2. 吉林大学地球探测科学与技术学院, 长春 130026;
3. 长安大学地质工程与测绘学院, 西安 710054
2. College of Geo-Exploration Science and Technology, Jilin University, Changchun 130026, China;
3. School of Geological Engineering and Geomatics, Chang'an University, Xi'an 710054, China
航空电磁法由于采用飞行装置作为搭载平台,特别适合地形复杂地区能源和资源勘查(殷长春等,2015;孙栋华等,2017;宁媛丽等,2019).时间域航空电磁法由于发射功率大、勘探深度大(赵越等,2017;武欣等,2019),特别适合勘探深部隐伏矿体.经过70多年的发展,时间域航空电磁法已经在矿产、油气、环境工程和水资源勘查等领域发挥积极应用(殷长春等,2015).时间域航空电磁数据处理解释技术也由近似成像和反演(Macnae et al., 1991, 1998)、一维横向约束反演(殷长春等,2016)和拟二、三维空间约束反演(Viezzoli et al., 2008;王琦等,2016;殷长春等,2018)等发展到三维反演解释(Cox et al., 2010;Haber and Schwarzbach, 2014;Liu and Yin, 2016;Liu et al., 2016).考虑到正演是反演的基础,一个高效(快速、高精度)的正演算法可为有效的反演算法提供前提.因此,快速高精度的三维正演算法十分重要.
目前主流的三维时间域航空电磁正演模拟算法主要分为两种,即频时转换和时域直接模拟.频时转换算法首先计算宽频带电磁响应,进而采用正余弦变换(殷长春等,2013)或GS变换(Stehfest, 1970;朴化荣和殷长春,1987)将频率域场变换到时间域.频时转换法的优势在于直接使用比较成熟的频率域正演模拟算法,计算相对简单.因此,目前的三维反演大多使用积分方程法(Cox et al., 2010)或有限差分法(Liu and Yin, 2016)计算频域响应,然后变换到时间域得到时间域正演响应.其不足之处在于为了保证转换算法的计算精度,一般需要计算几十个频率域响应,计算效率较低.
时域直接模拟方法采用时间步长离散并通过迭代方式求解不同时刻的电磁响应,分为显式和隐式两种方法.显式方法通过前几个(取决于差分阶数)时刻的电磁响应计算当前时刻的场,而隐式方法需要求解当前时刻和向后时刻的方程.时域有限差分法是一种典型的显式步长方法.Wang和Hohmann(1993)首先提出使用修正的Du Fort-Frankel方法(Du Fort and Frankel, 1953)进行三维时间域电磁模拟.Commer和Newman(2004)使用交错网格和时域有限差分法并行求解电性源电磁响应.孙怀凤等(2013)将瞬变电磁回线源直接加入到安培环路定理中,并考虑发射电流下降沿,实现三维瞬变电磁时域有限差分正演.在时域有限差分法中,由于虚拟位移电流项(Chew, 1995)的引入,时间步长必须满足Courant稳定性条件, 因此受网格尺寸和最低电阻率的约束,初始步长非常小(Wang and Hohmann, 1993),造成效率相对较低.
相比于显式方法,隐式方法有时是无条件稳定的(Ascher and Petzold, 1998),进而可以使用较大的步长,因此节省针对每一时间步长求解方程的需求.后推欧拉(Backward Euler, BE)方法是一种典型的隐式方法,由于其无条件稳定(Ascher and Petzold, 1998; Um et al., 2010),能够压制早期的高频误差(Haber et al., 2002),近十年逐渐在时间域电磁模拟中受到重视.Haber等(2002)首先提出使用后推欧拉和有限体积法求解电磁势问题.Um等(2010)将直接求解技术引入到后推欧拉方法中求解时间域海洋电磁模拟问题.Yin等(2016a, b)提出使用对称正定电导率张量和任意源项离散技术模拟复杂介质中航空电磁响应,并研究了各向异性和地形对时间域航空电磁的影响.Zhang等(2018)基于法向电流和切向磁场连续的混合误差估计算子开展时间域航空电磁自适应模拟.虽然直接求解技术能够提高时域电磁模拟速度,然而大量右端项回带仍十分耗时.特别地,对于后推欧拉方法,初始步长和步长增长因子选择不当会导致计算误差(Li et al., 2018).使用较少的步长能够提高时间域电磁模拟的速度,却无法保证计算精度.
本文研究使用有理Krylov方法求解矩阵函数,避免时间步长离散.有理Krylov方法是一种Krylov子空间投影算法,因其子空间是由有理函数作为基函数而得名.其基本思想为,构建m维子空间ϕ,在ϕ中寻找矩阵函数f(M)b的一个近似fm,fm可看成是f(M)b在子空间ϕ中的一个投影.由于有限元离散的矩阵通常为大型稀疏矩阵,而Krylov子空间算法避免直接计算函数f(M),并在构建子空间时充分利用矩阵的稀疏性进行矩阵向量计算,极大提高计算效率.Krylov子空间算法在电磁模拟问题中已获得应用.Druskin和Knizhnerman(1988)首先使用谱Lanczos方法求解三维电磁非稳态问题.而后,Druskin和Knizhnerman(1994)又提出使用多项式Krylov方法进行频域和时域电磁模拟.Börner等(2015)使用有理Krylov方法开展地面瞬变电磁模拟研究.周建美等(2018)结合拟态有限体积离散和有理Krylov模型降阶算法求解多频可控源电磁的快速计算问题.
本文引入非结构有限元和有理Krylov方法实现时间域航空电磁快速正演模拟.非结构有限元的优势在于能够剖分任意航空电磁发射源,实现在发射源、接收点和电性分界面处的局部加密.考虑到时间域航空电磁感应电动势随时间近似指数衰减,在选择Krylov子空间偏移参数时,本文使用指数权重函数对有理Arnoldi近似误差进行约束,提高有理Arnoldi近似在晚期时间道的精度.相比于均一误差优化方法(Börner et al., 2015),本文算法能够显著降低Krylov子空间的阶数,进而提高计算效率.本文首先介绍离散电场扩散方程的有限元算法,推导矩阵函数和向量乘积表示的电场解向量,着重阐述有理Krylov方法的基本原理以及偏移参数优化方法;进而通过与一维半解析解进行对比,验证有理Krylov方法的精度;最后针对典型三维地电模型,通过和直接时域有限元法比较,验证有理Krylov方法的有效性.
1 正演理论 1.1 控制方程和有限元离散在航空电磁法中位移电流对电磁响应的影响可以忽略(Yin and Hodges, 2005),因此在有源区域内电磁场满足的麦克斯韦方程为(Jin, 2014):
(1a) |
(1b) |
其中,e(r, t)和h(r, t)分别是t时刻的电场和磁场,r是位置矢量,μ是磁导率,σ是电导率,Js(r, t)是外加电流源项.对(1a)式取旋度并代入(1b)式,可得时间域电场扩散方程为
(2) |
本文使用矢量有限元方法对(2)式进行离散.为此,定义残差矢量R(r, t)为
(3) |
对模拟区域进行非结构四面体网格剖分,并使用矢量基函数(Nédélec, 1980)近似单元内电场,即:
(4) |
其中Ni(r)是矢量基函数,ei(t)是t时刻单元内第i个棱边的切向电场值.Nédélec矢量基函数自动满足电场切向分量连续且散度为零的条件.按照伽辽金方法,选择权重函数为矢量基函数,并使得残差R(r, t)最小可得:
(5) |
使用格林定理对(5)式第一项进行分部积分,将(4)式代入(5)式,得到:
(6) |
式中,A、B和S分别为整体刚度矩阵、质量矩阵及源项,在单元内的局部形式为
(7a) |
(7b) |
(7c) |
对于一阶单元,Ae和Be可直接通过单元积分得到.源项Se的离散参考Yin等(2016a).
1.2 边界条件和初值条件使用非结构网格可以在电磁场梯度大的区域(比如电性分界面)很好地实现局部加密,同时网格尺度可快速增加到扩边区域.为保证电磁场解的唯一性,在外边界上施加狄利克雷边界条件:
(8) |
其中,n为外边界面的法向向量.
本文假设航空电磁系统发射波形为阶跃波.根据电磁感应定律,t=0时刻,发射线圈中的恒定磁场在空中和地下均不产生电场,因此电场的初值条件为
(9) |
由(6)式可得矩阵指数函数和向量乘积表示的电场解向量为(Börner et al., 2015):
(10) |
其中,
由于有限元离散的矩阵A和B均为大型稀疏矩阵,直接计算矩阵函数ft(M)b非常耗时,而有理Krylov子空间算法可以用来构建类似矩阵函数的有效近似.为此,首先定义关于质量矩阵B的正交内积和范数为
(11) |
式中H代表共轭转置.
给定矩阵M和向量b,以及m阶有理函数rm=pm/qm,且有理多项式qm是非奇异的,则m+1阶有理Krylov子空间定义为
(12) |
当
(13) |
其中,I是单位矩阵,分母qm的零点ξj为定义Krylov子空间
(14) |
其中
将基函数v写成矩阵形式为
(15) |
式中,N为有限元离散的未知数个数,m为偏移参数个数(等于子空间阶数减1).则由基函数Vm+1可得矩阵函数ft(M)b的有理Arnoldi近似为
(16) |
其中,
在构建正交基的过程中,求解m次线性代数方程组(14)式最耗时,主要计算量在于偏移参数ξj改变时的矩阵分解和m次右端项回带.当ξj保持不变时,线性代数方程组系数矩阵不变,此时若采用直接求解器求解,则矩阵分解结果可以重复利用,大大提高计算效率.
偏移参数ξj是构建正交基Vm+1的重要参数,如何选择ξj是有理Krylov方法的关键.有理Arnoldi近似误差存在最大值为(Börner et al., 2015):
(17) |
其中,[α,β]是矩阵M的奇异值范围,rm(z)是f(z)的有理近似.因此,必定存在一组偏移参数使得有理Arnoldi近似误差小于设定值.根据Börner等(2015),当偏移参数ξj的总个数m保持不变时,l=2个不同的偏移参数重复m/2次具有最高的计算精度.另外,考虑到航空电磁场衰减很快,晚期和早期电磁响应的幅值差异可达8至9个数量级,有理Arnoldi近似在晚期应具有更小的绝对误差,以保证晚期道计算精度.由Nabighian (1991),感应电动势在晚期的衰减近似满足
(18) |
本文针对
下面本文分别针对均匀半空间和三维异常体模型验证有理Krylov方法的计算精度和效率.计算环境为配备Intel (R) Core (TM) i5-4590 CPU @ 3.30 GHz中央处理器和16 GB内存的个人计算机.航空电磁系统发射线圈为外接圆半径是15.35m的正十二边形,匝数为1匝,发射波形为阶跃波形,电流为1安培;接收线圈位于发射线圈右上方,水平距离为10 m,垂直距离为20 m.
2.1 精度验证首先,本文设计一个均匀半空间模型,通过与一维半解析解比较来验证有理Krylov方法的精度和有效性.均匀半空间和空气的电阻率分别为50 Ωm和106 Ωm.发射源中心位于(0, 0, -30)m处,接收点位于(10, 0, -50)m.考虑到航空电磁系统的影响范围(footprint)有限(Yin et al., 2014),将四面体网格剖分的核心区域设为1800 m×1800 m×1500 m.为了满足狄利克雷边界条件,在x、y和z方向各扩边20 km.考虑到发射源附近电磁场变化剧烈,空气与地表电性对比度大,因此在源和地表附近均对网格进行了局部加密,网格尺寸随着远离发射源而逐渐增加,最终生成13701个节点和80660个四面体单元,产生94622个未知数,四面体网格截面图如图 2所示.
图 3给出有理Krylov法和使用Airbeo(Raiche et al., 2007)计算得到的一维半解析解对比结果.其中,一维半解析解是由频率域磁场响应经过余弦变换得到的.由图可以看出,有理Krylov算法结果和一维结果吻合很好,从早期到晚期相对误差均小于5%,证明了有理Krylov方法具有很高的计算精度.
为了比较有理Krylov方法和后推欧拉方法的计算效率,本文针对后推欧拉方法设计三组时间步长,如图 4所示.其中起始步长均为10-4 ms,时间步长增长因子分别为2.67、4.25和7.60,步长增大次数分别为7、5和4次,总步长数分别为800(Scheme 1)、510(Scheme 2)和200(Scheme 3)步.
图 5表示针对均匀半空间模型三组时间步长计算得到的后推欧拉法计算结果和一维半解析解的相对误差.其中,步长1和步长2的计算误差满足精度要求,而时间步长3由于增长太快导致误差很大.对比图 3和图 5的结果表明,通过加权偏移参数优化后,41阶有理Arnoldi近似可以得到和510至800个步长的后推欧拉方法相当的计算精度.表 1给出有理Krylov方法和三组时间步长的后推欧拉法的计算效率对比,可以看出有理Krylov法相对使用800个步长的后推欧拉方法计算效率提高了13.15倍,相对于使用510个步长的后推欧拉方法计算效率提高了8.28倍.
图 6给出一个三维水平板状体模型,本文分别使用全局网格和局部网格进行离散,研究有理Krylov法对于全局网格和局部网格的计算效率.水平板大小为200 m×200 m×50 m,顶部埋深50 m.均匀半空间电阻率为100 Ωm,水平板电阻率为1 Ωm.分别模拟y=0 m剖面上-400~400 m范围内共41个测点的时间域航空电磁响应,点距为20 m.如图 7a所示,剖分全局网格时,在所有发射源和测点附近均进行了网格加密,共生成50162个节点和314153个四面体单元,产生364461个未知数.相比之下,在进行局部网格剖分时,参见图 7b,只在某个源或测点附近进行网格加密,大大降低了网格数量,平均每套网格约生成105026个单元,产生121994个未知数.将本文有理Krylov法分别和基于有限元离散(使用和本文相同的网格, FETD)(Yin et al., 2016a)和有限体积离散(使用规则六面体网格, FVTD)(Ren et al., 2017)的后推欧拉方法的计算结果进行比较以进一步验证本文算法的精度.
2.2.1 计算精度对比图 8分别给出利用有理Krylov法、时间域有限元法(Yin et al., 2016a)和时间域有限体积法(Ren et al., 2017)计算得到的航空电磁响应.由图可以看出,三组计算结果吻合很好,地下良导板状体反映明显.在扩散早期,感应电流聚集在地表,dBz/dt无异常;随着扩散时间的增加,感应电流被低阻水平板吸引,异常体上方dBz/dt响应相对变小;当感应电流穿过异常体时,低阻板内电流密度增大且占据主导地位,因此接收机处磁场变大,异常体上方出现明显的单峰异常;在扩散的晚期,感应电流越过异常体继续向下和向外扩散,电磁响应异常逐渐消失.
表 2给出有理Krylov法和后推欧拉法的计算时间对比.从表可以看出,对于后推欧拉方法,计算效率随着时间步长数增加而降低;对于全局和局部网格,有理Krylov方法计算效率相对于使用800个时间步长的后推欧拉方法分别提高3.96和9.15倍.结合图 8和表 2可以看出,有理Krylov法和局部网格技术不仅能满足计算精度要求,而且能显著提高计算效率.因此,后面的典型异常体正演模拟中本文均采用局部网格技术对模型进行离散.
本节对典型的球体和双倾斜板模型的时间域航空电磁响应进行模拟,进一步检验基于四面体网格离散的有理Krylov正演方法的有效性.
2.3.1 球体模型球体模型如图 9所示,半径为40 m,中心位于地下60 m处.均匀半空间和球体的电阻率分别为100 Ωm和1 Ωm.测线位于球体正上方,发射线圈高度为30 m,接收线圈高度为50 m,测点距为10 m.使用局部网格技术对模型进行离散,网格的平均棱边数约为158000个.
图 10给出球体模型的dBz/dt响应.整体上异常形态与图 8给出的板状体响应特征相似,响应峰值位于球体上方.在0.1 ms之前,由于扩散深度较浅,dBz/dt响应只有微弱的异常.随着感应电流向下扩散,异常电流在低阻球体内聚集,在0.2 ms至0.9 ms时,异常体内的电流占主导地位,dBz/dt呈现正异常,且在一定时刻达到最大值;随着时间的增加,感应电流逐渐远离球体,在1.8 ms之后dBz/dt异常逐渐消失.
双倾斜板状体模型如图 11所示.板状体水平距离为60 m,顶板埋深均为20 m,顶面中心分别位于(-30, 0, 20) m和(30, 0, 20) m处,每个板的x方向宽度为20 m,y方向宽度为100 m,z方向垂直高度为100 m,倾角为60°.均匀半空间的电阻率为100 Ωm,两个低阻板的电阻率均为1 Ωm.
图 12给出双倾斜板模型的dBz/dt响应.整体响应特征同前,但由于板的倾斜特征异常形态相对复杂.早期(0.088 ms之前)感应电流聚集在地表,无法分辨两个低阻板,dBz/dt呈单峰异常;随时间推移,电磁场向深部扩散,感应电流集中于良导板状体内且占据主导地位,异常呈现双峰特征,表征两个异常体的存在.随着电磁场向深部进一步扩散,异常响应再次呈现单峰,幅值减弱直至最后消失.
表 3给出有理Krylov法和后推欧拉法的计算时间对比.从表 3可以看出,当采用局部网格时,对于球体模型和双倾斜板模型,有理Krylov法分别比使用800个时间步长的后推欧拉方法提速8.03和7.37倍,同时比使用200个时间步长的后推欧拉方法也提速近2.80和2.70倍.由此,本文提出的有理Krylov法能够显著地提高时间域航空电磁的模拟速度.
本文使用有理Krylov法和非结构有限元成功实现时间域航空电磁三维正演模拟.在优化偏移参数时,使用指数权重函数对有理Arnoldi近似误差进行加权,使得在晚期道有理Arnoldi近似的绝对误差更小,从而降低Krylov子空间阶数,提高计算效率.和均匀半空间模型的半解析解对比验证了本文有理Krylov法的有效性.针对不同的异常体模型对本文算法和其他算法的计算结果进行对比表明,本文提出的有理Krylov方法在保证计算精度的同时可极大提高计算效率,说明有理Krylov法是进行时间域航空电磁正演模拟快速有效的方法.
致谢 感谢曼彻斯特大学数学学院Stefan Güttel博士在文章准备过程中提供的帮助.
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