44.因此,为满足稳定性条件,本文方法的参数选取为r=0、n=1;OSEM法的参数选取为M=3(Revelo and Pestana, 2016).两种方法的结果几近相同,均能稳定精确地模拟地震波场,如图 7b—c所示.在(x, z)=(7 km,1.6 km)位置处设定检波器记录所得的单道地震记录,如图 7d所示,本文方法所得结果与参考解匹配一致.然而,通过对本次测试所需计算量和实测计算耗时对比,如表 4所示,可知在每个时间步长内的计算中,本文方法需要更少的傅里叶变换计算,具有更高的计算效率;通过归一化整体计算耗时进行对比,本文方法的计算耗时也明显更小,且耗时比例与各方法所需傅里叶变换次数比例相近,也侧面印证了傅里叶变换计算贡献了算法的主要耗时.
(1) 本文首先以OSE法为理论基础,提出了一种方程组解法并采用多倍角公式和泰勒展开进行求解.相比于OSEM法,本文方法能够显著减少算法所需傅里叶变换次数,提升算法执行效率;推导了所提方法的稳定性条件,以量化本文所提出的波场外推算法的稳定执行标准.为提升本文方法的可复制性,给出了伪代码流程;多个模型测试表明,本文方法能够适应大时间步长条件下的波场稳定模拟,对简单、复杂构造介质均具有良好的适应性.
(2) 本文所提方程组解法和多倍角公式的联合可作为一种理论框架,框架内可应用其他多项式进行简谐函数算子的近似求解,而不仅限于泰勒展开式;另外,针对方程组(20)中多项式系数可进行优化,以提升算法的稳定性,但相关内容本文尚未涉及,有待进一步研究.
附录A均匀介质情况下,将方程组(6)转换至波数时间域形式:
(B1) |
式中,
分别将
(B2) |
(B3) |
代入方程组(B1),其中i是虚数单位,能够得到:
(B4) |
化简方程(B4),能够获得:
(B5) |
采用欧拉公式展开(B5)中的e指数项,可得:
(B6) |
分别令(B6)中等号左右两侧实部虚部对应相等,可得:
(B7) |
对于任意正弦、余弦函数,其函数值应在闭区间[-1, 1]内,即:
(B8) |
应用三阶、四阶泰勒展开近似sin(vkΔt)和cos(vkΔt)项,结合多倍角公式,经过推导可获得稳定性条件为:
(B9) |
式中,Sr, m3和Cn, m4详见附录A.针对不同的模型参数vkΔt,为满足稳定性条件,通过数值计算,能够确定不等式组(B9)中多项式项数r和n,详见表B1和B2.
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