2019, Vol. 62
2. CNPC物探重点实验室, 中国石油大学(北京), 北京 102249
2. CNPC Key Laboratory of Geophysical Exploration, China University of Petroleum-Beijing, Beijing 102249, China
很多研究领域都需要探测裂缝分布，比如地震预测(Crampin, 1987)、油气勘探(Liu et al., 2017)、二氧化碳封存(Luo and Bryant, 2014)及矿产开发(Grenon and Hadjigeorgiou, 2012).裂缝性油气藏是目前国内最为重要的非常规油气藏，对储层中裂缝发育状况、裂缝分布规律及裂缝中流体运移通道等油气储集与运移的控制因素的认知程度，通常是该油气田增储上产的关键问题所在(李向阳和王九拴, 2016).
为了更好地利用地震波探测裂缝，人们往往借助等效介质理论.岩石一般是由各类矿物和岩石颗粒组成的复合介质，各种矿物成分或岩石颗粒一般具有不同的力学与弹性特征.若忽略流体的影响，从材料力学的角度看，岩石是一种固体复合材料(巴晶，2013).含裂缝岩石的等效弹性性质无疑也和材料科学紧密相关，随着等效介质理论的发展而被深入认识.
关于含有包体或者裂纹介质的静态性质的理论主要是在20世纪60年代发展起来的, 基础是Eshelby(1957)的经典论著.为了预测含裂缝介质的等效弹性性质，大体上有两类理论被提出来，它们的区别在于裂缝之间是否有相互作用.基于裂缝之间没有相互作用的假设，又有学者从等效弹性张量(Walsh, 1965a, 1965b; Kuster and Toksöz, 1974; Hudson, 1980, 1981)和等效柔度张量(Schoenberg, 1980; Schoenberg and Douma, 1988; Schoenberg and Sayers, 1995; Kachanov, 1980, 1992; Sevostianov and Kachanov, 1999)两个角度进行研究.从等效弹性张量入手，Walsh(1965a, 1965b)首次预测了裂缝岩石的等效弹性参数并发现孔隙形状及其体积分数影响等效弹性参数的大小.Hudson(1980, 1981)利用平滑方法(Keller，1964)导出了干燥或饱和流体裂缝介质中应力应变的本构关系，将裂缝的微观参数(半径、密度、纵横比)与宏观性质(弹性常数)直接联系起来.Hudson理论的一阶近似忽略裂缝之间的相互作用，适用于低裂隙密度的情况.其二阶近似将裂缝之间的相互作用考虑进去，但在高裂隙密度时的预测值没有物理意义(Grechka and Kachanov, 2006c).Hudson理论的一阶近似和二阶近似均只适用于裂隙密度小于0.1的裂缝稀疏分布情况(Zhao et al., 2016).从等效柔度张量入手，Schoenberg(1980)将位移间断通过裂隙柔度对角矩阵与拉应力建立联系(线性滑动理论).Schoenberg和Douma (1988)将饱含不同流体情况下的硬币状裂缝参数与柔度张量建立联系.Schoenberg和Sayers (1995)给出了裂缝介质的等效弹性张量和等效柔度张量的显式表达式.与Hudson理论一阶近似不同(等效弹性张量与裂缝密度线性相关)，非相互作用近似理论(Non-interaction Approximation, NIA)的等效柔度张量与裂缝密度线性相关(Kachanov, 1980).Kachanov (1992)和Kachanov等(2003)认为裂缝周围的应力增强和应力减弱效应能相互抵消，因此裂缝之间的相互作用可以忽略，其理论适用于裂缝密度很高的情况.基于裂缝相互作用的假设，自洽理论(Self-consistent Approximation，SCA)(Budiansky, 1965; Hill, 1965; Budiansky and O′Connell, 1976; Berryman, 1980a, 1980b)和微分等效介质理论(Differential Effective Medium，DEM)(Bruggeman, 1935; Vavakin and Salganik, 1975；Sheng and Callegari, 1984)被提出来.与SCA不同的是，DEM往等效基质中逐步添加内含物(Mavko et al., 2009).O′Connell和Budiansky(O′Connell and Budiansky, 1974; Budiansky and O′Connell，1976)提出SCA理论时，考虑的是裂缝方向任意排列，Hoenig (1979)将SCA方法应用到裂缝方向平行排列或沿柱状对称排列的情况.Gottesman等(1980)将其扩展到二维正交基质中裂缝分布平行对称轴的情况.关于DEM理论的发展，Hashin (1988)进行了详细综述.Hornby等(1994)将各向同性SCA和各向同性DEM拓展到各向异性情况.
对于这些等效介质理论，往往需要岩石物理实验的验证.但天然岩石中裂缝分布和形态特征比较复杂，裂缝参数(如裂缝密度、张开度、长度等)是很难确定的，因此研究裂缝参数对裂缝介质弹性性质的影响通常需要借助物理模拟(Ass′ad et al., 1992, 1993, 1996；Rathore et al., 1995；魏建新，2002; 魏建新和狄帮让，2007；Wei et al., 2013, 2018；丁拼搏等, 2015, 2017)和数值模拟(Saenger and Shapiro, 2002；Saenger et al., 2004；Grechka 2006a，Grechka and Kachanov, 2006a，2006b).其中，物理模拟研究从实验观测(Ass′ad et al., 1992；魏建新，2002)发展到单一理论验证(Ass′ad et al., 1993；魏建新等，2014；Wei et al., 2018；Shuai et al., 2018; 丁拼搏等，2017)和多种理论联合对比(Rathore et al., 1995；Ding et al., 2017).Hudson理论广泛应用于地震勘探领域，对其裂缝密度的适用性研究一直是研究的重点. Ass′ad等(1993)实验研究了裂隙密度对纵横波速度的影响，发现当裂隙密度>7%时，Hudson理论对纵横波速度的预测与实验测试值的偏差随着裂缝密度的增大而增大.Wei等(2018)定量发现波长与裂缝直径的比值也会影响Hudson理论的裂缝密度适用性，指出当横波波长与裂缝直径的比值小于5时，Hudson理论对慢横波速度的预测与实测值的偏差随着裂缝密度的增大而增大.对于裂缝孤立分布的情况，等效介质理论的裂缝密度适用性联合对比研究还比较少见，并且数值模拟得出的结论往往彼此矛盾，学者们争论的焦点主要集中在裂缝之间是否有相互作用以及裂缝密度大小对等效介质理论的适用性影响(Dahm and Becker, 1998；Saenger et al., 2006；Grechka, 2005; Grechka and Kachanov, 2006a, 2006b).Dahm和Becker(1998)的研究显示无论裂缝密度多大，裂缝间的相互作用都不能被忽略.但Saenger等(2006)的研究指出裂缝之间是否有相互作用与裂缝密度的大小有关.当裂缝密度超过临界密度值时，基于裂缝有相互作用假设的微分等效介质理论与数值模拟的结果更吻合.Grechka和Kachanov(2006a, 2006b)的系列研究又指出基于裂缝之间没有相互作用假设的NIA在裂缝密度很大时依然能够精确地描述裂缝介质的弹性性质.由于他们使用的数值模拟方法不同，构建的模型参数也不同，因此没有取得一致的认识，对此问题需要继续探讨.
本文利用更精细的物理模拟方法构建一组裂隙密度模型，其裂隙直径为3 mm，裂隙厚度为0.12 mm.利用脉冲透射法测试纵横波速度及其各向异性随着裂隙密度的变化情况，然后与等效介质理论(NIA，Hudson理论，线性滑动理论，各向异性SCA，各向异性DEM)进行对比，定量分析各个等效介质理论的裂缝密度适用性，以期为地震裂缝检测时，等效介质理论的选择提供实验指导.
1 实验方法 1.1 裂隙密度物理模型制作和测试裂隙密度模型采用嵌入法构建(魏建新和狄帮让，2007)，模型基质采用的材料是环氧树脂(E51)，其密度为1.182 g·cm-3；裂隙填充物由块状的环氧树脂/硅橡胶混合材料加工成薄币型圆片，其密度为1.088 g·cm-3，裂隙圆片直径为3 mm，裂隙圆片的平均厚度为0.12 mm，裂隙密度根据公式e=Nr3/V计算，其中e代表裂隙密度，N代表裂隙圆片总个数，r代表裂隙圆片半径，V代表裂隙模型的总体积.我们采用相同的工艺流程构建了9个裂隙密度模型，裂隙密度从0变化到12%，基本参数由表 1给出，模型实物如图 1所示.裂隙模型按35次等厚分层制作，在70 mm×70 mm×70 mm的模具盒内，每层用10 g基质材料.裂隙圆片分34层随机分布在基质内, 裂隙层间距平均1.715 mm(如图 1a).每层裂隙个数由预设的裂隙密度和模型外形尺寸确定.模型1的裂隙密度为0，是一个参考模型，其特性代表裂隙模型的基质参数，称为基质模型.九个裂隙密度模型都经过机械精密抛光，表面具有很好的光洁度和平整度.采用直角坐标系表示裂隙分布的方向，X和Y轴与裂隙平行，裂隙平行X-Y面随机分布，在X和Y轴方向具有相同的特性.Z轴垂直裂隙面.
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表 1 裂隙密度模型基本参数 Table 1 Principal parameters of crack density models |
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图 1 裂隙密度模型 (a)模型示意图；(b)模型实物图. Fig. 1 Crack density models (a) Schematic diagram; (b) Photos of real objects. |
裂隙密度模型的纵横波测试采用脉冲透射法，测试系统由5077PR脉冲发/接收器(Olympus)、TK-DPO3012数字示波器、PC机和0.5 MHz的宽频带换能器组成，测试示意图如图 2所示.把激发和接收换能器放置在模型X(平行裂隙)或Z(垂直裂隙)方向的两个相对外表面上，就能得到纵横波波形.0.5 MHz的超声换能器采用的是Olympus生产的纵横波换能器(纵波：V101，横波：V151).为了获得较高的测试精度，本实验采用以下措施：(1)分别使用凡士林作为纵波换能器的耦合剂和特制蜂蜜作为横波换能器耦合剂(魏建新和狄帮让，2011)；(2)选择固定的波形起跳点，以基质模型的波至作参考，选择第一周期负极性起跳点为初至时间；(3)提高数字示波器波形叠加的次数，每次测试时选用16次叠加；(4)多次测试.通过对每个点在不同的时间进行多次重复测试，得到的纵横波速度测试误差分别小于0.5%和0.8%.不同时间室内的温度在15 ℃到25 ℃变化，温度变化对模型纵横波初至没有明显影响.
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图 2 脉冲透射法测试示意图 Fig. 2 Schematic of measurement by pulse transmission method |
图 3和图 4分别给出了纵横波波形记录，图中每道记录用裂隙密度表示.图 3a和图 3b分别表示纵波传播方向垂直和平行裂隙时的波形图.可以看到，随着裂隙密度的增大，传播方向无论是垂直裂隙还是平行裂隙，纵波传播时间都有所增大，垂直裂隙方向的传播时间增大更加明显.同时也可以看到，纵波垂直裂隙传播时，裂隙密度对波形振幅影响较大.当裂隙密度增大到6%时，纵波振幅下降明显；当裂隙密度大于6%后，纵波振幅变化不大.图 4a和4b分别表示快、慢横波的波形记录.从图中可以看到，横波初至信号之前都出现一些弱信号，这是横波换能器中纵振动模式引起的，这些信号幅值较小，且与横波信号的时差较大，对横波波至没有影响.从图 4b中也可以很明显的看到，当裂隙密度从0增大到6%时，慢横波振幅下降明显.与传播方向垂直裂隙的纵波波形(图 3a)不同的是，随着裂隙密度的增大，慢横波的周期拉长，并且在横波波至前出现了一个正极性的小波包，且随着裂隙密度的增加，此波包振幅增大、周期增多.
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图 3 纵波波形 (a)传播方向垂直裂隙；(b)传播方向平行裂隙. Fig. 3 P-wave waveforms (a) Perpendicular to crack; (b) Parallel to crack. |
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图 4 横波波形 (a)快横波；(b)慢横波. Fig. 4 S-wave waveforms (a) Fast S-wave; (b) Slow S-wave. |
图 5和图 6分别给出了纵横波波形的频谱图.图 5a和图 5b分别表示纵波传播方向平行和垂直裂隙时的频谱图.随着裂隙密度的增大，频谱幅值减小，主频降低.平行裂隙方向，纵波主频从0.31 MHz降低到0.22 MHz；垂直裂隙方向，纵波主频从0.31 MHz降低到0.18 MHz.图 6a和图 6b分别表示快慢横波波形的频谱图.可以看到，横波频谱变化比纵波频谱变化剧烈，散射效应强.快横波的主频几乎没变化，在0.15 MHz左右变化.而慢横波的主频变化比快横波剧烈，随着裂隙密度的增大，其从0.16 MHz降到0.1 MHz.
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图 5 纵波频谱图 (a)传播方向平行裂隙；(b)传播方向垂直裂隙. Fig. 5 Frequency spectra of P waves (a) Parallel to crack; (b) Perpendicular to crack. |
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图 6 横波频谱图 (a)快横波；(b)慢横波. Fig. 6 Frequency spectra of S waves (a) Fast S-wave; (b) Slow S-wave. |
通过测试纵横波在模型中的传播距离L和时间t，根据公式v=L/t就可计算出速度.表 2给出了纵横波速度随着裂隙密度的变化情况.随着裂隙密度的增大，纵横波速度都是下降的，传播方向垂直裂隙的纵波和慢横波下降的幅度更大.随着裂隙密度从0增加至12%，平行裂隙方向传播的纵波速度减小1.7%，垂直裂隙方向传播的纵波速度减小3.6%，快横波速度减小1.3%，慢横波速度减小13.4%.
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表 2 纵横波速度随着裂隙密度的变化情况 Table 2 Elastic wave velocity versus crack density |
接下来，我们将实验测试的纵横波速度与等效介质理论进行了对比分析.其中，应用等效介质理论计算纵横波速度时需要的基本参数有背景基质和裂隙填充物的弹性参数以及裂隙参数(密度、纵横比).表 3给出了背景基质和裂隙填充物的弹性参数，其小数点后保留2位小数.背景基质和裂隙填充物的柔度张量只需要将弹性参数取逆即可得到.裂隙的密度从0变化到12%，裂隙直径为3 mm，裂隙平均厚度为0.12 mm，裂隙的纵横比为0.04.图 7展示的是裂隙密度对平行裂隙方向的纵波速度的影响.可以看到，实测值和理论值随着裂隙密度的增大而减小.Hudson理论和线性滑动理论预测值减小的幅度比各向异性SCA模型、各向异性DEM模型和NIA理论的预测值减小的幅度小.Hudson理论的一阶、二阶预测值与线性滑动理论预测值近似重合.各向异性SCA与各向异性DEM的预测值近似重合.NIA理论预测值介于Hudson理论和各向异性SCA理论之间.至于实测纵波速度，可以看到，其与Hudson理论、线性滑动理论更吻合.图 8展示的是裂隙密度对垂直裂隙方向的纵波速度的影响.同样的是，实测值和理论值随着裂隙密度的增大而减小.可以看到，当裂隙密度大于6%时，Hudson一阶、二阶和线性滑动理论的预测值开始出现差异，但Hudson一阶预测值与线性滑动理论预测值的差异最大只有7 m·s-1(裂隙密度从11.6%开始)，Hudson一阶预测值与线性滑动理论预测值的差异最大只有3 m·s-1(当裂隙密度为12%时).可见Hudson理论和线性滑动理论对纵波速度的预测是相当的.当裂隙密度大于2%时，各向异性SCA模型与各向异性DEM模型的预测值开始出现差异.当裂隙密度大于6%时，各向异性SCA模型与NIA理论的预测值开始出现差异.当纵波垂直裂隙传播时，实测速度与Hudson理论、线性滑动理论更吻合.
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表 3 背景基质和裂隙填充物的弹性参数(单位：GPa) Table 3 Elastic parameters of background medium and crack filling material (unit: GPa) |
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图 7 平行裂隙方向的纵波速度实测值与理论预测值对比 Fig. 7 Comparison of measured and predicted P-wave velocity parallel to crack |
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图 8 垂直裂隙方向的纵波速度实测值与理论预测值对比 Fig. 8 Comparison of measured and predicted P-wave velocity vertical to crack |
图 9展示的是裂隙密度对快横波速度的影响.对Hudson理论、线性滑动理论而言，裂隙密度对快横波速度没有影响.而其他三种理论的快横波预测值都是随着裂隙密度的增大而减小.当裂隙密度大于6%时，各向异性SCA模型与各向异性DEM模型的快横波预测值开始出现明显的差异.对实测快横波速度而言，可以看到，当裂隙密度小于6%时，其随裂隙密度的增大而稍有减小；当裂隙密度大于6%时，其减小幅度随裂隙密度的增大而增大.当裂隙密度小于8%时，在误差允许的范围内，其与Hudson理论和线性滑动理论更吻合.图 10展示的是裂隙密度对慢横波速度的影响.可以看到，Hudson理论和线性滑动理论的速度预测值重合，并且随着裂隙密度的增大而减小.各向异性SCA模型和NIA理论的速度预测值重合，其随着裂隙密度增大而减小的幅度比线性滑动理论要大.而各向异性DEM模型对慢横波的预测与其他理论的预测结果趋势相反.对实测慢横波速度而言，可以看到，其随着裂隙密度的增大而减小.当裂隙密度小于9%时，在误差允许的范围内，其与各向异性SCA模型和NIA理论的预测值更吻合.当裂隙密度大于10%时，实测值与理论值差距越来越大.
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图 9 快横波速度实测值与理论预测值对比 Fig. 9 Comparison of measured and predicted fast S-wave velocity |
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图 10 慢横波速度实测值与理论预测值对比 Fig. 10 Comparison of measured and predicted slow S-wave velocity |
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(1) |
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(2) |
其中，Cij对应的是等效弹性系数对应的分量，VPX和VPZ分别表示平行和垂直裂隙方向的纵波速度，VS1和VS2分别表示快、慢横波速度.
图 11展示的是纵波速度各向异性随着裂隙密度的变化情况.可以看到，随着裂隙密度的增大，各向异性SCA、各向异性DEM、NIA理论对ε的预测值增大的幅度比Hudson理论和线性滑动理论的预测值增大的幅度要大.当裂隙密度大于7%时，Hudson一阶预测值与线性滑动理论预测值开始出现明显差异，但最大差异只有0.2%(当裂隙密度为12%时).当裂隙密度大于3%时，各向异性SCA模型预测值与NIA理论预测值开始出现差异.当裂隙密度大于7%时，各向异性DEM模型预测值与NIA理论预测值开始出现明显差异.理论预测值与实测值对比可以发现，Hudson理论和线性滑动理论的预测值与实测值更吻合.图 12展示的是横波速度各向异性随着裂隙密度的变化情况.可以看到，Hudson理论和线性滑动理论对横波速度各向异性参数(γ)的预测重合.当裂隙密度大于7%时，各向异性DEM模型预测值与NIA理论预测值开始出现明显差异.对实测横波速度各向异性而言，当裂隙密度低于6%时，实测值与各向异性SCA模型和NIA理论完全吻合.随着裂隙密度的增大，实测值与理论预测值的偏差越来越大.
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图 11 纵波各向异性参数实测值与理论预测值对比 Fig. 11 Comparison of measured and predicted fast P-wave anisotropy |
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图 12 横波各向异性参数实测值与理论预测值对比 Fig. 12 Comparison of measured and predicted fast S-wave anisotropy |
实测值与理论值的偏差可用如下公式表示：
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(3) |
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(4) |
其中，下标m代表实测值，下标t代表理论值. Δε和Δγ越小，表示速度各向异性的实测值与理论值越吻合.图 13和14展示的是实测纵横波速度各向异性与等效介质理论各向异性的偏差.比较图 7, 8和13可以发现，实测纵波速度及其各向异性与Hudson理论和线性滑动理论是吻合并且一致的.而横波速度与各向异性分别符合不同的模型.在低裂隙密度范围内，实测快横波速度与Hudson理论和线性滑动理论更吻合(如图 9所示)，而实测慢横波速度与NIA和各向异性SCA更吻合(如图 10所示).在低裂隙密度范围内，实测横波速度各向异性与NIA和各向异性SCA更吻合(如图 12所示).造成这种不一致的原因，在于Δγ的大小是受实测和理论快慢横波速度比值的平方差影响，而不是单独受速度的影响.从Δγ的公式可以看出，实测和理论的快慢横波速度比值越接近，平方会将两者的差异缩小，而实测和理论的快慢横波速度比值差异越大，平方会将两者的差异放大.这导致了在低裂隙密度范围内(< 6%)，实测横波速度各向异性与NIA和各向异性SCA更吻合，而之后实测值与理论值差异越来越大.
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图 13 纵波各向异性参数实测值与理论预测值的偏差绝对值 Fig. 13 Absolute values of the deviation of the P-wave anisotropic parameter between real measurement and predicted by effective medium theory |
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图 14 横波各向异性参数实测值与理论预测值的偏差绝对值 Fig. 14 Absolute values of the deviation of the S-wave anisotropic parameter between real measurement and predicted by effective medium theory |
等效介质理论中，裂缝占比的表达式不尽相同.各向异性SCA、各向异性DEM、NIA用体积分数表示，公式如下：
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(5) |
其中，νn表示第n个裂缝的体积分数，Vn表示第n个裂缝的体积，V表示等效介质的总体积.
(5) 式也可以表示成
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(6) |
其中，ν表示裂缝的体积分数，V*表示裂缝区域的总体积.
而Hudson理论和线性滑动理论用裂缝密度表示，公式如下：
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(7) |
其中，e表示裂缝密度，N表示裂缝的总个数，a表示裂缝的半径.
虽然裂缝占比的计算方式不一样，可能会影响等效介质理论的计算结果.只要裂缝纵横比小于0.1(本实验其值为0.04)，裂缝的体积分数能用裂缝密度表征(Kachanov and Sevostianov, 2013).为了控制单一变量，以便比较各个等效介质理论的计算精度，我们统一采用裂缝密度来进行理论计算.
从实验测试结果与等效介质理论的对比来看，在实际使用等效介质理论的过程中，还是得注意临界裂缝密度.从图 7和图 8可以看到，当裂缝密度大于9%时，快、慢横波实测速度与等效介质理论值开始偏离.我们的研究结果与Dahm和Becker(1998)、Saenger和Shapiro(2002)和Liu和Zhang(2001)是一致的，即在裂缝密度较高的情况下，裂缝之间的相互作用不能忽略.尤其对慢横波更是如此，这也可以从慢横波的波形中看出来.从图 4b中可以看到，随着裂隙密度的增大，慢横波波至前的小波包周期增多、振幅增大.
当裂缝随机分布时，等效介质是各向同性的.当裂缝规则排列时，等效介质是各向异性的.裂缝规则排列时的空间分布纵横比对等效弹性性质有影响，裂缝空间分布纵横比的大小也影响着等效介质理论的适用性(Zhao et al., 2016).当裂缝形状不一时，对其等效弹性性质研究的难点在于对裂缝形状的定量表征.Kachanov等(1994)理论研究了具有不同形状二维裂缝的等效弹性性质.三维情况下的裂缝形状多样问题，理论和实验的研究还需要开展和相互验证(Guéguen and Kachanov, 2011).而实际岩石的裂缝大多形状各异，可见理论和物理模型起初都是对特定的问题进行简化再深入研究.随着模拟技术的发展，如3D打印(Head and Vanorio, 2016)，相信在未来能够模拟出和实际岩石一样的孔隙空间分布，从而更精细精确地研究裂缝对弹性波速度的影响.
4 结论裂缝等效介质理论是岩石物理学中一项非常重要的研究课题，裂缝介质是一个多相复合介质，其中裂缝的形态参数(密度、纵横比)对裂缝介质的等效弹性性质和地震波传播规律有着重要的影响，因此裂缝等效介质理论是一个非常复杂的问题.最近几十年来发展的等效介质理论为认识裂缝介质的等效弹性性质和弹性波在其中的传播特征提供了非常多的思路.而理论的正确性和精确性需要实验数据的验证.因此本实验在尽可能减小裂隙尺寸的情况下，构建了一组裂隙密度从0变化到12%的物理模型，并用脉冲透射法测试了纵横波速度和各向异性参数随裂隙密度的变化.通过与等效介质理论的定量对比分析，可以得到以下结论：
(1) Hudson理论和线性滑动理论两者的预测效果近似相等，在实验的裂隙密度范围内(0~12%)，其对纵波速度的预测与实测值吻合更好.当裂隙密度小于8%时，其对快横波速度的预测与实测速度更吻合.
(2) 当裂隙密度小于9%时，慢横波实测速度与各向异性SCA、NIA预测速度更吻合.
(3) 对纵波速度各向异性的预测，Hudson理论和线性滑动理论与实测值更吻合；对横波速度各向异性的预测，当裂隙密度小于6%时，各向异性SCA、NIA与实测值更吻合.
(4) 各向异性DEM模型不适合应用于裂缝密度的预测.
附录(1) Hudson理论
Hudson模型是基于对含有薄币状的椭球裂缝或包含物的弹性固体中的平均波场的散射理论分析而得到的(Hudson, 1980, 1981).其等效弹性系数张量由(A1)式给出：
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(A1) |
式中，C0为各向同性背景介质的弹性模量；C1为由于单个裂纹存在分别作用而产生的一阶修正项；C2为考虑裂纹之间的相互耦合作用产生的二阶修正项.
对于VTI介质，C1和C2分别可由(A2)和(A3)式求出.
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(A2) |
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(A3) |
其中
当裂隙为“弱模量”包含物时，U1和U3为
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(A4) |
其中，
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(A5) |
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(A6) |
其中，λb、μb为背景基质的拉梅常数；λ′、μ′为裂缝中填充介质的拉梅常数；a为裂隙半径，c为裂缝的厚度的一半，e为裂隙密度.
(2) 线性滑动理论
裂隙的等效弹性柔度张量Sijkl、平均应变εij、平均应力分量σkl的关系为
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(A7) |
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(A8) |
其中，Sijklb为背景介质的具有任意各向异性的柔度张量；Sq为位于体积V中的第q个裂隙的表面积；ni为裂隙表面(也可以是曲面)的单位法向分量；[]代表位移不连续.
对弹性柔度张量取逆即可得弹性系数张量，对于VTI介质，其等效弹性系数张量可表示为：
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(A9) |
其中，
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(A10) |
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(A11) |
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(A12) |
其中，EN、ET分别为裂隙的法向弱度和切向弱度，其值与裂隙中所充填的物质有关，裂隙介质的弹性系数矩阵取决于λb, μb, ZN, ZT的值.
当裂隙为“弱模量”包含物时，有
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(A13) |
式中，
(3) 非相互作用近似理论(Non-interaction Approxiamtion, NIA)
等效内含物方法是在Eshelby(1957)分析椭球体的内含物、异质体静力问题的基础上发展而来的.20世纪70年代Wheeler和Mura(1973)首先将该方法用于动力学领域.Sevostianov和Kachanov(1999)在Kachanov等(1994)、Shafiro和Kachanov(1997)研究的基础上将其推广到椭圆状内含物含有任意弹性模量.
裂缝介质的平均应变εij可以表示为：
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(A14) |
其中，Mijkl是背景基质的柔度张量，σkl0是无裂隙时无穷远处的等效应力，Δεij是裂隙引起的应变.
在弹性情况下，Δεij与σkl0有如下关系：
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(A15) |
其中，Hijkl是裂隙柔度张量，可以由(A16)式求得：
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(A16) |
其中，M*是裂隙填充物的柔度张量，V*是裂缝的体积，V是等效介质的体积.张量Q可以用Eshelby张量S表示如下：
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(A17) |
其中，Cijmn是背景基质的弹性系数张量；S是Eshelby张量，其取值根据裂隙的形状而定，Mura (1987)给出了其表达式；J是单位四阶张量，其表达式为Jijkl=(δikδlj+δilδkj)/2.
(4) 各向异性自洽理论(Anisotropic Self-consistent Approximation)
Hornby等(1994)将各向同性自洽理论(SCA)推广到各向异性介质中，其基本思想与各向同性SCA模型相同，即：假设介质由背景基质与包含物混合构成，将要求解的等效介质置于背景基质中，背景基质的弹性性质处于任意可变的状态.通过不断调整背景基质弹性参数，使得待求解的等效介质与背景基质弹性参数相匹配.公式如下：
|
(A18) |
其中，
(5) 各向异性微分等效介质模型(Anisotropic Differential Effective Medium)
|
(A19) |
其中，CDEM表示利用DEM方法获取的等效介质刚度张量，Ci表示包含物的刚度张量，ν表示包含物的体积分数，
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