太阳活动不仅与地球气候密切相关(赵新华等，2014；赵平和周秀骥，2011；Hampson et al., 2005)，而且还会影响地球自转的周期(廖德春和廖新浩，2001)，因此太阳活动的形成机制一直备受关注.关于太阳活动的成因，目前主要有两种理论，一种是太阳内部的磁流发电机理论，另一种是太阳外部的行星运动理论(聂清香等，2007；刘复刚和王建, 2013a, 2014).在行星引力理论中，讨论比较多的是行星引潮力与太阳活动之间的关系.

关于行星引潮力与太阳活动的关系，长期以来一直是科学家讨论的重要问题，甚至一度成为一个激烈争论的热门问题(聂清香等，2007；刘复刚和王建，2013a).Takahashi (1968)计算水星、金星、地球、火星、木星、土星对太阳的引潮力，将1928—1971间44年的引潮力与太阳黑子数年均值进行对比，发现两者相关程度较高，但有2年的时间差.Wood (1972)考虑金星、地球与木星的位置关系，利用引潮力公式计算这三个行星在太阳上引起的潮汐高度，将其绝对值曲线与太阳黑子数进行对比，基本上峰值、谷值一一对应，有一些地方太阳黑子滞后1—3年.Condon和Schmidt(1975)研究发现行星引潮力高度只有0.1~1.0 mm级，也没有明显的时间对应，不赞成行星引潮力是太阳黑子起源的原因.Dingle等(1973)，测算了太阳第19周期1000个耀斑的经度位置，与木星和金星的轨道经度位置比较，结果显示没有潮汐影响的证据.陈协珍(1993)对历史上发生的22个特大耀斑活动区域进行行星摄动力的计算分析，发现其中16个发生在行星对日面耀斑活动区域的摄动力比较大的时候，太阳活动受行星摄动力的调制.董士仑(1996)对于较大的太阳耀斑的发生时间和空间位置与行星位置关系的研究却发现，引潮力触发耀斑的各种假设都分别优于耀斑随机发生的假设.Okal和Anderson(1975)计算木星、金星、地球、水星对太阳某点引潮力的累加，计算出来的引潮力只有11.9年周期，而太阳黑子中的9.8年、8.3年、95.8年周期并不存在于行星引潮力周期中，因此不赞成引潮力是太阳活动的重要驱动力.De Jager和Versteegh(2005)比较了太阳内部强剪切层的三种加速度：行星潮汐力引起的加速度、太阳绕转加速度以及观测到的加速度，发现观测到的加速度是前两者的1000多倍，由此认为行星作用太小，不能显著地影响太阳活动.Hung(2007)计算金星、地球、木星180年行星直列指数值的前25%水平分布在每3.64年的天数，与太阳黑子数每年的数量进行对比，发现两者基本对应，认为行星引起的潮汐的会聚和扩散可能提供一个压力差，改变日冕磁场中的等离子体运动，导致其在太阳大气磁场中移动重塑、合并扩散，从而导致太阳活动增加.聂清香等(2007)利用N体积分算法全面系统的计算了过去300年行星对于太阳引潮力的合力变化，发现引潮力合力的变化有明显的约11年周期和60年周期，与黑子数的周期一致，认为尽管行星引潮力偏小，但是如果与太阳内部磁流体同频共振则有可能对太阳活动做出合理的解释.Seker(2013)模拟计算了太阳黑子出现地点与四颗起潮行星水星、金星、地球和木星所处位置之间的关系，发现两者之间关系不密切.但是他认为由于太阳黑子可能产生于光球下，因此也不确定太阳黑子就是与行星引潮力无关.刘复刚等(2013a)计算分析发现，引潮力造成的太阳表面物质加速度变化只有太阳自转变化造成的太阳表面物质加速度变化的两万分之一，因此认为造成太阳11年黑子活动周期和22年磁周期形成的主要原因，不是引潮力的变化，而是太阳自转速度的变化.

综上所述，有的以周期的吻合性或者变化时间、空间的一致性认为行星引潮力与太阳活动密切相关；有的则以行星引潮力的量级太小，以及周期和时间空间位相的不一致性否定它是太阳活动的主要起因.然而，有个问题似乎被忽视了，就是如何计算行星对于太阳的引潮力尤其是引潮力的合力.实际上，不同的计算方法得出的引潮力的大小、周期是不同的，甚至相差很大.本文拟从引潮力的计算方法着手来重新梳理不同的计算方法所得出的结果的异同，进而讨论行星引潮力与太阳活动之间的关系，以期为行星引潮力与太阳活动关系的探讨提供新的思路.

关于行星引潮力的计算，早期往往局限于对于单个行星引潮力或者少数几个行星引潮力合力的计算(刘复刚和王建, 2013a, 2014；Wood，1972)；探讨与太阳活动的关系，往往是利用行星公转和会合周期与黑子周期之间的对比而进行的(Dingle et al., 1973).后来随着科学技术的进步，出现了越来越全面系统的计算方法.聂清香等(2007)利用N体积分算法全面系统的计算了过去300年行星对于太阳引潮力合力的变化序列，刘复刚和王建(2013a)利用行星会合指数运动学方程重建了过去500年行星对于太阳引潮力合力的变化序列.但是一般来说，都是利用引力差计算法，就是利用行星对于太阳中心(质心)与太阳表面之间的引力差来计算行星对于太阳的引潮力.这种计算方法，容易导致对于正垂点和反垂点同时涨落潮现象的理解出现困难，毕竟引力的方向可能与反垂点涨潮的方向不一致.还有一种计算方法是引力与绕转惯性离心力之差计算法，就是通过太阳表面某点所受到的行星引力与太阳绕公共质心旋转所产生的惯性离心力之差来计算行星对于太阳表面某点的引潮力.这种算法对于理解正垂点和反垂点涨落潮方向比较容易，但是要计算太阳分别与八大行星的绕转惯性离心力比较困难.

由于涉及到八大行星，要计算八大行星对于太阳引潮力的合力，在上面两种基本方法中又可能划分出多种不同的合力计算方法.比如引力差计算方法，又可进一步分为引力差的矢量和计算法、引力矢量和之差计算法(图 1).计算引力差的矢量和或者引力矢量和，也有像“N体积分算法”(聂清香等，2007)和“会合指数运动学方程法”(刘复刚和王建，2013a)等不同的算法.

图 1

Fig. 1

图 1 行星对太阳引潮力合力的计算方法 Fig. 1 Calculation methods of the resultant force of planetary tidal force on the sun

根据万有引力公式可以计算每颗行星对于太阳中心(质心)和太阳表面任意一点引力的大小. 如果以地球对于太阳中心(质心)的引力为1，其他行星对于太阳的引力的相对数可以作为引力半径(表 1).将引力半径代入刘复刚和王建(2013b)建立的行星会合指数运动学方程：

(1)

表 1 (Table 1)

表 1 八大行星引力半径 Table 1 The gravitational radius of eight planets 名称 质心引力半径 正垂点引力半径 反垂点引力半径 水星 0.369016 0.378047 0.360306 金星 1.559421 1.579669 1.539559 地球 1.000000 1.009366 0.990764 火星 0.046338 0.046622 0.046056 木星 11.736977 11.757980 11.716031 土星 1.036196 1.037202 1.035191 天王星 0.039436 0.039455 0.039417 海王星 0.018924 0.018930 0.018918

表 1 八大行星引力半径 Table 1 The gravitational radius of eight planets

其中，K，r_i，φ_i，ω_i，t分别为行星会合指数，各行星质量权重半径，行星初始日心经度和平均角速度和时间.以各行星的引力半径替代质量权重半径，就可以分别计算出八大行星对于太阳质心、正垂点、反垂点的引力矢量和.正垂点、反垂点与太阳质心之间的引力矢量和之差就是它们的引潮力合力(图 2).

图 2

Fig. 2

图 2 引力矢量和之差计算法计算的太阳表面赤道附近正垂点(点线)和反垂点(实线)的行星引潮力合力 Fig. 2 The planetary tidal forces at the vertical (dotted line) and reverse vertical (full line) points near the equator of the sun are calculated by the difference between the sum of gravity vectors

从图 2不难看出，正垂点和反垂点的引潮力大小、波动周期和相位基本一致.最显著的周期约为12.5a和2.2a.

这是最常用的一种方法，就是根据太阳表面一点与太阳中心引力之差来计算各个行星对于太阳的引潮力.

以正垂点为例，引潮力为

(2)

其中，G为万有引力常数，M为行星质量，R为太阳半径，D为行星距太阳质心的距离，Δm为太阳表面正垂点物质的质量.

根据公式(2)可以计算出各个行星对于太阳表面正垂点单位质量的引潮力，如果以八大行星对于太阳表面赤道正垂点的引潮力总和为1，那么各个行星引潮力所占比重就是行星引潮力的权重(表 2).

表 2 (Table 2)

表 2 各行星对于太阳赤道正垂点的引潮力大小及其权重 Table 2 The magnitude and weight of tidal force of each planet to the sun's equatorial vertical point 名称 行星引潮力/地球引潮力 行星引潮力(N·kg-1) 行星引潮力权重 水星 0.953452 1.60×10-10 0.146551 金星 2.156094 3.61×10-10 0.331405 地球 1.000000 1.68×10-10 0.153706 火星 0.030417 5.10×10-12 0.004675 木星 2.255140 3.78×10-10 0.346629 土星 0.108137 1.81×10-11 0.016621 天王星 0.002054 3.44×10-13 0.000316 海王星 0.000630 1.06×10-13 0.000097 总和 - 10.91×10-10 -

表 2 各行星对于太阳赤道正垂点的引潮力大小及其权重 Table 2 The magnitude and weight of tidal force of each planet to the sun's equatorial vertical point

如果将各个行星的引潮力权重代入公式(1)，替代原来的质量权重半径，就可以计算出八大行星对于太阳表面赤道正垂点的引潮力矢量和(图 3a).不难看出，过去300年的引潮力变化特征与方法1计算结果比较相似.

图 3

Fig. 3

图 3 引力之差(引潮力)矢量和计算法计算的太阳表面赤道正垂点引潮力合力 (a) 根据方程(1)计算的引潮力矢量和; (b) 根据方程(3)计算的引潮力矢量和. Fig. 3 Tidal force at the equatorial vertical point of the solar surface calculated by the vector sum of gravitational difference (tidal force) (a) The vector sum of the tidal force was according to equation (1); (b) The vector sum of the tidal force was according to equation (3).

大家知道，潮汐往往是对称分布的.比如，地球上的潮汐主要受到月球引潮力和太阳引潮力的影响和控制，当月球、太阳与地球在一条直线上时，无论月球和太阳是否在地球的同一侧，地球的正垂点和反垂点均发生大潮.也就是说，即使月球和太阳分列地球两侧，它们的引潮力也是叠加的.但是，过去在计算八大行星引潮力矢量和时，没有注意到这个问题.为了解决这个问题，应对方程(1)进行了修改.假定正垂点和反垂点位于X轴上，则应对X取绝对值，公式(1)就转换成了公式(3).

(3)

由此根据方程(3)可以计算太阳表面赤道正垂点八大行星引潮力的矢量和及其变化(图 3b).

从图 3不难看出，两个序列有相似性，但也有较大差异.根据频谱分析的结果(图 4)，图 3a序列的周期以12.0a和2.2a的最显著，而图 3b序列的周期较多，除了12.0a和2.2a的周期外，还存在5.9a、4a、3.5a、2.7a等周期，其中5.9a等公转或者会合半周期更加显著.

图 4

Fig. 4

图 4 两个序列的周期分析 (a) 图 3a序列; (b) 图 3b序列. Fig. 4 Periodic analysis of two sequences (a) Sequence of Fig. 3a; (b) Sequence of Fig. 3b.

从引潮力的原始定义来说，引潮力就是引力与惯性离心力之差.对于地球来说，惯性离心力的大小与太阳、月球对于地心的引力相等，因此为了简便起见，往往都是利用地表与地心的引力差来计算引潮力.

太阳的绕转惯性离心力计算起来比较困难，因为太阳不可能同时与八大行星相互绕转，因此也很少见到利用惯性离心力计算行星对于太阳的引潮力的例子.本文利用方程(1)计算了行星系统质心距离太阳质心的距离即行星会合指数(刘复刚和王建，2013b)，根据太阳质心与行星系统质心共同围绕太阳系质心旋转的特征以及关于质心的求算公式，可以计算出太阳距离太阳系质心的距离及其变化序列(刘复刚和王建，2013b；孙威等，2017). 太阳距离太阳系质心的距离就是太阳围绕太阳系质心绕转的半径，将绕转半径代入公式(4)就可以计算太阳绕转惯性离心力.

(4)

其中，ω与v分别为绕转角速度和线速度，r和T分别为绕转半径和周期.根据孙威等(2017)对于太阳绕太阳系质心变化轨迹的计算模拟发现，太阳绕转的最显著周期为11.865a.把r和T代入公式(4)，就可以计算分析太阳绕转惯性离心力.由于太阳绕太阳系质心旋转为平动，太阳各处的绕转惯性离心力大小相等、方向相同(赵进平，2016；乔万利，1999).正垂点的引力矢量和减去绕转惯性离心力，就可以得到正垂点的引潮力；绕转惯性离心力减去反垂点的引力矢量和，就可得到反垂点的引潮力(图 5).

图 5

Fig. 5

图 5 引力与惯性离心力之差法计算的太阳表面赤道正垂点(点线)和反垂点(实线)的引潮力 Fig. 5 The tidal force at the equatorial vertical (dotted line) and reverse vertical (full line) points on the solar surface calculated by the difference between gravity and inertial centrifugal force

从图 5不难看出，与前面计算出的引潮力存在显著差异.一是正垂点与反垂点的引潮力变化是反相位的，而其他计算的引潮力是同相位的；二是这里计算出的单位质量引潮力达到10^-7 N·kg^-1量级，比传统计算方法计算出的引潮力(10^-10~10^-9 N·kg^-1量级)大2~3个数量级；三是其变化周期也有明显差异.

Condon等(1975)研究发现行星引潮力在太阳表面形成的潮汐高度只有0.1~1.0 mm级别.De Jager和Versteegh(2005)通过比较太阳内部强剪切层的三种加速度，发现观测到的加速度比行星潮汐力等引起的加速度大几个数量级，刘复刚和王建(2013a)计算分析发现，行星引潮力造成的太阳表面物质加速度变化只有太阳自转变化造成的太阳表面物质加速度变化的两万分之一，因此认为行星引潮力作用太小，不是影响太阳活动的显著动力.我们的计算发现，按照传统计算方法计算出的八大行星引潮力合力的最大值也只有1.09×10^-9 N·kg^-1，与太阳、月球对于地球正垂点的平均引潮力相差三个数量级，并且由于太阳上的重力加速度比地球上大几十倍，引起的潮汐幅度确实很小.但是如果按照引力与惯性离心力之差计算的太阳上的引潮力却可以达到2.33×10^-7 N·kg^-1量级，比传统引潮力大两个数量级.从这个角度来看，我们需要对行星引潮力对于太阳活动的影响大小给予重新的分析和评估.

利用引力与惯性离心力之差计算出来的引潮力，不仅在量值上比传统意义上的引潮力大得多，而且其变化特征也不相同.这个引潮力，与传统的引潮力引起正垂点和反垂点潮汐的同相位涨落不同，该引潮力导致正垂点与反垂点潮汐的交替涨落.这种变化形式可能导致潮汐变化的幅度增大一倍.这个认识对于深入理解行星引潮力对于太阳活动的影响提供了新的依据和思路.

如图 6所示，引潮力正值代表其方向垂直太阳表面并指离太阳，负值代表其方向垂直太阳表面指向太阳中心或者说指向太阳的背面.当引潮力为正值时，对应于该点的涨潮和背面对应点的落潮；当引潮力为负值时，对应于该点的落潮和背面相应点的涨潮.

图 6

Fig. 6

图 6 太阳表面赤道正垂点(点线)和反垂点(虚线)引潮力变化及其与太阳黑子变化(实线)的比较 该处引潮力为行星引力与太阳绕转惯性离心力之差矢量和，单位为10-7N·kg-1. Fig. 6 Variation of tidal force at the equatorial vertical (dotted line) and reverse vertical (dashed line) points of the solar surface and its comparison with sunspot variation(full line) The tidal force is calculated from the difference between the planetary gravity and the solar inertia centrifugal force, and the unit is 10-7N·kg-1.

太阳黑子的记录现在已有三百多年，但是越是近期的记录越准确可靠，该文选取了最近100年的记录进行了对比.比较太阳赤道表面正垂点和反垂点引潮力与太阳黑子的关系(图 6)不难发现，单纯利用一个点的引潮力变化很难与太阳黑子变化一一对应，利用两点的变化组合解释起来似乎更容易一些.总体上有这样三个特征，一是引潮力较大时段如66~38(1934—1962 AD)、23~0(1977—2000 AD)对应于黑子峰值较大的时段，引潮力较小的时段如100~87(1900—1913 AD)、76~66(1924—1934 AD)和38~23(1962—1977 AD)对应于黑子峰值较小的时段；二是有的黑子峰值对应于正垂点的引潮力峰值、有的对应于反垂点的引潮力峰值，有的则对应于正、反垂点引潮力峰值之间；三是即使黑子峰值与引潮力峰值对应，两者之间也大多存在相位差.这些表明引潮力与太阳活动之间存在着一定的关系，但是并不是完全一一对应的关系.说明引潮力不是太阳活动的唯一驱动因素，可能只是驱动或者触发因素之一.太阳活动对于引潮力的响应也可能存在着时间上的滞后.

唐洁和刘晓琴(2018)研究认为，太阳黑子的饱和关联维数为2.536，表明至少需要三个以上的变量才能有效描述太阳黑子相对数的动力学特征.因此我们可以从引潮力与太阳绕转惯性离心力组合的角度来讨论太阳黑子形成的可能原因.从图 7可以看出，从太阳绕转惯性离心力与引潮力共同来解释太阳黑子形成的原因，相对于用任何一个因子单独来解释更加有说服力.总体上来说，绕转惯性离心力决定了黑子发生的条件和背景：峰值较大的时期往往对应于黑子峰值较大的时期，如66~38(1934—1962 AD)、23~0(1977—2000 AD)；峰值较小的时期往往对应于黑子峰值较小的时期，如100~87(1900—1913 AD)、76~66(1924—1934 AD)和38~23(1962—1977 AD).引潮力(引力之差计算出来的引潮力)在绕转离心力的大背景下具有激发或者触发的作用：往往引潮力的峰值对应于黑子的峰值或者此后发生的峰值.往往在惯性离心力和引潮力均处于较大值或者增大期的时候会引发较大的黑子峰值发生，如49~43(1951—1957 AD)、25~19(1975—1981 AD)期间两个最大的黑子峰值均是如此.

图 7

Fig. 7

图 7 引潮力(虚线)、绕转离心力(点线)与太阳黑子变化(实线)的比较 该处引潮力为引力之差计算出的引潮力合力，单位为10-9N·kg-1；绕转离心力单位为10-7N·kg-1. Fig. 7 Comparison of tidal force (dashed line), revolving centrifugal force (dotted line) and sunspot variation (full line) The tidal force is calculated from the difference of gravity, and the unit is 10-9N·kg-1; the unit of solar inertia centrifugal force is 10-7N·kg-1.

(1) 计算方法不同，得出的引潮力变化序列可能不同.传统的引潮力计算方法只能显示出行星公转周期或者会合周期，却往往忽视了对应于行星公转和会合半周期的引潮力变化.

(2) 利用引力与太阳绕转惯性离心力之差计算出来的引潮力，比传统的引潮力大两个数量，并且其变化特征与传统的引潮力引起正垂点和反垂点潮汐的同相位涨落不同，它导致正垂点与反垂点潮汐的反相位交替涨落.

(3) 太阳活动可能是多个因子共同作用的结果，单纯利用引潮力一个因子难以全面系统地解释太阳活动的特征.利用绕转惯性离心力和引潮力共同解释太阳活动变化特征，比传统引潮力单一因子的解释更有说服力.表明太阳活动是多因子共同作用的结果，行星引潮力和太阳绕转惯性离心力可能都是太阳活动的作用因子.