2020, Vol. 63
室内岩石块体的摩擦实验是研究断层力学和震源物理过程的一个重要方面.基于大量岩石摩擦实验结果，Dieterich和Ruina (Dieterich, 1978, 1979；Ruina, 1983)提出了速率-状态摩擦定律(Rate- and State- Dependent Friction Law：简称RSF定律)，目前，该定律已被众多领域的学者接受并得到了深入的发展，广泛应用于地震断层成因机制(Barbot et al., 2012; Bizzarri, 2014)，山体滑坡(Helmstetter et al., 2002, 2004; Handwerger et al., 2016)，冰原体运动(Lishman et al., 2013; Lipovsky and Dunham, 2016, 2017; McCarthy et al., 2017)等多个方面的研究.
虽然前人基于RSF定律已经对断层演化开展了大量的计算与分析(Dieterich, 1992; Rice, 1993; Rathbun and Marone, 2013; Perfettini and Molinari, 2017)，但是大多数研究没有考虑摩擦生热对断层演化进程的影响.岩石的高速摩擦实验(姚路et al., 2016; Di et al., 2011; Green, 2017)表明，断层在高速滑动时存在明显的摩擦生热效应，大量的摩擦热可使断层内部及其周边的温度上升，进而促进断层内部发生一系列复杂的物理化学变化(姚路和马胜利, 2013; Bizzarri, 2010c; Green, 2017; Nielsen, 2017).因此，断层滑动过程中产生的摩擦热能可直接影响断层的力学性质(He et al., 2006; Bizzarri, 2011)及其时空演化(Kato, 2001; Rice, 2006; Blanpied et al., 1998)，例如摩擦生热可导致断层面的温度上升，进而改变断层内部的应力状态和地壳内部的流体压力(Bizzarri and Cocco, 2006; Bizzarri, 2010b, 2014)，甚至可导致岩石发生塑性变形乃至局部熔融(Bizzarri, 2010c; Green, 2017; Nielsen, 2017).故而，研究断层摩擦生热与断层强度变化和温度上升幅度之间的联系对于了解断层演化过程和地震前兆观测具有重要的科学意义.
由Dieterich(1978, 1979)和Ruina(1983)提出的RSF定律，摩擦系数是速度和状态的函数，即考虑的是滑移速率和滑移历史对摩擦强度的影响.而Chester和Higgs(Chester and Higgs, 1992; Chester, 1994)则进一步考虑了摩擦生热本身造成的温度上升对摩擦强度的影响，并通过岩石摩擦实验给出了修正的Ruina-RSF定律.该定律在Ruina-RSF模型的基础上加入了温度项，即温度变化对断层滑移速率和滑移状态地影响，本文称之为Chester-Higgs-模型.采用Ruina-模型和Chester-Higgs-模型，Kato(2001)通过一维弹簧-滑块模型，在给定初始条件和远场加载速率下，数值分析了断层从初始状态到滑移失稳的过程.结果表明，Chester-Higgs-模型的失稳时刻比Ruina-模型提前约6.5 h，且失稳时Chester-Higgs-模型的温度上升了约37 K.但是，Kato没有给出Ruina-模型的温度上升幅度，也没有给出摩擦生热对完整断层演化周期的影响.Bizzarri等(2011)则采用Dieterich-模型、Ruina-模型和Chester-Higgs-模型，通过数值模拟对比了三种模型的演化周期，进而得到摩擦生热对完整断层演化过程的影响.但是，该研究没有进一步比较不同模型在断层演化过程中产生摩擦热能的多少及其造成的断层温度上升的大小.
鉴于前人工作中的不足，本文分别从Ruina(1983)提出的RSF定律和Chester-Higgs(Chester and Higgs, 1992; Chester, 1994; Blanpied et al., 1998)提出的RSF定律出发，结合McKenzie-Brune摩擦生热模型(McKenzie and Brune, 1972)，通过一维弹簧-滑块断层近似模型，采用数值模拟方法开展有关断层演化过程的探讨.本文的重点将集中在地震成核尺度下(Dieterich, 1992)，Ruina-和Chester-Higgs-模型对断层演化影响的对比研究，定量化分析摩擦生热对摩擦强度，断层的温度上升及其对地震重复发生周期、应力降、滑动位移等参量的影响.
1 断层模型 1.1 Ruina-模型RSF定律是通过大量岩石力学实验总结所得到的经验定律，用以定量化描述断层内部复杂的摩擦过程.最常用的RSF定律之一则由Ruina(1983)提出，我们称之为Ruina-模型，其数学表达式可写为
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其中，μ为摩擦系数，
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表 1 Ruina-模型参数定义和取值 Table 1 Ruina-Model′s parameter definitions and values |
当断层处于稳定滑移状态时(
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由该式可以看出，当a≥b时，断层的摩擦过程处于速度强化状态，此时断层的滑动是稳定的；而当a＜b时，断层的摩擦过程处于速度弱化状态，此时断层的滑动可以是条件稳定的，也可以是不稳定的，与有效正应力有关(Scholz, 1998).
1.2 Chester-Higgs-模型对于Ruina提出的RSF定律，一般认为公式(1)中的a和b为常量，同温度无关，因此，摩擦生热所造成的温度上升对摩擦强度没有直接影响.考虑到Ruina-模型的局限性，Chester和Higgs在公式(1)和(2)的基础上，通过一系列岩石力学实验给出了温度变化对摩擦强度的影响(Chester and Higgs, 1992; Chester, 1994)，在这里我们称之为Chester-Higgs-模型.为了方便与公式(1)和(2)比较，Chester-Higgs-模型的数学表达式可写为
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其中，T为断层的绝对温度，T*为参考温度，μ0为
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表 2 Chester-Higgs-模型参数定义和取值 Table 2 Chester-Higgs-Model′s parameter definitions and values |
同公式(3)类似，当断层处于稳定滑移状态时(
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由公式(6)可以看出，断层的稳定性与温度相关.例如，当取Qa=Qb=Q时，公式(6)可以简化为
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(7) |
由公式(7)可以看出，当T＞T*时，温度T的变化对μss的影响是不能忽略的.本文则将进一步探讨摩擦强度对摩擦升温的依赖性.
1.3 McKenzie-Brune摩擦生热模型断层滑动过程中，摩擦生热使断层区域温度上升，t时刻断层区域的温度可以通过McKenzie-Brune摩擦生热模型(McKenzie and Brune, 1972)来表达：
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其中，Tini为初始温度，ρ为介质的密度，c为介质的比热，κ为介质的固体热扩散系数，τ为断层内部加载的剪应力，x为断层带的宽度.若忽略断层滑移区的宽度，即x=0，公式(8)中的积分离散后转化为求和，那么断层面上的温度场可由公式(8)改写为(Kato, 2001)
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其中，t0=0表示初始时刻，tn=t表示当前时刻.本文中McKenzie-Brune模型采用的参数值如表 3所示.
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表 3 McKenzie-Brune模型参数定义和取值 Table 3 McKenzie-Brune model′s parameter definitions and values |
一维弹簧-滑块模型常用于模拟断层的摩擦运动.该模型包括一个刚度为k的弹簧和一个刚性的滑块，滑块和地面之间的接触面代表断层面，弹簧代表断层周围的弹性介质，其刚度系数同断层的几何形态有关(Gu and Wong, 1991).本文第3部分将对一维弹簧-滑块模型进行简要地讨论.
根据线弹性理论的应力-应变关系，断层面上加载的剪应力可以表示为
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其中，τ为加载剪应力，τ0为初始剪应力，k为弹簧刚度，
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其中，G为剪切模量，β为S波速度.
而公式(10)中的弹簧刚度k代表了断层刚度，一般可表示为(Dieterich, 1992)
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其中，l为断层的特征尺度，对于圆盘断层模型l指断层面的半径；γ为描述断层形状的几何参数，通常是一个接近于1的常数，对于圆盘断层模型γ=
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当k≤kc时，断层的滑移速率能达到失稳速率而发生宏观失稳；当k＞kc时，断层的滑移速率不能达到失稳速率，断层只能在小扰动条件下保持稳定滑移(Ruina, 1983; Ranjith and Rice, 1999).
断层面上的摩擦剪应力可以表示为
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其中，τ和σ分别为作用于断层面上的摩擦剪应力和有效正应力，μ为断层面的摩擦系数，可由公式(1)或公式(4)给出.
需要注意的是，公式(10)没有考虑滑块的质量，因此可导致断层失稳时呈现出速率过大的不合理现象.为了避免此现象发生，可设定滑移速率上限即失稳速率
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表 4 一维弹簧-滑块模型参数定义和取值 Table 4 1D spring-slider model′s parameter definitions and values |
对于面积为A的断层，由摩擦力做功转化的摩擦热能可通过下式计算：
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对于圆盘模型A=πr2，其半径r可取圆盘断层的半径.结合公式(12)和公式(13)，地震成核的最小尺度为(Dieterich, 1992)：
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那么，对于k≤kc这一断层发生失稳的条件，就等价于r≥rc(Dieterich, 1992; Helmstetter and Shaw, 2009).
2 结果分析基于Ruina-和Chester-Higgs-模型，在一维弹簧-滑块模型的近似下，分别结合公式(1)，(2)，(9)，(10)和(14)或(4)，(5)，(9)，(10)和(14)，通过四阶变步长的Dormand-Prince算法，我们实现了对断层摩擦过程的数值模拟，由此获得相应的断层演化特征.若不特殊说明，我们均采用Kato设定的模型参数值(Kato, 2001)，如表 1—4所示.
2.1 断层高速滑动时的摩擦强度在表 1和表 2给定的初始条件下，并取Dc=0.001~10 cm，η=0，对比观察Ruina-和Chester-Higgs-模型对应的摩擦强度随时间的变化特征.我们发现，断层失稳时Ruina-模型的摩擦系数可以下降至较小的值，而与之相比，Chester-Higgs-模型则保持了较大的摩擦系数.为了更细致地对比两种模型在失稳时刻的摩擦强度，我们在同一坐标系中绘制了两种模型的摩擦系数-滑移速率关系曲线，如图 1所示.
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图 1 两种模型的摩擦系数-滑移速率关系图 黑色实线表示Ruina-模型，红色虚线表示Chester-Higgs-模型.图(a)—(f)分别对应不同的临界滑移距离Dc取值：0.001 cm，0.01 cm，0.1 cm，1 cm，5 cm，10 cm. Fig. 1 Phase diagrams of slip rate versus frictional coefficient of the two models The black solid line represents the Ruina-model, and the red dashed line represents the Chester-Higgs-model. Graphs (a)—(f) correspond to different values of critical slip distance Dc: 0.001 cm, 0.01 cm, 0.1 cm, 1 cm, 5 cm, 10 cm, respectively. |
观察图 1可以看出，断层高速滑动时，Ruina-模型的摩擦强度随速率增大持续减小，Chester-Higgs-模型的摩擦系数不再随速率增大而下降，而是保持一个固定的常数基本不变.这一结果体现出摩擦生热导致的温度上升对摩擦参数的影响：当a＜b时，Ruina-模型的模拟结果满足公式(3)所表达的速度弱化特征，而Chester-Higgs-模型则不能完全满足速度弱化.这是因为摩擦升温可导致瞬态摩擦系数的强化，这一点也可由公式(6)看出.对于本文的Chester-Higgs模型，Qa=Qb(表 2)，故稳定滑移状态下的摩擦系数可用公式(7)来表达.根据公式(7)，由阶梯速度作用所造成的摩擦系数的改变量可写为(Blanpie et al., 1998)：
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由公式(17)可以看出，对于速度弱化断层(a＜b)，若不考虑摩擦升温的影响，则断层高速滑移且滑移速率增大时，Δμss＜0，故断层失稳时摩擦强度随速度增大而降低；若考虑摩擦升温的影响，则速率增大时温度上升(公式(9))，公式(17)右侧第二项大于0，故摩擦强度随速率降低的趋势减缓，从而导致断层高速滑动时Chester-Higgs-模型具有较大的摩擦系数.事实上，Blanpied等(1998)的实验结果也证实，速率对断层具有弱化作用，同时温度对断层具有强化作用，当断层高速滑移时，温度的强化作用比速率的弱化作用更加显著，从而使断层表现出类似于速率强化的特征.
与Ruina-模型相比，Chester-Higgs-模型在断层失稳时具有更大的摩擦强度，说明摩擦生热对断层具有强化作用.而且Dc越大，两种模型的摩擦强度之差越大，说明增大Dc能增大摩擦生热对断层的这种强化作用.另外，Chester-Higgs-模型摩擦强度的上述特点，与闪速加热模型(Flash Heating Model)的结果一致(Beeler et al., 2008; Rice, 2006; Chen and Rempel, 2012).
2.2 断层的温度变化为了进一步对比观察Ruina-模型和Chester-Higgs-模型的温度变化特征，我们在线性坐标系下绘制了两种模型在不同σ条件下断层面温度改变量ΔT随Dc的变化的曲线，如图 2所示.
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图 2 两种模型的温度改变量ΔT随临界滑移距离Dc的变化 黑色实线表示Ruina-模型，红色虚线表示Chester-Higgs-模型，不同的符号对应不同的正应力σ取值. Fig. 2 The temperature change ΔT of two models with critical slip distance Dc The black solid line represents the Ruina-model, the red dotted line represents the Chester-Higgs-model, and different symbols correspond to different normal stress σ values. |
观察图 2可以看出摩擦生热对断层面温度的影响.首先，在相同条件下, 断层失稳时Chester-Higgs-模型的断层面温度均远远低于Ruina-模型，且σ和Dc越大，二者的温差越明显.对于Ruina-模型，ΔT最大可达4000~4500 K，远远超过了岩石融点，此结果显示，Ruina-模型对于模拟高速摩擦运动的局限性是非常明显的.但对于Chester-Higgs-模型，ΔT最高仅有400~450 K，远小于Ruina-模型所给出的结果，说明摩擦生热在断层演化过程中具有抑制断层面温度剧烈升高的作用.其次，图 2也体现出Dc对断层面温度的影响.Dc较小时，ΔT的变化十分剧烈；随着Dc增大，ΔT的变化越来越慢；Dc较大时，ΔT的变化十分平缓.两种模型在断层失稳时的温度均具有此特点，且对于Chester-Higgs-模型，这一特点更加明显，当Dc很大时，ΔT几乎保持在某一常数不再随Dc变化.这也进一步说明，Dc越大，摩擦生热对断层温度的抑制作用越显著.另外，我们还研究了当k≤kc时，断层刚度k的变化对断层温度的影响，取σ=200 MPa，Dc=1 cm，得到的结果如图 3所示，其横轴是归一化的k，纵轴是ΔT.
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图 3 两种模型的温度改变量ΔT随刚度k的变化 黑色实心圆和黑色实线表示Ruina-模型，红色菱形和红色虚线表示Chester-Higgs-模型. Fig. 3 The temperature change ΔT of the two models with stiffness k Black solid circle and black solid line refer tothe Ruina-model, red diamond and red dotted line refer to the Chester- Higgs-model. |
图 3再次表明，失稳发生时Chester-Higgs-模型的断层面温度远低于Ruina-模型，摩擦生热过程控制了断层温度的剧烈上升.观察图 3还可以看出，对于Kato(2001)给定的模型参数，无论k值大小，断层失稳时Ruina-模型上升的温度均在1300 K左右，Chester-Higgs-模型上升的温度均在250 K左右，说明断层刚度对温度的影响很小，进一步由公式(12)可知，断层尺度大小对断层温度的影响也很小.
2.3 断层的周期演化特征采用G=15000 MPa，β=3 km·s-1，由公式(11)可得辐射衰减系数η=2.5×106 N·s/m3.将其代入公式(10)，我们可以实现断层演化的周期循环解(图 4).
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图 4 加入辐射衰减项后，两种模型的变量演化 黑色实线表示Ruina-模型，红色虚线表示Chester-Higgs-模型. (a)滑移速率的演化图；(b)摩擦系数的演化图；(c)状态变量的演化图. TR和TCH分别表示Ruina-模型和Chester-Higgs-模型的断层演化周期, 图(a)中黑色虚线表示远场加载速率的参考线. Fig. 4 Fault evolution of the two models when taking into account the radiation damping term The black solid line represents the Ruina-model, and the red dashed line represents the Chester-Higgs-model. (a), (b) and (c) show the evolutions of slip rate, frictional coefficient, and state variable displacement, respectively. TR and TCH represent the seismic cycle of the Ruina-model and the Chester-Higgs-model respectively, the black dotted line in (a) representing the reference line of far-field loading rate. |
由图 4可以看出，加入辐射衰减项后，两种模型的断层演化均可以实现周期循环，该图分别给出了滑移速率
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其中，TN为第N个周期的持续时长(N=1, 2, 3, …)，tN和tN-1分别表示第N次和第N-1次断层失稳事件对应的时刻，而t0则表示初始时刻.由此得到的两种模型地震重复周期随失稳次数的变化曲线，如图 5所示.同时，根据图 4，图 5和统计数据，我们还对比了两种模型在一个周期内的应力降、位移、温度改变量等断层参数，如表 5所示.
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图 5 两种模型地震周期随失稳次数的变化 黑色实心圆表示Ruina-模型，红色菱形表示Chester-Higgs-模型. Fig. 5 Recurrence time as resulting from the different models adopted in the present work Black solid circle refer to the Ruina-model, red diamond refer to the Chester-Higgs-model. |
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表 5 两种模型的断层参量对比 Table 5 Comparison of fault parameters between two models |
由图 4，图 5和表 5可以看出，在相同的初始条件下，Ruina-模型的地震周期大致稳定在9.37年，而Chester-Higgs-模型的地震周期则大约稳定在4.93年.与Ruina-模型相比较，Chester-Higgs-模型的断层演化周期明显的减小，接近前者周期的一半.说明摩擦生热对断层演化最显著的影响是较大地缩短了地震周期的持续时间.因此，断层内部摩擦升温本身极大地影响着断层演化的进程.
观察图 4还可以看出，摩擦生热也明显地改变了断层演化过程中相关变量的变化特征.图 4a给出了两种模型的滑移速率随时间的演化过程，可以看出Chester-Higgs-模型在失稳前后的速率变化更加剧烈，震后滑移阶段的速率可以下降至更小的数值，远小于远场加载速率.图 4b给出了两种模型的剪切摩擦强度在时间上的演化过程.比较两者最大的不同之处在于，当断层进入周期性演化期后，Chester-Higgs模型所给出的摩擦强度大于Ruina-模型，失稳发生后的剩余应力也远大于Ruina-模型的结果.从图 4b还可以看出一个值得关注的现象，在Chester-Higgs-模型中，断层进入周期演化阶段的摩擦强度和剩余应力值的大小基本继承了第一次非周期性失稳前后的摩擦应力最大值和最小值，应力差值也基本不变，而Ruina-模型则仅仅继承了失稳后的终止应力值，应力差值则相对减小.
上述现象可以从状态变量θ的演化特征上解释.RSF模型中引入状态变量θ，它描述了摩擦过程同过去摩擦历史的关系(Marone, 1998)，即摩擦过程所具有记忆效应，这一点与Coulomb摩擦有着本质的区别.具体到本文所采用的数值模型，第一次非周期性失稳是在t=0时刻给定的初始条件下计算得到的，但计算后续的周期性循环失稳时所采用的初始值，则为上一次失稳状态下的V、θ、μ、T参量值.对于Ruina-模型，其初始条件包括上一次失稳时的μ、V、θ，温度T本身没有参与到其中.而对于Chester-Higgs模型，除了μ、V和θ外，失稳后的温度T也参与到其中，作为继续演化的初始值.一方面，失稳时Chester-Higgs模型的θ值较大(图 4c)，故其下一个周期演化的θ初值就大于Ruina-模型；另一方面，失稳后的温度远大于T*，接近失稳时刻所对应的温度值，由演化方程(5)可以看出，较高的温度可导致θ较快的增长.因此，从θ随时间的演化图(图 4c)可以看出，Ruina-模型中的θ在失稳后从某一较小值开始逐步的上升，而Chester-Higgs-模型的θ则在失稳后的极短时间内有一个快速的上升，尔后在一个较长时间内基本保持了恒定量.进一步，由公式(1)和(4)可以看出，μ的大小与V和θ成对数关系，当断层高速滑动时两种RSF模型的速率均保持较大值，那么此时的θ数值越大则μ越大，故Chester-Higgs-模型在高速滑动时能够保持较高的摩擦强度.
从表 5也可以看出，与Ruina-模型相比，Chester-Higgs-模型的地震重复周期较短，摩擦强度较大，断层温度较低.除了上述特征之外，由Chester-Higgs-模型所得到的失稳前后的静态应力降远小于Ruina-模型给出的结果，所对应的单个事件的滑移量也有相似现象.Chester-Higgs-模型和Ruina-模型的静态应力降分别为16.4 MPa和27.6 MPa，二者比值约为0.59；动态应力降分别为24.0 MPa和27.6 MPa，二者比值约为0.87.可见，Ruina-模型的静态应力降等于动态应力降，而Chester-Higgs-模型的静态应力降小于动态应力降.为了进一步观察，我们绘制了两种模型的摩擦系数在一个周期内随位移变化的图像，如图 6所示.
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图 6 两种模型的摩擦系数-滑动位移关系图 黑色实线表示Ruina-模型，红色虚线表示Chester-Higgs-模型. Fig. 6 Phase diagrams of slip displacement versus frictional coefficient of the two models The black solid line represents the Ruina-model, and the red dashed line represents the Chester-Higgs-model. |
观察图 6可以看出，当断层高速滑移时，Ruina-模型的摩擦强度一直随位移而减小，但Chester-Higgs模型的摩擦强度会有一个回跳，此后摩擦强度保持一个较高的数值几乎不变.因此，与Ruina-模型相比，Chester-Higgs-模型具有更小的静态应力降.在前人关于弹簧-滑块模型的研究中(Beeler et al., 2001; He et al., 2003)，静态应力降Δτs同地震重复发生周期Tcycle之间存在以下关系：
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其中，m为滑块的质量，k为弹簧的刚度(Beeler et al., 2001; He et al., 2003).这一结论也可以用于解释这里Chester-Higgs-模型的静态应力降比Ruina-模型更小的现象，即Chester-Higgs-模型的地震周期比Ruina-模型更短，前者约为后者的一半，所以Chester-Higgs-模型的静态应力降更小，接近于Chester-Higgs-模型静态应力降的一半.另外还有一点需要指出的是，在Beeler等(2001)和He等(2003)的模型分析中，因为滑块的质量加入了计算，所以滑块失稳时会伴随不同程度的应力下调(overshoot)，这一特征在本文的Ruina-模型中有一定的体现(图 6)，但在Chester-Higgs-模型中(图 6)则呈现出明显的应力上调(undershoot)现象，即滑移完成时的终止应力小于动摩擦应力.同传统定义的应力上调(Kanamori and Rivera, 2006)区别在于，本文Chester-Higgs-模型出现应力上调后，滑动位移并未马上停止，而是仍然可以继续进一步有所发展.
关于Chester-Higgs模型中温度变化对地震重复发生周期TcycleCH和静态应力降ΔτsCH的影响，我们可以采用Barbot等(2012)所给出的求解思路.基于RSF模型，当断层处于稳定滑移状态，且滑移服从速度弱化过程(a＜b)时，Barbot等(2012)采用公式(3)估计了不考虑温度影响时断层演化周期TcycleB和静态应力降ΔτsB可近似为
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其中，
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其中，Tco和Tint分别为同震阶段和震间阶段的断层温度，公式(22)和(23)的推导过程详见附录.对于速度弱化断层(a＜b)，同震滑移时的断层温度Tco远远大于震间阶段的断层温度Tint(Tco≫Tint)，比较公式(20)和(22)可知TcycleCH＜TcycleB，比较公式(21)和(23)可知ΔτsCH＜ΔτsB.因此，由于摩擦生热导致的温度上升对整个断层演化过程的影响，与Ruina-模型相比，Chester-Higgs-模型所得到的弹簧-滑块模型解给出的地震重复发生周期较短，静态应力降较小，而所伴随的实际断层温度上升幅度则更小.
若将断层摩擦强度开始随位移上升，到不再随位移变化时对应的距离定义为RSF模型在一个周期内的位移量，那么Chester-Higgs-模型和Ruina-模型的位移量分别为0.150 m和0.334 m，显然Chester-Higgs-模型的滑移量更小.两种模型滑移量的差异可以由弹簧的刚度取值得到解释，在弹簧-滑块模型中，我们所定义的弹簧刚度k正比于G/l(Dieterich, 1992, 1994).根据应力降与滑动位移的定比率，k实际上也满足：k∝Δτs/Δu.如果两个模型中k取值一致，那么Chester-Higgs-模型较小的应力降Δτs则对应于较小的滑动位移Δu.
综上所述，摩擦生热缩短了地震重复周期，使断层面上各变量的变化更加剧烈，且增大了断层内部的摩擦强度，降低了断层失稳前后的静态应力降，故对应单个事件的滑移量较小.该结果与Bizzarri等的模拟结果基本一致(Bizzarri et al., 2011).另外，利用公式(15)计算所得到的摩擦热能也表明，Ruina-模型和Chester-Higgs-模型摩擦热能的变化特征相似，震前滑移阶段后期和同震相阶段出现骤增，其他阶段几乎保持不变，整体上呈阶梯状上升.但在一个完整演化周期中，Ruina-模型和Chester-Higgs-模型产生的摩擦热分别为1.18×1012J和2.30×1011J(表 5)，前者约为后者的5倍.可见Ruina-模型在断层滑动过程中产生的摩擦热能，要远大于Chester-Higgs-模型，从而导致Ruina-模型在失稳时的断层温度改变量也远远高于Chester-Higgs-模型(表 5)，摩擦生热过程本身能够有效抑制断层温度的剧烈上升.
4 讨论在一维弹簧-滑块模型的近似下，本文给出了采用Ruina-和Chester-Higgs-模型对断层演化过程数值模拟的对比结果，着重探讨了摩擦生热对断层温度上升和演化过程的影响.在这里，我们分别对本研究的意义，一维弹簧-滑块模型，断层模型参数，当前模型的局限性和需要的改进这四方面做简要的讨论.
虽然RSF模型用于模拟真实断层的演化，还存在诸多不确定性，但是它对于描述断层完整演化过程中不同演化阶段所对应的特征现象，是较为确定的.例如，成核自加速阶段、震间蠕滑过程、震后余滑过程，以及非地震滑移和震颤现象等，都能从RSF模型中得到证实.经典的RSF定律是低速摩擦实验的产物，虽然被用于地震断层演化机制等方面的研究，但在模拟断层的高速摩擦方面存在明显的局限性.一方面，前人基于RSF定律已经对断层演化开展了大量的计算与分析(Dieterich, 1992; Rice, 1993; Rathbun and Marone, 2013; Perfettini and Molinari, 2017)，大多数研究没有考虑摩擦生热本身对断层演化进程的影响.例如，RSF定律(公式(1))中的摩擦参数a理论上与温度成正比(Segall, 2010)，但在实际模型计算中一般都设为常数，或者设为深度的函数，都没有同瞬时摩擦生热导致的温度变化相关联.另一方面，高速摩擦实验和数值模拟的结果显示，摩擦生热对断层演化的作用十分明显(Bizzarri et al., 2011; Bizzarri, 2012).进一步讲，地震成核过程中温度上升的幅度，以及如何进一步影响断层内部及其周边物理量的变化，直接关系到地震前兆观测量的取舍.换句话说，地震成核过程中的摩擦生热和温度上升及其所形成的区域热流变化是否能够成为地表可观测量也是我们必须回答的.由此可见，研究断层摩擦生热同断层强度变化和温度上升幅度之间的联系对于我们了解断层的演化过程和地震前兆观测具有重要的科学意义.
目前采用的一维弹簧-滑块模型是一种简化了的准静态断层模型的类比，在研究中可以提供理想的物理背景和实验环境，其应用已十分普遍.若结合RSF定律，利用一维弹簧-滑块模型可以研究单自由度系统的动态响应.实际上，在Dieterich和Ruina (Dieterich, 1978, 1979；Ruina, 1983)总结出统一形式的RSF定律之初，已经有大量研究者对单自由度系统进行了研究(Rice and Gu, 1983; Gu et al., 1984; Rice and Tse, 1986)；在RSF定律被广泛接受后，又开展了大量与应力降有关的研究(Gu and Wong, 1991; He et al., 2003)以及与地震成核和触发地震有关的工作(Belardinelli et al., 2003).一维弹簧-滑块模型等价于空间上滑动和应力均匀分布的断层模型，是实际断层的一阶近似.它虽然没有考虑断层面的形态、非均匀性和非弹性的影响，但能突出反映断层演化过程中的基本物理特征，而且计算简单，有助于定性理解断层演化过程，进而指导下一步研究.
地震发生时，断层高速滑动，一部分形变能通过摩擦转化为热能，导致断层区域温度上升.而本文采用的断层参数是在低温条件下得到的，适用于低速滑动的情形，但并不一定完全适用于当前速率和温度较高的情形.例如，摩擦参数a和b在室温下的数量级为0.01，实验发现它们取决于环境和状态，在高温高压条件下，其值可能增大(Marone, 1998; Scholz, 2002).在前人的模拟中，不乏a和b随空间或时间变化的参数设置，但本文我们主要采用a和b不变的设置，以保证速度弱化性质不会改变.再比如，本文采用的激活能Qa和Qb参考了Chester和Higgs的研究(Chester and Higgs, 1992; Chester, 1994)，其结果是在室内温度环境下得到的，对于当前温度上升较高的情形是否合适，仍待进一步的岩石物理实验研究和探讨.
当前的模型十分理想，排除了诸多因素的影响，过于简化，主要体现在三个方面.首先，假设McKenzie-Brune摩擦生热模型(公式(8))中的断层为理想接触状态(x=0)，即不考虑弱化层.因此，断层泥和孔隙流体的存在，以及在水热条件下温度与流体压力的耦合作用对断层演化的影响(He et al., 2007; Bizzarri, 2010a, 2010b; Schmitt et al., 2011)在本文中没有进行探讨.其次，公式(10)和(11)中采用的辐射衰减系数为一常数，本文并未讨论不同系数取值对断层演化的可能影响(Crupi and Bizzarri, 2013)，以及不同系数取值可能对应的震源力学模式.另外，还需要说明的是，在目前的一维弹簧-滑块模型中，设定断层两侧介质的物理性质相同；那么，当断层两侧介质的性质出现差异时，如何构造有效的弹簧-滑块模型也是下一步需要开展的工作.
5 结论基于Ruina-模型和Chester-Higgs-模型，分别结合McKenzie-Brune摩擦生热模型，在一维弹簧-滑块模型的近似下，运用四阶变步长的Dormand-Prince算法，我们对断层演化过程进行了数值模拟，探讨了摩擦生热对断层温度和演化过程的影响.主要结果和认识如下：
(1) 与Ruina-模型相比，Chester-Higgs-模型在断层高速滑动时具有更大的摩擦强度，表明摩擦生热对断层具有强化作用，且这种强化作用同临界滑移距离Dc的取值相关.
(2) 断层失稳时，Chester-Higgs-模型的断层面温度均远远低于Ruina-模型，表明摩擦生热在断层演化过程中具有抑制断层面温度剧烈升高的作用，且正应力σ和临界滑移距离Dc越大，两种模型的温差越明显，但断层刚度k的取值对断层温度的影响很小.
(3) 加入辐射衰减项后，两种模型的断层演化均可实现周期性.给定相同的初始条件，Chester-Higgs-模型的地震重复周期明显比Ruina-模型更短，表明摩擦生热对断层演化最显著的影响是较大地缩短了地震周期的持续时间.在一个完整演化周期中，Chester-Higgs-模型在断层滑动过程中产生的摩擦热能也小于Ruina-模型所产生的摩擦热能.
(4) 断层进入周期性演化后，Chester-Higgs-模型给出的摩擦强度远大于Ruina-模型，且对第一次非周期性失稳的摩擦强度和剩余应力的继承性更好.
(5) Ruina-模型的静态应力降等于动态应力降，而Chester-Higgs-模型的静态应力降小于动态应力降，从而Chester-Higgs-模型所得到的静态应力降远小于Ruina-模型给出的结果，所对应的单个事件的滑移量也小于Ruina-模型.因此，本文地震发生周期与静态应力降之间的关联性与Beeler等(2001)和He等(2003)所提出的地震重复发生周期Tcycle与静态应力降Δτs模型解具有一致性，虽然Chester-Higgs-模型伴随了不同程度的应力上调.
附录A基于Dieterich-Ruina-RSF模型，Barbot等(2012)采用断层处于稳定滑移状态时的公式(3)，推导了断层演化周期TcycleB和应力降ΔτsB的估计值.参考Barbot等(2012)的求解思路和过程，采用公式(7)，也可以估计Chester-Higgs-模型的地震重复周期TcycleCH和静态应力降ΔτsCH，进而分析得到摩擦升温对它们的影响.其推导过程如下.
当断层处于稳定滑移状态时，Chester-Higgs-模型给出的稳态摩擦系数可由公式(7)表示，该公式可以改写为
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(A1) |
我们假定断层在破裂时和破裂后均处于稳定状态，那么断层同震阶段和震间阶段的摩擦应力可以分别表示为
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(A2) |
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(A3) |
其中，τco和τint分别表示同震阶段和震间阶段的摩擦应力，
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其中，ΔτsCH=τint-τco，表示Chester-Higgs-模型在断层失稳前后的静态应力降.此式就是正文部分的公式(23).
远场加载速率造成断层面上的应力加载，进而引起断层在破裂过程中产生应力降，理论上它们满足一定的关系：
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(A4) |
其中，k表示断层刚度，可由公式(12)表达，
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此式就是正文部分的公式(22).
Barbot S, Lapusta N, Avouac J P. 2012. Under the hood of the earthquake machine:toward predictive modeling of the seismic cycle. Science, 336(6082): 707-710. DOI:10.1126/science.1218796 |
Beeler N M, Hickman S H, Wong T F. 2001. Earthquake stress drop and laboratory-inferred interseismic strength recovery. Journal of Geophysical Research:Solid Earth, 106(B12): 30701-30713. DOI:10.1029/2000JB900242 |
Beeler N M, Tullis T E, Goldsby D L. 2008. Constitutive relationships and physical basis of fault strength due to flash heating. Journal of Geophysical Research:Solid Earth, 113(B1): B01401. DOI:10.1029/2007JB004988 |
Belardinelli M E, Bizzarri A, Cocco M. 2003. Earthquake triggering by static and dynamic stress changes. Journal of Geophysical Research:Solid Earth, 108(B3): 2135. DOI:10.1029/2002JB001779 |
Bizzarri A, Cocco M. 2006. "A thermal pressurization model for the spontaneous dynamic rupture propagation on a three-dimensional fault:1. Methodological approach". Journal of Geophysical Research:Solid Earth, 111(B11). DOI:10.1029/2006JB004759 |
Bizzarri A. 2010a. Determination of the Temperature Field Due to Frictional Heating on a Sliding Interface. Sezione di Bologna: Rapporti Tecnici Ingv.
|
Bizzarri A. 2010b. On the recurrence of earthquakes:role of wear in brittle faulting. Geophysical Research Letters, 37(20): L20315. DOI:10.1029/2010GL045480 |
Bizzarri A. 2010c. Toward the formulation of a realistic fault governing law in dynamic models of earthquake ruptures.//Brito A V ed. Dynamic Modelling. Croatia: INTECH, 167-188, doi: 10.5772/7087.
|
Bizzarri A, Crupi P, De Lorenzo S, et al. 2011. Time Occurrence of Earthquake Instabilities in Rate-and State-Dependent Friction Models. Rapporti Tecnici Ingv.
|
Bizzarri A. 2011. Temperature variations of constitutive parameters can significantly affect the fault dynamics. Earth and Planetary Science Letters, 306(3-4): 272-278. DOI:10.1016/j.epsl.2011.04.009 |
Bizzarri A. 2012. What can physical source models tell us about the recurrence time of earthquakes?. Earth-Science Reviews, 115(4): 304-318. DOI:10.1016/j.earscirev.2012.10.004 |
Bizzarri A. 2014. The mechanics of seismic faulting:recent advances and open issues. La Rivista Del Nuovo Cimento, 37(4): 181-271. DOI:10.1393/ncr/i2014-10099-0 |
Blanpied M L, Tullis T E, Weeks J D. 1998. Effects of slip, slip rate, and shear heating on the friction of granite. Journal of Geophysical Research:Solid Earth, 103(B1): 489-511. DOI:10.1029/97JB02480 |
Chen J, Rempel A W. 2012. Flash heating and fault zone evolution.//American Geophysical Union, Fall Meeting 2012, abstract id. S21B-2453.
|
Chester F M, Higgs N G. 1992. Multimechanism friction constitutive model for ultrafine quartz gouge at hypocentral conditions. Journal of Geophysical Research:Solid Earth, 97(B2): 1859-1870. DOI:10.1029/91JB02349 |
Chester F M. 1994. Effects of temperature on friction:Constitutive equations and experiments with quartz gouge. Journal of Geophysical Research:Solid Earth, 99(B4): 7247-7261. DOI:10.1029/93JB03110 |
Crupi P, Bizzarri A. 2013. The role of radiation damping in the modeling of repeated earthquake events. Annals of Geophysics, 56(1): 1-14. |
Di T G, Han R, Hirose T, et al. 2011. Fault lubrication during earthquakes. Nature, 471(7339): 494-498. DOI:10.1038/nature09838 |
Dieterich J H. 1978. Time-dependent friction and the mechanics of stick-slip. Pure and Applied Geophysics, 116(4-5): 790-806. DOI:10.1007/BF00876539 |
Dieterich J H. 1979. Modeling of rock friction:1. Experimental results and constitutive equations. Journal of Geophysical Research:Solid Earth, 84(B5): 2161-2168. DOI:10.1029/JB084iB05p02161 |
Dieterich J H. 1992. Earthquake nucleation on faults with rate-and state-dependent strength. Tectonophysics, 211(1-4): 115-134. DOI:10.1016/0040-1951(92)90055-B |
Green H W. 2017. Phase-transformation-induced lubrication of earthquake sliding. Philosophical Transactions of the Royal Society A-Mathematical Physical and Engineering Sciences, 375(2103): 20160008. DOI:10.1098/rsta.2016.0008 |
Gu J C, Rice J R, Ruina A L, et al. 1984. Slip motion and stability of a single degree of freedom elastic system with rate and state dependent friction. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 32(3): 167-196. DOI:10.1016/0022-5096(84)90007-3 |
Gu Y J, Wong T F. 1991. Effects of loading velocity, stiffness, and inertia on the dynamics of a single degree of freedom Spring-Slider System. Journal of Geophysical Research:Solid Earth, 96(B13): 21677-21691. DOI:10.1029/91JB02271 |
Handwerger A L, Rempel A W, Skarbek R M, et al. 2016. Rate-weakening friction characterizes both slow sliding and catastrophic failure of landslides. Proc Natl Acad Sci USA, 113(37): 10281-10286. DOI:10.1073/pnas.1607009113 |
He C R, Wong T F, Beeler N M. 2003. Scaling of stress drop with recurrence interval and loading velocity for laboratory-derived fault strength relations. Journal of Geophysical Research:Solid Earth, 108(B1): 2037. DOI:10.1029/2002JB001890 |
He C R, Yao W M, Wang Z L, et al. 2006. Strength and stability of frictional sliding of gabbro gouge at elevated temperatures. Tectonophysics, 427(1-4): 217-229. DOI:10.1016/j.tecto.2006.05.023 |
He C R, Wang Z L, Yao W M. 2007. Frictional sliding of gabbro gouge under hydrothermal conditions. Tectonophysics, 445(3-4): 353-362. DOI:10.1016/j.tecto.2007.09.008 |
Helmstetter A, Sornette D, Grasso J R, et al. 2002. Slider-block friction model for landslides:implications for prediction of mountain collapse. Journal of Geophysical Research Atmospheres, 109(B2): 210-225. |
Helmstetter A, Sornette D, Grasso J P, et al. 2004. Slider block friction model for landslides:Application to Vaiont and La Clapière landslides. Journal of Geophysical Research:Solid Earth, 109(B2): B02409. DOI:10.1029/2002JB002160 |
Helmstetter A, Shaw B E. 2009. Afterslip and aftershocks in the rate-and-state friction law. Journal of Geophysical Research:Solid Earth, 114(B1): B01308. DOI:10.1029/2007JB005077 |
Kanamori H, Rivera L. 2006. Energy partitioning during an earthquake.//Abercrombie R, McGarr A, Di Toro, et al eds. Earthquakes: Radiated Energy and the Physics of Faulting. Washington DC: Geophysical Monograph Series, 170: 3-13, doi: 10.1029/170GM03.
|
Kato N. 2001. Effect of frictional heating on pre-seismic sliding:a numerical simulation using a rate-, state-and temperature-dependent frictionlaw. Geophysical Journal International, 147(1): 183-188. DOI:10.1046/j.1365-246X.2001.01531.x |
Lipovsky B P, Dunham E M. 2016. Tremor during ice stream stick-slip. The Cryosphere, 10(1): 385-399. DOI:10.5194/tc-10-385-2016 |
Lipovsky B P, Dunham E M. 2017. Slow-slip events on the Whillans Ice Plain, Antarctica, described using rate-and-state friction as an ice stream sliding law. Journal of Geophysical Research:Earth Surface, 122(4): 973-1003. DOI:10.1002/2016JF004183 |
Lishman B, Sammonds P R, Feltham D L. 2013. Critical slip and time dependence in sea ice friction. Cold Regions Science and Technology, 90-91: 9-13. DOI:10.1016/j.coldregions.2013.03.004 |
Marone C. 1998. Laboratory-derived friction laws and their application to seismic faulting. Annual Review of Earth and Planetary Sciences, 26(1): 643-696. DOI:10.1146/annurev.earth.26.1.643 |
McCarthy C, Savage H, Nettles M. 2017. Temperature dependence of ice-on-rock friction at realistic glacier conditions. Philosophical Transactions of the Royal Society A-Mathematical Physical and Engineering Sciences, 375(2086): 20150348. DOI:10.1098/rsta.2015.0348 |
McKenzie D, Brune J N. 1972. Melting on fault planes during large earthquakes. Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, 29(1): 65-78. DOI:10.1111/j.1365-246X.1972.tb06152.x |
Nielsen S. 2017. From slow to fast faulting:recent challenges in earthquake fault mechanics. Philosophical Transactions of the Royal Society A-Mathematical Physical and Engineering Sciences, 375(2103): 20160016. DOI:10.1098/rsta.2016.0016 |
Perfettini H, Molinari A. 2017. micromechanical model of rate and state friction:1. Static and dynamic sliding. Journal of Geophysical Research:Solid Earth, 122(4): 2590-2637. DOI:10.1002/2016JB013302 |
Ranjith K, Rice J R. 1999. Stability of quasi-static slip in a single degree of freedom elastic system with rate and state dependent friction. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 47(6): 1207-1218. DOI:10.1016/S0022-5096(98)00113-6 |
Rathbun A P, Marone C. 2013. Symmetry and the critical slip distance in rate and state friction laws. Journal of Geophysical Research:Solid Earth, 118(7): 3728-3741. DOI:10.1002/jgrb.50224 |
Rice J R, Gu J C. 1983. Earthquake aftereffects and triggered seismic phenomena. Pure and Applied Geophysics, 121(2): 187-219. DOI:10.1007/BF02590135 |
Rice J R, Tse S T. 1986. Dynamic motion of a single degree of freedom system following a rate and state dependent friction law. Journal of Geophysical Research:Solid Earth, 91(B1): 521-530. DOI:10.1029/JB091iB01p00521 |
Rice J R. 1993. Spatio-temporal complexity of slip on a fault. Journal of Geophysical Research:Solid Earth, 98(B6): 9885-9907. DOI:10.1029/93JB00191 |
Rice J R. 2006. Heating and weakening of faults during earthquake slip. Journal of Geophysical Research:Solid Earth, 111(B5): B05311. DOI:10.1029/2005JB004006 |
Ruina A. 1983. Slip instability and state variable friction laws. Journal of Geophysical Research:Solid Earth, 88(B12): 10359-10370. DOI:10.1029/JB088iB12p10359 |
Schmitt S V, Segall P, Matsuzawa T. 2011. Shear heating-induced thermal pressurization during earthquake nucleation. Journal of Geophysical Research:Solid Earth, 116(B6): B06308. DOI:10.1029/2010JB008035 |
Scholz C H. 1998. Earthquakes and friction laws. Nature, 391(6662): 37-42. DOI:10.1038/34097 |
Scholz C H. 2002. The Mechanics of Earthquakes and Faulting. 2nd ed. New York: Cambridge University Press.
|
Segall P. 2010. Earthquake and Volcano Deformation. Princeton and Oxford: Princeton University Press.
|
Yao L, Ma S L. 2013. Experimental simulation of coseismic fault sliding-Significance, technological methods and research progress of high-velocity frictional experiments. Progress in Geophysics (in Chinese), 28(2): 607-623. DOI:10.6038/pg20130210 |
Yao L, Ma S L, Dao B, et al. 2016. Recognition of physicochemical process of seismic fault slip by high speed friction experiment of rocks: Status and prospect.//The Paper Collection of 2016Annual Meeting of Chinese Geoscience Union (Twentyfifth)-Topic 48: Advances in Seismic Source Physics, Topic 49: Detection of Underground Medium Structure and Change by Artificial Source. Beijing: China Peace Audio Video Publishing House 1357.
|
姚路, 马胜利. 2013. 断层同震滑动的实验模拟——岩石高速摩擦实验的意义、方法与研究进展. 地球物理学进展, 28(2): 607-623. DOI:10.6038/pg20130210 |
姚路, 马胜利, 嶋本等. 2016.利用岩石高速摩擦实验认识地震断层滑动的物理化学过程: 现状与展望.//2016中国地球科学联合学术年会论文集(二十五)-专题48: 地震震源物理研究进展、专题49: 利用人工震源探测地下介质结构及其变化.北京: 中国和平音像电子出版社, 1357.
|