2020, Vol. 63
2. 中国石油大学(华东)深层油气重点实验室, 青岛 266580;
3. 中国科学院地球科学研究院, 北京 100029
2. Key Laboratory of Deep Oil and Gas(China University of Petroleum(East China)), Qingdao 266580, China;
3. Institutions of Earth Science, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100029, China
地下大量定向分布的裂隙不仅充当油气运移通道和储集空间，也可能破坏油气的存储聚集.同时非常规油气开发常常需要水力压裂制造裂隙，提高油气产量(颜志丰等，2013；张晓林等，2013; 朱洪建等，2013).因此裂缝介质的等效力学参数建模及其特征分析是勘探地球物理的前沿问题之一，具有重要的理论意义和实用价值.
假定地下背景介质为各向同性，对于规则分布裂缝引起的各向异性问题，目前有多种等效介质模型预测裂缝介质等效参数.对于定向排列裂隙有Hudson模型(Hudson, 1980, 1981)和Eshelby-Cheng模型(Cheng，1992)；对于非定向排列裂隙，可以通过微分等效模型(DEM)和自洽模型(SCA)来定量表征孔隙微观结构对模型等效参数的影响(邓继新等，2015).由于地层的层状结构，实际储层往往具有一定的各向异性，例如许松等(2015)针对VTI(Vertically Transversely Isotropy，垂直横向各向同性)背景弹性介质，研究了水平定向裂隙对复杂介质等效参数的影响；Guo等(2019)基于线性滑移理论(Schoenberg and Douma, 1988)，采用NIA(Non-Interaction Approximation)方法研究了裂隙对VTI背景介质的影响特征.上述等效介质模型基本为表象模型，由于缺少表征岩石结构的有效手段而过于简化岩石的微观结构，导致弹性参数等效结果无法精确描述复杂裂缝储层.
为了直接模拟复杂介质背景条件下岩石的弹性等效参数，国内外学者发展一系列等效介质数值模型(例如，Ba et al., 2008, 2016).Ba等(2017)基于双孔孔隙介质假定，提出了一种针对复杂孔隙介质的DDP (Double Double-Porosity theory)介质理论；Wang等(2018)基于孔弹理论，提出一种充分考虑裂隙和孔隙内部结构影响的等效介质模型；Masson等(2006)基于低频Biot孔弹方程，发展了一种忽略孔隙黏性边界的等效纵波模量有限差分数值方法，并拓展到3D介质(Masson and Pride, 2014)，以便研究裂隙微结构对宏观等效参数的影响；Quintal等(2011)在前人研究基础上提出了一种基于有限元方法的等效介质数值模型，在保证模拟精度基础上，提高了计算速度；Rubino等(2009)结合蒙特卡罗(Monte Carlo)随机建模，提出一种非均匀饱和孔隙岩石的等效介质数值方法，研究了不均匀裂隙介质的纵/横波衰减和速度频散；Zhang等(2016)针对龙马溪页岩样本，通过构建三维数字岩心，采用有限元法进行弹性等效建模，研究了孔隙度和干酪根含量变化对等效弹性参数的影响.
以上数值模拟方法均对孔隙介质进行某些简化假定，例如Zhang等(2016)假设孔隙介质各向同性，Quintal等(2012)把裂隙介质等效为VTI介质.Rubino等(2016)发展一种能够精确描述裂隙介质等效各向异性特征的2D数值算法，但对于复杂的3D裂隙介质，需要采用各向异性最强的三斜晶系弹性张量来表征介质的各向异性特征，目前还没有这方面的研究发表.
在Rubino等(2016)2D算法基础上，本文将发展针对任意各向异性复杂裂隙介质的3D等效弹性数值建模方法，无需对裂隙介质做某种各向异性假定，适用性更加宽泛.首先简要介绍典型的传统等效介质模型，并详细介绍本文数值算法的理论背景和3D等效弹性数值建模方法；然后分别利用各向同性背景介质的裂隙模型和VTI背景介质的裂隙模型，开展等效弹性参数计算，并与常规等效介质理论方法进行比较，验证本文数值方法的精确性；最后基于该算法，采用相速度来研究实际复杂裂隙介质模型的各向异性特征.
1 方法原理 1.1 Hudson模型Hudson裂缝介质模型包括以下四个假设：(1)定向排列裂缝尺度远小于地震波长；(2)在地震波长范围内裂缝位置均匀分布；(3)满足裂缝稀疏分布的假设条件；(4)裂缝纵横比很小，即可以近似成为硬币状的椭球体.在满足上述假设条件的基础上，Hudson(1980, 1981)导出了含裂缝介质的等效弹性张量：
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(1) |
式中，Cij表示等效弹性参数，Cij0是无裂缝介质(即各向同性背景介质)的弹性常量，Cij1和Cij2分别为一阶和二阶校正量，分别表示单个裂缝独立作用产生的修正项和两个裂缝之间相互耦合作用产生的修正项，e是裂缝密度，a为裂缝的长轴半径，下角标(i，j)的取值区间为1~6.值得一提的是二阶修正项Cij2仅表示基于泰勒展开的裂隙之间弱相互作用.
1.2 Eshelby-Cheng模型尽管Hudson模型在弹性参数的表达计算上有着明确的物理含义，但该模型的二阶展式不是一个单一收敛的序列，它只适用于裂隙密度小于0.1的情形.Eshelby-Cheng改进了Hudson模型，给出了一个基于Pade逼近的扩展表达式，避免了高裂隙密度条件下等效弹性参数计算的发散问题，其具体表达式如下：
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(2) |
其中，αij和βij表示Pade系数，与裂隙密度有关(Cheng，1992).该模型包含了裂隙之间的相互作用.
1.3 Xu-Tang模型1.1和1.2节所述方法仅适用于背景基质为各向同性的介质.实际地球介质往往具有一定的各向异性，常被视为VTI介质.区域应力作用产生的定向排列裂隙导致的强各向异性，将对VTI背景基质产生显著影响.针对这种情况，许松等(2015)提出了一种等效弹性建模方法，描述水平定向裂隙对背景VTI介质的影响，具体方程如下：
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(3) |
这里Cf表示裂隙充填物的弹性模量，S表示背景介质弹性模量为C0的裂隙Eshelby张量，S*是裂隙对应的球形有效体的Eshelby张量(Grechka，2007)，ζ表示裂隙的体积分数，I是单位矩阵.
需要注意的是，由于Xu-Tang模型将一块包含有非均匀体的球形区域作为有效体，研究其在背景波场作用下的散射特征，忽略了裂隙之间相互耦合作用.因此当裂隙密度逐渐增大时，不再满足稀疏裂隙假定，该方法精度有所降低.
1.4 数值模拟方法受构造运动影响，页岩往往呈现出一定程度的扭曲，导致背景基质不再是理想的VTI介质.因此，裂隙各向异性对基质的影响将无法通过上述的理论模型获得.本文提出一种针对3D复杂背景介质的弹性等效数值建模方法，计算流程如下：(1)利用六组测试模型，获得模型的应力应变关系；(2)根据应力应变关系，构建损失函数；(3)结合最小二乘法，计算裂隙模型的等效弹性参数.具体流程如下：
1.4.1 模型的应力应变关系采用如图 1所示的六组测试，每组测试针对给定的裂隙模型，沿主应力或切应力方向分别施加一个宏观位移，获得对应的应力应变关系.采用最小二乘法，在确保系统弹性自由能最小情况下，获得岩石的有效弹性模量.六组测试包含了三组压缩试验和三组剪切试验(图 1).具体的边界条件和初始条件如表 1所示.
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图 1 六组数值模拟测试示意图 Fig. 1 The diagrams of six numerical tests |
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表 1 模型边界条件 Table 1 The boundary conditions for the models |
其中，u=(ux，uy，uz)，ux、uy和uz分别表示x方向、y方向和z方向上位移，Δu表示施加的初始位移，“-”表示压缩方向.这里我们采用了周期性边界(Zhu et al., 2017；Jänicke et al., 2015)，T表示上边界，B表示底部边界，L表示左边界，R则表示右边界.
1.4.2 构建损失函数采用各向异性最强的三斜晶系介质来构建模型能量函数，其应力应变本构方程如式(4)所示，考虑到Cij矩阵的对称性，共有21个未知弹性系数.
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(4) |
根据图 1所示的六组不同数值模拟测试，可以获得含21个变量的36个方程.采用最小二乘方法求解等效弹性系数矩阵C，构建如下的损失函数(Rubino et al., 2016)：
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(5) |
其中，三角括号表示模型平均值，m取值为1~6，表示六组不同的数值模拟测试.
1.4.3 计算等效弹性参数根据方程(5)可知，损失函数F是一个以Cij为变量的多元二次方程，F最小意味着对应的等效弹性参数Cij能够精确描述应力应变关系，同时对应的一阶导数为零，即
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(6) |
求解(6)式导出的21个线性方程，可获得三斜晶系介质对应的21个等效弹性系数.该方法对于其他各向异性程度偏弱的介质同样适用.
2 方法验证利用第1节方法，基于背景为各向同性和横向各向同性两种介质，设置不同的裂隙密度，开展等效弹性数值建模研究，并与常规方法结果进行比较，分别验证在干燥和饱和两种状态下，本文方法的适用性和精确性.在此基础上，研究实际复杂介质中微结构对等效各向异性特征的影响.
2.1 各向同性背景的3D裂隙介质图 2所示为含裂隙各向同性背景介质模型，边长为0.2 m，弹性参数为C11=47.31 GPa，C12=7.83 GPa(Guo et al., 2019).水平定向排列裂隙由均匀分布的圆币形孤立裂缝构成，其长轴半径为a=0.09 m，纵横比(aspect ratio)是0.01.分别取五组不同的裂隙密度e=na3/V，其中n代表裂隙的数量，V代表模型的体积.裂缝中填充空气(即干裂缝)或饱和充水，空气的拉梅常数为λ=0 GPa，μ=0 GPa，水的拉梅常数取为λ=2.19 GPa，μ=0 GPa.
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图 2 含裂隙各向同性背景介质模型示意图 Fig. 2 The diagram of isotropic host media containing cracks |
图 3对比分析了干燥裂隙情况下，图 2模型的等效弹性参数随裂隙密度的变化趋势，可见，当裂隙密度小于0.15时(图 3a)，数值模型、Hudson模型、Eshelby-Cheng模型和Xu-Tang模型计算的C11非常接近，它们之间相对差异小于5%；当裂隙密度大于0.2后，Hudson模型对应的C11随着裂隙密度的增大反而增大，这与物理事实不符.在图 3b中，随着裂隙密度的增大，Eshelby-Cheng模型计算的C33出现小于零的非物理情况，而Hudson模型对应的C33值反而增大.这两种非物理现象表明两个模型均无法适用于裂隙密度较大情况.
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图 3 含干裂隙各向同性背景介质模型的等效弹性参数(C11、C33与C44)随裂缝密度变化特征，缩写iso表示各向同性的背景介质 Fig. 3 The diagrams of effective stiffness coefficients (C11, C33 and C44) for the isotropic host medium containing dry cracks as functions of crack density. Abbreviation "iso" means the isotropic host media |
在图 3b和3c中，Xu-Tang模型和数值解计算结果变化趋势基本一致，但二者计算的C33其差异随着裂隙密度增大而显著增大，这种差异源于裂隙之间相互扰动引起的屏蔽效应(shielding effect)(Grechka，2007)，而Xu-Tang模型未充分考虑这种扰动作用，导致计算的C33值小于数值解.
综上所述，Hudson二阶模型和Eshelby-Cheng模型计算的等效弹性参数随着裂隙密度增大出现与物理事实不符的畸变特征.Xu-Tang模型未充分考虑裂隙之间的扰动作用，导致裂隙密度较大情况下的等效参数模拟精度降低，而数值模拟方法有效解决了这些问题.
图 4对比分析了在饱和条件下，图 2模型的等效弹性参数随着裂隙密度增大的变化趋势.相比较于干燥条件(图 3)，不同模拟方法计算的等效弹性参数之间的差异有所缩小.图 4a中，解析解和数值解之间存在一定的差异，主要由边界条件引起.数值模拟所采用的狄利克雷边界会截断裂隙的应力集中区，使得模型不能完全包含整个应力分布，使得裂隙介质偏“软”，但边界条件造成的相对误差很小(< 5%).图 4c中，Xu-Tang模型和数值解之间也存在一定的差异，同样是因为Xu-Tang模型没有充分考虑裂隙之间的相互作用.一般而言，裂隙密度偏小情况下，裂隙之间的扰动作用较小，Xu-Tang模型模拟精度较高；随着裂隙密度增大，裂隙之间相互作用增强，该模型模拟精度降低，而数值模型充分考虑了裂隙之间相互作用.一般而言，饱水条件能减弱裂隙之间的相互作用(Zhao et al., 2015)，因此图 4b所展示的Xu-Tang模型和数值模拟结果几乎完全一致.
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图 4 含饱和裂隙各向同性背景介质模型的等效弹性参数(C11、C33与C44)随裂缝密度变化的特征 Fig. 4 The diagrams of effective stiffness coefficients (C11, C33 and C44) for the isotropic host medium containing saturated cracks as functions of crack density |
综上所述，在饱和条件下，Hudson模型、Eshelby-Cheng模型和Xu-Tang模型都能够描述裂隙对各向同性背景介质的影响.同时相比较于其他模型，Xu-Tang模型计算结果更贴近于数值模拟结果，这充分说明了数值方法的可靠性.
2.2 横向各向同性背景的3D裂隙介质由2.1节可知，本文数值方法适用于背景基质为各向同性的裂隙介质.但由于地层的层状结构，实际地下背景介质往往具有一定的各向异性.作为最普遍的各向异性模型，横向各向同性介质在地震勘探方面具有重要的应用.本节将利用背景为VTI介质的裂隙模型，进一步验证数值方法准确性和适用性.由于传统模型如Hudson模型和Eshelby-Cheng模型无法描述背景为VTI的裂隙介质，因此这里利用Xu-Tang模型来验证数值模型的适用性.
图 5所示为含裂隙VTI背景介质模型，弹性参数为C11=47.31 GPa，C12=7.83 GPa，C33=33.89 GPa，C13=5.29 GPa，C44=17.15 GPa，裂缝中填充空气(即干裂缝)或饱和充水, 其裂隙充填物、裂隙以及模型的设置与图 2一致.
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图 5 含裂隙VTI背景介质模型示意图 Fig. 5 The diagram of VTI host medium containing cracks |
图 6对比分析了干燥情况下，图 5模型的等效弹性参数随裂隙密度的变化趋势.在裂隙密度较小的情况下，Xu-Tang模型和本文模拟结果变化趋势基本一致，但是随着裂隙密度的增大(e>0.2)，模型与本文方法二者结果差异持续增大，这是由于Xu-Tang模型忽略了裂隙间的屏蔽作用所导致的.
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图 6 含干裂隙的VTI背景模型的等效弹性参数(C11、C33与C44)随裂缝密度变化特征 Fig. 6 The diagram of effective stiffness coefficients (C11, C33 and C44) for the VTI host medium containing dry cracks as functions of crack density |
图 7对比分析了饱和条件下，图 5模型的等效弹性参数随裂隙密度的变化趋势，总体上，Xu-Tang模型和本文模拟方法对应的弹性参数(C11、C33与C44)变化趋势一致，验证了数值方法的可靠性.
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图 7 含饱和裂隙的VTI背景模型的等效弹性参数(C11、C33与C44)随裂缝密度变化特征 Fig. 7 The diagram of effective stiffness coefficients (C11, C33 and C44) for the VTI host medium containing saturated cracks as functions of crack density |
综上所述，本文的数值模拟方法有效描述裂隙对VTI背景介质的影响，同时兼顾裂隙扰动作用对等效介质参数的影响.
3 方法应用分析以上在背景基质分别为各向同性裂隙介质和VTI裂隙介质的条件下，验证了数值方法的可靠性.但实际储层更为复杂，其背景可能不是VTI介质，特别当页岩中包含了大量的裂隙后，裂隙引起的非均质性将引起更强烈的各向异性.因此这都将使得传统模型无法精确描述这种具有强烈各向异性特征的介质，而数值方法则能够很好适应这类极端情形.
图 8所展示的页岩模型，特征在于：
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图 8 实际复杂页岩介质剖面图 Fig. 8 The cross-section of the real complex shale |
(1) 裂隙基本垂直分布于背景介质中；
(2) 实际介质受构造运动的影响，产生了蠕变扭曲以及尖灭现象，导致背景基质并不是严格意义上的VTI介质，而更接近于TTI(Tilted Transversely Isotropy，具有倾斜对称轴的横向各向同性)介质.
为分析裂隙对复杂背景介质所产生的影响，设计两种包含干燥裂隙的模型，二者不同之处在于，背景介质弹性参数不同，具体介质参数如表 2所示.其中TTI介质参数是基于VTI弹性张量，通过Bond变换矩阵，分别围绕x轴、y轴和z轴旋转90°、120°和90°获得.
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表 2 两种不同的各向异性背景介质参数 Table 2 The anisotropic parameters for two host media |
通常采用Thomsen参数：ε、δ和γ三参数描述VTI介质的弱各向异性(Mavko et al., 2009).但本文背景介质的复杂性(表 2)以及裂隙所引起的强非均质性，使得此时的复杂模型并不能被等效成为VTI介质，因此相速度无法通过现有的VTI等效介质理论(Mavko et al., 2009)获得，而需要通过Christoffel方程(司芗，2012)获得.
在各向同性介质中，波的偏振方向平行或垂直于传播方向.而在各向异性介质中，大多数情况下，波的偏振方向并不严格垂直或平行于波的传播方向，这种类型的波通常是用qP(准P波)、qSH(准SH波)和qSV(准SV波)表示(司芗，2012).
图 9表明在VTI介质和TTI基质中，随着裂隙密度的增大，qP波相速度的偏心率越来越大，表明介质的各向异性程度越来越强.另一方面，由于裂隙之间的应力屏蔽作用，使得qP波相速度随裂隙密度增加而递减幅度越来越小.图 9b中，裂隙平面与TTI基质各向同性平面方向不同，使得相速度椭圆的长轴与0°方向存在一定的夹角，但裂隙密度的增大使得长轴逐渐逼近于0°方向，这是因为随着裂隙密度的增大，裂隙所导致的各向异性程度加强，导致等效各向同性面(椭圆长轴方向)逐渐逼近于裂隙平面(0°方向).而图 9a中，由于裂隙平行于VTI介质的各向同性平面，因此，随着裂隙密度的增大，仅垂直于裂隙方向的速度减小，但平行于裂隙方向(VTI各向同性面)的速度保持不变.
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图 9 含干燥裂隙的VTI介质(a)和TTI介质(b)的qP波相速度面示意图，图例中CD表示裂隙密度e Fig. 9 The diagrams of qP wave in the VTI host media (a) and TTI host media (b) containing dry cracks. In the legend, CD is the crack density e |
图 10表明，裂隙密度的增大使TTI介质的qSH相速度发生了明显的扭曲，特别是在裂隙法向(90°)方向上.VTI介质中(CD=0.4556)，qSH波相速度在裂隙法向方向(90°)左右，略微减小；但是相同的情况下，TTI介质中的qSH波相速度显著减小，出现了明显的“凹陷”.这是因为，TTI介质中的各向同性面与裂隙平面(0°)并不重合，导致沿着裂隙法向的qSH波速度递减幅度增大.
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图 10 含干燥裂隙的VTI介质(a)和TTI介质(b)的qSH波相速度面示意图，图例中CD表示裂隙密度e Fig. 10 The diagrams of qSH wave in the VTI host media (a) and TTI host media (b) containing dry cracks. In the legend, CD is the crack density e |
图 11a表明，当裂隙垂直于VTI背景的各向同性面，裂隙密度的增大使得qSV波速呈现出“方形”，说明模型呈现正交晶系的等效介质特征，其最大值出现在45°.而图 11b中，裂隙密度对qSV波的相速度的影响很小，但峰值波速没有准确的出现在45°处，而是在略大于45°处出现.这是因为TTI中的各向同性面与裂隙法向(90°)并不重合.
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图 11 含干燥裂隙的VTI介质(a)和TTI介质(b)的qSV波相速度面示意图，图例中CD表示裂隙密度e Fig. 11 The diagrams of qSV wave in the VTI host media (a) and TTI host media (b) containing dry cracks. In the legend, CD is the crack density e |
总体而言，(1)随着裂隙密度的增大，复杂介质的等效各向异性程度增大；(2)相速度椭圆对称轴长轴随着裂隙密度的增大，均发生一定程度的偏移；(3)两组模型中，qSV波和qSH波相速度受裂隙密度以及方位角的影响不同，这将导致不同的横波分裂现象，这可以作为分析地下复杂介质裂隙分布的有效方法之一.
4 结论针对3D复杂介质，提出一种岩石物理数值等效方法.通过多种成熟的等效介质方法，如Hudson、Eshelby-Cheng以及Xu-Tang模型，验证等效方法的正确性.根据实际页岩工区的岩样，构建符合地下介质复杂特征的模型，通过纵横波相速度，有效评估其各向异性特征.
在裂隙密度较小情况下(e < 0.15)，本文数值模拟方法的结果与Hudson方法和Eshelby-Cheng方法结果相吻合，在裂隙密度较大的情况下，本文数值模拟方法有效避免传统解析方法所带来的误差，同时兼顾裂隙扰动作用对等效介质参数的影响，较好地描述复杂裂缝介质的各向异性特征.
选取页岩靶区的岩样，建立有效介质模型，通过相速度评估各向异性参数.模拟结果表明复杂介质将会显著扭曲纵横波相速度椭圆面，改变介质的各向异性特征，为裂隙识别提供更加合适的物理依据.
为了更逼近地下介质的真实特征，未来将考虑在基质中添加泥质，以及缝隙中充填方解石或其他固体，从而更好评估介质的等效各向异性参数，为后续油气“甜点”地球物理识别、明确油气“甜点”发育带的空间展布的联合反演建立基础.
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