2021, Vol. 64
在密度分层的海洋中出现的内孤立波可以分为第一模态内孤立波和第二模态模态内孤立波.第一模态内孤立波具有单一的波峰或波谷波形，而第二模态内孤立波波峰和波谷波形同时成对存在.第二模态内孤立波可以分为凸型(convex waves)和凹型(concave waves)两种(Yang et al., 2010).凸型第二模态内孤立波具有上层等密度面向上发生位移，下层等密度面向下发生位移的特征.随着现场观测仪器的进步，海洋中发育的第二模态内孤立波在过去20年间逐渐被观测到，如新泽西陆架(New Jersey shelf)(Shroyer et al., 2010)，南海(Yang et al., 2009; Liu et al., 2013; Ramp et al., 2015)，乔治滩(Georges Bank)(Bogucki et al., 2005)，印度洋的马斯卡林海岭(Mascarene Ridge in Indian Ocean)(Da Silva et al., 2011)和澳大利亚西北陆架(Australian North West Shelf)(Rayson et al., 2019).
以往学者通过模拟实验发现第二模态内孤立波的相速度随着第二模态内孤立波振幅的增大而增大(Maxworthy, 1983; Stamp and Jacka, 1995; Terez and Knio, 1998; Salloum et al., 2012).Chen等(2014)通过模拟发现第二模态内孤立波相速度随着密跃层深度的增大单调增大，随密跃层厚度增大先增大后缓慢减小，随跨密跃层密度梯度的增大而增大.Kurkina等(2017)基于GDEM(Generalized Digital Environmental Model)获得了南海夏季第二模态内孤立波相速度的空间分布，发现南海第二模态内孤立波相速度很大程度由海水深度决定，且二者之间呈幂指数关系(以500m为界，分两段幂指数关系).Deepwell等(2019)在模拟第二模态内孤立波时，发现第二模态内孤立波的相速度随着第二模态内孤立波振幅的增大而增大，但二者之间具有较强的二次拟合关系.他们推测这种二次拟合关系是由于海水深度相对较大的波动振幅较小造成的.在具有相等混合层深度的情况下，深水处的第二模态内孤立波相速度和振幅比浅水处的要大.
到目前为止，对于第二模态内孤立波的研究大多是基于物理海洋观测、遥感观测、实验室模拟或数值模拟开展的.物理海洋学观测数据的横向分辨率较差，这一局限可以被空间上连续观测，且具有较高分辨率(垂向分辨率和水平分辨率可以达到10m左右)的地震海洋学方法克服(Holbrook et al., 2003; Ruddick et al., 2009).目前，地震海洋学对南海及地中海内孤立波的几何学和运动学特征已开展了相关的研究(Tang et al., 2014, 2015, 2016, 2018; 拜阳等, 2015; Bai et al., 2017; Geng et al., 2019; 孙绍箐等, 2019；范文豪等，2020).
对于中美洲太平洋沿岸海域(尼加拉瓜西部海域)，以往学者的研究多关注于该区域冬季季风对海表面温度分布和环流产生的影响.即在沿着季风风向(从西北到东南)的右侧，风应力旋度为负，会使海水下沉，产生温暖的反气旋.在沿着季风风向的左侧，负的风应力旋度所形成的垂向埃克曼抽吸会抬升温跃层，产生冷的气旋(Fiedler, 2002; Kessler, 2006; Willett et al., 2006).之前学者对该地区内波的研究较少，Filonov等(2000)发现Gulf of Tehuantepec陆架上发育的内波具有复杂的传播特征，水文数据和卫星图像表明内波群与强海岸流之间存在相互作用，并推测此处内波的起源是正压潮与陆坡相互作用的结果.
以往利用地震海洋学方法发现的内孤立波大多是第一模态内孤立波.最近，我们利用地震海洋学方法对已有中美洲太平洋沿岸的地震数据重新进行了处理，在测线上发现了第二模态内孤立波群的存在.该内孤立波群是目前为止用地震海洋学方法首次发现的较为完整的第二模态内孤立波群.本文将基于目前所获得的成果和前人的工作，主要研究中美洲太平洋沿岸海域第二模态内孤立波的细结构及其变化，内孤立波传播特征等.
1 数据和方法中美洲太平洋沿岸海域(尼加拉瓜西部海域)水深100~2000 m(图 1a).本文主要利用地震海洋学方法研究中美洲第二模态内孤立波.地震数据由MGDS(The Marine Geoscience Data System)海洋地球科学数据系统提供(http://www.marine-geo.org/).本次研究使用了该系统提供的EW0412航次的地震数据.该航次采集了分布在桑蒂诺弧前盆地(Sandino Forearc Basin)、哥斯达黎加(Costa Rica)、尼加拉瓜(Nicaragua)、洪都拉斯(Honduras)和萨尔瓦多(EI Salvador)近海，从大陆架到陆坡的高分辨率多道地震数据.航次的主要目的是验证在桑蒂诺弧前盆地(Sandino Forearc Basin)高分辨率多道地震数据上能够识别和区分海平面升降和构造过程所对应的地层，评价通过局部不整合所记录的构造事件以及构造控制的区域海平面升降序列叠加模式.该航次采集时使用了3个GI气枪，气枪容量为737.42 cm3，GI气枪通过使用两个燃烧室来减少气泡震荡.使用的电缆设备为Syntron Reduced Diameter Array，包含Benthos RDA水听器的数字拖缆.枪缆的沉放深度是2.5 m，并装配有具备姿态控制和定深功能的水鸟.该航次其他地震采集参数如下：采样率是1 ms，每炮有168道，炮间距为12.5 m，道间距为12.5 m，最小偏移距为16.65 m.常规的海水层地震数据处理流程如图 2，需要经过观测系统定义、噪声压制、共中心点(CMP)选排、速度分析、动校正、叠加和叠后去噪等步骤得到叠加剖面.本文在计算内孤立波细结构变化时使用了叠前偏移的处理流程(见图 2中虚线框中的流程)，即在共偏移距道集(Common Offset Gather, COG)上进行叠前偏移(详见范文豪等(2020)).由于本次研究所使用地震数据海水层较浅，而浅层缺少中远偏移距信息，速度谱能量团并不聚焦，无法利用速度谱进行偏移速度的速度分析.本次研究使用常速度(1500 m·s-1左右)进行的偏移.
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图 1 (a) 研究区测线位置分布.红色线段是88号测线位置，线段上的黑色箭头表示船的行驶方向.(b)和(c)研究区2004年11月19日ASTER卫星遥感图像，它们分别采集于(a)中矩形框的位置 Fig. 1 (a) Distribution of multi-channel seismic data. The red line shows the survey line 88 position; The black arrow on the line indicates the ship direction; (b) and (c) are the ASTER satellite remote sensing images of the study area on November 19, 2004, which are acquired respectively at the positions of the rectangular boxes in (a) |
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图 2 海水层地震数据常规处理流程，虚线框中是叠前偏移处理流程 Fig. 2 Conventional processing flow for seawater seismic data, and the pre-stack migration processing flow is in the dashed box |
Brandt和Shipley(2014)将他们实验室观测到的第二模态内孤立波分为三类.当1 < 2a/h2≤2时(a为三层模型中内孤立波的振幅，h2是密跃层的厚度)，对应的第二模态内孤立波为小振幅内孤立波，表现为波前面较为平滑；当2＜2a/h2＜4时，对应的第二模态内孤立波为大振幅内孤立波，表现为“张开的嘴”的形态；当2a/h2≥4时，对应的第二模态内孤立波为特大振幅内孤立波，表现为波前面较为平滑，尾翼不稳定.因为实际海水具有多层结构，所形成的的凸型第二模态内孤立波不只是三层模型给出上层是波峰，下层是波谷的形态，即会出现同一凸型第二模态内孤立波具有多个波峰和波谷的情况.因此我们计算了第二模态内孤立波等效的密跃层厚度和等效振幅.如图 3a所示，对于具有多层结构的第二模态内孤立波，分别得到各个内孤立波波峰的振幅ap1，ap2和ap3，将所有内孤立波波峰振幅的和(ap1，ap2及ap3的和ap)作为等效的具有三层模型结构的第二模态内孤立波波峰的振幅(图 3b)；同理分别得到具有多层结构的第二模态内孤立波各个内孤立波波谷的振幅at1，at2和at3，将所有内孤立波波谷振幅的和(at1，at2及at3的和at)作为等效的具有三层模型结构的第二模态内孤立波波谷的振幅(图 3b).则等效的具有三层模型结构的第二模态内孤立波振幅(等效振幅a)为ap和at中较大者，等效密跃层厚度h2=h-ap-at(图 3b).
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图 3 第二模态内孤立波等效振幅和等效密跃层厚度计算示意图 (a)具有多层结构的第二模态内孤立波; (b)等效的具有三层模型结构的第二模态内孤立波.其中ap1，ap2和ap3是具有多层结构的第二模态内孤立波各个波峰的振幅；at1，at2和at3是具有多层结构的第二模态内孤立波各个波谷的振幅；h是具有多层结构的第二模态内孤立波影响到的海水厚度；h2是等效密跃层厚度. Fig. 3 Calculation schematic diagram of the equivalent amplitude and equivalent pycnocline thickness for mode-2 ISWs (a) A mode-2 ISWs with a multilayer structure; (b) An equivalent mode-2 ISWs with a three-layer model structure. ap1, ap2 and ap3 are the amplitudes of the individual peaks of the mode-2 ISWs with the multilayer structure; at1, at2 and at3 are the amplitudes of the individual troughs in the mode-2 ISWs with the multilayer structure; h is the seawater thickness affected by the mode-2 ISWs with a multilayer structure; h2 is the equivalent pycnocline thickness. |
本次计算内孤立波视相速度，借鉴了Tang等(2014)的方法，但有所改进(详见范文豪等(2020)).改进的内孤立波视相速度计算方法首先对COG剖面进行叠前偏移，然后从信噪比较高的叠前偏移剖面上拾取内孤立波波谷(波峰)对应的共中心点和炮点对，通过拟合共中心点-炮点对曲线，计算得到内孤立波视相速度以及视传播方向.该方法假设船速是固定的，如图 4a中的坐标系统，内孤立波波谷(波峰)的水平速度v=(CMP2-CMP1)/T=(CMP2-CMP1)/[(s2-s1)dt]，其中CMP1和CMP2是内孤立波在不同时刻的波谷(波峰)位置，s1和s2是CMP1和CMP2对应的采集炮号，dt是放炮的时间间隔.
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图 4 计算内孤立波相速度示意图 (a)船与内孤立波视传播方向相反; (b)船与内孤立波视传播方向相同，且船速小于内孤立波传播速度; (c)船与内孤立波视传播方向相同，且船速大于内孤立波传播速度.五角星和圆圈分别是震源和检波器，它们的共中心点(CMP1和CMP2)位于内波的波峰，虚线箭头表示以s2为参考点的坐标系. Fig. 4 Schematic diagram of the internal solitary waves phase speed calculation (a) The ship direction is opposite to the internal solitary wave; (b) The ship is in the same direction as the internal solitary wave, and the ship speed is less than the internal solitary wave propagation speed; (c) The ship and the internal solitary wave move in the same direction, and the ship speed is greater than internal wave propagation speed. Pentagons and dots are the sources and receivers, respectively. Their common mid-points (CMP1 and CMP2) are located at the crest of the internal waves. Dashed arrows represent the coordinate with s2 as the reference point. |
改进的内孤立波视相速度计算方法在确定内孤立波视传播方向时，分以下两种情况.当船与内孤立波视传播方向相反时，无论船速vship和内孤立波视相速度vwater相对大小如何变化，随着偏移距的增大，运动过程中同一个内孤立波对应的CMP号减小，炮号增大(图 4a).
当船与内孤立波视传播方向相同时，若vship＜vwater，随着偏移距的增大，运动过程中同一个内孤立波对应的CMP号减小，炮号减小(图 4b)；若vship＞vwater，随着偏移距的增大，运动过程中同一个内孤立波对应的CMP号增大，炮号增大(图 4c).
2 结果与解释 2.1 第二模态内孤立波细结构特征研究在研究区88号地震测线上(测线位置见图 1a中红线所示)捕获到了多个第二模态内孤立波(图 5)，这些第二模态内孤立波为凸型第二模态内孤立波.这些第二模态内孤立波所处的海底深度为100 m左右，最大振幅10 m左右(表 1).为了便于研究，我们在88号测线中选取了6个第二模态内孤立波(其编号及位置见图 5(b，c)).ISW1、ISW2和ISW3这3个第二模态内孤立波都发育在陆架上，ISW4、ISW5和ISW6这3个第二模态内孤立波发育在陆坡上(图 5).这6个内孤立波的振幅总体随着深度的增加呈先减小再增加，然后又减小的趋势(图 6).对所选的6个第二模态内孤立波，计算的第二模态内孤立波等效振幅a，等效密跃层厚度h2，以及利用等效密跃层厚度h2和等效振幅a得到的2a/h2参数结果见表 1.可以看到除了ISW2外，其他5个第二模态内孤立波的2a/h2都小于2，它们都属于较小振幅的内孤立波，表现为波前面较为平滑.对于ISW2，因为其多个波谷之间间隙较小，出现叠置的情况，使得估计的等效振幅a较大，等效密跃层厚度h2较小，即2a/h2偏大.但是只从ISW1、ISW2和ISW3三者来看，ISW2的最大振幅是它们中最大的，又三者所处的水深相当，等效密跃层厚度h2可以看作基本一致，此时ISW2的2a/h2的值应该是它们中最大的，所以ISW2的2a/h2值应至少大于1.5.因而ISW2及其右侧波形不太完整的第二模态内孤立波(图 5b中未标明)有使后翼不稳定的趋势(图 5b)，即在它们的后翼出现类似K-H不稳定(Kelvin-Helmholtz instability)的现象(Carr等, 2015).
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图 5 (a) 88号测线地震叠加剖面中的第二模态内孤立波，测线采集时间为2004-12-17 00:36:20到06:22:41；(b)对(a)中0~10 km范围中的剖面进行放大显示；(c)对(a)中10~23km范围中的剖面进行放大显示，(b)和(c)中1—6编号是为便于研究所选择的6个第二模态内孤立波 Fig. 5 (a) Mode-2 internal solitary waves in seismic stacked section for survey line 88. Line acquisition time is 00:36:20—06:22:41, December 17th, 2004. (b) Zoom in on the section in the range of 0~10 km in (a), (c) Zoom in on the section in the range of 10~23 km in (a), and numbers 1—6 in (b) and (c) are the six mode-2 internal solitary waves selected for the convenience of the study |
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表 1 88号测线中6个第二模态内孤立波特征参数 Table 1 Characteristic parameters of the six mode-2 internal solitary waves in survey line 88 |
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图 6 88号测线选取的6个第二模态内孤立波振幅随水深变化 (a)—(f)分别对应着内孤立波ISW1—ISW6. Fig. 6 The amplitudes of the six mode-2 internal solitary waves selected in survey line 88 vary with the water depths (a)—(f) Correspond to the internal solitary waves ISW1—ISW6, respectively. |
Olsthoorn等(2013)通过模拟发现当密跃层中心偏离水层中心位置5%水深时，在第二模态内孤立波后面出现小的第一模态内孤立波；当密度跃层位置从水层中心上升20%水深时，密度剖面上第二模态内孤立波的结构在密度跃层上下变得不对称.这种不对称与形成尾部第一模态内孤立波有关，尾部第一模态内孤立波会从第二模态内孤立波缓慢地耗散能量.且显著的不对称是第二模态内孤立波破碎的一个一般特征.在密度跃层位置从水层中心上升20%水深的情况下，第二模态内孤立波还会在底部密跃层出现由波产生的动能.Carr等(2015)通过实验模拟发现密跃层的偏离会影响第二模态内孤立波的稳定性，随着密跃层偏离距离的增大，不稳定主要出现在第二模态内孤立波的下界面，这种不稳定表现为波尾部出现类似K-H不稳定的波涛以及波核部小范围的翻转.Cheng等(2018)在研究初始振幅和密跃层厚度对第二模态内孤立波演化的影响时，发现密跃层偏离能造成第二模态内孤立波不稳定，表现为第二模态内孤立波波形的不对称，即由于上部海水层比底部海水层薄，第二模态内孤立波波峰的振幅比波谷的振幅要小.且密跃层偏离和初始振幅一起控制着第二模态内孤立波演化过程中波形的类型.受Olsthoorn等(2013)，Carr等(2015)和Cheng等(2018)研究工作的启发，我们分别统计了这6个第二模态内孤立波处的密跃层中心深度，并计算了密跃层中心偏离水层中心的程度，计算结果见表 1.观察表 1，对于陆架上的3个第二模态内孤立波(ISW1、ISW2和ISW3)，ISW3处密跃层中心偏移水层中心为6.4%水深，偏离程度最大.这能很好的解释地震剖面上第二模态内孤立波ISW3波峰和波谷的不对称性(见图 5b)，地震剖面上在ISW3的尾部没有发现明显的第一模态内孤立波，但是其尾部高频内波较发育，推测ISW3正处于破碎阶段，且尾部的高频内波从中不断地耗散掉能量.另外，ISW3波谷对应的反射同相轴振幅要明显强于波峰的，间接反映了密跃层底部存在由波产生的动能，该动能会使其相速度增加(见2.3小节计算的内孤立波视相速度).类似的，对于处于陆坡区的3个第二模态内孤立波(ISW4、ISW5和ISW6)，ISW4和ISW6密跃层中心偏离水层中心的程度相对ISW5的较大，ISW4和ISW6波峰和波谷的不对称性也更明显.另外，在这3个第二模态内孤立波(ISW4、ISW5和ISW6)尾部也发育有高频内波，但其所反映的能量耗散不如ISW3明显(ISW4、ISW5和ISW6的最大振幅小于ISW3的，即ISW3所含的能量更大).
2.2 第二模态内孤立波细结构变化特征图 7展示了用叠前偏移观察88号测线中第二模态内孤立波ISW4细结构变化的结果.图 7(a—i)分别是对应从小偏移距(offset=116.65m)到大偏移距(offset=441.65 m)COG的叠前偏移剖面，各偏移距叠前偏移剖面之间的时间间隔依次是7.3 s、3 s、7.9 s、10.8 s、4.3 s、2.9 s、2.1 s和8.5 s.由图 7a到图 7b，我们可以看到第二模态内孤立波ISW4在大约70 m水深处，反射同相轴发生分叉，即原来一个同相轴变成了两个同相轴.由图 7c到图 7d，第二模态内孤立波ISW4在小于50 m的水深范围内，存在反射同相轴合并，即原来两个同相轴合并成一个同相轴.由图 7e到图 7f，第二模态内孤立波ISW4在小于60 m的水深范围内，反射同相轴再次发生合并；在大约80 m水深处，展现了两个同相轴合并成一个同相轴的过程，即图 7e中的两个同相轴在图 7f中刚开始合并，但并未完全变成一个同相轴.由图 7f到图 7g，第二模态内孤立波ISW4在大约80 m水深处，反射同相轴再次分叉成两个；位于大约50 m水深处的同相轴也发生了分叉，最终图 7g中ISW4波形恢复为与图 7e中相似的波形.由图 7g到图 7h，第二模态内孤立波ISW4在大约75 m水深附近，反射同相轴由一个分叉成两个；位于大约40 m水深处的同相轴也发生了分叉.图 7i中第二模态内孤立波ISW4在大约75 m水深处，两个反射同相轴又逐渐合并成一个同相轴.观察图 7还可以发现，对于ISW4伴随着同相轴的分叉、合并过程，其密跃层中心深度也会发生变化.从图 7a到图 7i，多数情况下密跃层中心深度为50 m左右，但在图 7(e、g、i)中的密跃层中心深度约为60 m.
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图 7 叠前偏移观察88号测线中第二模态内孤立波ISW4细结构的变化 (a)—(i)分别是对应从小偏移距(offset=116.65 m)到大偏移距(offset=441.65 m)COG的叠前偏移剖面，黑色箭头指示了第二模态内孤立波ISW4的位置. Fig. 7 Pre-stack migration observes the changes in the fine structure of the mode-2 ISWs ISW4 in the survey line 88 (a)—(i) are pre-stack migration profiles correspond to the small offset (offset=116.65 m) to the large offset (offset=441.65 m) COG. Black arrow indicates the position of the mode-2 ISWs ISW4. |
对上述现象进行分析.第二模态内孤立波ISW4位于陆坡处(图 5c)，其与陆坡的相互作用较强，海水较为震荡.上述现象中第二模态内孤立波ISW4反射同相轴出现的分叉、合并以及密跃层中心深度变化，反映了此处海水层结的不稳定.
2.3 第二模态内孤立波相速度特征
在计算内孤立波视相速度时使用如下公式v= 
对88号测线中所选取的6个第二模态内孤立波(其编号及位置见图 5b和5c)，分别计算它们的内孤立波视相速度.使用共偏移距叠前偏移去噪后的剖面拟合的共中心点-炮点对曲线见图 8.其中第6个第二模态内孤立波ISW6，由于其在COG上的信噪比较低，只拾取到了三个共中心点-炮点对.对于ISW1，计算的内孤立波视相速度v=0.48 m·s-1.因为放炮的时间间隔等于5.18 s，船速vship=2.41 m·s-1，vship＞v，随着偏移距增大，CMP号减小，炮号增大.所以船从NE向SW行驶(224°N方向，0°指向北，自北顺时针为正)，内孤立波视传播方向与船运动方向相反(内孤立波视传播方向为44°N方向，自北顺时针为正).其他5个内孤立波也进行同样计算，最终计算的这6个第二模态内孤立波视相速度见表 2，这6个第二模态内孤立波的视传播方向都是沿地震测线从SW到NE(44°N方向，测线位置见图 1a)，即对应着内孤立波浅化的过程.
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图 8 对COG进行叠前偏移拟合的共中心点-炮点对曲线 (a)、(b)、(c)、(d)、(e)和(f)分别对应着ISW1、ISW2、ISW3、ISW4、ISW5和ISW6的共中心点-炮点对拟合结果. Fig. 8 The fitting CMP-shot pair curves for pre-stack migration of COG (a), (b), (c), (d), (e), and (f) correspond to the CMP-shot pair curve fitting results of ISW1, ISW2, ISW3, ISW4, ISW5, and ISW6, respectively. |
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表 2 88号测线中6个第二模态内孤立波的视相速度 Table 2 Apparent phase speeds of the six mode-2 internal solitary waves in survey line 88 |
观察表 2，可以发现内孤立波ISW1、ISW3和ISW5的视相速度误差较小(误差分别为±0.08 m·s-1，±0.12 m·s-1，±0.14 m·s-1)，内孤立波ISW2、ISW4和ISW6视相速度误差较大(误差分别为±0.22 m·s-1，±0.21 m·s-1，±0.31 m·s-1)，分析是由于不同COG上第二模态内孤立波波形的细微变化较大，使得拟合的共中心点-炮点对曲线线性变差.因而，我们只对视相速度误差相对较小的ISW1、ISW3和ISW5的视相速度进行分析.根据统计的三个内孤立波所处水深、最大振幅和视半高宽(见表 2)，我们发现第二模态内孤立波视相速度与水深及内孤立波最大振幅有关.总体上第二模态内孤立波视相速度随着水深的增加而增加，表现在所处水深较深的ISW3和ISW5要比所处水深较浅的ISW1的视相速度要大(表 2)；另外，一般情况下具有较大最大振幅的第二模态内孤立波的视相速度较大，表现在ISW3比ISW5所处的水深要浅，但是ISW3的最大振幅是ISW5最大振幅的2.8倍，ISW3的视相速度与ISW5视相速度大小相当(表 2).上述结论与Deepwell等(2019)模拟实验得出的结论较一致.
3 讨论采用同一个速度(尤其是较小的速度)对不同偏移距剖面进行偏移，会使得较远偏移距剖面上的反射同相轴普遍向上移动.内孤立波相速度计算用到的是同一内孤立波在不同共偏移距剖面上水平方向的位移量，而上述偏移过程不会使反射同相轴发生水平方向的移动，因此不会影响内孤立波相速度的计算.上述偏移过程会影响利用叠前偏移剖面观察内孤立波细结构变化，即当使用的固定的偏移速度较小时，会使较远偏移距剖面上的反射同相轴普遍向上移动.为了减弱这种影响，应尽量避免使用较远偏移距的剖面.为了提高对内孤立波细结构变化解释的准确性，可以通过调整固定的偏移速度来减小较远偏移距剖面上反射同相轴普遍向上移动的偏移量.对于图 7中远偏移距的剖面，通过调整固定的偏移速度(本次研究使用的固定的偏移速度为1550 m·s-1)减小了较远偏移距剖面上反射同相轴普遍向上移动的偏移量.因而，利用叠前偏移观察到的第二模态内孤立波ISW4密跃层中心深度改变应当是可靠的.另外，采用同一个速度对不同偏移距剖面进行偏移，只会使较远偏移距剖面上的反射同相轴普遍向上移动，并不会使同相轴增加或减少.因而，不同偏移距剖面上内孤立波反射同相轴的分叉与合并不是由于偏移产生的.
在海洋中，海水密度变化非常小，一般小于1%，所以可以用Boussinesq近似来简化问题，根据Boussinesq近似，除了在计算浮频率时考虑密度的变化，其他一般将密度看成常数.在Boussinesq近似下，沿着X轴方向传播的内孤立波可以用经典的KdV方程来描述(Apel et al., 2007)：
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其中H为水深.W为本征函数，可以通过求解以下边界值问题得到：
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其中N为Brunt-Väisälä浮频率.如果浮频率已知，可以利用Thomson-Haskell方法(Fliegel and Hunkins, 1975)求解本证方程(通解为W(z)= 
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其中η0为内孤立波最大振幅，V为内孤立波的传播速度，Δ为内孤立波的特征半波宽度.海水层结决定了内孤立波不同的波形和极性.将海水看作两层密度模型，当上层海水深度h1大于下层海水深度h2时，非线性系数α大于0，此时内孤立波为上凸型内孤立波；当h1 < h2时，非线性系数α小于0，此时内孤立波为下凹型内孤立波.对于上凸型内孤立波，内孤立波传播速度V随着最大振幅η0的增大而增大.经典的KdV方程的解η(x, t)是内孤立波最大振幅处的波形，而最大振幅的深度为垂向模态最大值处的深度.内孤立波振幅的垂向变化与垂向模态的变化一致，也就是内孤立波振幅在海水中的分布遵循本征方程的解(Liao et al., 2014).内孤立波的垂向位移为η(x, t)W(z)，其中W(z)为内孤立波的垂向模态.
为了验证共偏移距道集叠前偏移剖面计算内孤立波视相速度的准确性，我们利用KdV方程计算了第一个第二模态内孤立波(ISW1)理论的传播速度.具体过程如下：选取GDEM-Version3.0数据站位(87.3°W，11.9°N)在12月的温盐数据计算浮频率(图 9a是由温盐数据计算的密度曲线)，求解KdV本征方程，得到内孤立波各个模态的线性相速度C.站位(87.3°W，11.9°N)前三个模态的线性相速度分别为0.95 m·s-1，0.39 m·s-1和0.25 m·s-1.得到浮频率和线性相速度，就可以计算各个模态的本征函数.前三个模态的本征函数如图 9b所示，我们使用第二模态的本征函数和线性相速度计算非线性系数α=0.01 s-1(非线性系数α大于0，对应凸型第二模态内孤立波(Rayson et al., 2019))和非静力频散系数β=84 m3·s-1，该内孤立波的最大振幅为5.79m，则内孤立波传播速度V为0.41 m·s-1.该结果比利用共偏移距道集叠前偏移剖面计算的视相速度0.48 m·s-1小一些.由于地震测线与内孤立波真实传播方向存在一定夹角，因而由共偏移距道集叠前偏移剖面计算的该内孤立波视相速度是合理的.其他5个内孤立波也进行同样计算，其计算的非线性系数α都大于0，对应凸型第二模态内孤立波，与88号测线地震剖面所展示的结果一致.最终计算的这6个第二模态内孤立波理论视相速度见表 2.观察表 2, 可以看到理论计算的内孤立波相速度只与内孤立最大振幅有关，且呈正相关关系，该结论与地震数据得到的并不一致.分析是因为KdV在计算不同内孤立波理论相速度时，由于GDEM-Version3.0数据分辨率的限制，线性相速度和非线性系数在特定区域内变化并不敏感，因而KdV计算的理论相速度在局部区域只受内孤立波最大振幅的影响，不能较好的反应局部不同内孤立波相速度的变化，只能提供区域内第二模态内孤立波相速度的背景值.
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图 9 ISW1位置处的密度曲线; (b)不同模态对应的特征函数 其中黑线对应的是第一模态内孤立波，红线对应的是第二模态，绿线是第三模态. Fig. 9 (a) The density profile at ISW1; (b) The characteristic function corresponding to different modes Where the black line corresponds to the first mode internal solitary wave, and the red line corresponds to the second mode, the green line is the third mode. |
图 10a中红色曲线是对ISW1使用海底深度(H=129 m)通过KdV方程计算的内孤立波振幅的垂向变化，垂向模态最大值的深度为78 m，与内孤立波ISW1最大振幅深度(81.56 m)基本一致，振幅变化趋势与理论也较接近.KdV方程计算的其他5个第二模态内孤立波振幅垂向变化见图 10(b—f)，振幅变化趋势与理论结果吻合的较好，ISW4、ISW5和ISW6三个第二模态内孤立波最大振幅深度与垂向模态最大值所处深度有偏差，应该是GDEM-Version3.0数据范围只到129 m深度，而这三个第二模态内孤立波实际深度更大造成的.
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图 10 KdV拟合第二模态内孤立波振幅 (a)—(f)分别是拟合内孤立波ISW1—ISW6振幅的结果，黑色线段是第二模态内孤立波振幅的垂向变化，红色曲线是使用海底深度(H=129 m)获得的理论振幅分布. Fig. 10 KdV theory fits the internal solitary wave amplitude (a)—(f) are the amplitude fitting results of the internal solitary waves ISW1—ISW6, respectively. The black line segment is the vertical variation of the mode-2 internal solitary waves′ amplitude, and the red curve represents the theoretical amplitude acquired using seafloor depth (H=129 m). |
Brenes等(2008)利用1993年9月到10月及1994年2月到3月在中美洲观测的水文数据，发现在Fonseca湾(Gulf of Fonseca，位于Papagayo海湾(Gulf of Papagayo)的西北侧附近)冬季和夏季都存在一个温暖的反气旋，该反气旋会使得温跃层深度变大，最深达到70 m左右.我们利用CMEMS(Copernicus Marine Environment Monitoring Service)的物理海洋再分析数据，获得了该地区在2004年12月17日的地转流速(海面以下78m处的地转流速，图 11).观察地转流速的分布，发现在88号测线西北侧发育着较强反气旋(可能对应Brenes等(2008)观测到的Fonseca反气旋)，东南侧发育有一个弱一些的反气旋.这些反气旋会使得周围海水的温跃层深度变大，根据图 9a中给出的ISW1处的密度曲线及表 1中统计的密跃层中心深度(密跃层中心深度最大达60 m左右)，研究区海水的温跃层深度确实变大，而温跃层(密跃层)加深有利于第二模态内孤立波的产生(Chen et al., 2014).另外，对于尼加拉瓜西部海域，从2004年11月19日的卫星遥感图像上可以发现向岸传播的内波，且多见于陆架和陆坡区域(图 1b—c)，推测研究区观测到的第二模态内孤立波产生于陆架坡折处.
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图 11 88号测线采集时对应的地转流速(海面以下78 m的)及海平面高度.白色线段是88号测线位置 Fig. 11 The corresponding geostrophic velocity (the location is 78 m below the sea surface) and sea surface height during the acquisition of the survey line 88. The white line segment shows the position of the survey line 88 |
Zhang等(2018)在研究背景剪切流对第二模态内孤立波演化影响时，发现背景剪切流对第二模态内孤立波的调整表现在能产生前向传播的长波(forward-propagating long waves)、调幅的波包(amplitude-modulated wave packet)和振荡的尾波(oscillating tail)，且剪切流的存在能使第二模态内孤立波耗散更强.88号测线所处位置附近存在的反气旋，能产生背景剪切流，有可能促进了88号测线上第二模态内孤立波尾部高频内波的发育.
Carr等(2019)在研究第二模态内孤立波遇到海底斜坡(斜坡陡度s发生变化，s为斜坡的高度除以斜坡水平投影长度)发生浅化时，发现在较小陡度的情况下(0.03≤s≤0.07)，第二模态内孤立波波形在浅化过程中被破坏，首部的第二模态内孤立波退化成一系列上抬型第一模态内孤立波.88号测线所处陆坡的陡度s约为0.004(图 5c中展示的陆坡高度约为90 m，陆坡水平投影长度约为22.5 km)，相比Carr等(2019)实验中设定的陆坡陡度要小，表现为在88号测线所处陆架上发育有多个波形较完整的第二模态内孤立波，没有出现第二模态内孤立波浅化过程中退化成的上凸型第一模态内孤立波.
4 结论本文利用地震海洋学方法首次在中美洲太平洋沿岸海域(尼加拉瓜西部海域)发现了第二模态内孤立波群，并对其进行了研究.这些第二模态内孤立波为凸型第二模态内孤立波，最大振幅为10 m左右，大部分属于较小振幅的内孤立波.位于陆架上的第二模态内孤立波ISW3，其所在位置处的密跃层中心偏离水层中心为6.4%水深，偏离程度较大，在地震剖面上表现为波峰和波谷较强的不对称.通过叠前偏移观察该第二模态内孤立波群细结构的变化，发现位于陆坡上第二模态内孤立波ISW4在大约50 s的采集过程中，出现反射同相轴分叉、合并以及密跃层中心深度变化.推测是由于此处海水层结不稳定引起的.
利用改进的内孤立波视相速度计算方法，对中美洲EW0412航次88号测线发育的第二模态内孤立波视相速度进行了计算.利用共偏移距道集叠前偏移剖面计算的这些第二模态内孤立波视相速度在0.5 m·s-1左右，其视传播方向都是沿地震测线从SW到NE(44°N方向，0°指向北)，即对应着内孤立波浅化的过程.通过对视相速度误差相对较小的三个第二模态内孤立波(ISW1、ISW3和ISW5)的视相速度进行分析，发现第二模态内孤立波视相速度与水深及内孤立波最大振幅有关.总体上第二模态内孤立波视相速度随着水深的增加而增加，另外一般情况下具有较大最大振幅的第二模态内孤立波的视相速度较大.通过KdV方程计算的第二模态内孤立波传播速度约为0.4 m·s-1，与地震数据计算的视相速度基本一致.另外这些第二模态内孤立波垂向结构变化与理论值也基本一致.
致谢 感谢R/V Maurice Ewing EW0412航次的船长、船员和各位科学家为获得地震数据做出的贡献.地震数据EW0412由MGDS(The Marine Geoscience Data System)—海洋地球科学数据系统提供(http://www.marine-geo.org/).温盐数据来自美国海军研究实验室(NRL)的Generalized Digital Environment Model(GDEM-Version 3.0)及CMEMS(Copernicus Marine Environment Monitoring Service)—哥白尼海洋环境监测服务中心(http://marine.copernicus.en/services-portfolio/access-to-products/).十分感谢MGDS、NRL和CMEMS对本研究的数据支持.
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