2. 海底科学与探测技术教育部重点实验室, 青岛 266100
2. Key Lab of Submarine Geosciences and Prospecting Techniques of Ministry of Education, Ocean University of China, Qingdao 266100, China
海洋可控源电磁法(Marine Controlled-Source Electromagnetic Method,CSEM)是一种勘探海底油气资源和研究海底地质构造的海洋地球物理方法.根据人工源信号的类型,海洋CSEM通常分为频率域和时间域两种方法(Constable, 2010; Constable and Srnka, 2007).频率域海洋CSEM方法通常使用位于海底上方几十米处的电偶源发射低频电磁信号,位于海底的接收站连续采集和记录电磁信号,通过分析所采集到的电磁信号,可以了解海底介质电阻率分布特征和电性结构(李予国和段双敏, 2014; Young and Cox, 1981).近年来,频率域海洋CSEM三维正演模拟技术取得了较大的进展,提出了基于有限差分法(Finite Difference method,FDM)(Li et al., 2018; Sasaki and Meju, 2009; Streich, 2009)、有限单元法(Finite Element Method,FEM)(刘颖等, 2017; Puzyrev et al., 2013; 杨波等, 2012)和有限体积法(Finite Volume Method,FVM)(韩波等, 2015a, b; Weiss and Constable, 2006; 杨波等, 2012)的数值模拟方法,这些方法都是在频率域求解特定边界条件下的电磁场扩散方程,获得三维海洋地电模型的电磁场响应.时间域海洋CSEM正演模拟算法种类很多,除了利用傅里叶变换将频率域电磁信号转换为时间域信号的间接求解法(Li and Constable, 2010)之外,还发展出了时域有限差分法(Finite Difference Time Domain method,FDTD)(Avdeeva et al., 2007; Commer and Newman, 2004; Druskin and Knizhnerman, 1994)和时域有限单元法(Finite Element Time Domain method,FETD)(Um et al., 2010)等时间域直接求解方法.
为了保证计算精度,这些方法都对网格剖分质量提出了很高的要求,以满足扩散电磁场的传播特点.为了提高计算效率,基于对应原理,有学者通过数学变换,将满足扩散方程的似稳态电磁场转换成为满足波动方程的波场,求解得到虚拟波动域电磁波场响应后,再经过逆变换得到扩散电磁场响应.Lee等(1989)基于对应原理建立了时间域扩散方程的电场强度与虚拟波场关系式;de Hoop(1996)用拉普拉斯变换将频率域扩散电磁方程转换为虚拟波动方程;Maaø(2007)提出了复频率的概念,利用数学转换将抛物型电磁场微分方程转换为双曲方程;Mittet(2010, 2015)在复频率的基础上,利用傅里叶变换简化了de Hoop (1996)的转换公式.这些转换方法让电磁波场在“虚拟波动域”内具有了波动性质,有了明确的“波长”,故可以采用更适合的全局时间步长和网格以节省计算时间.
模拟域边界的选取是所有数值模拟方法都需要处理的问题.对于电磁场扩散方程的求解,常采用Dirichlet边界条件,在目标区域外扩展足够多的网格以保证模拟域边界上由不均匀导电体产生的异常响应已经衰减为零.这种方法简单易行且精度很高,但需要大量的存储空间,计算效率较低.Berenger(1994)提出了完全匹配层(Perfectly Matched Layer,PML)边界,在目标区域外设置一个特殊的有耗介质薄层,使得进入PML层的能量迅速衰减,极大地减少模拟域外边界对目标区域电磁场响应的影响.目前,PML边界已经发展出了许多不同的方法,并在电磁勘探模拟中得到了广泛的应用.Chen等(1997)将Berenger PML边界应用于二维瞬变电磁正演模拟中,Hu等(2017)将复频移完全匹配层(CFS-PML)边界应用到了虚拟波动域波动方程求解过程中,提高了边界对倏逝波和低频波的吸收效果,Li等(2018)成功将CFS-PML边界应用于三维频率域海洋可控源有限差分正演模拟中.
本文推导了频率域电磁场扩散方程与虚拟波动域电磁场波动方程的相互转换公式,并提出了虚拟波动域时域有限差分电偶源离散的方法.用高阶时域有限差分求解电磁场微分方程,并引入CFS-PML吸收边界条件,降低了存储需求,提高了计算效率.模拟了水平电偶源海洋一维油气模型电磁场响应,与拟解析解进行了对比,验证了算法的正确性和有效性,并讨论了网格参数对计算精度和效率的影响.通过模拟倾斜电偶源海洋一维油气模型电磁场响应验证了电偶源离散方法的正确性.最后计算了海洋三维油气模型的响应,并与频率域三维可控源电磁场数值模拟结果进行了对比,再一次验证了本文算法的正确性和高效性.
1 电磁波场转换理论假设时谐因子为e-iωt,在忽略位移电流的情形下,频率域似稳态麦克斯韦方程为
(1) |
(2) |
式中E(ω)和H(ω)分别为频率域电场强度和磁场强度,J(ω)是电流密度,σ是电导率,ω为频率域角频率,μ是磁导率,在本文中取自由空间磁导率.
为了将扩散电磁方程转换为波动电磁方程,Mittet(2010)引入了两个新参量,即虚拟介电常数ε′和虚拟角频率ω′:
(3) |
(4) |
其中ω0为转换因子.
频率域电场E(ω)、磁场强度H(ω)和电流密度J(ω)与虚拟波动域电场强度E′(ω′)、磁场强度H′(ω′)和电流密度J′(ω′)有如下对应关系(Mittet, 2010):
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(6) |
(7) |
将式(3)至(7)代入式(1)和(2),并经化简后,可得虚拟频率波动域麦克斯韦方程:
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对方程(8)和(9)进行逆傅里叶变换,可得到虚拟时间波动域电磁场方程:
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经过简单地变换,可以得到无源区域虚拟波动域电磁场E′和H′波动方程:
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(13) |
由式(12)、(13)和式(3),可知虚拟电磁场速度为
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由式(14)可知,在虚拟波动域电磁场传播速度是介质电导率σ、磁导率μ和转换因子ω0的函数.对于给定的地电模型,电导率σ和磁导率μ是确定的,虚拟电磁场传播速度仅为转换因子ω0的函数,故只能通过改变ω0来调节电磁波的传播速度.
由式(4)和式(5),可得到频率域电场的表达式
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同理,可得:
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需要指出的是,以上变换是含有时频衰减因子
若对式(15)和(16)进行傅里叶逆变换(Li and Constable, 2010),可得到特定电流激励下瞬变电磁时间序列信号,此处不再赘述.
2 电偶源的离散方法在时域电磁场有限差分数值模拟中,场源的处理方法分为两种.一种是将早期时刻全空间或者半空间的解析解作为初始条件,赋予源周围节点电磁场值,再迭代计算后续时刻整个模拟区域电磁场的时间序列(Oristaglio and Hohmann, 1984; Wang and Hohmann, 1991);另一种方法是模拟电偶极子源激励的高斯脉冲信号,然后将电流密度项带入差分方程进行迭代计算(Mittet, 2010, 2015).本文采用第二种方法,以高斯脉冲的一阶导数作为电偶极源激励信号:
(18) |
其中β=πfmax2,t0=π/fmax,fmax为频率域最大计算频率.
在海洋可控源电磁勘探中,由于船和海水的运动,电偶源的方向不可能一直保持水平或者垂直,所以需要将电偶源进行坐标旋转以满足实际情况.由于交错网格电磁场分量不在同一点上,所以在完成源的投影和分解之后,需要将电偶源离散到周围电场分量所在的空间坐标上.本文采用伪δ函数对电偶源进行离散(Mitsuhata, 2000):
(19) |
其中s(x,y或者z)是电场分量的空间坐标;s0(x0,y0或者z0)是电偶源所在位置;τ为离散单位长度.三维伪δ函数可以表示为
(20) |
理论上讲,伪δ函数在整个模拟区域内的积分应该等于电偶源的总能量.但由于网格离散化,电场分量在离散点上的能量总和较离散前减小了许多.由于虚拟波动域电磁场具有波动性,其能量几何发散衰减,所以即使在距离电偶源很远的地方,电磁场能量依然存在,为此,需要把离散源的能量重新归一化:
(21) |
其中J′(x, y, z, t′)为模拟域网格离散点处的电流密度,δ(x, y, z)为网格离散点处电场能量比例,Σδ为模拟域所有离散点电场能量比例之和.
3 基于吸收边界条件的虚拟波动域高阶时域有限差分 3.1 高阶时域有限差分时域有限差分方法是最常用的求解时间域偏微分方程的数值模拟方法,该方法用Yee单元(Kane, 1966)离散模型空间,将微分方程转换为差分方程.传统二阶中心差分近似方法简单易行,但数值色散误差较大,需要采用较小的空间间隔和较短的时间步长才能获得满足计算精度要求的数值结果(Kong et al., 2006).高阶时域有限差分法在时间上采用二阶差分近似,在空间上采用高阶差分近似,可以在不降低计算精度的前提下极大地减少空间网格数量,提高计算效率(Christ, 2000; Kong et al., 2006).
考虑一个空间坐标函数f(s),将其关于空间的一阶偏导数∂f(s)/∂s进行2M阶差分近似:
(22) |
其中s代表空间坐标(x,y或者z),Δs为空间间隔.2M为差分近似展开的阶数.若M=1,则为传统的二阶中心差分近似.mid为s方向上计算点的编号.a(l)为差分权函数(Christ, 2000; Kong et al., 2006):
(23) |
以电场的x分量为例,下面给出第n+1次时间迭代的高阶时域有限差分表达式:
(24) |
在三维情况下,时间步长Δt应该满足修正Courant稳定性条件(Kong et al., 2006):
(25) |
在拉伸坐标空间中,在无源区域内虚拟频率波动域麦克斯韦方程具有下列形式:
(26) |
(27) |
式中
当κk=1, σk=αk=0时,
现以E′x为例,推导拉伸坐标空间中虚拟波动域CFS-PML迭代方程.由方程(26),可得
(28) |
对式(28)进行逆傅里叶变换,将其变换到虚拟时间波动域:
(29) |
其中
由式(29),可以得到E′x的迭代表达式:
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其中:
在PML边界上,参数κk, σk, αk(k=x, y, z)不是一个固定值,而与节点和目标区域的相对位置有关:
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(33) |
其中,k0是PML边界与目标区域边界交汇处的坐标,d是PML边界的厚度,m为多项式参数,一般取2到5(葛德彪和闫玉波, 2011).
下面,以半空间海水模型(图 1)为例,测试采用CFS-PML边界的效果.我们设计了三种不同的模拟区域和边界条件.(1)扩展边界:模拟区域为40 km×40 km×21 km;(2)截断边界:模拟区域为22 km×22 km×12 km;(3)CFS-PML吸收边界:目标区域为20 km×20 km×11 km,除上界面以外的其他各个方向向外扩展1 km构成CFS-PML吸收边界层.将模拟区域剖分成100 m×100 m×100 m的立方体.
假设水平电偶极子位于海面以下0.9 km处,接收站位于海面以下1.0 km处.转换因子ω0=2πf0,f0=4 Hz.采用三种不同模拟区域和边界条件,我们分别模拟了虚拟波动域电磁场响应.
图 2为三种不同边界条件在t′=5.32262 s时刻,海底下方1 km处XOY平面和水平电偶极源所在XOZ平面波场快照.此时海水虚拟速度为3536 m·s-1,当t′=5.32262 s时,电磁波已经传播到目标区域(20 km×20 km×11 km)以外,目标区域内电磁场值应该为零.由图 2可见,(1)对于扩展边界,在目标区域之外扩展了足够大的边界,保证了目标区域内没有模拟区域外边界产生的反射波.(2)对于截断边界,目标区域之外1 km远的外边界尚不足以使向外传播的电磁能量完全衰减,故在目标区域内存在有较强的反射波能量.(3)对于CFS-PML吸收边界,虽然只在目标区域之外扩展了1 km的边界,但CFS-PML介质能很快地吸收发射波的能量,极大地减少了模拟区域外边界反射波能量对目标区域电磁场的影响.
首先,我们计算一维海洋油气模型(图 3)海洋电磁场响应,验证本文所述虚拟波动域时域高阶有限差分算法,并对比不同波长和不同网格数值模拟结果的计算精度和效率.
假设空气层向上无限延伸,电导率为0.0 S·m-1.海水层厚度为1.0 km,海水电导率为3.2 S·m-1;海底沉积层厚度为1.0 km,电导率为1.0 S·m-1;油气层厚度为0.2 km,埋藏于海底下方1.0 km处,其电导率为0.01 S·m-1;油气层以下为向下无限延伸的基岩层,电导率为1.0 S·m-1.目标区域大小为(-10 km, 10 km)×(-10 km, 10 km)×(-1 km, 10 km),其中在z方向上,从-1 km到0 km为海水层.电偶源位于海底上方0.2 km处,接收站位于海底.
本文采用8阶差分(M=4),在满足Courant稳定性条件下,设计了四套网格,其参数如表 1所示.
我们模拟了水平电偶源激励频率分别为0.1 Hz和1.0 Hz一维海洋油气模型电场Ex响应,并与拟解析解(Li and Li, 2016)对比.由图 4可见,在偏移距大于2.0 km,小于9.0 km的范围内,所有四套网格上所获得电场分量Ex振幅相对误差均小于3.0%,相位绝对误差小于1.0°.模拟精度与网格大小和计算频率相关.(1)在相同频率下,采用50 m均匀网格时数值结果精度最高,而采用200 m均匀网格时精度最低,当采用100 m均匀网格时计算精度介于50 m和200 m网格的精度之间.由式可知,网格越大,时间步长就越大,所需迭代次数就越少,且离散逆傅里叶变换的精度也越低;(2)对于同一套网格来说,小偏移距处低频响应的计算精度高,而大偏移距处高频响应的计算精度高.这是由于偏移距小时,高频会放大源的影响.而大偏移距时,低频会放大边界反射波的影响.
其次,我们考虑倾斜电偶源一维油气模型(图 5).假设电偶极源的倾斜角度为30.0°.采用100 m×100 m×100 m离散网格,ω0=2πf0,f0=1.0 Hz,fmax=5.0 Hz.同样把虚拟波动域模拟结果转换到频率域后,与拟解析解进行对比(图 6).整体上模拟结果依然与拟解析解拟合得很好,振幅相对误差在2.0%以内,相位绝对误差在1.0°以内,表明本文所述虚拟波动域离散源方法是正确的.与水平电偶极源情形类似,在场源附近,低频(0.1 Hz)数值结果的精度好于高频的(1.0 Hz),而当收发距较大时,由于变换过程中时频衰减因子的影响,模拟域外边界对高频响应的影响比对低频响应的小许多.
最后,我们考虑一个三维海洋油气模型(图 7)(Weiss and Constable, 2006).海水层厚度为1.0 km,电导率为3.2 S·m-1;海底围岩电导率为1.0 S·m-1;在海底下方1.0 km处有一个4.0 km×4.0 km×0.1 km的油气储层,电导率为0.01 S·m-1.电偶源位于海底上方0.1 km处,油气块中心正上方,接收站位于海底.采用100 m×100 m×100 m网格进行离散,ω0=2πf0,f0=1.0 Hz,fmax=5.0 Hz.为了对比起见,我们用韩波等(2015a)频率域可控源电磁三维正演程序计算了图 7所示模型的电磁场响应.由于韩波等(2015a)有限体积程序采用的是Dirichlet边界条件,为了使得所形成的线性方程组不要过于庞大,所采用的最小网格边长为100 m.
由图 8可见,两种算法的数值结果基本相同.在靠近边界处,由于CFS-PML边界并不能完全吸收所有传出目标区域的能量,故与基于Dirichlet边界条件的频率域算法相比,虚拟波动域算法数值结果有一定的差别.由于频率域算法在目标区域采用了较大的网格,高频数值结果精度不高,于是在相位反转的地方频率为1.0 Hz时两者的结果有一定差别.
频率域可控源电磁三维模拟,网格数为72×134×64个,占用内存3.5 G,MUMPS直接求解器求解系数矩阵时最大占用内存为56.2 G.单线程计算耗费48 min,多线程计算最少耗费5 min(Han et al., 2018).本文虚拟波动域高阶时域差分模拟,网格数为220×220×120个,占用内存3.6 G,迭代次数5715次,总共花费280 min.可以看出,由于时域差分算法不需要求解大型线性方程组,故在相同内存的计算机上,时域差分算法所能计算的网格数量比频率域算法要大得多.在得到虚拟波动域电磁场的时间序列后,所有小于fmax的频率域响应都能很快地求得,不需要重新进行计算.当需要计算多个频率电磁响应时,虚拟波动域高阶时域差分算法能够节省大量的计算时间.
5 结论通过数学变换,将扩散域电磁扩散方程变换为虚拟波动域电磁波动方程,使得低频电磁场具有了波动性,传播速度是电导率的函数,离散网格的大小不再需要设计得足够小以满足差分稳定性条件,这为模拟可控源电磁场响应提供了一个新的思路.
本文推导了似稳态情形频率域和虚拟波动域电磁场微分方程的相互转换公式,利用高阶时域有限差分模拟虚拟波动域电磁场响应,采用CFS-PML边界条件,降低了存储需求,提高了计算效率.本文提出了虚拟波动域时域有限差分的电偶源直接离散方法,能够计算任意取向电偶源电磁场响应.通过与一维拟解析解和频率域三维可控源电磁数值模拟结果的对比,验证了本文算法的正确性和高效性.
致谢 感谢审稿专家的修改意见和建议以及编辑部老师的帮助和支持.
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