0 引言

重力场既是星体形状的反映，也是星体内部物质分布的外部表现.月球是地球的天然卫星，两者的近似形体为旋转椭球.由于椭球的“正常”重力场与实际重力场相差很小，因此可将其实际重力场规则化，即重力场分为规则部分的正常重力场与非规则部分的异常重力场.在实际重力场分离出正常部分之后，剩下的一小部分重力异常或重力扰动的确定就会比较简单(Heiskanen and Moritz, 1967).

求取正常重力时，Clairaut定理给出了一套严密且完整的计算公式.对正常重力的研究，主要集中在Clairaut公式的泰勒级数展开及适用于特定椭球的系数求解(魏子卿，2003；骆迪等，2012)、正常重力对弹道计算的影响分析(林献武等，2009)等.

探月卫星发射以前，月球的重力值主要是将已知的物理参数代入Clairaut定理计算得到.Grushinskii和Sagitov(1962)通过计算发现，月球上两极重力值小于赤道重力值这一独特的现象，这与在地球上计算的规律完全相反.受当时观测技术的限制，计算月球正常重力时使用的参数精度较差，且月球上还无实测重力观测值对这一现象进行验证.从20世纪60年代开始到现在，Clairaut定理一直在使用，除早期部分论文(Mikhailov，1966)对引起的原因进行概述外，近50年来还鲜有文献对月球两极的正常重力小于赤道正常重力这一特殊现象进行详细的讨论.新近月球探测任务GRAIL(Gravity Recovery and Interior Laboratory)、LRO(Lunar Reconnaissance Orbiter)、嫦娥计划等卫星获取了高精度的月球重力、形状等数据(李斐等，2016；Goossens et al., 2019；Barker et al., 2016；李春来等，2018)，为更加精细地探究月球和地球正常重力的特征差异提供了机遇.本文主要借助于新近获取的重力数据及其他月球参数，计算月球和地球正常椭球所产生的正常重力，详细分析造成两极和赤道正常重力大小出现反趋势的原因，以期更好地为月球重力场及其内部结构反演解释提供可靠的理论支撑.

1 正常重力

正常椭球体是水准椭球，也是旋转椭球，其椭球面为等位面.根据Clairaut定理，下面三个参数即可确定正常重力场的等位函数：(1)旋转椭球的形状(椭球长短半径)；(2)总质量；(3)角速度.通过推导，可得到正常椭球的正常重力位(Heiskanen and Moritz, 1967)为：

(1)

其中a、b为椭球的长短半径，kM为引力常数与质量的乘积，，μ为计算点的矢径长，在椭球面上，μ=b，β为归化纬度，ω为自转角速度，q和q₀表示为：

(2a)

当μ=b时：

(2b)

在椭球坐标系下求导数，并经过变化，得到：

(3)

赤道上β=0：

(4)

两极上β=±90°：

(5)

其中：

(6)

(7)

(8a)

当μ=b时：

(8b)

将(4)和(5)式代入(3)式，得到正常椭球上每一点的正常重力，表示为：

(9)

在椭球中，地理纬度φ和归化纬度β的关系为：

所以：

(10)

通过简化得到(Heiskanen and Moritz, 1967)：

(11)

式中γ_a为赤道上的正常重力，f为参考椭球的形状扁率，φ为纬度，m由公式(12)计算得到：

(12)

令：

(13)

(14)

(15)

代入公式(11)，得到：

(16)

其中，描述了重力扁率的大小(Heiskanen and Moritz, 1967).

2 月球和地球正常重力特征差异

公式(11)描述了正常重力随椭球扁率、自转速度和纬度的关系.为了方便将月球和地球的正常重力进行比较，表 1给出了利用月球和地球相关系数(欧阳自远, 2006; 丰海等, 2013)计算的f、ω和m等参数的数值.

将表 1中的参数代入式(16)，可以得到月球和地球的正常重力值与纬度的关系：

(17a)

(17b)

公式(17a)和(17b)描述了月球和地球的正常重力随纬度的变化，如图 1所示，月球和地球的正常重力随纬度变化显示出了一种相反的趋势，月球的正常重力随纬度的增加而减小，而地球的正常重力随纬度的增加而增大.月球上，在赤道处φ=0°，γ=162.54 Gal；在两极φ=±90°，γ=162.35 Gal，月球两极的正常重力小于赤道处的正常重力，差值大约在0.19 Gal.而地球上，在赤道处φ=0°，γ=978.04 Gal；在两极φ=90°，γ=983.79 Gal.地球两极的正常重力大于赤道处的正常重力，差值大约在5 Gal.从直观原因上分析，主要是因为：

(18)

月球上，f比m大两个数量级，f^*＜0，赤道上的正常重力大于两极处的正常重力，而地球上，f与m在数值上基本相等，＞0，即f^*＞0，赤道上的正常重力小于两极处的正常重力.同时，由公式(12)可以看出，m的大小描述了赤道的离心力占引力的大小，在月球上，m值非常小(O(10^-6))，离心力是可以忽略不计的.因此，在一般的月球重力场研究中，只考虑了月球的引力场，而并没有考虑离心力场，但在地球上，离心力场是不可以忽略的.

月球和地球的正常重力大小随纬度的变化出现了相反的趋势，进一步对太阳系内火星和水星的正常重力进行了计算，结果如图 2所示.通过分析发现，火星正常重力随纬度的变化与地球的趋势相同，而水星正常重力随纬度的变化与月球的变化趋势相同.

月球和地球的正常重力随纬度的变化呈现了相反的趋势，月面和地面实测重力是否会出现上述反趋势现象？图 3显示了由GRAIL重力卫星获取的高精度重力场模型(Goossens et al., 2019)延拓计算的月球0°和180°经线在实际月面与半径为1738 km球面上的实际重力加速度随纬度的变化，从图中可以看出，实际的月面重力并没有表现出正常重力两极和赤道对应的大小关系.主要是由于月球两极的正常重力与赤道处的正常重力只差约0.2 Gal，而地形和局部密度差异造成的重力影响远大于0.2 Gal.图 4显示了高精度EGM2008重力场模型计算的地球0°和180°经线上地面的实际重力随纬度的变化，从图中可以看出，实际的重力与其正常重力在两极和赤道的对应大小关系相似.

3 月球和地球正常重力随纬度变化的反趋势原因分析

式(3)中，当所求正常重力的旋转椭球形体确定后，a、b、m和e′为一固定值，只有q′₀和q₀为级数的表达式，因此在月球和地球正常重力的反趋势分析中，首先要分析截断误差的影响是否会对最后结果产生影响.其次，需要分析a、b、ω三者如何变化会对正常重力造成反趋势的影响.最后，讨论现有的扁率与角速度关系是否适用于Clairaut定理的假设.

3.1 截断误差的影响

由公式(2a)、(2b)、(8a)、(8b)可知，q′和q₀为的函数，arctan(x)利用泰勒展开可表示为：

因此：

(19)

在月球上，取a=1737400 m、b=1356590 m，则：

(20)

在地球上，取a=6378388 m、b=6356912 m，则：

(21)

将式(20)和(21)代入式(19)，为了减少截断误差的影响，(19)式截断至100阶，得到：

上述两值代入式(2a)、(2b)、(8a)、(8b)，得到：

(22)

(23)

将(22)和(23)代入(4)和(5)，计算得到：

同上，当(19)式只截取至前3项时，得到：

γ_a和γ_b分别为赤道处和两极处的正常重力，从不同的截断效果看，截取至100项和截取至3项的差异不大，截断误差并没有造成月球和地球正常重力大小的趋势改变.

3.2 椭球长短半径和自转角速度的数值选取对正常重力计算的影响

已知旋转椭球的形状(椭球长短半径)、总质量和自转角速度即可求定正常椭球各处的正常重力.给定行星总质量的条件下，行星的形状和自转角速度会影响正常重力的计算结果.

为了分析这两个因素对正常重力的影响，本节选取了与月球质量相等、赤道半径与月球赤道半径相等的正常椭球为例来说明行星形状(由形状扁率表示)和自转角速度的取值对正常重力计算的影响，如图 5所示.分别选取不同行星形状和自转角速度计算两极和赤道处的正常重力，并将赤道处的正常重力与两极处的正常重力作比，即：

(24)

如果k＞1，说明赤道处的正常重力大于两极处的正常重力；如果k＜1，说明赤道处的正常重力小于两极处的正常重力.同时，为了更直观地描述正常椭球形状，在给定一个半轴长的条件下，形状扁率的变化也转化成另一个半轴长的变化.

从图 5中可以看出，形状扁率和自转角速度对正常重力的在赤道处和两极处的大小关系都有贡献.

为了能够更加直观地说明形状扁率和自转角速度这两个因素对正常重力变化的贡献，下面分别予以分析讨论.

(1) 固定形状扁率，变化自转角速度

在与自转轴平行的半轴长小于月球赤道半径情况下(月球赤道半径a=1737400 m，与自转轴平行的半轴长b=1727400 m)，图 6显示了k值随自转角速度的变化情况，从图中可以看出，自转角速度越大，k越小，出现了从k＞1到k＜1的变化.

当与自转轴平行的半轴长大于月球赤道半径时(月球赤道半径a=1737400 m，与自转轴平行的半轴长b=1747400 m).图 7显示了k值随自转角速度的变化情况，从图中可以看出，自转角速度越大，k越小，但均是k＜1.

图 8比较了当与自转轴平行的半轴长等于月球极半径情况下(月球赤道半径a=1737400 m，与自转轴平行的半轴长b=1735600 m)，k值随自转角速度的变化情况，从图中可以看出，当自转角速度大于10^-5 rad·s^-1时，k值由大于1变为小于1，自转角速度越大，k值变化得越小.当角速度等于月球的自转角速度w=2.66×10^-6 rad·s^-1时，k＞1，出现了上面讨论的赤道正常重力大于两极正常重力的情形.

(2) 固定自转角速度，改变形状扁率

当固定角速度时，k值与自转轴平行的极半轴长度成线性关系.如图 9所示，当自转角速度等于地球的自转角速度，随着与自转轴平行的极半轴长度增大时，k值线性减小，k值从大于1转变为小于1.图中直线突变的地方是在循环计算时，当长短半径近似相同，即接近圆球的时候，出现在了公式(7)、(8a)、(8b)的分母中，导致计算出现不稳定，直接计算出的数值应该剔除.在这种情况下，两极和赤道的引力是相同的，不同的是赤道处有离心力，此时：

(6)

因为m为正值，此时k也是小于1，在图 8中可直接替换原先直接计算的k值.

图 10中自转角速度等于月球的自转角速度，当与自转轴平行的极半轴长增大时，k值线性减小，k值从大于1变为小于1，但是并没有出现图 8突变的部分，主要是自转角速度变的很慢，离心力占的比例已经不是很大.

综上，构成正常椭球的形状和角速度的不同数值选取对正常重力随纬度变化的趋势关系有很大的影响.

3.3 Clairaut定理的适用性

从图 8中可以看出，对于现今月球的质量和形状，要维持两极正常重力大于赤道正常重力的情形，自转角速度ω需要维持在10^-5 rad·s^-1以上，而现今月球的ω只有2.66×10^-6 rad·s^-1，月球形状和角速度变化的协调关系成为了与地球正常重力特征反趋势的主要表观因素.根据行星流体静力学平衡简要判定条件(Mikhailov, 1966)：

(25)

其中m为公式(5)所示的离心力占引力的比重，f为形状扁率.在地球上，将表 1所示的参数值代入，得到4.25×10^-3＞f＞1.7×10^-3，f_地=3.4×10^-3满足此条件，属于流体静力学平衡的星体.在月球上，9.5×10^-6＞f＞3.8×10^-6，而f_月=5×10^-4不在此范围区间，不属于流体静力学平衡的星体.根据张承志和沈玫(1988)、张承志(1993)推导计算，月球满足流体静力学平衡时推导的月球物理参数与月球实测地球物理参数有一定的偏差，由此也证明了月球并不是处于流体静力学的平衡状态，而地球是属于流体静力学平衡的天体.

根据Clairaut建立的天体形状理论，Clairaut定理是在流体静力学平衡的条件下形成的正常重力及形状求解理论.因此，从严格意义上讲，Clairaut定理并不适应于月球，这个结论与早期的观点保持一致.但在实际重力异常计算中，还在使用Clairaut定理计算正常重力场，主要是因为正常重力场仅作为参考场，且在两极和赤道上造成的反趋势效应很小，对利用重力异常研究内部结构的影响微乎其微.

4 结论

月球和地球的正常椭球是与这两个天体较为接近的规则椭球.通过比较月球和地球正常椭球所产生的正常重力发现：月球和地球的正常重力大小随纬度的变化出现了相反的趋势，月球上两极处的正常重力小于赤道处的正常重力，地球上两极处的正常重力大于赤道处的正常重力.分析表观原因，主要是构成正常椭球的椭球扁率和自转角速度的取值不同会导致正常重力随纬度变化趋势的差异，而模型构建时的截断误差很小，不足以产生反趋势的影响.更深层次的原因主要是地球满足流体静力学平衡条件，而月球并不满足，即Clairaut定理在月球上并不严格适用，需要探索一种新的计算理论来准确地表达月球的正常重力.