地球物理学报  2019, Vol. 62 Issue (7): 2767-2773   PDF    
水平应力作用下套管井不同胶结状况导波的声弹效应
刘金霞, 崔志文, 李刚, 王克协     
吉林大学物理学院, 长春 130012
摘要:油田的套管完井常伴有异常地应力的作用, 对于套管井, 井孔-套管-水泥环-地层组合的系统使井周的应力集中更为复杂.为认识地应力作用下不同胶结状态的套管井导波声弹效应, 本文基于非线性声学理论, 实现了受应力作用不同胶结状态套管井井周应力和径向横波速度计算与分析; 采用摄动求解推导了套管井导波的声弹性方程, 模拟并分析由应力引起不同胶结状态套管井斯通利波、伪瑞利波、弯曲波相速度的变化.研究结果表明:不同胶结状态会改变井周的应力分布, 当界面出现滑移时井周地层中的应力集中有所增强, 从而影响导波的声弹效应.本文的研究结果为地应力作用的套管井的声场特性提供认识和理论依据.
关键词: 套管井      胶结状态      地应力      非线性声学      导波     
Acoustoelastic effects on guided waves in cased borehole with horizontal stresses
LIU JinXia, CUI ZhiWen, LI Gang, WANG KeXie     
College of Physics, Jilin University, Changchun 130012, China
Abstract: The stress concentration appears more complex for casing-cement-formation system with the abnormal stresses. We studied and analyzed the acoustoelastic effects of guided waves in a cased-hole under the horizontal stress with different bonding condition on the basis of the nonlinear acoustics. First, the velocity dispersions formulas are given with different bonding condition based on perturbation solution. Then, we accomplished the calculation and analysis of the stresses and radial shear velocities around the cased hole under horizontal stress; Finally, we simulated and analyzed the changes of guided wave velocities (Stoneley waves, pseudo-Rayleigh waves and flexural waves) due to applied stresses. The results show the characteristics of guided waves are affected by both horizontal stress and bonding condition.
Keywords: Cased-hole    Bonding condition    Stresses    Nonlinear acoustics    Guided waves    
0 引言

由于地层中构造应力的存在使得裸眼井周围出现了应力集中, 其特点已被用作地应力测量的方法之一(Sinha and Kostek, 1996; Sinha, 1997;曹正良等, 2003;Cao et al., 2004; Wang and Tang, 2005).油田的套管完井常伴有异常地(构造)应力的作用.对于套管井, 井孔-套管-水泥环-地层组合的系统使井周的应力集中更为复杂.国内外学者研究分析了套管井周的应力分布规律以及套管内径、胶结状态等对套管受应力的影响(方军等, 1995;吴飞鹏等, 2008).当然套管、水泥环的嵌入以及不同的胶结状态都改变着井周的应力分布, 从而影响充液井孔-套管-水泥环-地层组合系统的声弹效应(刘金霞等, 2005).

在有限(非无限小)静应力引起的非线性形变体上激发小扰动波场是典型的非线性声学中的声弹性问题(Toupin and Bernstein, 1961;Pao et al., 1984).而声弹性理论(Pao et al., 1984)和交叉偶极声测井技术(陶果等, 1999)的结合为地应力检测开拓了途径, Sinha等(Sinha and Kostek, 1996; Sinha, 1997)建立了以裸眼井孔弯曲波声弹性模型判断和反演地应力的方法和应用研究工作(Lei et al., 2012).目前基于声弹理论, 学者们对裸眼井(曹正良等, 2003; Cao et al., 2004;陈浩, 2007;刘金霞等, 2012;Liu et al., 2014)和套管井(李刚, 2005;李刚等, 2006)应用正交偶极子声测井资料确定异常地应力, 从理论到实现方法进行了系统的正、反演研究.Liu和Sinha(2003)采用有限差分完全匹配层(PML)方法模拟了三维应力作用下的井孔声场.李刚等(李刚, 2005;李刚等, 2006)借鉴国外先期工作, 在各向同性地层顾及套管井应力集中发展了适应套管井的理论和方法, 在套管井中应用正交偶极声测井确定异常地应力的反演结果也从已掌握的应力异常得到验证.然而, 上述关于套管井应力集中的研究, 我们主要关注了胶结良好情况偶极弯曲波的声弹性效应.对受应力作用的不同胶结状况的斯通利波、伪瑞利波和弯曲波的声弹性效应我们并不清楚.本文基于非线性声学理论, 开展了水平地应力作用下不同胶结状况的套管井中导波的声弹效应研究.

1 套管井弯曲波声弹性方程

图 1是套管井井孔系统的示意图, 井内是流体, 由内向外依次是套管、水泥环和地层, 每层的半径分别是rn, n=1, 2, 3, 4分别代表水、钢套管、水泥环和井外半无限地层, 其中r4=∞.井轴的方向垂直纸面, 记为X1.对于套管井, 由于套管和水泥环的存在, 井周的应力分布更为复杂.假设套管井模型中各层介质均为各向同性介质, 受水平单轴应力作用.由于沿井轴方向尺度较大, 通常认为这种情况满足平面应变近似条件.基于声弹性理论(Pao et al., 1984), 本文顾及不同胶结状态的套管井孔应力集中, 采用参考坐标及相应的运动方程描述形变物理量(李刚等, 2006)

(1)

图 1 套管井井孔系统的示意图 Fig. 1 schematic diagram of cased borehole

下角标, t是时间.ρ0是介质密度, uγ是位移.K是参考状态的第一类Piola-Kirchhoff应力张量, 是位移梯度, GLγMν= 是等效弹性常数. 其中TLMWυ, KEAB分别是静应力引起的不同层的应力张量分量、静位移梯度(偏导数)和应变张量.CLγKMCLγMυAB分别是二阶和三阶弹性模量, 可以收缩下角标分别表示为CpqCpqj.对各向同性介质二阶弹性模量独立的有2个, 三阶弹性模量独立的有3个(C111, C112C123).

根据方程(1), 借鉴李刚等(李刚, 2005;李刚等, 2006)采用基于Hamilton变分原理的摄动积分的工作, 可推导出套管井不同胶结状况下导波的声弹方程:

(2)

上角标m代表某一确定模式, m=ST, PR, FL分别代表斯通利波、伪瑞利波和弯曲波.vRmvm分别代表参考态和偏置应力诱导的当前状态的确定模式的相速度.ω是角频率, uγm是给定波数的位移, 下角标逗号代表对某一空间位置的偏导数, 重复脚标代表求和.上标*号代表取复共轭.本文忽略了流体的非线性, 因此公式(2)分子求和从n=2开始.套管井每一层的应力分布求解要比裸眼井情况复杂, 国内外学者基于弹性力学和平面应变假设, 根据套管与水泥、水泥和地层的不同胶结状态已经求解给出了不同层的应力分布, 相关应力分布的详尽公式可参见文献(方军等, 1995;刘金霞等, 2005;吴飞鹏等, 2008).如果交界面光滑接触, 交界面上的切向剪切力为零.本文主要考虑三种胶结状态情况, 分别为胶结良好、第一界面滑移胶结(水泥和钢管界面不能承受切向剪切应力)和第二界面滑移胶结(钢管和地层界面不能承受切向剪切应力).

整理并完成(2)式的积分, 对某一确定模式可写成(李刚, 2005;李刚等, 2006)

(3)

SH是水平单轴应力,

(4)

m同上代表某一确定的模式.这里n表示不同层.由于忽略了流体的非线性, 公式(3)中n=2, 3, 4分别代表套管、水泥和地层.Cim(n), i=0, 1, 2, 3是应力诱导的导波速度改变量的灵敏系数(李刚, 2005;李刚等, 2006), 其中i=1, 2, 3是与三阶弹性模量有关的速度改变量的灵敏系数.它们与介质的二阶弹性模量以及地应力引起的井孔应力集中有关, 是在参考状态导波位移场分布已知时由体积积分得到的与频率有关的量.关于Cim(n)的详尽公式可以参见文献(李刚, 2005;李刚等, 2006)附录B, 当胶结状态不同时其井周的应力应变值将不同.

2 单轴应力作用下不同胶结状态的套管井应力和径向速度

以充液井孔-套管-水泥环-地层为对象, 基于刘金霞等(2005)已有工作计算分析了三种胶结状况:胶结状况良好, 第一界面滑移胶结(不能承受切向剪切应力), 第二界面滑移胶结的套管井井周应力与速度分布.具体示意图同图 1, 各层参考状态均为均匀各向同性介质, 受水平方向单轴应力SH=-5 MPa.计算参数见表 1.

表 1 模型参数 Table 1 Model parameters

图 2是方位0°和90°的径向应力和环向应力分布.横坐标用半径r3归一.结果表明固结良好地层中的应力(径向应力σrr, 环向应力σθθ)大约在直径(裸眼井直径)2倍的环形空间里呈现有意义的变化, 不同的胶结状况会影响到井周的应力分布, 当界面滑移后, 其井周地层的应力分布在90°方位有所增强, 而0°方位应力大小减弱, 说明滑移界面导致井周地层的应力集中会有所增强(与固结良好比较).由图 2c图 2d环向应力随半径在胶结面上出现不连续的点, 这是由于界面的弹性模量存在差异, 且边界条件对环向应力没有限定.另外第二界面滑移0°和90°方位地层中环向应力的差异比第一界面滑移时明显.总之由上述结果可见, 由于套管、水泥层的加入改变了地层中的应力分布, 并且使地层中应力分布的各向异性减小了(刘金霞等, 2005), 但当胶结状态变化时地层中的各向异性也会发生变化.

图 2 套管井井孔周围径向和环向应力在不同方位不同胶结状况随半径的变化 Ⅰ代表固结良好, Ⅱ代表第一界面滑移, Ⅲ代表第二界面滑移.(a) σrr/SH, θ=0°; (b) σrr/SH, θ=90°; (c) σθθ/SH, θ=0°; (d) σθθ/SH, θ=90°. Fig. 2 The radial and hoop stresses at different azimuth angles Ⅰ: Good cement bonding, Ⅱ: No steel-cement bond (good cement-formation bond), Ⅲ: No cement-formation bond (good steel-cement bond).

在远场X2方向受单轴应力SH作用的各向同性介质, 沿X1方向传播横波速度的表达式为(Sinha and Kostek, 1996)

(5)

(6)

这里

其中, C144C155是三阶弹性常数, C144=(C112C123)/2, C155=(C111C112)/4.λμ是拉梅系数, υ是泊松比, σrr, σθθ, σ是孔周应力张量分量, ρ0是参考态的物质密度.θ是与最大水平主应力SH方向为参考方向的方位角.VIJ是沿XI方向传播沿XJ方向偏振的平面波速度.用求得的套管井不同胶结情况下地层中的应力分布代入由声弹性理论得到的平面波声弹公式, 可得到孔周的速度分布.

图 3给出了方位0°, 90°不同胶结状态套管井周地层中的横波径向速度.横坐标用半径r3归一.细实线和细虚线分别代表与最大应力成0°和90°的方位上的偏振平行最大主应力并沿井轴传播的横波V12; 粗实线和粗虚线分别代表与最大应力成0°和90°的方位上偏振垂直最大主应力并沿井轴传播的横波V13.由图 3可知在远场速度几乎与径向无关, 对不同胶结情况其远场横波趋于稳定值.而在近井孔范围内, 速度有明显差别.且径向偏振的横波速度(对应于图 3中90°方位偏振方向垂直最大主应力的横波速度V13及0°方位偏振方向平行最大主应力的横波速度V12), 在近井孔附近快横波偏振方向垂直于施加最大主应力的方向, 而在远离井孔处, 地层中快横波偏振方向与最大主应力的方向一致, 这是井孔应力集中特有的结果, 在套管井情况依然出现.但径向偏振的横波速度交叉位置明显受胶结状况的影响.当出现滑移界面时对应径向偏振横波的交叉点明显向远离井孔移动(与固结良好比较), 且第二界面滑移其远离井孔比第一界面滑移情况明显, 这与图 2界面滑移后的地层中的应力集中增强一致.

图 3 套管井孔应力集中情况地层横波速度随半径变化曲线 细实线和细虚线分别代表 0°和90°方位的V12; 粗实线和粗虚线分别表示0°和90°方位V13. (a)固结良好; (b)第一界面滑移; (c)第二界面滑移. Fig. 3 The curves of velocity versus radius under the stress concentrations of cased borehole Thin solid and dash lines correspond to V12 at azimuths of 0° and 90°, respectively. Thick solid and dash lines correspond to V13 at azimuths of 0° and 90°, respectively. (a) Good cement bonding; (b) No steel-cement bond (good cement-formation bond); (c) No cement- formation bond (good steel-cement bond).
3 单轴应力作用下套管井导波频散曲线

本节数值计算并分析由应力引起的胶结状况良好、第一界面滑移胶结和第二界面滑移胶结的斯通利波、伪瑞利波和弯曲波的相速度的变化, 参数见表 1.水平方向单轴应力SH=-5 MPa.

图 4给出了不同胶结状态的斯通利波的相速度变化曲线.由图 4可见单轴应力作用下(粗线), 不同胶结状态斯通利波的相速度都分别比没有应力作用(细线)时增加.在单轴应力作用下, 不同胶结状态(见图 4粗实线、虚线和圆实线)会影响斯通利波的相速度, 尤其影响高频区域斯通利波的相速度.与无应力作用情况相似(李整林等, 2001), 不同胶结状态斯通利波特性差异主要与套管的胶结状态密切相关, 而相速度变化大小的差异主要来自不同胶结状态的应力分布.

图 4 单轴应力作用下套管井斯通利波频散曲线 细线是参考态, 粗线是单轴应力作用.其中实线是固结良好, 虚线是第一界面滑移, 圆实线是第二界面滑移 Fig. 4 Stoneley wave dispersions in cased borehole under the uniaxial stresses Thin and thick lines denote dispersions without and with the uniaxial stresses, respectively. Solid lines denote good cement bonding. Dash lines denote no steel-cement bond (good cement-formation bond). Circle solid lines denote no cement-formation bond (good steel-cement bond).

图 5是不同胶结状况伪瑞利波相速度频散曲线.由图 5可见不同胶结状态伪瑞利波的相速度(粗线)分别比没有应力作用(细线)时增加.与无应力作用情况相似, 当界面滑移后频散曲线明显向低频移动, 且第二界面滑移胶结情况比第一界面滑移胶结情况移动明显.说明不同胶结状态的伪瑞利波的频散曲线频移特征主要与胶结状态有关, 而不同胶结状态相速度大小变化的不同与不同胶结状态导致的不同的井周应力分布有关.

图 5 单轴应力作用下套管井伪瑞利波频散曲线 细线是参考态, 粗线是单轴应力作用.其中实线是固结良好, 虚线是第一界面滑移, 圆实线是第二界面滑移. Fig. 5 Pseudo-Rayleigh wave dispersions in cased borehole under the uniaxial stresses Thin and thick lines denote dispersions without and with the uniaxial stresses, respectively. Solid lines denote good cement bonding. Dash lines denote no steel-cement bond (good cement-formation bond). Circle solid lines denote no cement-formation bond (good steel-cement bond).

图 6是不同胶结状况弯曲波相速度频散曲线.图中给出了方位90°和0°的弯曲波相速度.由图 6可见在单轴应力作用下, 不同胶结状态的弯曲波的相速度分别比参考态的相速度增加; 且0°和90°方位都分别出现了弯曲波分裂, 随频率变化出现交叉现象, 这是井孔应力集中的特征.当界面滑移胶结时, 与固结良好比较, 其对应的频散曲线向低频移动, 交叉点也向低频移动.与无应力作用情况相似, 第二界面滑移时弯曲波频散曲线低频移动比第一界面滑移时明显.当界面出现滑移时, 地层中的应力集中会有所增强, 因此与图 3径向横波的交叉点靠近远场一致, 交叉位置向低频移动.这说明在单轴应力作用下, 当界面出现滑移时用偶极测井获取的弯曲波频散曲线交叉位置也将向低频移动, 这为判断单轴应力作用下套管井的胶结状态提供判断依据.

图 6 不同胶结状况弯曲波相速度频散曲线 细线是参考态, 粗线是单轴应力作用.实线是固结良好; 虚线是第一界面滑移; 圆实线是第二界面滑移. Fig. 6 Flexural wave dispersions in cased borehole under the uniaxial stresses Thin and thick lines denote dispersions without and with the uniaxial stresses, respectively. Solid lines denote good cement bonding. Dash lines denote no steel-cement bond (good cement-formation bond). Circle solid lines denote no cement-formation bond (good steel-cement bond).
4 结论

基于非线性声学理论, 本文研究了水平单轴应力作用下不同胶结状况导波的声弹效应.实现了不同胶结状态单轴应力作用下套管井井周应力和横波径向速度的计算与分析.采用摄动求解推导了不同胶结状态的套管井导波的声弹性方程, 计算并分析应力作用下不同胶结状态导波的变化.研究结果表明:滑移界面导致井周地层的应力集中有所增强(与固结良好比较), 因此径向横波的交叉点向远场方向移动.在单轴应力作用下, 不同胶结状态的导波(斯通利波、伪瑞利波和弯曲波)的相速度都分别增加; 与无应力作用情况相似, 胶结状态明显地影响高频区域的斯通利波, 当界面滑移后伪瑞利波和弯曲波的频散曲线明显向低频区域移动; 但与无应力作用情况不同, 弯曲波在0°和90°方位出现分裂, 且随频率分别出现交叉点, 而交叉位置明显依赖于胶结状态.因此在实际测量中对规则的圆形套管井仍可以通过偶极测井获取的弯曲波的频散曲线的交叉来确定是否存在应力的作用, 而通过交叉位置的变化可以初步判断滑移状态.本文的研究结果为地应力作用的套管井的声场特性提供认识, 也为地应力对检测水泥胶结状态的影响提供理论依据.

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