2020, Vol. 63
2. 海洋国家实验室海洋矿产资源评价与探测技术功能实验室, 山东青岛 266071;
3. 中国石化胜利油田物探研究院, 山东东营 257022
2. Laboratory for Marine Mineral Resources, Qingdao National Laboratory for Marine Science and Technology, Qingdao Shandong 266071, China;
3. Shengli Geophysical Research Institute of SINOPEC, Dongying Shandong 257022, China
地震反演作为获取地下介质弹性、物性及含流体性质的有效途径，是储层定量描述和地震油气识别的关键技术(印兴耀等, 2014a, b; Yin et al., 2015).随着油气勘探开发程度的不断深入，对地震反演方法的稳定性、可靠性和分辨率提出了更高要求.在实际生产中，带限的地震数据、未知的地震子波、噪声干扰和复杂的地质构造等多方面原因使得地震反演成为一个不适定反问题，反演结果的稳定性和可靠性成为勘探地球物理学家的研究重点.单道地震反演方法因为其稳定性强、计算效率高而受到了广泛研究(Zong et al., 2012; 宗兆云等, 2012；李坤等, 2016, 2018；Yin et al., 2016).然而，单道地震反演欠缺考虑相邻地震道之间的横向联系，反演结果的横向连续性不易控制(霍国栋等，2017；汪玲玲等，2017).为满足高精度地震勘探开发的需求，地震反演方法由单道反演逐步向多道地震反演方法发展(Yuan et al., 2016；Ma et al., 2017, 2018a；Zhou et al., 2019).
单道地震反演只考虑当前道的地震响应，而不考虑当前道与相邻道的横向相关性.实际上，地震资料的相关性在地震勘探领域已经被广泛研究，例如：噪声压制(Abma and Claerbout, 1995；Canales，1984)、地震资料处理(Liu et al., 2009；张如伟等，2012)和地震资料插值(Spitz，1991；Wang，2002)等.近年来，多道地震反演方法发展迅速，Zhang等(2013)在基追踪反演算法的基础上，采用空间多道搜索策略，提出了基于空间正则化的多道地震反演算法. Gholami和Sacchi(2013), Gholami(2015, 2016)为提高计算效率，使用TV正则化进行稀疏约束多道波阻抗反演和多道地震盲反演.Zhang等(2019)发展了基于ATV正则化约束的多道地震反演方法，进一步提高了多道地震反演的横向连续性.上述多道反演方法都是沿水平方向进行横向约束，在层位变化缓慢的地层中，可以取得较好的应用效果，但在层位倾角较大、变化剧烈的复杂构造中，容易引起层位边界刻画不清的问题.Wang等(2018)和Ma等(2018b)分别采用基于混合范数和Lp范数稀疏性假设进行多道地震反演，能够避免层位边界模糊的现象，但反演结果的横向连续性方面改善不明显.这些只对反演参数在纵向上进行各种形式约束的方法，Hamid和Pidlisecky(2015)称之为一维横向无约束反演，即1D-LUI(1D laterally unconstrained inversion).为采取更为合适的横向约束，Hamid和Pidlisecky(2016), Hamid等(2018)利用正交系统旋转方法获得地下介质的倾角场，通过倾角场设计横向约束算子，分别进行了多道阻抗反演和叠前地震多道反演，并应用于地质构造复杂地区的地震反演.Du等(2018)和Ma等(2020)利用地震反射结构设计横向约束算子，分别进行了基于结构正则化的多道反褶积和地震衰减补偿.
基于模型参数先验信息假设的正则化方法是目前提高反演结果横向连续性的主要手段，但当先验信息与实际情况矛盾时，正则化方法是次优的.本文受Du等(2018)研究思路的启发，联合殷长春等(2018)利用相关性约束反演的思想，提出了一种地震数据互相关驱动的多道反演方法.该方法基于地震数据互相关描述其结构特征，并以此设计更精确、更符合实际情况的横向约束算子.另外，地震数据质量是影响地震反演的重要因素，Yuan等(2015)在舍弃部分受噪声干扰严重或极度不连续地震道的情况下，利用稀疏变换对地震数据结构特征的刻画能力依然可以实现所有地震道同时反演，且提高了反演结果的横向连续性.本文在该方法的基础上利用相关性分析描述地震数据结构，估计地震数据中缺乏合理性的局部，针对该局部设计局部优化算子，并将算子作用于目标泛函的惩罚项以改善地震资料质量对反演结果的影响.最后，为提高多道反演的计算效率，构建了一个易于求解的目标泛函.通过Marmousi-2模型测试和OpendTects开源F3工区演示数据集的实际资料应用证明了本文方法的可行性和有效性.
1 多道地震反演 1.1 正演模型在线性系统的假设条件下，根据Robinson褶积模型可将地震记录(d)写成地震子波(w=[w1w2…wl]T)与地层反射系数(r)褶积的形式(Robinson, 1967)，即：
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(1) |
式中，l为地震子波长度，n为随机噪声，通常假设其满足高斯分布.将式(1)写成矩阵-向量的形式：
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(2) |
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(3) |
式中，W为地震子波w通过时移得到的子波核矩阵.在假设地层阻抗是时间t的连续函数时，反射系数与阻抗的关系可表示为(Foster，1975；Russell，1988)
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(4) |
从式(4)可以看出，反射系数可以进一步写成对数阻抗的偏导形式，即
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(5) |
引入一阶差分算子可将式(5)离散化，并写成矩阵-向量的形式：
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(6) |
式中，L为一阶差分算子.地震分步反演策略是先根据式(2)求解地层反射系数，然后通过反射系数与阻抗的关系式(6)计算阻抗.而阻抗直接反演策略是直接从地震记录中估计阻抗，可以避免分步计算带来的累积误差，更容易恢复反演阻抗的高低频信息，能够获得更多的地层细节(Russell and Hampson, 1991；Morozov and Ma, 2009).联立式(2)和式(6)可得到：
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(7) |
式中，di为某地震道第i个采样点处的地震记录，其整道由向量D表示，G和Z分别表示单道地震正演模型算子和对应的对数阻抗模型.考虑所有地震道同时反演，需将多个地震道按一定顺序排列，其形式如下：
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(8) |
式中，D为包含多个单道地震记录Dj的列向量，G为多道地震正演模型算子，由多个单道地震正演模型算子Gj组成.地震多道同时反演是寻找全局最优解，能够降低噪声对反演结果的影响.
1.2 多道1D-LUI方法1D-LUI将所有地震道按顺序排列写成一列向量的形式，并设计多道反演相应的褶积算子，为获得清晰的层位边界，在纵向上进行约束，实现多道地震反演，该方法具有较强的抗噪性.
最小二乘正则化是目前常用的地震反演方法，这种方法能极小化地震反演的目标泛函，从而匹配最佳的反演参数.为获得层位边界清晰的地层阻抗，纵向上可以采取的约束方法有很多，如：L2范数约束(Hamid 2015，2016;Hamid and Pidlisecky, 2015，2016; Hamid et al., 2018)、L1范数约束(Liu and Yin, 2015；Wang and Gao, 2017)和Lp范数约束(Ma et al., 2018a, b)等.考虑到多道反演的计算效率，本文选择L2范数联合一阶差分算子L对反演参数进行纵向约束，由于地层在纵向上一般成层分布，块状化特征明显，引入一阶差分算子表示阻抗在纵向上的变化.多道1D-LUI的目标泛函可表示为
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(9) |
式中，Dobs为观测的多道地震数据，L为一阶差分算子，λ>0为权衡惩罚项和纵向约束项的正则化参数，Zlow-fre为通过测井资料沿层内插、外推和平滑建立的低频模型，μ>0为模型正则化参数，用来控制低频模型对反演的贡献率.
多道地震反演不可避免的需要涉及到计算效率的问题，而本文选择L2范数与一阶差分算子L联合约束，既能保证多道反演的纵向分辨率，又易于求解.目标泛函(9)的最小二乘解可以表示为
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(10) |
为进一步提高多道地震反演的计算效率，本文采用Wang等(2018)将BCD(Block Coordinate Decent)算法应用于多道反演目标泛函求解的研究思路，避免了大型矩阵的存储和运算，实现了多个地震道的同时反演.
2 地震数据互相关驱动的多道反演 2.1 地震数据相关性分析对两个随机变量进行相关性分析，能够描述两者线性关系的强度和方向，而对两个相邻地震道局部进行相关性分析，能够反映两地震道在该局部范围内的线性关系，并估计地震反射同相轴在这一局部范围内的走向.相关系数是衡量两个随机变量相关程度的重要指标，相邻地震道的局部互相关系数计算公式为
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(11) |
式中，d(i, j)表示第j道的第i个采样点的地震记录，j′为第j道的相邻地震道，w为用于相关系数计算的时窗，k表示相邻地震道内用于相关性分析的采样点与分析点的上下漂移时间，本文根据地震数据在局部一般不会发生剧烈抖动的特性，将k限定在[-2 2]内.如图 1所示，分析点为红色点可表示为(i, j)，用于相关性分析的时窗w=3，紫色点(i-2，j-1)与分析点的相对位置关系可用k=-2表示，蓝色点(i+2, j+1)与分析点的相对位置关系可用k=2表示，本文用最大相关系数对应的k描述地震反射同相轴的走向.
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图 1 相邻地震道相关性分析示意图 Fig. 1 Schematic diagram of correlation analysis of adjacent seismic traces |
采用相关性分析有两个目的：描述地震数据的结构特征，并设计横向约束算子；计算相关系数，估计地震数据中受噪声干扰严重、极度不连续的局部，以此设计局部优化算子.因此，我们需要估计每个采样点处地震反射同相轴的走向和对应的相关系数，以某一分析点d(i, j)为例，本文进行相关性分析的步骤为
(1) 选择该分析点d(i, j)的当前道j与下一相邻道j+1，并设置合适时窗w，利用式(11)分别计算当knext=－2, －1, …, 2时对应的相关系数C，记录最大相关系数Cmax和对应的knext.
(2) 选择该分析点d(i, j)的当前道j与上一相邻道j-1，采用同样的时窗w，分别计算当kpre=－2, －1, …, 2时对应的相关系数C，并记录最大相关系数C′max和对应的kpre.
(3) 取Cmax和C′max的均值作为分析点d(i, j)的相关系数.
相关系数越大说明两个采样点联系越紧密，本文通过最大的相关系数寻找knext和kpre，间接表示地震反射同相轴的走向.为完成对整个地震数据结构的描述，我们需要用三个与地震数据规模相同的矩阵分别记录对应的C，knext和kpre值.
2.2 目标泛函构建本文进行地震数据相关性分析是为了得到矩阵C、knext和kpre，在已知这三个矩阵的情况下可以描述地震数据的结构特征，而地震数据和地层反射系数在结构上具有相似性，本文将这种结构特征作为多道反演的横向约束条件.利用C，knext和kpre三个矩阵设计横向约束算子的公式为
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(12) |
式中，N为每道的采样点数，P是一个规模为(N×M)×(N×M)的横向约束算子，在添加横向约束项后多道地震反演的目标泛函可表示为
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(13) |
根据式(6)可知，对数阻抗的偏导数为反射系数，‖PLZ‖2可视为将横向约束算子作用于反射系数上，并采用L2范数进行约束以保证反演结果的横向连续性.
为改善地震资料质量对反演结果的影响，本文根据相关性分析得到的矩阵C设计局部优化算子，并作用于目标泛函的惩罚项，得到地震数据互相关驱动的多道反演的目标泛函，即
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(14) |
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(15) |
式中，C0为相关系数阈值，认为地震数据在相关系数小于该阈值的区域是缺乏合理性的.H为局部优化算子，它的作用是减小地震数据中相关性较低区域对反演结果的贡献或直接舍弃，通过能够描述地震数据结构特征的算子P反演该区域的阻抗值.
以一个简单的例子进一步说明算子H的作用，对部分实际地震数据利用公式(16)进行重构
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(16) |
如图 2a所示，原始地震数据连续性较差，部分地震道的局部受采集、噪声干扰等因素的影响较严重，部分区域能量较弱，常规的阻抗反演方法不能较好地处理这个问题.利用式(16)可得到重构地震数据(图 2b)，重构后的地震数据连续性增强，并且能在一定程度上恢复受干扰区域地震数据的能量.算子H在式(14)和式(16)中的作用是相同的，在与算子P同时使用的情况下，能够降低地震数据中受噪声干扰严重、极度不连续等相关性低的区域对反演结果的影响.
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图 2 (a) 原始地震数据；(b)重构地震数据 Fig. 2 (a) Raw seismic data; (b) Reconstructed seismic data |
为验证本文多道反演方法的可行性和有效性，选取部分Marmousi-2模型(图 3a)对该方法进行测试.用于测试的真实模型共包含600道，每道581个采样点，采样间隔为2 ms.根据正演模型利用30 Hz雷克子波和真实阻抗模型合成地震记录，在合成地震记录中添加10%的高斯噪声(图 3c)以测试反演方法的稳定性.由于地震数据具有带限性质，反演结果缺乏低频成分，本文将真实阻抗模型进行0~5 Hz低通滤波得到低频阻抗模型(图 3b)，用来补充反演结果的低频成分.
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图 3 模型及其相关性分析 (a)真实阻抗模型；(b)低频模型；(c)合成地震记录；(d)相关系数矩阵C；(e)矩阵knext；(f)矩阵kpre. Fig. 3 Model and the cross-correlation analysis (a) True impedance model; (b) Low-frequency model; (c) Synthetic seismic data; (d) The matrix of correlation coefficient C; (e) Matrix knext; (f) Matrix kpre. |
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图 4 1D-LUI与本文方法反演结果对比 (a)多道1D-LUI方法反演阻抗；(b)本文方法反演阻抗；(c)和(d)分别对应(a)和(b)黑框区域；(e)和(f)分别为通过阻抗(c)和(d)恢复的地震数据. Fig. 4 Comparison of inversion results between 1D-LUI and the proposed method (a) The inverted impedance by multitraces 1D-LUI; (b) The inverted impedance by the proposed method; (c) and (d) correspond to the black frame parts of (a) and (b), respectively; (e) and (f) are the seismic data recovered by impedances (c) and (d), respectively. |
地震数据相关性分析是影响该方法反演质量的关键步骤，H算子和P算子都根据地震数据的相关性设计，故地震数据相关性分析的精确程度直接关系到这两个算子的精度.本文提高相关性分析精确度的手段主要有两点.第一是调节时窗w：时窗越大，抗噪能力越强，但精确度会稍有降低，因此，时窗的选择应权衡抗噪性和精确度两方面因素；第二是滤波：在进行相关性分析之前做低通滤波处理可去除高频噪声，这个方法能有效提高矩阵knext和kpre的精度.对合成地震数据进行相关性分析得到矩阵C(图 3d)、knext(图 3e)和kpre(图 3f).从图 3e可以看出，黄色区域代表地震反射同相轴向下发展，蓝色代表地震反射同相轴向上发展，与真实阻抗模型对比可知，本文通过相关性分析得到的矩阵knext和kpre是可信的.另外，值得注意的是矩阵knext和kpre一定程度上是相反的，这与实际情况相符，因为地层在局部范围内变化较小.同时利用矩阵knext和kpre构建横向约束算子，可以保证反演参数在每个采样点都能受到前后相邻道的横向约束.
将多道1D-LUI方法作为常规方法与本文方法进行对比，前者的反演结果如图 4a所示，反演阻抗与真实阻抗模型基本一致，但因为地震数据中添加了10%的噪声，反演结果的连续性受到了严重干扰，出现了严重的“挂面”现象，这也是在地震资料质量较低区域地震反演常见现象.图 4b为本文方法反演结果，从图中可以看出，反演结果的横向连续性得到了极大的改善，“挂面”现象消失，即便是在断层、高倾角、薄互层等复杂构造区域，依然能够保持较好的连续性.为更清楚地反映两种反演方法的差异，分别截取图 4a和4b中黑框部分，截取部分分别为图 4c和4d，1D-LUC多道反演结果的横向连续性受到了限制，且在某些互薄层区域层位边界模糊不清，而本文方法则能较为清晰地反映.图 4e和4f分别为图 4c和4d中的阻抗通过正演模型恢复的地震数据，前者是通过多道1D-LUI方法反演阻抗恢复的结果，其恢复结果与实际地震数据基本一致.而后者恢复的地震数据信噪比高、连续性好，说明了本文方法具有较好的抗噪性能和稳定性.图 5a和5b分别为CDP=100、CDP=500处反演结果与真实模型的单道对比.其中，红线为真实模型，蓝线为本文方法反演结果，绿线为多道1D-LUI方法反演结果，黑线为低频阻抗模型.从整体上看，两种方法反演结果与真实模型基本一致表明本文进行的反演工作是可靠的，同时也可以看出本文方法的反演结果与真实阻抗更接近.
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图 5 反演阻抗与真实阻抗单道对比 (a) CDP=100; (b) CDP=500. Fig. 5 The comparison between inverted impedance and true impedance (a) CDP=100; (b) CDP=500. |
为验证本文提出的地震数据互相关驱动的多道反演方法的实际资料应用效果，选择OpendTects开源工区F3演示数据集中Line=442过井(F03-4)剖面用于反演.该工区地震数据的采样间隔为4 ms，用于反演的地震子波(stat_120)由工区给定.图 6a为该剖面地震数据，井F03-4在图中黑线位置，本文选择两个层位(FS8和FS4)之间的数据用于反演(图 6b).可以看出，该地震记录的连续性较差，尤其是在剖面的右上区域.图 6c为OpendTects通过地震资料处理、解释给出的参考阻抗，可以看出，参考阻抗的分辨率和横向连续性受地震资料质量影响较大，“挂面”现象严重.
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图 6 实际资料应用 (a) F3工区Line=442的地震数据剖面；(b)目的层地震数据；(c)工区给出的参考阻抗；(d)多道1D-LUI方法反演阻抗；(e)本文方法反演阻抗；(f)本文方法反演阻抗恢复的地震数据. Fig. 6 Application of field data (a) Seismic data section with Line=442 in work area F3; (b) Seismic data of the target layer; (c) The reference impedance given by OpendTects; (d) The inverted impedance by multitraces 1D-LUI; (e) The inverted impedance by the proposed method; (f) The seismic data recovered from the impedance that estimated by proposed method. |
同样将多道1D-LUI方法作为常规方法与本文方法进行对比.图 6d和图 6e分别为多道1D-LUI方法反演结果和本文方法反演结果，通过图 6c和6d的对比可以看出，相较于参考阻抗，常规方法反演结果的横向连续性有所改善，这也是多道地震反演的优势，能够降低噪声对反演结果的影响.而本文方法能在常规多道反演方法的基础上进一步提高横向连续性(对比图 6d和6e)，并且能略微提高反演结果的纵向分辨率.图 6f是通过本文方法反演结果恢复的地震数据，可以看出，恢复的地震数据质量提高了，同相轴更为清晰，横向连续性更强.需要注意的是，利用反演结果恢复地震数据不是本文的目的，而是通过恢复的地震数据与实际地震数据进行对比，以判断本文地震相关性分析和多道反演工作是否有效.图 7为井旁道对比，橙色的线为测井曲线，蓝线为多道1D-LUI方法反演的阻抗曲线，红线为本文方法反演的阻抗曲线.从图中可以看出，两种方法的反演结果与测井曲线基本吻合，验证了本文方法的可行性和可靠性.
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图 7 井(F03-4)旁道对比 Fig. 7 A comparison of the impedance curves at well F03-4 |
本文提出了一种地震数据互相关驱动的多道反演方法.首先，基于地震数据的相关性分析描述地震数据结构特征，然后，根据地震数据结构特征设计横向约束算子和局部优化算子，最后，构建了一个易于求解的目标泛函，并采用BCD算法求解目标泛函，提高计算效率.数值模型测试和实际资料应用都表明了该方法能够极大地提高反演结果的横向连续性，对于连续性较差、受噪声干扰严重的地震资料，相较于常规方法，本文方法能取得较好的反演效果.总结该方法的适用性和应用局限性，主要存在以下两点需要注意：(1)针对地震数据中连续多道受强噪声干扰的情况，本文方法仍有较大发展前景，其主要原因是，在该局部仅根据常规相关性分析手段设计的局部优化算子精度不高.(2)地震数据结构特征的精准刻画是本文多道反演策略设计合理横向约束算子、改善反演连续性的关键，本文通过地震数据相关性分析描述其结构特征.针对不同质量的地震资料可优选不同的刻画手段，如采用高阶统计量刻画低信噪比地震数据的结构特征.
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