0 引言

在所有的电离层探测手段中，地基非相干散射雷达(Incoherent Scatter Radar，ISR)是迄今为止最为强大的探测手段，具有探测功能强、参量多(多种场和粒子成分)、精度高、分辨率好、高度范围覆盖大等众多优点，在电离层探测中占有主导地位.ISR的探测理论最先由美国的W.E.Gordon在1958年提出.使用VHF/UHF频段电磁波可能探测到电离层的后向散射信号，假设电离层中的电子为自由电子，则每个电子的散射信号都是相互独立的，产生的散射即为非相干散射(Incoherent Scatter，IS).同年，Illinois大学的K.L.Bowles使用工作频率为41 MHz的VHF雷达基本证实了他的理论，实际接收的功率与其预测值相差不大，但谱宽却比Gordon的预测值小很多.这是因为电离层中的电子之间存在着集体效应，使得散射信号部分相干.虽然如此，“非相干散射”的名词却被一直沿用下来.

20世纪六七十年代，Dougherty和Farley(1960, 1963, 1966)、Farley et al.、Salpeter(1960)、Hagfors(1961)、Fejer(1960)、Woodman(1967)等一大批学者对IS理论进行了修正与完善，并逐渐形成了求解IS理论谱的两种方法——以Hagfors等(1961)为主的微观法和以D. Farley等(1960)为主的宏观法.微观法从单粒子理论以及动理论出发求解谱密度函数，思路清晰；宏观法应用Nyquist定理以及动理论求解微分散射截面，过程简单.除了以上两种经典方法外，Rostoker和Rosenbluth(1960)提出了测试电荷理论；Kudeki和Milla(2011)提出了使用Nyquist定理和单粒子理论求解理论谱的方法.这两种方法本质上是对微观法和宏观法求解过程的一种简化，得出的理论谱结果与前面的经典方法一致.

近些年来，国际上对理论谱的研究可分为低高度与中性成分碰撞以及高高度库仑碰撞和磁场对谱的影响两大方向.

碰撞IS理论谱对低高度的电离层探测有着重要作用.Chau和Kudeki(2006)使用Jicamarca ISR对磁赤道区的E区和D区电离层进行了观测和等离子体参数反演，反演结果表明：87 km以上温度和离子-中性碰撞频率与MSISE-90模型符合得很好；87 km以下对温度存在过高估计.Zhou等(2011)利用Arecibo ISR对离子速度进行双波束测量并结合离子-中性碰撞模型理论来提取E区垂直电场.观测表明，日间垂直电场在105~145 km范围内有较大的高度变化.Fentzke等(2011)基于Hagfors和Brockelm(1971)提出的理论，研究了BGK、布朗运动和刚性球三种离子-中性碰撞模型对E区电离层IS谱的影响，发现在90~105 km高度范围IS谱相对于先前的报道存在更大程度的变化.Fentzke等(2012)使用Poker Flat ISR首次测量了高纬地区的大气降雨颗粒(MSP)的微观物理特性和可变性，并结合存在MSP和负离子情况的碰撞理论谱提出了一种用于确定白天D层中性温度的新技术.

宏观法理论谱因其公式形式相对简单，主要用于研究碰撞和磁场对IS谱的影响.Sulzer和González(1999)基于宏观法理论与Langevin方程研究了电子库仑碰撞对Jicamarca F区IS谱的影响，研究表明库仑碰撞会导致入射雷达波束接近垂直磁场时的散射谱变得更窄.Milla和Kudeki(2006)利用T_e>T_i情况下总的ISR截面对磁方位角依赖性很弱的特性，使用正则反演技术估算F区电子数密度及T_e/T_i.Bhatt等(2008)利用Arecibo ISR观测数据研究了等离子体线在二次回旋谐波处发生分裂的现象，结果表明当等离子体频率接近二次回旋谐波时，等离子体线会极大地增强且无论等离子体线的强度如何都会发生分裂，磁化等离子体IS理论可准确预测这个现象.Milla和Kudeki(2011)发展了Sulzer等的方法，基于Langevin方程精确描述碰撞磁化等离子体在三维空间中的运动，数值求解了任意入射雷达波束下的碰撞磁化等离子体IS谱.

与国外的理论谱研究相比，我国的IS理论谱研究虽起步较晚，但近年来随着云南曲靖雷达的建设完成，在理论谱研究方面也取得一定的进展.郑传青和吴健(1994)对双麦克斯韦分布函数进行了修正，给出了速度函数的解析解形式.徐彬等(2008)、薛昆等(2009)将离子速度分布函数展开成正交级数的形式，讨论了以麦克斯韦分布为权函数展开的13矩近似和20矩近似的功率谱特征.姬红兵等(2010)针对高纬极区D、E层中粒子与中性成份碰撞剧烈的问题，根据Sheffield(1975)碰撞等离子体功率谱理论，分别采用离子分布函数的13、16矩近似对IS谱进行了模拟.

国内的理论谱研究主要基于微观法的框架，开展各种条件下的理论谱计算仿真研究，不涉及宏观法.本文则对宏观法和微观法这两种方法进行了系统的比较研究，从数学上证明了这两种方法的等价性，并对两种方法的异同点进行了概括性的分析.本研究对于今后特殊条件下如低电离层、垂直磁场探测及人工改变电离层的理论谱研究及电离层多参量反演问题具有重要的指导意义.本文的框架如下：第二章概述两种方法的求解思路，并给出无磁场有碰撞条件下的部分关键公式；第三章对微观法与宏观法进行对比，分析异同点；第四章对全文进行总结，并对理论谱的研究未来发展方向做一些展望.

1 带碰撞IS理论谱求解 1.1 宏观法

宏观法以Farley等(1960)为代表，使用Nyquist定理以及等离子体动理论求解理论谱.在处理热力学平衡和准热力学平衡方面极为便利.Nyquist定理最初应用于电路中，用来描述热噪声引起的涨落电流、电压与电路导纳(或阻抗)之间的关系.Callen等(1951, 1952)将此定理进行推广，使其适用于一般的线性耗散系统.

宏观法求解思路：第一步，分析中性气体热运动引起的密度波动，并由动理论得出广义导纳张量具体形式；第二步，分析等离子体中线性关系，应用Nyquist定理给出电子起伏密度和广义导纳张量之间的关系；第三步，由第一步的结论计算第二步中的广义导纳张量，从而得到电子起伏密度的具体形式；第四步，由微分散射截面(单位体积单位立体角单位频率单位入射功率的平均后向散射功率)与电子起伏密度的关系式，得出微分散射截面的具体形式(Dougherty and Farley, 1960，1963).

较低高度的电离层，等离子体中仍存在中性成分，处于部分电离状态.考虑BGK碰撞模型下中性分子的碰撞效应并假设处于准热力学平衡，求解过程中的关键公式如下：

当以散射差矢k(散射波波矢与入射波波矢之差)为z轴建立坐标系时，电子密度波动只与导纳张量的zz分量有关，本节所讨论内容均满足此条件.

(1) 归一化导纳张量的zz分量y(已忽略下标zz)

(1)

其中，i为虚数单位；θ=ω/kv_t为归一化多普勒频率，ω为多普勒频率，k为散射差矢的模，为热速度，K为玻尔兹曼常数，T为温度，m为粒子质量；ψ=ν/kv_t为归一化碰撞频率，ν为带电粒子与中性成分的碰撞频率；J在考虑磁场情况下为归一化Gordeyev积分，此处不考虑磁场影响，J简化为J=-iG(θ-iψ)，G函数是一个相对简单的积分:

(2)

且c为(-∞, +∞)绕过奇点p=x的积分路径.G(x)与等离子体色散函数Z(x)稍有差异，二者之间的数学关系为G(x)=Z(-x).公式(1)描述的为带碰撞自由电子(或离子)的归一化导纳，是求解碰撞等离子体中电子归一化导纳的关键.

(2) 中性气体热起伏密度的微分散射截面σ_t:

(3)

其中，ω₀为雷达圆频率；n₀为数密度；r_e≡e²/(4πε₀m_ec²)为经典电子半径，e为元电荷，ε₀为真空中的介电常数，m_e为电子静质量，c为光速；Re为取实部.公式(3)不仅适用于中性气体组成的线性耗散系统，当选取合适的归一化导纳y，也可用来计算自由电子、自由离子以及等离子体中电子的微分散射截面.

(3)等离子体中电子密度波动的微分散射截面σ

等离子体中考虑到电子离子之间的库仑相互作用，电子的归一化导纳张量的zz分量需修改为如下形式(已忽略下标zz):

(4)

其中，y_{i, e}(下标e表示电子，下标i表示离子)为归一化导纳，由公式(1)给出；q_i为离子带电量；λ_De=为电子德拜半径，T_e为电子温度，n_e0为电子数密度.

将(4)式中的归一化导纳y′代入(3)式，即可得到碰撞等离子体的电子微分散射截面

(5)

其中，η=q_i²n_i0/(e²n_e0)表征离子所带电荷数Z；μ=ηT_e/T_i.IS的基本原理为等离子体对电磁波的散射，离子由于质量较大散射功率较小而不予考虑，故此处只考虑电子的微分散射截面.

1.2 微观法

微观法以Hagfors等(1961)为代表，自20世纪60年代以来，逐步发展与完善，从最初无磁场、无碰撞、无漂移的单种离子成分麦氏分布的理论谱，到如今带磁场、带碰撞、带漂移以及非麦氏分布等各种形式(Sheffield，1975)，已经能适应大多数对电离层进行观测所需要的情形.

微观法求解思路：第一步，由自由电子的电偶极辐射分析辐射场，得出散射功率谱与辐射场的关系，进而得出谱密度函数的定义式；第二步，分析需要考虑的因素，列写对应的玻尔兹曼方程，通过动理论的求解，得出电子起伏密度的表达式；第三步，求电子起伏密度的自相关函数并代入谱密度函数的定义式，得到谱密度函数的一般表达式；第四步，假定分布函数的形式，代入求解谱密度函数具体形式(Sheffield，1975).

为与宏观法作对比分析，考虑无磁场有碰撞单种离子成分的情况，且假设速度分布函数为麦克斯韦分布，求解过程中的关键公式如下：

(1) 带碰撞谱密度函数S(k, ω)的定义式

(6)

其中，ν_q为适应各种成分的有效碰撞频率；n_1e(k, ω)为电子起伏密度；〈·〉为取系综平均.此式表明散射谱的求解等价于电子密度涨落自功率谱密度的求解.

(2) 单个电子带碰撞谱密度函数的一般表达式:

(7)

其中，C_q为极化率，q表示i, e；ε为相对介电常数；Z为离子所带电荷数；B_q的物理意义将在2.2节中讨论.极化率C_q、相对介电常数ε以及B_q的表达式如下:

(8)

(9)

(10)

其中，α_q=1/(kλ_Dq)为散射参数，表征入射波长与德拜半径的相对大小，为德拜半径，分母中的q为带电粒子的电荷量；ξ_q=θ_q-iψ_q表示q类粒子的归一化自变量；使用G函数表示D_q有

(11)

其中，θ_q和ψ_q分别表示q类粒子的归一化多普勒频率和碰撞频率.

2 两种方法的对比分析 2.1 归一化导纳与极化率的关系

归一化导纳和极化率是宏观法和微观法公式中比较重要的参量，两者由不同的求解思路得到，却有着内在的数学关系，证明过程如下.

使用G函数表示归一化导纳，则(1)式修改为

(12)

式中下标q表示带电粒子.

同理，使用G函数表示极化率，则(8)式修改为

(13)

已知ξ_q=θ_q-iψ_q，对比以上两式，可得

(14)

电子与离子德拜半径有λ_Di²=λ_De²/μ，则电子、离子极化率和归一化导纳的关系式分别为

(15)

从而得到了无磁场有碰撞条件下两个参量之间的基本数学关系.对于无磁场无碰撞的情况，ψ_q=0且D_q=0，公式(1)与(8)简化后，同样可得到以上结论.

2.2 微分散射截面与谱密度函数

宏观法的微分散射截面和微观法的谱密度函数都是电子散射功率谱密度的体现，有着本质的联系，本小节将依据前文中的具体公式进行对比并得到它们之间的数学关系.

利用(15)式中的关系，使用极化率替换归一化导纳，将微分散射截面(5)式修改为

(16)

结合(9)式，对上式与谱密度函数(7)式进行对比，可发现二者之间的区别在于Re(y_q)和B_q，结合(11)、(12)式，对归一化导纳y_q处理如下:

(17)

分子各项取实部，结果如下:

(18)

因此可得

(19)

对比上式与B_q的表达式(10)，可得

(20)

将(20)式代入微分散射截面(12)式，即可得到与谱密度函数(7)式的关系，如下:

(21)

至此，我们便得到微分散射截面与谱密度函数之间的数学关系，以及具体形式下各参量的对应关系.进一步研究可发现(21)式在任意情况下均成立，可从二者的定义式出发进行证明，如下.

微分散射截面表征的是单位体积单位立体角单位频率单位入射功率的平均后向散射功率，数学表达式如下:

(22)

其中，P_s为散射至距离R处散射频率为ω_s的功率；Ω为立体角；p_i为入射功率密度.

同样，后向散射的谱密度函数满足如下关系式(Sheffield，1975)

(23)

结合以上两式，可得

(24)

由定义式的证明可知二者之间的数学关系恒成立.由(22)与(23)式，我们可以发现，微分散射截面是单位圆频率dω_s上的分布，而谱密度函数是单位频率df_s=dω_s/2π上的分布.

图 1给出了碰撞等离子体条件下微分散射截面与谱密度函数对比(左为离子线，右为等离子体线).从图中可以清楚的看到二者在不同高度均相差2π倍.图中理论谱计算选取地理位置为我国三亚地区，经纬度分别为109°E和18.20°N，高度分别为100 km，300 km，500 km，700 km和900 km.计算选取时间为2018年9月1日04:00 UT(地方时12:00).所用参数由国际电离层参考模型(IRI 2016)和NRLMSISE-00大气模型提供，其中IRI 2016提供了离子数密度、电子数密度、离子温度、电子温度、中性温度共5个参数，NRLMSISE-00大气模型提供了中性成分及各中性成分数密度，雷达频率设置为440 MHz.从图中可以看出，在较低高度，由于离子-中性碰撞较为显著，离子线呈现很窄的单峰结构；随着高度的增加，中性成分数密度下降，离子-中性碰撞不再明显，理论谱逐渐展宽并呈现典型的双峰结构；高度继续增加，各种离子成分所占百分比相当，理论谱由多种离子成分共同确定，谱宽更宽，有时会出现三峰结构.

从(3)式中可知，公式(20)中等式左项Re(y_q)/(πω)表征q类自由粒子的微分散射截面，等式右项可写为2B_q(k, ω)/(2π)，对比微分散射截面和谱密度函数的关系(24)式，可知2B_q(k, ω)即为q类单个自由粒子的谱密度函数.

2.3 两种方法的概述性对比

微观法和宏观法在求解、结果及应用上均有差异，如下:

(1) 所用理论不同.微观法使用了单粒子理论和动理论，而宏观法使用了Nyquist定理和动理论.单粒子理论从微观层面对单个粒子的散射进行分析求解；Nyquist定理则将等离子体整体看作一个线性系统，将散射功率与导纳建立起联系.二者分别从微观和宏观角度对理论谱求解是它们物理上的本质区别.

(2) 微观法和宏观法的最终结论都具有一般性，适用于各种速度分布函数形式.微观法的求解过程中，前三步都不需要假定分布函数的形式，故得到的理论谱公式具有普适性；宏观法在推导过程中，所使用的Nyquist定理虽然受限于热力学平衡状态或准热力学平衡状态，但最终表达式中的广义导纳张量在求解时不局限分布函数的形式，从而使得宏观法的公式也具有普适性.

(3) 考虑多种因素影响时，如磁场、碰撞等，宏观法只需重新求解归一化导纳的形式，求解思路及计算过程相对简单；而微观法对于每一个因素的引入都需要对整个理论谱进行计算，且需要引入初始时刻的参数，分析及计算过程都较为复杂.

3 总结及展望

本文简要介绍了微观法和宏观法求解理论谱的思路，以无磁场有碰撞单种离子成分的理论谱为例，给出了求解过程中较为关键的几个方程，并对归一化导纳和极化率以及微分散射截面和谱密度函数之间的数学关系进行了分析和证明.整个分析对比过程中，主要得到了以下结论：

(1) 给出了归一化导纳和极化率之间的具体关系式；

(2) 得到了微分散射截面与谱密度函数之比为2π，并证明了无磁场有碰撞条件下两者公式的等价性；

(3) 概述性讨论了两种方法在求解、结果及应用上的异同点.两者所用理论不同，结论却具有一致性.

目前国际上已有十多部ISR正在进行科学观测研究，新的ISR计划也相继提出或正在建设之中如欧洲的EISCAT-3D和日本的EMU.我国的三亚相控阵ISR项目也正在实施当中.与中高纬ISR探测不同的是三亚地磁纬度较低，因而需要考虑ISR在垂直磁场探测时的散射谱计算以及参量提取问题.以往的研究表明，垂直探测时，理论谱的离子谱形式由双峰变为单峰，且基于近似理论谱反演的温度约为卫星数据的一半，即在垂直探测模式下，无法同时准确提取漂移速度和温度，下一步我们将围绕带磁场理论谱以及相关参量反演问题进行研究.