2021, Vol. 64
2. 军事科学院战争研究院, 北京 100091;
3. 自然资源部海洋环境探测技术与应用重点实验室, 广州 510300;
4. 95948部队, 兰州 732750;
5. 93920部队, 西安 710061;
6. 92292部队, 青岛 266000
2. Institute of War, Academy of Military Sciences, Beijing 100091, China;
3. Key Laboratory of Marine Environmental Survey Technology and Application, Ministry of Natural Resources, Guangzhou 510300, China;
4. 95948 Troops, Lanzhou 732750, China;
5. 93920 Troops, Xi'an 710061, China;
6. 92292 Troops, Qingdao 266000, China
地磁场同重力场一样，也是地球的基本物理场之一，在地质与板块研究、矿产资源勘探、地磁导航等领域发挥着重要的应用价值.随着国际上对卫星磁力测量研究的逐步深入以及更多高精度卫星磁测数据的积累，如何有效利用和挖掘卫星磁测数据中的地磁场信息，成为亟待进一步研究的重要课题(徐文耀，2009；Hulot et al., 2010; 常宜峰，2015).相比于海洋磁测、航空磁测和地面磁测，卫星磁测是唯一可以快速获得全球均匀分布磁测数据的有效方法.利用卫星磁测数据不仅可以构建全球主磁场模型，同时也可研究全球范围内地磁异常场的分布情况，以及空间电离层、磁层等外源磁场的结构及特点(Langlais et al., 2010；Alken et al., 2015；Sabaka et al., 2015；Vigneron et al., 2015).
国内外学者都对卫星磁测数据处理及其相关应用方面进行了研究.安振昌等(1998)使用冠谐分析法对欧洲及其相邻地区MAGSAT卫星黎明资料处理，获得1°×1°卫星磁异常网格值.综合IGRF模型数据和MAGSAT卫星实测地磁数据，左文辑和宋福香等(2000)利用扩展卡尔曼滤波算法来确定卫星的位置和速度，实现微小近地卫星自主导航.Hulot等(2002)利用MAGSAT和Oersted卫星磁测数据进行了地球磁场电流衰退研究.Macmillan和Thomson等(2003)经过对MAGSAT、Oersted以及地磁台站观测数据处理，研究了地壳磁场变化和时间的相关性，分析得出磁层磁场和电离层可能是地壳磁场产生变化的主要原因.Maus等(2009)联合利用台站、CHAMP卫星、船载和航空等磁测数据，构建了全球地磁异常网格图(Earth Magnetic Anomaly Grid 2，EMAG2)模型，精度约2弧分.针对球谐函数仅能对卫星磁测数据低频率球面场进行拟合的问题，王慧琳(2010)提出多尺度混合球面小波方法来融合卫星、航空、地面以及海洋等多源磁测数据，完成低中高三种频率的空间局部地磁数据拟合.康国发等(2010)利用CHAMP卫星磁测资料构建了高阶地磁场模型POMME-4.2S，并针对中国及其邻近地区400 km高度的卫星磁异常和垂直梯度进行了计算分析，得出岩石圈构造与磁异常存在相关性.白春华等(2011)系统总结了CHAMP卫星磁测数据处理方法对地磁场建模的影响，重点研究了如何剔除来自电离层和磁层等外源场的噪声干扰、海洋潮汐引起的地磁信号和模型估计需要顾及高度偏差等方面.区家明等(2012)结合CHAMP卫星与地磁台站的磁测数据构建了中国及邻近地区的岩石圈磁场模型，得到的磁场模型空间分辨率达到150 km.罗开奇和张有明(2012)研究了卫星磁测数据的通化处理技术，构建了川滇地区的泰勒多项式模型，为卫星磁测数据的广泛应用提供了新思路.冯丽丽(2015)综合利用卫星和地面的磁测数据资料，构建了中国及邻近地区的谐和样条地磁模型.杜劲松和陈超(2015)指出卫星磁测数据在全球岩石圈磁场建模方面具有独特优势，详细研究等效源方法在卫星磁测数据处理方面的进展，为卫星磁测数据的标定、数据筛选及主磁场改正等技术的改进提供重要参考.Kotsiaros等(2015)利用近14个月的Swarm卫星磁测数据恢复的岩石圈磁场只达到70阶，但由反演结果可以得出在内源场的建模中，差分地磁梯度数据发挥了重要作用.姜乙等(2015)结合CHAMP的卫星磁测数据和地面台站数据，通过球谐模型建立了全球的大尺度地磁场模式，并计划开展模型磁场数据的实时3D显示等工作.在假设CHAMP卫星498个网格测点位于同一高度(307.69 km)的基础上，基于该卫星的矢量数据，Feng等(2016)结合最新的IGRF12模型构建了2010.0年中国地区的卫星磁异常球冠谐(SCH 2010)模型，可反映地磁场更多细节信息.利用CHAMP卫星地磁总强度F的观测数据，王粲等(2017)通过相关参数选取地磁活动相对平静期间的卫星磁测数据，剔除主磁场和外源场部分信息得到中国及邻区的地磁异常分布.冯彦等(2018)等基于三个高度的数据，包括地面实测数据以及子午工程测点数据，CHAMP卫星高度实测数据，并结合高空的IGRF12(International Geomagnetic Reference Field 12)数据点，首次建立了中国地区地磁场3D Spline模型，结果表明该模型在不同高度的模拟结果取决于相应高度的地磁实测值数量和精度.
从前期的研究可以看出，很多学者在卫星磁测数据的处理、卫星磁测数据高精度地磁场模型的构建等方面做了大量工作.为了反演出更加精细的地壳磁场模型，就需要获得具有一定强度、包含较宽频率范围的磁测卫星观测信息，这和卫星轨道的高度设计紧密相关.然而磁测卫星在不同的轨道高度下得到的观测信息是不同的.通常，磁测卫星的轨道高度选择范围为距地球表面约1000 km以内的近地圆形极轨模式.当卫星轨道较低时，磁测数据可以敏感到更加精细的高频地磁场信息成分，但由于空气阻力等因素的存在导致磁测卫星寿命缩短，不能进行对地长期观测.而当卫星轨道较高时，一方面，磁测数据会对地壳磁场的敏感性大大降低；另一方面，由于太阳风磁场的影响，磁测数据质量会受到严重影响.
因此，建模目的不同，对于卫星轨道的高度选择也会有所不同，就需要进一步研究分析卫星轨道高度对地壳场反演的影响.研究如何设计更加合理的卫星轨道高度显得十分必要，本文通过仿真和实测实验来研究卫星轨道高度对地壳磁场反演的影响，为我国磁测卫星系统总体设计提供一定的参考.
1 基本原理地磁场的磁位势满足高斯理论，磁位势U的表达式为
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(1) |
其中，r是极径，θ是余纬(θ=90°－φ)，λ是地理经度，Pnm(cosθ)为半标准化缔合勒让德函数，gnm, hnm表示内源场高斯系数，N是截断阶数，R是地球半径.
对磁位势U在X、Y、Z三分量方向上分别进行求导，就可以得到磁位势U在X、Y、Z方向上三分量的表达式为
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(2) |
若已知高斯系数Pnm和hnm，则利用式(2)可求得任意位置处的地磁三分量模型值.由地磁场总强度F与X、Y、Z三分量之间的变换关系，可得地磁场总强度F的模型计算值
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(3) |
根据式(3)计算，即可得全球地磁场总强度F的模型值.
1.1 地壳磁场的反演由高斯位势理论，根据式(2)将地磁场X、Y、Z三分量卫星磁测数据联立观测方程组，通过最小二乘原理可求得地磁场模型Pnm和hnm的值.
1.2 ML地磁能谱Mauersberger和Lowes于1974年引入地磁功率谱(Mauersberger-Lowes spectrum，ML能谱)来描述球谐系数阶数与功率谱之间的变化关系(Langlais et al., 2013).即由某一阶数n对应的所有次数m的Pnm和hnm值，可得到该阶数对应的ML能谱，表达式如下：
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(4) |
其中，r是研究球层的高度，Rn即为与球谐系数阶数n相关的ML能谱.
由式(4)可得，位系数的平方和会随阶数的增大而减小.同时，系数因子(n+1)(R/r)2n+4呈现出指数变化的趋势，通常有r≥R.因此ML地磁能谱是随着高度增大而逐渐减小的.
1.3 线性拟合趋势项基于反演得到的地壳磁场Pnm和hnm的ML能谱值，利用线性拟合的方法可得n与Rn之间的变化关系.由线性拟合的结果，可得出整个反演地壳磁场模型的ML能谱变化趋势.
综上，卫星轨道高度与地壳磁场反演阶数间的关系分析步骤总结如下：
① 由卫星观测得到每点X、Y、Z三分量的磁测数据，根据式(2)列立方程组，将高斯系数作为未知参数改写成标准的观测方程.
② 通过最小二乘原理，对观测方程进行求解，可得高斯系数.
③ 基于不同阶数的高斯系数，根据式(4)求得不同阶数对应的ML能谱值.
④ 根据所求n与Rn之间的变化关系，对散点进行线性拟合，得到ML能谱的变化趋势.
2 轨道高度仿真数据分析首先介绍实验所用卫星磁测数据的仿真方法及特点，其次分析了不同轨道高度所测得F的变化特征，最后利用本文所提出的方法研究了不同轨道高度的卫星磁测数据反演得到的地壳磁场最大阶数问题.
2.1 仿真数据的生成基于卫星地磁场模型POMME-11，选取球谐系数中16~133阶的位系数，根据式(2)仿真计算出全球地壳磁场X、Y、Z三分量.参考POGO、MAGSAT、Oersted、SAC-C、CHAMP和Swarm等磁测卫星的基本轨道参数，分别选取250 km、350 km、450 km、550 km、650 km、750 km、1050 km等高度的1°×1°均匀格网点来模拟不同磁测卫星的轨道测点，并结合由式(2)仿真得到的全球地壳磁场X、Y、Z三分量，即得卫星磁测的仿真数据.根据卫星磁测数据预处理的数据筛选方法(杜劲松，2015)，对磁测数据进行时间格式和坐标系统的统一，顾及纬度条件选取纬度范围±86°以内的卫星磁测数据，得到不同高度下的卫星磁测仿真数据.
2.2 轨道高度与地磁场总强度F的关系选取0°经线上不同纬度处的特征点，并以20°为步长计算纬度范围为-74°~86°的9个特征点的F值来对比不同高度和纬度处F值的变化特征，结果如图 1.
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图 1 不同高度下F的变化特征 Fig. 1 The variation characteristics of F at different altitudes |
不同的颜色曲线表示不同纬度下特征点的F值随高度的变化情况.由图 1可得，在相同纬度情况下，随着轨道高度的增加，F值均随着轨道高度增加呈现出减小的趋势；在不同纬度情况下，与中低纬度地区的F值相比，高纬度地区的F值波动范围更大；在相同轨道高度情况下，两极方向的高纬度地区F值要大于对应的低纬度地区F值.
2.3 不同高度仿真磁测数据反演结果比较选取轨道高度分别为250 km、350 km、450 km和750 km的卫星磁测数据，分别反演出不同轨道高度下相应地壳磁场的高斯系数.通过ML能谱分析法计算得到不同轨道高度下对应的ML能谱变化曲线，并利用线性拟合法给出不同曲线的变化趋势项特征，结果如图 2.
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图 2 不同轨道高度下的地磁ML能谱分布 Fig. 2 The distribution of geomagnetic ML energy spectrum at different orbital altitudes |
图 2下半部分的4条实线分别表示在不同轨道高度下卫星磁测反演得到的高斯系数ML能谱分布，4条实线相对应的虚线部分能够有效刻画出往高阶方向反演得到的变化趋势.由于卫星和地面之间高度差的存在，导致观测到的地壳磁场信息有所衰减，进而其ML能谱值要比实际的地壳磁场的ML能谱值小，并随着轨道高度的增加呈现出下降的趋势.只有当ML能谱标准大于0.1 nT2时，才能探测到各轨道高度处反演能力的趋势变化特征(冯彦等，2014).将ML能谱标准的下限取为0.1 nT2时，轨道高度250 km、350 km、450 km和750 km对应的最高反演阶数分别为163阶、108阶、86阶和42阶.结果反映了不同轨道高度下，通过卫星磁测数据反演地壳磁场最大阶数的能力.
对不同轨道高度与地壳磁场反演最高阶数间的数值关系进行曲线拟合分析，得出卫星轨道高度与地壳磁场最高反演阶数间的变化关系曲线，结果如图 3.
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图 3 轨道高度与反演阶数间的变化关系曲线 Fig. 3 The relationship between orbital altitude and inversion order |
很明显，由图 3可得，随着卫星的轨道高度降低，地壳磁场的最高反演阶数会逐渐增大.由轨道高度与反演阶数间的变化关系曲线，可以发现反演阶数的增长幅度变化存在一个临界值.根据拟合曲线的斜率变化情况，通过比较分析，当轨道高度大于450 km时，拟合曲线的斜率较大，即随着轨道高度的降低，反演阶数的增长幅度相对平缓；而当在轨道高度小于450 km时，拟合曲线的斜率明显缩小，即随着轨道高度的降低，反演阶数的增长幅度逐渐变大.因此，可以将轨道高度450 km作为卫星磁力测量系统轨道高度设计的参考高度，同时这也与当前主流的CHAMP和Swarm磁测卫星的轨道高度保持一致.
3 轨道高度实测数据分析MF系列地磁场模型是使用了不同时间段内的CHAMP卫星磁测数据进行反演得到的地壳磁场，随着后期卫星轨道高度的逐渐降低，MF系列模型所对应的卫星平均轨道高度也是逐渐减小的.随着卫星轨道高度的降低，使得CHAMP卫星对高频的地磁场信息更加敏感，相应地卫星磁测数据中也就包含了更多的短波长信息，进而为反演高阶地壳磁场模型提供了可能.将MF系列模型的阶数、数据来源以及基本特点进行了总结，如表 1所示.
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表 1 MF系列模型简介 Table 1 Introduction to series of MF models |
由表 1可得，MF系列模型一般是3~5年的卫星磁测数据进行反演获得，模型阶数选择的是16阶以上的高阶部分(地壳场部分)，反演前需要对矢量或标量数据进行合理的筛选和磁测数据预处理.从MF4模型的反演最大阶数90阶增加到MF7模型的反演最大阶数133，也意味着卫星轨道高度的逐渐降低和卫星磁测数据质量的提高.
如图 4所示，3个虚线框内标记出了MF系列模型所使用的CHAMP卫星磁测数据区间，同时用实线标出了相应模型的数据平均轨道高度以及发布时间.由左到右的3个虚线框内分别代表MF4、MF6和MF7地壳磁场模型所使用的磁测数据，对应的平均轨道高度分别约为430 km、370 km和320 km，对应的发布时间分别为2005年6月、2007年12月和2010年8月.
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图 4 CHAMP卫星高度随时间变化 Fig. 4 Altitude varies with time from CHAMP satellite |
通过使用不同轨道高度下的CHAMP卫星磁测数据反演得到MF系列模型，求得相应模型的ML能谱分布，与POMME11地壳磁场模型的ML能谱分布对比结果如图 5.
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图 5 MF系列模型与POMME11模型对比 Fig. 5 Comparison between MF series model and POMME11 model |
从图 5可以看出，POMME11和MF7模型的ML能谱分布具有较强的一致性，两者能够在整个地壳磁场的阶数范围内几乎完全重合，ML能谱分布范围基本在10~100 nT2.当阶数小于60阶时，MF系列模型同POMME11模型具有较高的重合度，ML能谱分布特征相近；当阶数范围为60~120阶时，MF系列模型的ML能谱分布保持平稳变化，仅MF4模型在80阶之后出现了较为明显的下降趋势；当阶数大于120阶时，MF6模型的ML能谱值急剧下降.分析出现上述变化趋势的原因：MF系列模型的构建是联合使用了卫星、航空和地面台站等多源磁测数据，使其在地壳磁场的反演过程中(尤其是低阶部分)仍保持了较高的ML能谱，随着阶数的增加，ML能谱曲线会出现急剧下降的趋势，这也进一步反映了卫星轨道高度和地壳磁场反演阶数之间具有一定的相关性.
图 6给出了POMME11和MF7模型分别反演得到的距离地表 1 km高度的全球地壳磁场分布情况来直观描述卫星轨道高度和地壳磁场反演阶数的相关性.其中，左图代表POMME11模型计算得到的全球地壳磁场分布，右图代表MF7模型的分布结果.
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图 6 POMME11模型和MF7模型的全球地壳磁场分布情况对比 Fig. 6 Distribution comparison in the global crust magnetic field between POMME11 model and MF7 model |
从图 6可以看出，与MF7模型相比，POMME11模型能够刻画出更为精细的全球地壳磁场分布情况.MF7模型的局部精细地磁异常虽然已经被忽略掉，但如非洲中部的班吉异常、欧洲中东部库尔斯克异常、北美洲中部的肯德基异常以及南极威尔克斯异常等全球较为明显的地磁异常分布基本得到呈现.图 6的结果更加直观地印证了卫星轨道高度和地壳磁场反演结果具有相关性.通过卫星轨道高度的降低来构建更为精细的地磁异常分布，同时使得地壳磁场反演阶数有所提高，为构建更符合实际的地壳磁场模型提供了重要的指导和参考.
4 结论通过仿真和实测数据实验分析得出，卫星轨道高度和磁测数据中包含的信息量有关.随着卫星轨道高度逐渐降低，对应磁测数据中将包含更多短波长的地壳磁场特征信息.基于已有实验结果，得出以下结论：
(1) 卫星轨道高度和地壳磁场反演的最高阶数之间具有较强的相关性.通常高度在300~500 km的卫星轨道，对应最高反演阶数大致范围为130~80阶，在反演阶数固定的条件下，卫星轨道高度也会对应一个最小高度值.顾及卫星轨道高度和反演阶数的相关关系，能够为卫星磁测数据处理以及我国自主研制的磁测卫星提供一定参考.
(2) 随着卫星的轨道高度降低，地壳磁场的最高反演阶数会逐渐增大，进而反映更多的地磁场信息，构建更为精细的地磁异常分布，轨道高度450 km可以作为磁测卫星系统轨道高度设计的参考高度.通过比较分析，当轨道高度大于450 km时，拟合曲线的斜率较大，即随着轨道高度的降低，反演阶数增长幅度相对平缓；而当在轨道高度小于450 km时，拟合曲线的斜率明显缩小，即随着轨道高度的降低，反演阶数的增长幅度逐渐变大.
(3) 卫星磁测是一个庞大的系统工程，磁测数据的处理应用主要由地磁场的复杂性、磁测载荷仪器的精度以及磁测卫星的组网方案设计等共同决定.随着磁力测量仪器精度的不断提高和多星协同探测优化设计的开展，地壳磁场反演阶数也会逐步提升.
致谢 感谢GFZ提供的部分实验数据和地磁场模型以及国家自然科学基金、地理信息工程国家重点实验室开放基金对本文提供的资助.
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