2020, Vol. 63
2. 大地测量与地球动力学国家重点实验室, 中国科学院精密测量科学与技术创新研究院, 武汉 430077;
3. 合肥工业大学, 合肥 230009;
4. 自然资源部第一大地测量队, 西安 710054
, LIANG XingHui2, YE ZhouRun3, LIU ZhanKe4, LANG JunJian2, WANG GuoCheng2, LIU LinTao2
2. State Key Laboratory of Geodesy and Earth's Dynamics, Innovation Academy for Precision Measurement Science and Technology. Chinese Academy of Science, Wuhan 430077, China;
3. Hefei University of Technology, Hefei 230009, China;
4. The First Geodetic Survey Brigade Ministry of Natural Resources, Xi'an 710054, China
相对于传统的重力场数据，重力梯度数据含有更多的高频信息量，在油气矿产资源勘探、大地测量学、地球物理学以及国防建设中具有较强的优越性和应用价值(Bell, 1998; 曾华霖, 1999; Hatch, 2004; 张昌达, 2005; 边少锋和纪兵, 2006; 舒晴等, 2007; Dransfield, 2007; DiFrancesco et al, 2009; 熊盛青, 2009; 叶周润, 2010; 梁星辉, 2012; 袁园, 2015；刘金钊等，2015; 叶周润等，2015).
1886年，匈牙利科学家Loránd Eötvös设计了最早的重力梯度测量系统——扭称，随后几十年，北美、加拿大、澳大利亚、德国、意大利和英国等多个国家对重力梯度测量仪器及其关键技术进行了研制与实验，并于20世纪70到80年代研制成功了基于旋转加速度计技术的航空重力梯度测量系统以及于2007年研制成功的具有更高测量精度的超导重力梯度测量系统，同时基于冷原子技术的重力梯度测量系统也在不断测试发展中(表 1)(Murphy, 2004; Lumley et al., 2004; 罗嗣成, 2007; Anstie et al., 2010; Dransfield et al, 2010; Kieran et al, 2000; 梁星辉, 2012)；2009年3月欧洲航天局成功发射了基于重力梯度测量技术的GOCE卫星，使得利用卫星重力梯度数据优化全球重力场模型成为大地测量研究领域的前沿和热点问题之一(Klees et al., 2000; 罗志才等, 2009; 郑伟等, 2010; 刘晓刚, 2011; Pail et al., 2011; 游为等, 2012).
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表 1 目前主流航空重力梯度测量系统相关技术指标(Lee., 2001; Dransfield et al., 2004; Hinks et al., 2004; Murphy, 2010; Annecchione et al., 2007) Table 1 Related technical indicators of mainstream airborne gravity gradient measurement systems |
因此及时开展重力梯度方面的深入研究能够更好地促进我国重力及重力梯度测量关键技术的向前发展，而高分辨率区域重力梯度场建模研究不仅能够为未来我国独立自主设计的重力梯度测量系统的外部检核提供条件，同时对于相关学科(如恢复中高频段重力场信号、区域重力场模型优化及大地水准面精化等；浅层地壳结构精细反演；水下潜艇重力梯度匹配导航、导弹精密轨道控制等)的探索研究及国民经济发展等也具有积极的科学意义(刘金钊，2017).
目前，解算区域重力梯度场主要是基于地形高程数据(边少锋和张赤军, 1999; 张赤军, 1999; Jekeli and Zhu, 2006; Rózsa and Tóth, 2007; Makhloof and Ilk, 2008; 武凛等, 2009; Eshagh et al, 2009; 刘繁明等, 2013)、重力数据(Mickus and Hinojosa, 2001; Zhu and Jekeli, 2006; 蒋甫玉等, 2011; Wang et al., 2012; Jiang et al., 2012; 刘金钊等, 2015)或者二者的联合(Rózsa and Tóth, 2005; Zhu and Jekeli, 2007, 2009; 钱东等, 2011; 刘金钊等, 2013; Bucha et al., 2016)，利用频谱域或者空间域方法来实现.本文通过联合全球重力位模型(EGM2008)、航空重力扰动数据和剩余地形模型(RTM)数据，采用不同的解算方案，分别基于频谱域(二维FFT变换)和空间域(Stokes数值积分)算法，对毛乌素测区GT-2A航空重力测量系统采集的空中测线后处理重力扰动数据进行解算，构建了该地区的航空重力梯度扰动全张量.并对两种方案的解算结果进行了对比分析.
1 数据和方法2015年4月17日至6月11日，自然资源部第一大地测量队采用引进的国内首台GT-2A航空重力仪在毛乌素地区实施了航空重力测量(宛家宽等，2017).毛乌素测区位于陕西省与内蒙古交界处，地貌以沙漠丘陵为主，地形起伏如图 1，高程统计见表 2.航空重力测量载体飞机选用塞斯纳208机型，机上搭载GT-2A航空重力测量系统和1台Ashtech双频GPS接收机，地面架设了2个GPS基准站.选取鄂尔多斯机场作为飞机起降保障机场，机场距毛乌素测区的飞行距离约为80 km(蒋涛等，2018).图 1中的黑色方框为本文计算结果的输出区域，该区域大小约139 km×60 km；灰色线条为测区飞行航线格网，航线格网间隔约0.55 km，红色方框为考虑边缘效应内缩计算范围后的结果输出区域，大小约137 km×58 km.解算区域外地形质量影响结果分析见附录.
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图 1 研究区域SRTM地形起伏图(黑色方框为结果输出区域，灰色线条为测区飞行航线格网，红色方框为考虑边缘效应内缩计算范围后的结果输出区域) Fig. 1 SRTM topographic relief map of the study area (the black box in the figure is the result output area, the gray line is the grid of the flight route within the survey area, The red box is the result output area after shrinking the calculation range after considering the edge effect) |
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表 2 研究区域SRTM数据地形高程统计(单位：m) Table 2 Statistics of SRTM terrain elevation data (Units: meters) |
本文航空重力梯度场构建技术路线见图 2：首先在实测航空重力扰动中去除全球重力位模型EGM2008的重力扰动及剩余地形模型RTM的航空高度重力效应的影响，得到残余航空重力扰动数据，作为后续航空重力梯度场解算的输入数据之一；一方面，根据频谱域方法(二维FFT变换)，沿方案一进行梯度解算；另一方面，将残余航空重力扰动向下延拓至大地水准面得到大地水准面上的残余重力扰动，由Stokes积分得到方案二梯度解算结果.具体解算过程及结果对比分析见后续章节.
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图 2 本文航空重力梯度场构建技术路线图 Fig. 2 Technological flowchart of construction for airborne gravity gradiometry calibration field |
实测航空重力扰动数据经插值后得到规则格网数据，这里选择的格网化插值方法是反距离加权插值，由于航空重力测线数据本身分布密集合理，简单的反距离加权插值即可达到较好的格网化效果，另外该方法对数据的处理较为简单，对数据的干预少，更能保持数据本身的特性(蒋涛等，2018).对85019个航空重力扰动数据进行格网化后，得到空间分辨率为0.3'×0.3'的重力扰动格网，相关统计量见表 3.
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表 3 研究区域航空重力扰动统计(单位: mGal, 1 mGal=1×10-5ms-2) Table 3 Statistics of airborne gravity disturbance(Units: mGal, 1 mGal=1×10-5ms-2) |
基于EGM2008模型来解算研究区域的重力扰动，可以根据公式(1)来进行计算(Barthelmes，2013)：
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(1) |
式中：GM是地心引力常数，r是航空高度到地心的径向距离，θ，λ为球坐标下的地心余纬和经度，CnmT和SnmT是完全正则化的EGM2008扰动位球谐系数，Nmax是最大展开阶数，Pnm是m阶n次完全正则化勒让德函数.解算得到的EGM2008航空重力扰动相关统计量见表 4.
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表 4 研究区域EGM2008重力扰动统计(单位: mGal) Table 4 Statistics of EGM2008 gravity disturbance calculated in the study area (Units: mGal) |
剩余地形模型RTM(Residual Terrain Model, Forsberg, 1984)通过SRTM高程数据(Jarvis et al., 2008)和DTM2006.0全球地形球谐展开模型(Pavlis et al., 2007)的差值来计算，得到的RTM数据根据公式(2)来求解相应的航空高度处的地形重力效应(Wang, 1990)：
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(2) |
其中：
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表 5 研究区域RTM重力统计(单位: mGal) Table 5 Statistics of gravity effect which derived from RTM (Units: mGal) |
从格网化后的航空重力扰动数据中减去EGM2008得到航空高度处重力扰动及RTM的地形重力效应，就得到了残余航空重力扰动数据，见表 6.作为本文利用不同解算方案构建区域梯度场的输入数据之一.
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表 6 研究区域残余航空重力扰动统计(单位: mGal) Table 6 Statistics of residual airborne gravity disturbance (Units: mGal) |
根据1.1节得到的残余航空重力扰动数据，我们基于两种不同的解算方案(图 2)，分别利用频谱域算法和空间域算法求解最后的梯度张量.
解算方案一选择频谱域方法，基于重力数据与重力梯度的频谱关系，通过二维傅里叶变换FFT来获得研究区域的残余航空重力梯度扰动，然后恢复EGM2008和RTM的梯度信号，最终获得完整的航空重力梯度场.
1.2.1 基于FFT方法计算航空高度残余梯度扰动在地球外部，重力位ϕ满足拉普拉斯方程，▽2ϕ=0.因此，重力位的傅里叶变换满足(kx, ky, kz)Φ(k)=0，其中k=(kx, ky, kz)是波数向量，kx，ky和kz分别是x，y和z方向上的波数. kz与kx和ky的关系可以表示成－ikz=|k|，其中|k|=(kx2+ky2)1/2(参考Blakely, 1996).最后，在频谱域，重力梯度与重力扰动的关系可以表示为
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(3) |
其中，
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(4) |
基于残余航空重力数据，利用二维FFT方法解算得到残余航空梯度扰动见图 3.
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图 3 研究区域二维FFT方法解算的残余航空梯度扰动 Fig. 3 Residual airborne gradient disturbance calculated by 2D-FFT |
这里选择的全球重力位模型是EGM2008.在球坐标系(r, θ, λ)下, 重力梯度扰动δΓij，i, j∈{x, y, z}，由公式(5)计算得到(Barthelmes，2013)：
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(5) |
其中，
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表 7 研究区域重力位模型重力梯度扰动(单位：E，1E=10-9s-2) Table 7 Statistics of calculated EGM2008 gradients disturbance |
剩余地形模型RTM的重力梯度效应可根据棱柱数值积分法来求解，将格网RTM点看作具有常密度的棱柱体(这里我们选择标准岩石密度ρ=2670 kg·m－3)，通过公式(6)至公式(11)求解各梯度分量(参考Jekeli and Zhu, 2006; Forsberg, 1984):
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(6) |
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(7) |
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(8) |
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(9) |
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(10) |
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(11) |
每个RTM点棱柱的尺寸定义为Δx, Δy及zRTM，解算得到的剩余地形模型的重力梯度效应见表 8.
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表 8 研究区域剩余地形模型(RTM)重力梯度(单位：E) Table 8 Statistics of gradients derived from RTM (Units: E) |
位场数据的向下延拓是一个数据噪声得到放大的不适定过程，无论采用何种正则化解法或平滑方法都只是在一定程度上削弱或控制向下延拓误差(蒋涛等，2018).同时，位场向下延拓也能够增强异常的短波信号，或者突出场源分布的细节，是位场数据解释中一项非常有用的技术.这里我们选择Van Tran和Nguyen(2020)的位场延拓方法，该算法的基本思想是基于泰勒级数展开方法，通过不同高度可靠的向上延拓的位场组合来表示不同阶位场梯度，进而求得位场的向下延拓值，该算法在含有噪声的情况下，比希尔伯特方法和拉普拉斯方法更加稳定.
位场的向上延拓可以用公式(12)来表示，通过表示不同高度向上延拓方程，将位场的各阶导数(f, f′, f″, f(3), …)表示成不同高度的幂(Δh, (Δh)2, (Δh)3, …)及其延拓值(f(x, y, z+Δh), f(x, y, z+2Δh), f(x, y, z+3Δh), …)的组合，进而带入向下延拓公式(13)及拓展式(14)，完成位场的不同高度向下延拓值：
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(12) |
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(13) |
一般形式，将z用z－(m－1)Δh代替：
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(14) |
向下延拓得到的研究区域大地水准面上残余航空重力扰动相关统计量见表 9.利用该数据作为我们航空重力梯度扰动解算方案二的输入数据.同时，我们又将大地水准面上的残余航空重力扰动向上延拓回航空高度，与原残余航空重力扰动数据进行了对比，分析该算法的内符合精度，相关结果分析见第2节.
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表 9 研究区域残余航空重力扰动向下延拓统计(单位: mGal) Table 9 Statistics of residual gravity disturbance after downward continuation (Units: mGal) |
因为本文研究的梯度扰动主要是局部信号，在局部大地水准面足够平滑的情况下，我们经常利用平面来代替大地水准面进行计算.在平面近似下，Stokes函数能够在区域笛卡尔直角坐标系下近似表示为(Zhu and Jekeli, 2007)
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(15) |
其中
平面近似下的Stokes积分公式为
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(16) |
其中σ是积分单元，
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(17) |
进而，梯度张量的对角线分量可以表示为
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(18) |
非对角线分量可以表示为
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(19) |
实际数值计算中，可以将积分转化成求和来进行计算：
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(20) |
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(21) |
基于向下延拓至大地水准面上的残余重力数据，利用Stokes数值积分方法解算得到残余航空梯度扰动见图 4.与图 3比较，我们发现，向下延拓过程放大了输入数据中的短波信号，突出了场源分布的细节特征.在恢复全球重力位模型的梯度扰动及剩余地形模型的重力梯度效应后，我们会对方案一、方案二得到的全张量梯度信号进行对比分析，相关结果见第2节.
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图 4 研究区域Stokes积分方法解算的残余航空梯度扰动 Fig. 4 Residual airborne gradient disturbance calculated by Stokes numerical integration |
作为输入数据之一的残余航空重力扰动数据(原数据及其延拓值)，其中解算方案一是用原残余航空重力扰动数据求解残余梯度扰动，解算方案二是用向下延拓至大地水准面上的残余重力扰动求解残余梯度扰动(见图 2)；向下延拓会增强原数据中的短波信号，突出细节特征，把向下延拓值再向上延拓回原航空高度，与原残余航空重力扰动进行比较，可以为我们分析解算得到的不同方案梯度扰动的定性分析提供参考(本文未就延拓过程对不同方案解算梯度扰动结果的影响进行定量分析，这部分工作将作为后续研究内容来开展).原残余航空重力扰动及其延拓值(先向下延拓至大地水准面，再向上延拓回航空高度)，见图 5，二者差值的统计量见表 10.
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图 5 残余航空重力扰动与其先向下再向上延拓后的值. (a)原残余航空重力扰动；(b)延拓后的残余航空重力扰动 Fig. 5 Residual airborne gravity disturbance and its continuation values. (a) Original airborne gravity disturbance; (b) Continuation values from (a) |
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表 10 残余航空重力扰动与其延拓值的差值统计(单位: mGal) Table 10 Statistics of the differences between the residual airborne gravity disturbance and its continuation values (Units: mGal) |
从图 5和表 10中可以看出：残余航空重力扰动经向下延拓至大地水准面，再向上延拓至航空高度后与原数据差值的标准差为1.0078 mGal.考虑边缘效应的影响，我们对原计算范围进行内缩，重新计算的差值统计量见表 11，内缩计算范围后的差值标准差减小至0.1269 mGal.
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表 11 内缩计算范围后残余航空重力扰动与其延拓值的差值统计(单位: mGal) Table 11 Statistics of the differences between the residual airborne gravity disturbance and its continuation values within inner calculation area (Units: mGal) |
根据图 2的航空重力梯度场构建技术路线，经二维FFT变换得到残余梯度扰动，恢复EGM2008解算的航空高度梯度扰动和RTM解算得到的航空高度梯度效应，最终得到方案一的梯度全张量结果，见图 6.同理，由向下延拓至大地水准面上的重力扰动，经Stokes数值积分得到航空高度处的残余梯度扰动，再恢复EGM2008解算的航空高度梯度扰动和RTM解算得到的航空高度梯度效应，最终得到方案二的梯度全张量结果，见图 7.
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图 6 方案一计算航空高度梯度扰动张量 Fig. 6 Airborne gradients disturbance calculated from computational scheme one |
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图 7 方案二计算航空高度梯度扰动张量 Fig. 7 Airborne gradients disturbance calculated from computational scheme two |
对比图 6和图 7，我们发现两种方案解算得到的梯度各分量具有相同的变化趋势特征，所不同的是，由延拓值经Stokes数值积分得到的方案二结果表现出了更为明显的细节特征，这与我们在分析残余重力扰动延拓得到的结论是一致的.
两种方案解算得到的研究区域航空高度梯度扰动张量的差值见表 12，从表中可以看出两种方案得到的研究区域重力梯度扰动各分量之差的最大标准差为6.4798E(Γyz分量)，最小标准差为2.6968E(Γxy分量)；这里的计算结果不符值主要来源于两个方面：(1)由原残余重力扰动经延拓过程引入的误差；(2)由不同方案梯度解算算法引入的误差.这两类误差的定量统计超出了本文的研究范围，将作为后续工作进行深入分析.
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表 12 两种方案航空高度梯度扰动差值的统计量(单位：E) Table 12 Statistics of the differences of the airborne gradients disturbance between computational schemes (Units: E) |
与残余重力扰动延拓对比分析一样，我们内缩了计算范围后发现(见表 13)：内缩计算范围得到的差值标准差最大值为1.8307E(Γzz分量)，最小值为0.7223E(Γyz分量).目前国内没有实测重力梯度数据进行对比分析，然而由本文解算结果得到的内符合精度已经达到了2E以内，小于部分主流航空重力梯度测量系统相关技术指标(见表 1)，我们认为本文的解算结果是可靠的，这将为未来我国自主构建航空重力梯度标定场提供一定参考.
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表 13 内缩计算范围后两种方案航空高度梯度扰动差值的统计量(单位：E) Table 13 Statistics of the differences of the airborne gradients disturbance derived from two computational schemes within inner calculation area (Units: E) |
(1) 本文通过联合全球重力位模型(EGM2008)、航空重力扰动数据和剩余地形模型(RTM)数据，基于频谱域(二维FFT变换)和空间域(Stokes数值积分)算法对毛乌素测区GT-2A航空重力测量系统采集的空中测线后处理重力扰动数据进行解算，构建了该地区的航空重力梯度扰动全张量.通过分析发现，全球重力位模型对区域梯度场构建的贡献较小，区域梯度信号主要由区域重力数据和地形数据来贡献.
(2) 基于残余航空重力扰动数据(原数据及延拓数据)，通过不同方案解算得到的梯度扰动结果表明：两种方案得到的研究区域重力梯度扰动各分量之差(内符合)的最大标准差为6.4798E(Γyz分量)，最小标准差为2.6968E(Γxy分量)，内缩计算范围得到的差值标准差最大值为1.8307E(Γzz分量)，最小值为0.7223E(Γyz分量).两种方案计算结果不符值主要来源于两个方面：残余航空重力扰动的延拓误差以及频谱域(二维FFT)和空间域(Stokes数值积分)算法的计算误差.对最终结果误差(以及数据本身误差和分辨率的影响)的进一步量化分析将作为我们后续工作进行深入研究.
(3) 本文得到的区域梯度场是由全球重力位模型、航空重力扰动数据及剩余地形模型数据蕴含的梯度效应三部分组合得到，采用的是大地测量学中经典的移去—计算—恢复的解算策略，然而该方法是否会存在不同源数据解算的信号频谱重叠及频谱空区等问题是值得研究的问题；另外地形高程数据的密度近似由常密度至变密度(根据先验地质、地震及其他地球物理数据)的转变也是我们今后的研究重点.
(4) 本文的研究思路和方法为我国自主构建重力梯度标定场及其他地球物理科学研究提供参考.
附录A为了量化计算研究区域外地形质量对输出结果的影响，我们基于本文重力梯度场的解算高度(航空高度)，选取了不同范围的RTM剩余高程模型解算了区域中心单点的全张量重力梯度值，数据及解算结果见附图 A1和附表 A1.
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附图A1 不同RTM数据范围 Appendix Fig. A1 Different RTM data ranges |
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附表A1 区域中心点不同RTM数据范围解算的重力梯度值(单位：E) Appendix Table A1 Gravity Gradients of the center point of the region calculated from different RTM ranges (Units: E) |
附图 A1中，A1(a)、A1(b)、A1(c)、A1(d)的地形范围分别为2 rad，1.5 rad，1.0 rad和0.5 rad，计算得到区域中心点重力梯度值见附表 A1.
从附表 A1中可以看出，不同范围地形质量对本文航空高度处解算的梯度张量各分量影响较小，本文的解算结果输出范围相对于参与解算的地形质量范围是可靠的.
致谢 感谢两位匿名审稿专家及期刊编辑部对本文工作提出的意见和建议，这对本文工作质量的提高及今后研究思路的拓展大有裨益；文中相关图件由Generic Mapping Tools (GMT)及MALAB制图软件完成；在此一并表示感谢.
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