0 引言

随着复杂油气勘探和高效开发技术的发展, 需要实现对井周数米到数十米范围内的地质构造、油水界面的识别, 电磁波测井作为探测油气资源的重要手段, 在地质导向和地层评价中应用广泛.目前, 随钻电磁波测井通常采用特定频率时谐激励和测量模式, 在实际应用中面临重大挑战:(1)常用的随钻方位电磁波测井采用同轴/正交/倾斜的线圈设计, 可获取地层电学参数和界面的方位信息, 但探测范围仅为2~5 m, 限制了地质导向能力(Li et al., 2005；Bell et al., 2006; Bittar et al., 2007)；(2)Schlumberger公司2010年推出的Geosphere超深探测随钻储层成像测井仪, 通过多分量信号的组合实现了油藏尺度的地质导向, 探测范围可达数十米, 但天线距离也有数十米(Beer et al., 2010; Seydoux et al., 2014; Upchurch et al., 2016; Li and Zhou, 2017).时谐源激励的随钻电磁波测井技术, 根据发射和接收线圈的几何关系分辨地层, 即为了增加探测深度, 必须要降低频率、增大源距, 导致仪器过长及信号同步困难, 对施工工艺和现场应用要求很高.

瞬变电磁法(Transient Electromagnetic Method, TEM)是通过发射天线激励电流, 在地层中产生一次场, 某一时刻激励源突然关断, 地层中产生感应电动势, 进而产生随时间向外扩散的感应涡流二次场, 涡流二次场的扩散受介质电磁参数的影响逐渐衰减, 通过测量接收天线处的感应电动势, 进而分析地下地质体的电性特征、结构形态等(Kaufman and Keller, 1987; 米萨克纳比吉安, 1992; Dutta et al., 2012).与直流源和时谐源等激励源相比, 瞬变电磁法测量信号源关断期间的纯二次场信息, 不受一次场的干扰；发射接收天线距离对测量结果影响小；另外瞬变电磁波含有宽频域的丰富信息, 且具有时域提取目标信息等优点.当前, 瞬变电磁法在近地表地球物理勘探, 例如大地电磁、探地雷达、海底可控源、地下水勘查、工程物探领域应用广泛(Roberts and Daniels, 1997; Tompkins and Srnka, 2007；牛之链, 2007; 孟庆鑫和潘和平, 2012; 李貅等, 2015; Christensen, 2016；张红权等, 2019；赵越和许枫, 2019；龙霞等, 2020).

关于瞬变电磁波在地球物理测井领域的应用, 国内外也进行了相关的研究.Anderson和Chew(1989)首先计算了宽频域中不同频率下的感应测井响应, 然后利用快速FFT变换, 将频率域测井响应转换到时间域, 模拟了井眼、侵入等因素对脉冲源时域感应测井响应的影响.Banning等(2007)提出利用瞬变三分量感应线圈系确定地层倾角及电阻率.Onegov和Epov(2011)计算了瞬变电磁场的空间分布和时间特性, 指出该方法可用于水平井的地质导向.Hagiwara(2012)进一步考察了瞬变三轴感应测井快速计算地层倾角和各向异性的方法.Swidinsky和Weiss(2017)借鉴近地表回线源的发射接收模式, 采用同一的发射接收线圈, 研究了井中瞬变电磁波测井响应特征.朱留方等(2014)对瞬变电磁波测井精确解进行了研究, 并得到感应电动势的频谱特征.总结其在测井行业中的研究, 国内外公开发表的文献很少, 关于瞬变电磁波测井应用于井周远探测的原理叙述不详细, 国外各大油服公司申请了瞬变电磁波应用于测井储层评价和地质导向的专利, 保密性非常严格(Strack, 2014).

瞬变电磁场的求解, 通常先在频率域中求得谐变场, 再利用信号变换技术将频域计算结果转换到时域, 因而研究频率域与时间域电磁场的关系问题, 可以充分利用已有的时谐场研究结果.瞬变电磁波一维正演计算常用的时频转换方法有Gaver-Stehfest算法, 余弦变换的折线逼近算法和数值滤波算法等.Gaver-Stehfest算法精度与计算机环境字长密切相关, 字长越大, 精度越高, 对硬件要求较高(Knight and Raiche, 1982; Raiche, 1987; 罗延钟和昌彦君, 2000)；折线逼近算法的积分步长难以控制, 需要采用误差控制步长(李吉松和朴化荣, 1993)；数值滤波算法基于汉克尔变换理论, 需要使用较多的滤波系数, 但计算精度高(王华军, 2004).

本文以瞬变电磁波传播理论为基础, 采用余弦变换的数值滤波算法, 计算层状介质的瞬变电磁波测井响应, 研究瞬变电磁波传播特性及对地层边界的远探测能力, 为其在随钻地质导向和地层评价中的应用提供参考.

1 瞬变电磁波测井理论基础 1.1 时谐磁偶极子源的电磁场

瞬变电磁波测井发射接收天线结构如图 1所示, 采用同轴的天线布置方式, 图 2为层状地层模型图.

将发射线圈等效为磁偶极子源, 各向同性介质时谐场满足Maxwell方程组:

(1)

式中, E为电场强度, H为磁场强度, M为磁化强度矢量, σ为电导率, ω为频率, ε为介电常数, μ为磁导率, σ^*为复电导率, ρ_m为等效磁荷密度.

引入Hertz位函数Π和ϕ, 电场和磁场分别满足:

(2)

将Hertz位函数代入Maxwell方程组, 得到关于位函数的波动方程:

(3)

取洛伦兹规范条件:, 所以波动方程(3)可简化为

(4)

其中磁化强度矢量M可表示为:M=mδ(r－r′), 其中磁矩m=IS, I为通电电流, S为线圈面积.

均匀介质条件下, 磁场强度可表示为

(5)

式中, r为场点到磁偶极子源的距离, (x, y, z)为场点在笛卡尔坐标系中的坐标, k=(ω²εμ－iωμσ)^1/2.

层状介质条件下, 任意方向的磁偶极子源, 可以分解为垂直磁偶极子和水平磁偶极子两部分, 分别讨论垂直磁偶极子和水平磁偶极子所产生的场.

1.1.1 沿z方向的垂直磁偶极子源

对于沿z方向的垂直磁偶极子源, Hertz位函数Π=Π_ze_z, 层状介质中, 第i层的Hertz位函数可记为

(6)

然后有:

(7)

(8)

1.1.2 沿水平方向的水平磁偶极子源

对于沿x方向的水平磁偶极子源, Hertz位函数Π=Π_xe_x+Π_ze_z, 层状介质中, 第i层的Hertz位函数可分别记为

(9)

(10)

然后有:

(11)

(12)

式中, ξ_i=(λ²－k²)^1/2, k_i=(－iωμσ_i^*)^1/2, σ_i^*为第i层的复电导率, J_n(x)为整数n阶Bessel函数, 可转换为汉克尔变换的数值滤波形式计算, β_i表征当前层有没有源, 有为1, 没有为0.系数F_i、G_i、P_i、Q_i、S_i、T_i可由分层界面上电场分量和磁场分量的连续性条件求得, 本文采用的是Zhong等(2008)改进的系数传播矩阵法.

1.2 瞬变磁偶极子源的电磁场

1.1节中推导了频率域磁偶极子源的电磁场表达式, 记为H(ω), 需做进一步的时频信息处理得到瞬变磁偶极子源的电磁场H(t).阶跃电流源是瞬变电磁法中常用的信号源(李建慧, 2011; 宋汐瑾, 2012), 上阶跃电流源与下阶跃电流源的转换关系如图 3所示.

假设上阶跃电流激励下的时域响应为H(t), 则下阶跃电流激励下的时域响应H_(t)表示为

(13)

均匀介质条件下, 将(5)式作拉普拉斯逆变换得下阶跃电流激励的磁偶极子源产生的时间域磁场H_(t):

(14)

地球物理勘探中, 假设磁场的时间导数为, 则测量的感应电动势V(t)可表示为

(15)

式中, N为线圈匝数, S为线圈面积, .

层状介质条件下, 任意方向的瞬变磁偶极子源, 也可以分解为垂直磁偶极子和水平磁偶极子两部分, 在1.1节中已经得到频率域时谐磁偶极子源的电磁场表达式, 需要进行时频信息处理, 将频率域测井响应转换到时间域, 得到下阶跃电流激励下接收线圈处的电磁响应.其中, 余弦变换的数字滤波算法计算精度高, 在瞬变电磁法中被广泛应用.

这里采用的傅里叶变换对为

(16a)

单位上阶跃电流的频谱为

(16b)

工程应用中, 一般不考虑第二项对瞬变电磁场的影响.根据频谱分析理论, 单位上阶跃电流激励下的时域磁场强度H(t), 与频率域响应H(ω)的关系为

(16c)

由式(13), 所以单位下阶跃电流激励下的时域响应H_(t)表示为

(17)

可进一步改写为

(18)

或:

(19)

进一步可得感应电动势V(t)的表达式为

(20)

(21)

根据贝塞尔函数与正余弦函数之间的关系:, 运用成熟的快速汉克尔变换理论, 可得(20)、(21)式的数值滤波算法:

(22)

(23)

式中, Δ=Δ=ln(10)/20为采样间隔, H_ν(nΔ)为±1/2阶贝塞尔函数对应的汉克尔变换滤波系数, ·H_－1/2(nΔ)分别为正余弦变换的滤波系数, 如图 4所示, 可以看出:余弦变换的滤波系数主要分布在N=-20~80之间, 实际计算时N一般取有限的个数, 本文采用的是王华军(2004)验证过的401点滤波系数.一般来说, 使用的滤波系数个数越多, 计算精度则越高, 但计算速度越慢.滤波系数的选取原则是:保证计算精度的情况下, 尽量提高计算速度.将(22)或(23)式与(7)、(8)、(11)、(12)结合可计算层状介质的瞬变电磁波测井响应.

2 均匀介质的瞬变电磁波测井响应 2.1 二次场分布及测量信号

发射线圈发射阶跃信号源, 激励足够长的时间以消除电流突然接通的瞬态效应, 同时在地层中产生一次电流场.t₀时刻, 电流源的突然关断产生感应电动势进而形成感应涡流；t₀+时刻, 涡流产生的二次场与一次场相等.随着时间的推移, 二次场向地层深处扩散, 地层电阻率会进一步削弱感应涡流, 二次场的扩散速度与地层电导率的大小密切相关.

本文所有模拟结果涉及的电流和线圈面积都假设为1.采用同轴发射接收线圈结构, 地层电阻率1 Ωm, 模拟“烟圈”与涡流在地层中沿纵向的扩散过程.图 5a、c、e、g分别为0.1 ms、1 ms、10 ms、50 ms时地层中的电流密度分布图, t₀+时刻, 电流集中在发射线圈附近, 然后沿径向逐渐向远处扩散, 颜色越浅表示电流密度越大, 电流密度极大值分别出现在12 m、40 m、126 m、282 m左右, 同时注意色卡的上限值, 说明二次场涡流在向远处扩散的同时发生衰减.图 5b、d、f、h分别为上述不同时刻接收线圈的感应电动势, 随着时间的推进, 双对数坐标系下感应电动势线性衰减, 满足V∝σ^3/2/t^5/2.

由此可见, 接收线圈处测感应电动势的变化特征包含了深部的地层信息, 因而时间域的瞬变电磁波测井具有远探测能力.

2.2 时域测井响应敏感性分析

均匀介质条件下, 研究不同地层参数、仪器参数的时间域瞬变电磁波测井响应, 地层电阻率分别为1 Ωm、5 Ωm、10 Ωm、20 Ωm, 源距分别为40 in、80 in (1 in=2.54 cm).

如图 6所示, 电流源的关断在地层中产生感应涡流进一步在接收线圈处产生感应电动势, 接收线圈处的感应电动势随时间先增大到峰值后减小, 晚期测量信号与电导率σ线性相关, 对式(15)处理可得到晚期地层电阻率ρ的计算公式为

(24)

电导率相同的情况下, 源距越长, 到达测量峰值时间越晚；不同源距的发射接收天线晚期测井响应相同.地层电导率越大, 电磁波在地层中的传播速度越慢.

3 层状介质的瞬变电磁波测井响应

随钻地质导向是电磁波测井仪器的重要功能, 实现井眼轨迹的最优化控制对于提高开采效率, 降低钻井风险具有重要意义, 地质导向的关键在于对界面(地层界面/油水界面)的识别.如图 7所示, 以双层介质为例, 研究瞬变电磁波测井对边界的远探测能力.

3.1 余弦变换数值滤波算法正确性验证

以前文所述的余弦变换数值滤波算法为例, 采用的滤波系数范围N∈(－200, 200), 下面验证采用数值滤波算法计算瞬变电磁波测井响应的正确性.

均匀介质电阻率为10 Ωm, 源距为40 in, 分别采用解析表达式(15)和数值滤波算法(23)计算时间域的测井响应, 如图 8所示, 二者有良好的一致性, 证明采用余弦变换的数值滤波算法计算瞬变电磁波测井响应可行.

3.2 瞬变电磁波测井边界远探测测量信号

时域瞬变电磁波测井响应受地层电导率与地质结构的影响, 为了突出界面贡献, 基于电磁散射原理, 定义层状介质总场与线圈系所在当前层背景场的差值, 即:

(25)

ΔV_zz重点反映界面对测井响应的贡献.

以双层介质为例, 如图 7所示, 研究瞬变电磁波测井对边界的远探测能力.介质Ⅰ为砂岩, 电阻率10 Ωm, 介质Ⅱ为泥岩, 电阻率1 Ωm, 线圈系位于介质Ⅰ中.

图 9为线圈系与地层界面夹角为90°的时域测井响应.电磁波在传播过程中遇到低阻界面发生散射, 低阻界面会对接收线圈处的感应电动势产生贡献, 如图 9a所示, 反映在时域中的测量结果:与10 Ωm的均匀地层相比, 背景场与界面散射信号的叠加导致V_zz曲线发生分离, 界面距离越近, 曲线分离的时间越早；随着时间推进, 测量信号主要来自地层深部的贡献, 因此测量晚期不同界面距离的曲线与代表 1 Ωm均匀地层的曲线逐渐靠近.

为了突出界面的贡献, 如图 9b所示, 利用ΔV_zz的绝对值进行边界远探测, 响应特征更加明显, 增加线圈匝数, 增大发射电流或磁导率, 可以增大测量信号.通过选取合适的测量信号门槛值, 对界面的探测能力可达数十米.

3.3 倾角影响

线圈系距地层边界的距离DTB为10 m, 井斜角分别为0°、30°、45°、60°、75°、90°, 不同倾角下ΔV_zz的时域瞬变电磁波测井响应如图 10所示.随着井斜角的增大, 曲线的极值点左移；界面对电磁波的散射增加, 散射场到达接收线圈的信号增强, ΔV_zz随倾角的增加而增大.

3.4 电阻率对比度影响

线圈系距地层边界的距离DTB分别为5 m、10 m, 线圈系与地层夹角为90°, 当线圈系所在地层电阻率变化时, 当前层电阻率分别为5 Ωm、10 Ωm、15 Ωm, 邻层电阻率为1 Ωm；当邻层电阻率变化时, 邻层电阻率分别为1 Ωm、5 Ωm, 当前层电阻率为10 Ωm, 不同电阻率对比度条件下的Δ V_zz瞬变电磁波测井响应如图 11所示.

层状介质条件下, 与均匀地层相同, 地层电导率越大, 电磁波传播速度越慢.由均匀介质感应电动势与地层电导率的线性关系可知, 随着时间推进, 二次场在地层中向深处扩散, 测量晚期主要反映深部地层电阻率信息.所以当目的层电阻率变化, 邻层电阻率保持不变, 如图 11a所示, 测量晚期不同电阻率对比度的曲线基本重合, 表征1 Ωm；当目的层电阻率保持不变, 邻层电阻率变化时, 如图 11b所示, 测量晚期曲线存在差异, 分别表征1 Ωm、5 Ωm.

3.5 源距影响

地层边界距线圈系的距离DTB分别为10 m、20 m、30 m, 源距分别为20 in、40 in、80 in, 线圈系与地层夹角分别为90°、30°, 不同源距下的时域瞬变电磁波测井响应如图 12所示.

源距为20 in、40 in、80 in情况下, ΔV_zz曲线基本重合, 证明源距对瞬变电磁波测井的探测能力影响不大.原因在于, 电流源关断后, 接收线圈处的感应电动势是背景场与散射场的叠加, 地层界面是产生散射场的原因, 由于电磁波传播速度快, 时域中的电磁波散射场到达不同源距的接收线圈处的时间相差不多, 造成不同源距的ΔV_zz差别不大.瞬变电磁波测井的这一特性, 为利用短源距实现边界远探测提供了可能.在相同源距条件下, 瞬变电磁波测井克服了时谐源随钻电磁波测井仪器尺寸与探测深度的限制, 显示出在现场实际应用的重大潜力.

4 结论

(1) 瞬变电磁波测井测量信号源关断后的纯二次场, 通过分析时间域内感应电动势的变化特征提取地层信息, 探测深度大幅增加且不受一次场的干扰.

(2) 地层电导率越大, 电磁波传播速度越慢, 测量晚期感应电动势与地层电导率线性相关.

(3) 层状地层条件下电磁波遇界面发生散射, 背景场与散射场的叠加使曲线发生分离, 通过定义层状介质总场与线圈系所在当前层背景场的差值可方便提取界面信息, 对界面的探测距离可达数十米；但是, 该方法要求地层背景的电阻率, 因此, 下一步的研究工作将是瞬变电磁测井全时间域地层电阻率的提取方法.

(4) 瞬变电磁波测井响应受源距的影响很小, 为利用短源距实现远探测提供了可能；然而, 仪器制作过程中为增大信号量级需同时增加线圈匝数, 选取最合理的仪器尺寸.

致谢  感谢王华军老师在算法方面的帮助, 感谢审稿专家对论文提出宝贵修改建议！