0 引言

我国自1966年河北邢台M_S7.2地震后，开始了以地震监测预报为主要目标的规范化和规模化的视电阻率固定台站连续观测.每个台站布设2~3个不同方向的测道，每个方向采用固定电极位置的对称四极观测装置.在50多年的连续观测中，记录到了发生在台网内和附近多次中强及以上地震前与最大主压应力轴方位有关的视电阻率中短期各向异性变化(钱复业等，1982；钱家栋等，1985；赵玉林等，2001；汪志亮等，2002；Du，2011；杜学彬等，2015)，表现为：垂直或近于垂直于主压应力方位测道的变化幅度最大，平行或近于平行方向的测道变化幅度最小或无明显变化，斜交方向介于二者之间.1976年唐山M_S7.8地震前震中周围的14个视电阻率台站中，多个台站在地震临近阶段出现突出的各向异性变化，可能反映临震时由于断层预滑引起的主应力方位变化(陈有发，1993；赵玉林等，1995).以两个垂直方向视电阻率的比值作为视各向异性度参数S，经多个震例分析认为地震多发生于S参数达到极值之后的阶段(毛桐恩等，1999).杜学彬等(2006)应用归一化变化速率方法，分析了中国大陆27次M_S5.5以上地震晚期阶段震中区及附近41个台(次)的视电阻率变化，发现超过95%的异常呈现出与震源机制解最大应力轴方位有关的各向异性变化，且与多数含水岩土标本应力加载实验给出的结果一致.成都台距离2008年汶川M_S8.0地震震中35 km，距离2013年芦山M_S7.0地震震中99 km，这两次发生在龙门山断裂带的近距离大震前呈现了各向异性变化的重现性(杜学彬等，2015).

应力作用下岩土介质电阻率呈现出各向异性变化，已经得到实验室、野外原地实验和理论模型的证实.实验室内含水岩石标本实验结果表明，压应力加载过程中视电阻率呈现下降变化，平行于剪应力方向加载初期出现小幅上升变化，多数岩石在临近破裂时加速下降(Brace and Orange, 1968；陆阳泉等，1988；Jouniaux et al., 2006)，有水补给时下降幅度更为显著(安金珍等，1996)，岩石破裂后出现快速回返，变化速率与应力加载速率密切相关(张金铸和陆阳泉，1983)，视电阻率各向异性变化特征与地震前实际观测结果一致(陈大元等，1983).在实验样品上布设多个电极排列，有裂隙通过的排列，视电阻率各向异性特征明显，电性主轴与裂隙展布方向基本吻合，而无裂隙经过排列，各向异性变化特征不明显，说明应力作用下裂隙的定向排列和扩展是电阻率各向异性变化的重要原因(陈峰等, 2003, 2013；Samoulian et al., 2004).加载过程中岩石样品电阻率成像结果表明，裂隙主要在浅部产生和扩展，而深部的产生和扩展速率相对较低(Zhu et al., 2012；张斌等，2017).野外原地实验中视电阻率各向异性变化也与实验室结果一致(赵玉林等，1983；钱复业等，1998).

自然界中岩土介质电阻率存在不同尺度的各向异性，从微米量级的岩石矿物至上百米尺度的互层结构或裂隙系统，甚至几十公里尺度的岩石圈结构等(Wannamaker，2005).岩石微观结构引起的各向异性称为微观各向异性，由不同电阻率的岩层相互叠加或含水裂隙系统导致的各向异性称为宏观各向异性(徐世浙，1994).各向异性的宏观和微观性质是相对而言的，与分析尺度有关(刘云鹤等，2018).电阻率各向异性是对岩石层理、薄互层、或裂隙定向排列优势取向等非均匀性结构导电性的综合描述.目前已经提出了多种各向异性模型，如二相介质等效模型(Краев，1954；Ellis et al., 2010)，页岩压实模型(Avseth et al., 2003)，裂缝岩石模型(Cook et al., 2010；Berryman and Hoversten, 2013；Revil et al., 2013；Sævik et al., 2014)和非均匀储层模型(North et al., 2013；North and Best, 2014)等.在分析应力作用下的各向异性变化时，裂隙广泛扩容各向异性模型(EDA)考虑了流体运移、裂隙纵横比和排列方向的影响(Crampin et al., 1984).各向异性孔隙弹性模式(APE)在EDA模型基础上考虑了介质因应力作用产生的变形(Zatsepin and Crampin, 1997).王新华和陈大宁(1989)将介质简化为由弱导电基质和饱和球状孔隙组成，应力作用下孔隙变为椭球状，呈现出各向异性.Chinh(2000)则将介质简化为基质和相互连通的孔隙，讨论了沉积岩电阻率各向异性与基质电阻率、孔隙率、流体电阻率和连通系数之间的关系.基于二相裂隙介质的模拟分析发现：无论是裂隙闭合还是扩容阶段，始终是平行于裂隙展布方向电阻率变化速率大于垂直方向(杜学彬等，2007)；原有裂隙在加载初期对各向异性变化有一定影响，但主要还是取决于新生裂隙系统的定向展布(Teisseyre，1997).

定量分析地下介质电性各向异性变化，将有助于理解地震前视电阻率变化的成因和认识孕震过程以及解释电法勘探中的异常体，同时能基于欧姆定律的微分形式分析地电场变化与台址结构之间的联系等.我国台站视电阻率地表观测的极距AB通常在1000 m左右，垂直方向主体探测范围与极距尺度相当(赵和云和钱家栋，1982；杜学彬等，2008)，介质富含裂隙水.本文在前人研究基础上，将地下介质简化为由固体基质和含流体/气体裂隙组成的固液气三相介质，采用并联-串联关系(李宁，1989)推导出包含基质和流体电阻率、裂隙率、饱和度和裂隙面积比率因子的电阻率张量表达式，分析介质电阻率和视电阻率的各向异性变化，期望从更贴近地下介质实际情况的角度认识和理解介质电阻率各向异性以及各向异性变化的机理.

1 固液气三相介质电阻率表达式

严格意义上，较大尺度岩土介质内裂隙呈非均匀分布，介质电阻率是空间位置的函数.从岩土介质中取一个边长分别为L₁、L₂和L₃的长方体(图 1a)，并假设该长方体内裂隙均匀分布，裂隙沿L₁L₃平面展布.沿某一边长方向(如L₂)用垂直于该方向的平面将长方体切分成N个平行的薄片，每个薄片的厚度为l_i(i=1, 2, …, N).对于每个薄片，其厚度l_i足够小，使得薄片上每个裂隙可视为一个曲边柱体.含裂隙的薄片上分布有三种介质，即：岩土基质，电阻率为ρ_m，裂隙内流体，电阻率为ρ_f，裂隙内气体，电阻率为ρ_g=∞.介质裂隙率记为ϕ，流体饱和度记为ψ.沿L₂方向，长方体的电阻R₂为每个薄片电阻R_2i的串联，每个薄片的电阻则为薄片内岩土基质、裂隙内流体和气体电阻的并联.由于裂隙的存在，每个薄片被划分为M_i块区域，记s_ij为第i个薄片上第j个区域的面积，记ρ_ij为该区域介质的电阻率，且ρ_ij的取值为ρ_m、ρ_f和ρ_g其中之一.则第i个薄片的电阻R_2i满足如下关系：

(1)

等式右边为求和形式，薄片上各个区域的求和顺序可互换.分别对岩土基质、裂隙流体和气体区域求和，得到如下关系：

(2)

此时，s_ij(j=1, 2, 3)分别表示第i个薄片上岩土基质、裂隙流体和气体的总面积.用ρ_m, ρ_f, ρ_g代替相对应的ρ_ij，则第i个薄片的电阻为

(3)

整个介质沿L₂方向的电阻R₂为各个切片电阻之和：

(4)

式中ρ₂为岩土介质沿L₂方向的等效电阻率，此时S₂=L₁L₃，则电阻率ρ₂为

(5)

记a_2i=(s_i2+s_i3)/S₂为沿L₂方向第i个薄片上裂隙(流体和气体)的面积比率，由于假定长方体介质内裂隙均匀分布，则所有含裂隙的薄片上a_2i相等，因此用a₂代替a_2i，无裂隙的薄片上a₂=0.在含裂隙的薄片断面上，岩土基质面积为s_i1=S₂(1－a₂)，流体面积为s_i2=S₂a₂ψ，气体面积为s_i3=S₂a₂(1－ψ).(5)式右边为各薄片的求和形式，可将含裂隙薄片和不含裂隙薄片的求和顺序交换：

(6)

式中，N₁为含裂隙薄片数量，N₂为不含裂隙薄片数量，N₁+N₂=N.记L_C2为沿L₂方向含裂隙薄片的总厚度，L_M2为不含裂隙薄片的总厚度，L_C2+L_M2=L₂，并考虑气体电阻率ρ_g=∞，(6)式可写为

(7)

裂隙率满足如下关系：

(8)

可得到裂隙率和沿L₂方向裂隙面积比率a₂之间的关系：

(9)

由此可见，ϕ/a₂表示沿L₂方向裂隙的等效厚度比率.结合式(7)和式(9)可得到岩土介质沿L₂方向的电阻率表达式：

(10)

式(10)中第一项表示含裂隙部分对介质电阻率的贡献，第二项则表示无裂隙部分(全部为岩土基质)对电阻率的贡献.对其余两个主轴方向进行相同的推导，可得到三个主轴方向的电阻率表达式：

(11)

式中a_i(i=1, 2, 3)分别为沿三个电性主轴方向考察时裂隙的面积比率.

对于图 2a所示由两种不同电阻率的岩石组成的互层结构岩石，其导电性可等效为图 2b所示的等效结构.将其中一种介质视为“裂隙”，由于仅含有两种介质，ψ=1.沿纵向方向，含裂隙部分介质的裂隙面积比率a_n=1，由(11)式可得纵向电阻率ρ_n：

(12)

沿横向方向，每个岩石切片都含有裂隙，且裂隙面积比率a_t=ϕ，可得横向电阻率ρ_t：

(13)

(12)和(13)式即是文献(Краев，1951)给出的层状介质纵向和横向电阻率.

对于均匀分布的球状孔隙和立方孔隙介质(图 2c，图 2d)，三个主轴方向孔隙面积比率相等，即a₁=a₂=a₃，由(11)式可得三个主轴方向电阻率ρ₁=ρ₂=ρ₃，介质呈现各向同性(Waff，1974).

为便于推导，这里考虑均匀分布的片状长方体裂隙，沿三个主轴方向第k个含裂隙薄片的厚度分别为l_ik(i=1, 2, 3).分别沿三个主轴方向将所有含裂隙薄片的厚度求和，则相应主轴方向裂隙的总厚度为L_Ci=∑_kl_ik，相应的面积比率为

(14)

三个主轴方向的面积比率满足如下关系：

(15)

由a_i的定义可知，0≤ϕ≤a_i≤1，且0≤a_i－ϕ＜1.裂隙率ϕ是标量，不随坐标系旋转发生变化，三个主轴方向面积比率a_i(i=1, 2, 3)描述的是一个空间旋转不变量，因而可用一个二阶张量A₀来描述面积比率：

(16)

记I为二阶单位矩阵，ρ₀为坐标轴沿电性主轴方向时的电阻率，则(11)式可写为

(17)

当坐标系绕电性主轴旋转至新坐标系下时，面积比率张量A满足如下关系：

(18)

且满足ϕ²=det(A₀)=det(A).式中C为三维坐标旋转矩阵，C^T为C的转置矩阵.新坐标系相对电性主轴的旋转可分解为分别绕ρ₁, ρ₂, ρ₃的三次旋转，记新坐标系xy平面绕ρ₃轴旋转角度为α，yz平面绕ρ₁轴旋转角度为β，xz平面绕ρ₂轴旋转角度为γ，则矩阵C中各元素值为

(19)

新坐标系下电阻率ρ为

(20)

将A=CA₀C^T代入(20)式，经过简单的化简可得到：

(21)

式(21)就是讨论电阻率各向异性时电阻率张量的空间旋转不变性表达式(刘云鹤等，2018).由此可见，对于含裂隙岩土介质，在引入面积比率张量A之后，从标量形式的岩土骨架电阻率、裂隙流体和气体电阻率、裂隙率和饱和度可推导出具有张量形式的电阻率一般表达式，介质内裂隙的分布是导致电阻率呈现各向异性的原因.在考虑其他形式因素引起的各向异性时(如层状地层)，将其中一种介质视为“裂隙”，可得到相同的形式.

2 介质电阻率变化 2.1 电阻率变化的微分形式

下面在电性主轴坐标系下讨论介质电阻率ρ随裂隙扩展/闭合的变化，此时无需考虑裂隙偏转.由(15)式可知，裂隙率ϕ和裂隙面积比率a_i(i=1, 2, 3)是耦合在一起的，裂隙沿任一方向的扩展/闭合至少会引起两个方向裂隙面积比率的变化，因此，已经不能单独讨论裂隙率ϕ与介质电阻率之间的关系.由(9)式可知，ϕ/a_i, (i=1, 2, 3)表示裂隙沿主轴方向的等效厚度比率，记h_i=ϕ/a_i.沿任意一个主轴ρ_i方向，裂隙面积比率因子a_i只反映与该主轴垂直的平面内裂隙面积的变化，而不会引起h_i的变化.因此，在讨论主轴电阻率ρ_i随裂隙变化时，h_i和a_i之间相互独立.由于在无水补给时，饱和度ψ也将随裂隙的变化而变化，将使推导过程变得复杂.在岩土介质体积变化较小时，可近似认为饱和度不变.因此，这里主要讨论饱和度ψ不变的情况，将(11)式分别对h_i和a_i取微分，得到如下关系：

(22)

式中d为微分符号.将(22)式两端同时除以(11)式可得：

(23)

(23) 式右边括号内的第一项表示沿ρ_i方向裂隙横截面积不变，而裂隙等效厚度变化时对ρ_i的影响；第二项则表示等效厚度不变时，裂隙横截面积变化对ρ_i的影响.因此，(23)式描述的是裂隙体积的变化微元可分解为两部分，第一部分为沿纵向(一个方向)的变化，第二部分为沿横向的变化.裂隙沿横向的变化包含三种情况，以a₁平面为例：仅沿ρ₂方向变化，仅沿ρ₃方向变化，同时沿ρ₂和ρ₃两个方向变化.因此，da_i对电阻率的影响不仅与变化幅度有关，而且与变化方向有关.

记dξ为h_i的变化微元，且0 < dξ ≤ε，ε为一个足够小的小量，裂隙的变化方向为r=(u, v, w).u, v, w的比例关系代表裂隙的扩展/闭合方向，而其具体数值并不重要，因为可以调整dξ使得rdξ仍然为一足够小的变化微元.u, v, w中变量为正数时，表示裂隙沿该方向扩展，为负数时，表示沿该方向闭合.由(9)式的定义可得到：

(24)

将(24)式代入(23)式可得：

(25)

由此可以看出，任意一个电性主轴电阻率的变化dρ_i/ρ_i中都含有裂隙变化因子rdξ=(u, v, w)dξ.因此，裂隙沿任意一个方向的变化，都将引起三个主轴电阻率的变化.(25)式右边括号内描述的是加权形式的裂隙体积变化，令是裂隙相对于考察方向发生横向变化时体积变化的权系数，这里称之为裂隙体积变化的横向权系数.令为无量纲参数，这里称之为电阻率变化的增益系数，参照电阻率变化与介质体积变化的经验关系(Brace and Orange, 1968；Yamazaki，1965)，增益系数的绝对值|η_i|可理解为电阻率变化对裂隙体积变化的放大系数.

2.2 裂隙形状因子与最大裂隙率

对于含裂隙介质，在裂隙形状保持不变的情况下(a₁, a₂, a₃之间的比列关系不变)，当某一方向的等效厚度比率h_i=ϕ/a_i=1时，表示裂隙沿该方向完全贯通介质，即沿该方向完全破裂，如果裂隙率进一步增加，a₁, a₂, a₃之间的比列关系将不再保持不变.因此，当其中一个方向h_i=1时，对应于含该形状裂隙的介质达到最大裂隙率.为方便讨论，下文中均假定a₁方向具有最小面积比率，与之相应地，a₁方向具有最大的等效厚度比率h₁，因而也是裂隙的优势排列方向.在裂隙以保持形状不变的方式等比例扩展时，h₁最先达到1.据(15)式，在h₁=1时，最大裂隙率ϕ_max满足如下关系：

(26)

取a₁=a₃，此时ϕ_max=1/a₂，ϕ_max随a₂/a₁的变化如图 3所示.a₂/a₁越小，ϕ_max越大，在双对数坐标下，ϕ_max随a₂/a₁的增加而线性减小.a₂/a₁越小，裂隙各个方向之间的形状差异越小，越接近孔隙形状；而a₂/a₁越大，裂隙纵横差异越大，也就越扁.因此，孔隙介质的孔隙度可以较大，而裂隙介质的裂隙率则通常较小.

2.3 放大系数的变化特征

从增益系数η_i的表达式可知，η_i值的大小与岩土基质和裂隙水电阻率比率ρ_m/ρ_f、裂隙率ϕ、含水饱和度ψ和裂隙形状(a_i)有关，反映的是介质电阻率对裂隙变化的响应能力.限于篇幅，这里对η_i的性质不做深入的理论分析，仅给出在假定其中3个参数的情况下η_i随另一个参数的变化情况.

取ρ_m/ρ_f=5000，a₁/a₃=1/2，ψ=1，ϕ=0.0005和ϕ=0.001时，η_i随a₂/a₁的变化如图 4(a, b)所示，|η₁|和|η₃|随a₂/a₁的增加而增加，|η₂|则减小，在a₂>a₃之后，|η₃|>|η₂|，而|η₁|始终为最大值，说明面积比率越小的方向具有越大的放大系数.从放大系数的数值来看，在a₂/a₁>100之后，|η₁|可达到n×10³量级，与岩石物理实验给出的结论一致(Yamazaki, 1965, 1966；Morrow and Brace, 1981).此外，a₂/a₁越小，裂隙越接近孔隙性质，|η_i|也越小.松散土层通常为含孔隙介质，实验结果给出的土层介质的放大系数也相对较低(钱复业等，1998)，从本文的含裂隙介质电阻率表达式可得到相同的结论.

从η_i的表达式可知，在a₁方向裂隙完全贯通介质时，ϕ=a₁，岩土基质电阻率和裂隙水电阻率通常满足ρ_m≫ρ_f，此时|η₁|=|1－ρ_m/ρ_f|≈ρ_m/ρ_f，说明介质最小电性主轴方向可以具有很大的放大系数.令a₁:a₂:a₃=1:100:2，ψ=1，ϕ分别取0.001和0.005时，|η_i|随ρ_m/ρ_f的变化如图 4(c, d)所示.|η_i|随ρ_m/ρ_f的增加而增加，在ρ_m/ρ_f较小时，|η₁|和|η₂|差异较小，随着ρ_m/ρ_f的增加，三个方向放大系数为|η₁|>|η₃|>|η₂|.值得注意的是，在裂隙率低于ϕ_max时，三个方向放大系数|η_i|随ρ_m/ρ_f增加有趋于稳定的趋势.

取a₁:a₂:a₃=1:100:2，ψ=1，ρ_m/ρ_f=5000，η_i随裂隙率ϕ的变化如图 4e所示，三个方向放大系数的大小关系依然是|η₁|>|η₃>η₂|，|η₂|和|η₃|随着ϕ增加而减小，在ϕ增加的前期阶段，|η₁|也减小，与岩石物理实验给出的小应变时具有较大的放大系数的结果是一致的(Yamazaki, 1965, 1966).而随着ϕ的进一步增加，在ϕ/a₁逐渐趋于1，即：裂隙沿a₁方向逐渐趋于完全贯通介质时，|η₁|快速增加，这合理地解释了岩石物理实验中为何含水岩石标本在加压初期电阻率下降较快，而后下降速率减小，临近破裂的时候呈现加速下降变化(Brace and Orange, 1968；张金铸和陆阳泉，1983).

取a₁:a₂:a₃=1:100:2，ρ_m/ρ_f=5000，ϕ=0.0005，η_i随饱和度ψ的变化如图 4f所示.依据η_i的定义，在饱和度ψ>ρ_f/ρ_m时，η_i < 0，电阻率ρ_i将随着裂隙的扩展/闭合而下降/上升；当ψ < ρ_f/ρ_m时，η_i>0，电阻率ρ_i将随着裂隙的扩展/闭合而上升/下降；当ψ=ρ_f/ρ_m时，η_i=0，电阻率ρ_i将不随裂隙变化而变化.η_i=0的情况只能是一个短暂阶段，因为随着裂隙体积的进一步变化，ψ也将发生变化，使得ψ≠ρ_f/ρ_m，除非有水补给且补给速率使得饱和度ψ一直维持ψ=ρ_f/ρ_m的状态.由此可见，从裂隙变化对电阻率变化影响方向(上升/下降)的角度来看，ψ_c=ρ_f/ρ_m可作为临界饱和度，ψ < ψ_c时，介质具有无水介质的特征，ψ>ψ_c时介质具有含水介质的特征.对于无水介质，三个方向的放大系数η_i值很小，随ψ增加而减小，且差异不明显，说明其电阻率各向异性变化不明显；对于含水介质，放大系数|η_i|随ψ增加而增加，差异性也逐渐增加，且依然满足|η₁|>|η₃|>|η₂|，介质电阻率逐渐呈现出明显的各向异性变化.

2.4 横向权系数的变化特征

将ζ_i表达式的分子和分母同时除以ρ_f可得：

(27)

依据裂隙面积比率a_i的定义，0≤(1－a_i)≤1，ζ_i＞0.对于ψ>ψ_c的含水介质，ζ_i＜1，对于任意一个主轴而言(以ρ₁为例)，裂隙沿主轴纵向方向(ρ₁方向)的变化对该主轴电阻率(ρ₁)的影响大于裂隙沿横向方向(ρ₂和ρ₃方向)变化的影响；当ψ < ψ_c时，ζ_i>1，裂隙沿垂直于主轴的横向方向的变化对该主轴电阻率的影响大于沿主轴纵向方向变化的影响；当ψ=ψc时，ζ_i=1，裂隙沿主轴纵向方向和横向方向的变化对该主轴电阻率的影响具有相同的权重，但此时放大系数η_i=0，介质电阻率ρ_i不随裂隙变化而变化.尤其是对于ψ=0的干岩石，在a_i增大至1的过程中，ζ_i将逐渐趋于无穷大，相应的电阻率ρ_i也将趋于无穷大，这一过程相当于图 2(a, b)所示层状介质中某一种介质为空气(ψ=0，ρ_g=∞)，此时纵向电阻率ρ_n=∞.

ζ_i与岩土基质和裂隙水电阻率比率ρ_m/ρ_f、含水饱和度ψ和裂隙形状(a_i)有关，反映的是裂隙横向变化对主轴电阻率变化的影响程度.实际上，ζ_i与裂隙率之间存在隐含关系，在a₁:a₂:a₃比例不变的情况下，裂隙率的改变会引起a_i的变化，从而引起ζ_i的变化.这里给出在假定其中3个参数情况下ζ_i随另一个参数的变化情况.

取ρ_m/ρ_f=5000，a₁/a₃=1/2，ψ=1，ϕ=0.0005时，ζ_i随a₂/a₁的变化如图 5a所示.此时ζ_i均小于1，且ζ₁和ζ₃随a₂/a₁的增加而增加，ζ₂则减小；在a₂>a₃之后，ζ₁>ζ₃>ζ₂.相对比较而言，对于裂隙面积比率较小的a₁和a₃方向，裂隙横向变化对该方向电阻率变化的影响程度较大，而对于裂隙面积比率较大的a₂方向，则可以忽略裂隙横向变化的影响.

取a₁:a₂:a₃=1:100:2，ψ=1，ϕ=0.0005时，ζ_i随ρ_m/ρ_f的变化如图 5b所示.三个方向的ζ_i关系仍然是ζ₁>ζ₃>ζ₂，在ρ_m/ρ_f < 100时，ζ₁和ζ₃接近于1，而后随着ρ_m/ρ_f的增加迅速减小，而ζ₂则自ρ_m/ρ_f一开始增加时就迅速减小.在ρ_m/ρ_f较大时，三个主轴方向电阻率ρ_i的变化主要是由裂隙相对于ρ_i方向的纵向变化引起的，可忽略裂隙横向变化的影响.

取a₁:a₂:a₃=1:100:2，ρ_m/ρ_f=5000，ψ=1时，ζ_i随裂隙率ϕ的变化如图 5c所示.三个方向的ζ_i均小于1，且ζ₁>ζ₃>ζ₂，ζ₂比ζ₃低一个数量级以上；随着ϕ的增加，ζ₁、ζ₂和ζ₃均减小，说明当裂隙率增加至一定值以后，可忽略裂隙横向变化的影响.

取a₁:a₂:a₃=1:100:2，ρ_m/ρ_f=5000，ϕ=0.0005时，ζ_i随饱和度ψ的变化如图 5d所示.在ψ < ψ_c时，ζ_i均大于1，但取值在1附近；ζ₂>ζ₃>ζ₁，但ζ₁和ζ₃取值十分接近.ζ₂随着ψ的增加快速减小，ζ₁和ζ₃在ψ < 0.01时变化很小，之后随着ψ的增加快速减小，ζ₁和ζ₃的差异也逐渐增加；在ψ>ψ_c时，依然满足ζ₁>ζ₃>ζ₂.

2.5 电阻率各向异性变化

由式(20)可知，含裂隙介质电阻率各向异性是由裂隙形状因子张量A引起的，因此，介质电阻率各向异性变化的程度与裂隙的形状因子a_i关系密切.对于任意电性主轴，裂隙的变化可分解为沿主轴方向的纵向变化和垂直于主轴方向的横向变化，结合增益系数η_i和横向权系数ζ_i可以定义级联增益矩阵B：

(28)

则式(25)可表达为如下简洁的形式：

(29)

应当注意的是，η_i和ζ_i是a_i和ϕ的函数，当裂隙变化较大时，可采用增量法对(29)式进行数值积分计算dρ_i/ρ_i.这里简单讨论裂隙沿一个方向变化时三个主轴方向电阻率随形状因子a_i的变化关系.

裂隙沿ρ₁方向变化时，r=(u, 0, 0)，dρ₁/ρ₁=B₁₁a₁udξ，dρ₂/ρ₂=B₂₁a₁udξ，dρ₃/ρ₃=B₃₁a₁udξ.取ρ_m/ρ_f=5000，a₁/a₃=1/2，ψ=1，ϕ=0.0005时，B_i1随a₂/a₁的变化如图 6a所示.此时|B₁₁|>|B₂₁|，|B₁₁|随a₂/a₁的增加而增加，B₂₁则随a₂/a₁的增加逐渐减小.因此，对于含水介质，当裂隙沿ρ₁方向扩展时，ρ₁和ρ₂出现下降变化，且Δρ₁/ρ₁ < Δρ₂/ρ₂ < 0，但|Δρ₁/ρ₁|>|Δρ₂/ρ₂|；当裂隙沿ρ₁方向闭合时，Δρ₁/ρ₁>Δρ₂/ρ₂>0.

裂隙沿ρ₂方向变化时，r=(0, v, 0)，dρ₁/ρ₁=B₁₂a₂vdξ，dρ₂/ρ₂=B₂₂a₂vdξ，dρ₃/ρ₃=B₃₂a₂vdξ，其余相应参数取值同上，B_i2随a₂/a₁的变化如图 6b所示.|B₁₂|随a₂/a₁的增加而增加，|B₂₂|则随a₂/a₁的增加逐渐减小.在裂隙横向比率a₂/a₁小于一定值时(此处约为10)，|B₂₂|>|B₁₂|，此时，对于含水介质，当裂隙沿ρ₂方向扩展时，ρ₁和ρ₂出现下降变化，且0>Δρ₁/ρ₁>Δρ₂/ρ₂，但|Δρ₁/ρ₁| < |Δρ₂/ρ₂|；当裂隙沿ρ₂方向闭合时，0 < Δρ₁/ρ₁ < Δρ₂/ρ₂.而当裂隙横向比率a₂/a₁大于一定值时，|B₁₂|>|B₂₂|，将出现与之相反的变化情况，即：裂隙沿ρ₂方向扩展，ρ₁和ρ₂出现下降变化，且Δρ₁/ρ₁ < Δρ₂/ρ₂ < 0，但|Δρ₁/ρ₁|>|Δρ₂/ρ₂|；当裂隙沿ρ₂方向闭合时，Δρ₁/ρ₁>Δρ₂/ρ₂>0.

裂隙沿ρ₃方向变化时，r=(0, 0, w)，dρ₁/ρ₁=B₁₃a₃wdξ，dρ₂/ρ₂=B₂₃a₃wdξ，dρ₃/ρ₃=B₃₃a₃wdξ，其余相应参数取值同上，B_i3随a₂/a₁的变化如图 6c所示.此时|B₁₃|>|B₂₃|，|B₁₃|随a₂/a₁的增加而增加，|B₂₃|则随a₂/a₁的增加逐渐减小，且B₂₃值较小.因此，对于含水介质，当裂隙沿ρ₃方向扩展时，ρ₁和ρ₂出现下降变化，且Δρ₁/ρ₁ < Δρ₂/ρ₂ < 0，但|Δρ₁/ρ₁|>|Δρ₂/ρ₂|；当裂隙沿ρ₃方向闭合时，Δρ₁/ρ₁>Δρ₂/ρ₂>0.

对于饱和度ψ=0的干岩石，采用上述参数，裂隙分别沿三个方向变化时级联增益矩阵参数B_ij随a₂/a₁的变化如图 6d、e、f所示.B_ij>1，在a₂>a₁之后，|B_i2|>|B_i1|.相较于含水岩石，干岩石的B_ij值特别小，只有对于a₁, a₂, a₃差异较小的孔隙介质(如土层)发生较大的体积变化时，才能观测到同等量级的电阻率变化.对于纵横差异a₂/a₁很大的含裂隙介质，只有在2.4节中讨论的近于层状介质的特殊情况下，当纵向a_n接近于1时，因其对应的横向权系数ζ_n将逐渐趋于无穷大，此时裂隙的横向微小变化才能引起纵向电阻率ρ_n的大幅度变化，而裂隙纵向变化对ρ_n的影响依然很小，裂隙无论是纵向还是横向的微小变化对横向电阻率ρ_t的影响也依然很小.

3 视电阻率各向异性变化 3.1 视电阻率变化的微分形式

介质电阻率各向异性是空间位置的函数，含有6个独立分量.我国定点视电阻率台站观测采用对称四极装置(图 7a)，极距为AB=1000 m左右，主要连续观测浅层范围内介质电阻率的变化.地壳浅层介质中含有较多的裂隙，其排列或扩展受应力作用的控制，走向通常平行于最大主应力方向.地表浅层两个主应力分量通常沿水平方向，第三个主应力沿垂直方向(李清河等，2004).因此在分析与构造应力有关的视电阻率各向异性变化时，通常将测区介质简化为均匀各向异性介质，其中两个电性主轴沿水平方向，第三个电性主轴沿垂直方向，共计4个独立分量(钱复业等，1996；杜学彬等，2007).

以三个电性主轴ρ₁, ρ₂, ρ₃方向建立直角坐标系(图 7b)，记对称四极观测装置与ρ₁的夹角为θ，θ∈[0, π/2]，在地表进行水平方向观测时视电阻率ρ_a的表达式为(钱复业等，1996)：

(30)

在地表布设观测装置时，各测道的方位是已知的，至少需要3个方向的观测才能确定两个水平电性主轴的方位和平均电阻率以及各向异性度参数，但不能得到主轴的真实电阻率(钱复业等，1996).

下面讨论电性主轴电阻率发生变化时，不同方向测道视电阻率变化幅度的分布情况.视电阻率变化与ρ₁, ρ₂, ρ₃和θ有关，裂隙偏转引起的变化可理解为不同测道的变化幅度随角度θ的变化，将在下一步中得到体现.对(30)式取自然对数，分别对ρ₁, ρ₂, ρ₃取微分：

(31)

将dρ_a/ρ_a对θ求导，可得到视电阻率变化幅度随角度θ的变化：

(32)

在时，，所有方向测道的视电阻率具有相同变化幅度，尽管介质电阻率存在各向异性变化，但视电阻率无各向异性变化.而当dρ₁/ρ₁≠dρ₂/ρ₂时，仅在θ=0, π/2时存在零点，而在θ∈(0, π/2)的区间内，要么取正值，要么取负值，dρ_a/ρ_a将随θ单调变化.因此，dρ_a/ρ_a最大值或最小值将出现在θ=0, π/2的测道，其表达式为

(33)

3.2 视电阻率各向异性变化规律

视电阻率深度方向探测范围与极距AB=1000 m相当(赵和云和钱家栋，1982；杜学彬等，2008)，该范围内岩土介质可视为含水裂隙介质.依据2.5节中对含水介质的讨论，对于竖直分布的裂隙，在a₂>a₃>a₁时，ρ₁为最小电性主轴方向，ρ₂为最大电性主轴方向，ρ₃为沿竖直方向的第三电性主轴.当裂隙沿ρ₁方向扩展时，dρ₁/ρ₁ < dρ₂/ρ₂ < 0，dρ_a/ρ_a随θ单调递减，且0>dρ_a/ρ_a|_θ=0>dρ_a/ρ_a|_θ=π/2.当裂隙沿ρ₁方向闭合时dρ₁/ρ₁>dρ₂/ρ₂>0，dρ_a/ρ_a随θ单调递增，且0 < dρ_a/ρ_a|_θ=0 < dρ_a/ρ_a|_θ=π/2.视电阻率分析中通常用|dρ_a/ρ_a|表示变化幅度，因此，当裂隙沿ρ₁方向变化时，始终是|dρ_a/ρ_a|_θ=π/2>|dρ_a/ρ_a|_θ=0，即垂直于裂隙变化方向的变化幅度大于沿裂隙变化方向.裂隙沿深度方向即ρ₃方向变化时的情况与沿ρ₁方向变化时相同，视电阻率变化为|dρ_a/ρ_a|_θ=π/2>|dρ_a/ρ_a|_θ=0，即垂直于最小电性主轴ρ₁方向的变化幅度大于沿最小电性主轴方向.当裂隙沿ρ₂方向变化时，需要分两种情况：1)对于a₁, a₂, a₃差异不大的孔隙介质，|dρ_a/ρ_a|_θ=0>|dρ_a/ρ_a|_θ=π/2，即垂直于孔隙变化方向的变化幅度大于沿裂隙变化方向；2)对于a₁, a₂, a₃差异较大的裂隙介质，|dρ_a/ρ_a|_θ=π/2>|dρ_a/ρ_a|_θ=0，即垂直于最小电性主轴ρ₁方向的变化幅度大于沿最小电性主轴方向.

对于视电阻率探测范围内介质完全不含水的情况(这种情况不太可能出现)，依据2.5节中对饱和度ψ=0介质的讨论，在a₂>a₃>a₁时，无论裂(孔)隙沿水平哪个方向扩展，都是dρ₂/ρ₂>dρ₁/ρ₁>0，|dρ_a/ρ_a|_θ=0＞|dρ_a/ρ_a|_θ=π/2；裂(孔)隙闭合时，dρ₂/ρ₂ < dρ₁/ρ₁ < 0，|dρ_a/ρ_a|_θ=0>|dρ_a/ρ_a|_θ=π/2.

因此，对于竖直分布的含裂(孔)隙各向异性介质，当裂(孔)隙沿水平方向变化时，水平观测视电阻率的变化规律可总结为：对于含水孔隙介质，垂直于孔隙变化方向的变化幅度大于平行方向；对于含水裂隙介质，无论裂隙沿哪个方向变化，都是垂直于最小电性主轴ρ₁方向的变化幅度大于平行方向；对于无水的裂(孔)隙介质，都是平行于最小电性主轴ρ₁方向的变化幅度大于垂直方向.

3.3 视电阻率各向异性变化算例

这里以含孔隙介质(如土层介质)为例给出介质在孔隙扩展时主轴电阻率ρ_i和θ=0, π/4, π/2(θ为装置相对于最小主轴ρ₁方向的角度)三个观测方向视电阻率的各向异性变化情况，记θ=0, π/4, π/2对应的视电阻率分别为ρ_a1, ρ_a2, ρ_a3.孔隙形状因子初始状态取a₁:a₂:a₃=1:2:1.5，基质电阻率ρ_m=100 Ωm，孔隙水电阻率ρ_f=2 Ωm，含水饱和度分三种情况：1)干岩石无水补给，ψ=0；2)初始饱和度ψ=1，孔隙变化时无水补给；3)孔隙变化时有水补给，饱和度一直维持ψ=0.5.

3.3.1 孔隙沿一维方向变化

孔隙沿深度方向(z方向)扩展时(图 8a)，变化方向矢量r=(0, 0, 1)，干岩石三个主轴电阻率和三个方向视电阻率变化如图 8(b，c)所示，ρ_i均表现为上升变化，视电阻率也均为上升变化，且ρ_a1具有最大的变化幅度，ρ_a3最小，但各向异性变化不显著.含水岩石无水补给时的变化情况如图 8(d，e)所示，ρ₃呈现下降变化，ρ₁和ρ₂基本无变化，视电阻率均为下降变化，但幅度非常相近，未呈现出各向异性变化.含水岩石有水补给时的变化情况如图 8(f，g)所示，ρ_i均为下降变化，且ρ₃下降幅度最大，视电阻率均为下降变化，且ρ_a3具有最大的变化幅度，ρ_a1最小，但各向异性变化并不显著.

孔隙沿x方向扩展时(图 8h)，变化方向矢量r=(1, 0, 0)，干岩石主轴电阻率和三个方向视电阻率变化如图 8(i，j)所示，ρ_i均表现为上升变化，视电阻率也均为上升变化，且ρ_a1具有最大的变化幅度，ρ_a3最小，但各向异性变化也不显著.含水岩石无水补给时的变化情况如图 8(k，l)所示，ρ₁呈现下降变化，ρ₂和ρ₃基本无变化，视电阻率ρ_a2和ρ_a3呈下降变化，且ρ_a3下降幅度最大，ρ_a1基本无变化，呈现出显著的各向异性变化.含水岩石有水补给时的变化情况如图 8(m，n)所示，ρ₁下降幅度最大，ρ₂和ρ₃下降幅度很小，视电阻率均呈下降变化，且ρ_a3下降幅度最大，ρ_a1最小.

孔隙沿y方向扩展时(图 8o)，变化方向矢量r=(0, 1, 0)，干岩石主轴电阻率和视电阻率变化如图 8(p，q)所示，ρ_i均表现为上升变化，视电阻率也均为上升变化，但幅度非常相近，未呈现出各向异性变化.含水岩石无水补给时的变化情况如图 8(r，s)所示，ρ₂呈现下降变化，ρ₃基本无变化，ρ₁小幅上升；视电阻率ρ_a1和ρ_a2呈下降变化，ρ_a3小幅上升；ρ_a1变化幅度最大，ρ_a3最小，呈现出显著的各向异性变化.含水岩石有水补给时的变化情况如图 8(t，u)所示，ρ_i均为下降变化，视电阻率均呈下降变化，且ρ_a1下降幅度最大，ρ_a3最小.孔隙沿一维方向变化时，视电阻率各向异性变化特征与3.2节中给出的结论是一致的.

3.3.2 孔隙沿二维方向变化

孔隙沿S1平面对角线方向扩展时(图 9a)，变化方向矢量r=(0, ϕ/a₂, ϕ/a₃)，干岩石主轴电阻率和视电阻率变化如图 9(b，c)所示，ρ_i均为上升变化，视电阻率也均为上升变化，且ρ_a1上升幅度最大，ρ_a3最小，但三个方向差异不大，各向异性变化不明显.含水岩石无水补给时的变化情况如图 9(d，e)所示，ρ₁基本无变化，ρ₂和ρ₃下降，视电阻率均为下降变化，且ρ_a1下降幅度最大，ρ_a3最小.含水岩石有水补给时的变化情况如图 9(f，g)所示，ρ_i均为下降变化，视电阻率也均为下降变化，且ρ_a1下降幅度最大，ρ_a3最小，但三个方向差异不大，各向异性变化也不明显.

孔隙沿S2平面对角线方向扩展时(图 9h)，变化方向矢量r=(ϕ/a₁, 0, ϕ/a₃)，干岩石主轴电阻率和视电阻率变化如图 9(i，j)所示，与孔隙沿S1平面对角线方向扩展时基本相同.含水岩石无水补给时的变化情况如图 9(k，l)所示，ρ₂基本无变化，ρ₁和ρ₃下降，视电阻率均为下降变化，且ρ_a3下降幅度最大，ρ_a1最小.含水岩石有水补给时的变化情况如图 9(m，n)所示，ρ_i均为下降变化，视电阻率也均为下降变化，且ρ_a3下降幅度最大，ρ_a1最小.

孔隙沿S3平面对角线方向扩展时(图 9o)，变化方向矢量r=(ϕ/a₁, ϕ/a₂, 0)，干岩石主轴电阻率和视电阻率变化如图 9(p，q)所示，与孔隙沿S1平面对角线方向扩展时基本相同.含水岩石无水补给时的变化情况如图 9(r，s)所示，ρ₃基本无变化，ρ₁和ρ₂下降，视电阻率均为下降变化，且ρ_a3下降幅度最大，ρ_a1最小.含水岩石有水补给时的变化情况如图 9(t，u)所示，ρ_i均为下降变化，视电阻率也均为下降变化，且ρ_a3下降幅度最大，ρ_a1最小.

由于假定孔隙沿对角线方向扩展，等效厚度比的大小关系为ϕ/a₁>ϕ/a₃>ϕ/a₂，ρ₁为最小主轴方向.对于ψ=0的干岩石，总是ρ_a1的变化幅度最大.对于含水介质，孔隙沿S1平面变化时，沿z方向变化幅度大于沿y方向，x方向无变化，孔隙在水平方向只沿y方向有变化，ρ_a1与孔隙水平变化方向垂直，ρ_a3则与之平行，ρ_a1变化幅度大于ρ_a3；当孔隙沿S2和S3平面变化时，沿x方向变化幅度大于沿y方向，此时ρ_a1与孔隙主要水平扩展方向平行，ρ_a3则与之垂直，ρ_a3变化幅度大于ρ_a1.孔隙沿二维方向变化时，视电阻率各向异性变化特征与3.2节中给出的结论是一致的.

3.3.3 孔隙沿三维方向变化

孔隙沿三维对角线方向扩展时(图 10a)，变化方向矢量r=(ϕ/a₁, ϕ/a₂, ϕ/a₃)，此时孔隙沿x方向的变化幅度大于其余两个方向，ρ_a1与孔隙水平主要变化方向平行，ρ_a3则与之垂直.干岩石主轴电阻率和视电阻率变化如图 10(b，c)所示，ρ_i均为上升变化，视电阻率也均为上升变化，且ρ_a1上升幅度最大，ρ_a3最小，但三个方向差异不大，各向异性变化不明显.含水岩石无水补给时的变化情况如图 10(d，e)所示，ρ_i均为下降变化，视电阻率也均为下降变化，且ρ_a3下降幅度最大，ρ_a1最小.含水岩石有水补给时的变化情况如图 10(f，g)所示，ρ_i也均为下降变化，视电阻率也均为下降变化，且ρ_a3下降幅度最大，ρ_a1最小.孔隙沿三维方向变化时，视电阻率各向异性变化特征与3.2节中给出的结论是一致的.

4 讨论

文中推导出了含裂隙固液气三相介质的张量形式电阻率表达式，包含了标量形式的固体基质和流体电阻率、裂隙率(孔隙度)、饱和度和裂隙面积比率张量因子，满足坐标旋转不变性，且表达式中每一个参量均具有明确的物理或几何含义.以裂隙的扩展/闭合表示应力作用下裂隙的变化，在引入裂隙变化方向矢量r=(u, v, w)后，得到了主轴电阻率相对裂隙变化的微分形式，进而得到了电阻率变化相对于裂隙变化的放大系数和横向权系数表达式.该电阻率表达式可以对实验室内岩石标本的许多结果做出合理的理论解释.表达式中电阻率的张量形式是由裂隙面积比率因子导致的，说明裂隙是引起介质电阻率各向异性的原因，与实验室给出的岩石标本上裂隙经过的区域呈现出显著各向异性，而无裂隙经过的区域各向异性则不明显的结果一致(陈峰等，2013).基于实验室内干岩石和含水岩石电阻率相反的变化形态，给出了区分无水岩石和含水岩石的临界饱和度ψ_c=ρ_f/ρ_m.对于饱和度低于ψ_c的无水岩石，电阻率对裂隙变化的增益系数η_i为正，但放大系数|η_i|的数值较小，裂隙的扩展/闭合将导致岩石电阻率的上升/下降，这与干岩石应力加载实验给出的岩石电阻率小幅上升的结果一致(Brace，1975).含水岩石标本实验结果显示，主压应力加载过程中电阻率呈现下降变化，多数岩石临近破裂时加速下降(Brace and Orange, 1968；陈大元等，1983；张金铸和陆阳泉，1983).对于饱和度大于ψ_c的含水岩石，三个主轴方向增益系数η_i为负值，裂隙扩展/闭合将引起电阻率下降/上升变化；放大系数随裂隙的扩展而减小，但最小电性主轴方向的放大系数在裂隙沿该方向临近破裂时快速增大，其数值最大可达到ρ_m/ρ_f，这合理地解释了实验结果，尤其是临近破裂时电阻率的加速下降变化.在最小电性主轴方向放大系数快速增大之前的阶段，三个方向放大系数的变化规律与山崎良雄给出的小应变阶段放大系数大于大应变阶段的结论是一致的(Yamazaki, 1965, 1966).

裂隙沿任意一个方向的变化，都将引起三个主轴方向电阻率的变化.对于含水岩石，横向权系数小于1，裂隙沿主轴方向的变化对该主轴电阻率的影响大于裂隙的横向变化.对于无水岩石，横向权系数大于1，情况则相反：裂隙垂直于主轴的横向变化对该主轴电阻率的影响大于纵向变化的影响.因含水介质三个主轴方向放大系数和横向权系数的显著差异，裂隙的变化将引起电阻率显著的各向异性变化.对于最大电阻率主轴ρ₂方向和最小主轴ρ₁方向裂隙面积比率差异较大的扁平状裂隙，无论裂隙如何变化，均是最小主轴方向电阻率ρ₁的变化幅度大于最大主轴方向电阻率ρ₂的变化.而对于ρ₂方向和ρ₁方向面积比率差异不大的孔隙状介质，裂隙沿水平方向变化时，沿裂隙主要变化方向的主轴电阻率的变化幅度大于垂直方向.相较于含水岩石，无水岩石放大系数之间差异较小，横向权系数之间差异也较小，电阻率各向异性变化不明显.但特殊情况是在岩石沿横向临近完全破裂时，对于纵向电阻率，因其对应的横向权系数趋于无穷大，纵向电阻率也将趋于无穷大，而横向电阻率则无明显变化，这时也能出现明显的各向异性变化.

视电阻率是测区探测范围内介质电阻率的综合反映，地表浅层构造应力两个主分量通常沿水平方向，第三个主应力沿垂直方向(李清河等，2004).因而文中假定裂隙沿竖直方向，在此基础上对地表不同方向观测的视电阻率各向异性变化进行了讨论.视电阻率变化幅度是观测装置与最小电性主轴ρ₁夹角θ的单调函数，变化幅度的最大值或最小值只能出现在与ρ₁平行(θ=0)或垂直(θ=π/2)的测道.当裂隙三个方向面积差异不大时，可将其视为孔隙；而当其中一个方向与其余方向面积差异较大时，则为扁平状裂隙.因此，对于竖直分布的孔隙介质，当孔隙沿水平方向变化时，视电阻率各向异性变化规律为：1)孔隙含水时，垂直于孔隙变化方向的变化幅度大于沿孔隙变化方向；2)孔隙不含水时，无论孔隙沿哪个方向变化，都是平行于最小电性主轴ρ₁方向的变化幅度大于垂直方向.对于竖直分布的裂隙介质，无论裂隙沿哪个方向变化，视电阻率各向异性变化规律为：1)裂隙含水时，垂直于最小电性主轴ρ₁方向的变化幅度大于平行方向；2)裂隙不含水时，平行于最小电性主轴ρ₁方向的变化幅度大于垂直方向.

岩土力学实验和相关理论分析表明，对于初始含有裂隙的介质，随着应力持续增加，初始裂隙会发生闭合和偏转，当应力积累到一定程度之后，新生裂隙不断产生；无论初始裂隙如何分布，最终形成的新裂隙系统展布方向将沿最大主应力方向(徐靖南等，1993；李新平等，2002).地震是构造应力长期积累并最终导致断层失稳的结果，视电阻率异常通常出现在大地震发生之前1~2年内(Du，2011).在该时段，测区地下介质在应力长期的积累过程中应该已经经过了初始裂隙闭合、偏转，而进入新裂隙系统优势展布阶段.视电阻率探测范围内岩土介质通常是含水介质，对于含水孔隙介质和裂隙介质，视电阻率各向异性变化规律并不一样.对于基岩埋深较浅的地区，主要探测深度范围内介质为基岩，此时视电阻率各向异性变化应该可以按含裂隙介质来进行分析.对于第四纪覆盖层较厚的地区，主要探测深度范围内介质最可能是含孔隙介质，可按孔隙介质来分析视电阻率各向异性变化.应当注意的是，对于地下介质电阻率存在较大横向不均匀性的测区，采用地表三个方向观测的视电阻率计算得到的最小电性主轴方位α可能与真实的裂隙电性主轴方向(裂隙优势展布方向)α′存在差异.对于含水裂隙介质，视电阻率各向异性变化与裂隙最小电性主轴方位α′紧密联系在一起；对于含水孔隙介质，各向异性变化则与孔隙的变化方向密切相关.杜学彬等(2007)认为：因为台站的观测装置是固定不动的，横向不均匀性的影响也是固定不变的，因而视电阻率的各向异性变化基本与横向不均匀性无关，在地表进行定点连续的视电阻率观测，通过各向异性变化分析，可以估计出裂隙的优势展布方向α′或孔隙的变化方向，进而对水平最大主应力方位进行估计.但地层横向不均匀性对各向异性变化分析是否存在影响，还需要通过建立有限元模型进行进一步的分析.

图 11a是野外原地压应力加卸载实验结果，应力加载时视电阻率下降，应力卸载时回升，垂直于最大主应力方向下降幅度最大，平行方向最小，斜交方向介于二者之间，呈现出与最大主应力方位有关的各向异性变化(赵玉林等1983)，依据本文提出的电阻率表达式得到的视电阻率各向异性变化与该实验结果是一致的.这里以2008年汶川M_S8.0地震前成都台和江油台的视电阻率变化，给出与地震最大主压应力方位有关的各向异性变化的实例(解滔等，2018).成都和江油台只有两个方向的观测，为此只能进行大致的估计.据主震发生时主破裂带的分段震源机制解(图 11b)，成都台附近区域主压应力轴方位为N51°W，江油台附近区域主压应力轴方位为N5°W(张勇等，2009).成都台N58°E测道与主压应力轴近于垂直(图 11b)，震前记录到了显著的异常变化，N49°W测道与主压应力轴近于平行，未出现异常变化；江油台N70°W测道与主压应力轴夹角为65°(图 11b)，震前记录到了异常变化，N10°E测道与主压应力轴大致平行，震前未记录到异常.成都台和江油台在同震时出现阶跃变化(地震发生时刻前后两个整点观测值)，震后两个台站均表现出恢复上升变化.

本文的含裂隙介质电阻率表达式是在假定裂隙为长方体形状下推导出的，对于其他形状的裂隙，如球形、圆柱形和椭球形等，可以将其等效为沿边界包裹裂隙的长方体裂隙，则介质电阻率表达式可统一地表述为式(20)的形式.在等效的过程中，主要涉及到将长方体裂隙内岩土骨架电阻率、流体电阻率和饱和度参数合成为等效电阻率，以及等效之后对裂隙率的等效处理，我们将另文讨论.

文中推导出的电阻率表达式建立了固体基质和流体电阻率、裂隙率(孔隙度)、饱和度和裂隙之间的一般关系，给出了裂隙变化时电阻率的变化规律，在进一步得到应力作用下裂隙变化规律之后，与地震孕育有关的视电阻率异常机理可得到令人满意的解释.此外，该表达式还可以为基于电阻率分析岩土介质裂隙提供一定的参考.

5 结论

本文推导出了含裂隙固液气三相介质的张量形式电阻率表达式，包含了固体基质和流体电阻率、裂隙率(孔隙度)、饱和度和裂隙面积比率因子，并得到了电阻率变化的微分形式，在此基础上给出了介质电阻率变化对裂隙体积变化的放大系数的表达式，同时也给出了裂隙横向变化对主轴电阻率影响的横向权系数表达式，最终通过增益系数和横向权系数定义一个级联增益矩阵，介质电阻率随裂隙的各向异性变化规律由该级联增益矩阵确定.

裂(孔)隙沿水平方向变化时，含水裂隙介质电阻率各向异性变化规律为：无论裂隙如何变化，均是最小主轴方向电阻率的变化幅度大于其余方主轴向；含水孔隙介质电阻率各向异性变化规律为：沿孔隙主要变化方向的主轴电阻率变化幅度大于垂直方向.相较于含水岩石，裂(孔)隙变化时无水岩石介质电阻率各向异性变化不明显.

对于竖直分布的含裂(孔)隙各向异性介质，地表水平观测时视电阻率变化幅度的最大值和最小值将出现在与最小电性主轴平行或垂直的方向.当裂(孔)隙沿水平方向变化时，视电阻率各向异性变化的规律可总结为：对于含水孔隙介质，垂直于孔隙主要变化方向的变化幅度大于平行方向；对于含水裂隙介质，无论裂隙沿哪个方向变化，都是垂直于裂隙最小电性主轴方向的变化幅度大于平行方向.

致谢  审稿专家提出了中肯的修改建议，对文章的完善有很大的帮助，我们在此表示衷心的感谢.