0 引言

在地球物理学、水文学及石油工程中，研究地震波在含流体孔隙介质中的传播具有重要意义.自然界中的孔隙多为连通孔隙，且可能包含两项或多项黏性流体.例如，对于碳酸盐岩、火成岩等烃类储层，其岩石孔隙中包含了油、气、水等流体或气体.地震波在该类孔隙介质中传播时，不仅受所穿过地层的岩石骨架性质的影响，还受孔隙大小、孔隙形状及孔隙填充物的影响.因此，地面检波器记录到的地震信号不仅包含了地下岩石骨架的属性信息，也含有孔隙及孔隙填充物的信息.研究地震波在含流体孔隙介质分界面上的反透射特征，可以充分提取这些岩性或流体信息，实现碳氢化合物、矿产等资源的勘探.

目前已有很多理论和实验研究了地震波在含流体孔隙介质中的传播特性.在含单项流体各向同性孔隙介质中，地震波的传播理论可以用Biot模型(Biot, 1956, 1962)来描述.经典文献Biot(1956)指出, 在含流体孔隙介质中存在快、慢两类纵波和一类横波，而在单相介质中只存在一类纵波和一类横波.针对该类型孔隙介质，许多专家学者在地震波的传播机理(Geertsma and Smit, 1961; Sharma and Gogna, 1990)、介质分界面上反透射系数特征(Lovera, 1987; Vashisth et al., 1991; 牟永光, 1996)、地震波垂直入射时反透射系数近似式(Silin and Goloshubin, 2010)、孔隙介质理论与应用(Wang et al., 2010, 2012; 印兴耀等, 2015; Zong et al., 2016; Li et al., 2017)等方面都做了深入研究.除此之外，Tuncay和Corapcioglu(1996)研究了体波在含两项不混合流体孔隙介质中的传播特性，证明了地震波在该类孔隙介质中传播时存在三类纵波和一类横波；Tuncay和Corapcioglu(1997)、Lo和Sposito(2005)分别从微观和宏观两种不同的角度分析含两项不混合流体孔隙介质的受力情况，并得出相似的应力表达式.这为进一步开展含两项或多项不混合流体孔隙介质的研究奠定了理论基础.

反射地震学是利用反射地震波的性质来估算地下岩石特性的一种方法，弹性波在含饱和流体孔隙介质分界面上的反射特征与油气勘探直接相关.近些年来，一些研究(Tomar and Arora, 2006; Arora and Tomar, 2007; Yeh et al., 2010)已经考虑了平面波在含两项不混合非黏性流体孔隙介质分界面上的反透射系数特征.由于没有考虑孔隙流体的黏性，研究中并没有涉及到地震波穿过地层时的衰减现象，而实际的孔隙流体存在黏性，地震波在孔隙介质中的传播存在衰减.Lo等(2009a)证明了在含两项不混合黏性流体孔隙介质中，声波传播和衰减的孔隙弹性方程可以解耦成三个Helmholtz方程；Sharma(2008)从能量守恒角度出发，推导出一系列针对含黏性流体孔隙介质接触面上局部孔隙连通情况的边界条件；Lo等(2009b)基于Berryman-Thigpen-Chin(BTC)模型认为，膨胀波穿过含两项不混合黏性流体非饱和孔隙介质时存在低频现象；Sharma和Kumar(2011)研究了在含两项不混合黏性流体孔隙介质分界面上衰减波的反射特征；Kumar和Saini(2012)分析了在上层为单相介质、下层为含两项不混合黏性流体孔隙介质分界面上衰减波的反透射情况；Kumar和Saini(2016)进一步研究了上层为含单项非黏性流体孔隙介质、下层为含两项不混合黏性流体孔隙介质分界面上的反透射情况；Kumar和Sharma(2013)讨论了平面波在含两项不混合黏性流体孔隙介质分界面上的反透射系数特征；Qin等(2018)建立了周期层状孔隙介质模型、分析了纵横波速度的衰减与频散，并讨论了各向同性层状介质和等效黏弹性VTI介质分界面上的各向异性依频率反射特征.

通常一些含油气储层的下层为含水(或盐水)孔隙介质、上层为含油和气(或水、盐水等)的两项流体孔隙介质，表现为“水驱油气(或油水)”的特征.研究该类储层对于孔隙流体类型的识别、流体边界的判识及含油饱和度的分析等十分重要，然而前人并未对此展开研究.本文在前人研究成果的基础上，进一步研究了上层为含两项不混合黏性流体孔隙介质、下层为含单项黏性流体孔隙介质分界面上的反透射系数特征.首先根据孔隙介质分界面上的能量守恒得到七个边界条件；再结合两种孔隙介质对应的波函数、位移与应力之间的关系，推导出第一类P波入射时孔隙介质分界面上的反透射系数方程；最后通过建立孔隙介质模型，分析不同孔隙流体类型、含油饱和度及入射角对反透射系数特征的影响.

1 问题的提出 1.1 孔隙介质分界面上的反射和透射

本文考虑上层为含两项不混合黏性流体孔隙介质，下层为含单项黏性流体孔隙介质分界面上的反透射情况.假设上、下层孔隙介质无缝隙接触、各向同性，且为完全连通孔隙.建立笛卡尔直角坐标系(x, y, z), 规定z=0为两种孔隙介质的分界面，z轴向下指向含单项黏性流体孔隙介质的方向为z轴正方向.z < 0半空间为含两项不混合黏性流体孔隙介质(介质1)，z>0半空间为含单项黏性流体孔隙介质(介质2)，考虑第一类纵波入射在z=0平面上的情况，如图 1所示.图 1中，P₀、θ₀、A₀、γ₀分别表示入射纵波的传播向量、入射角、衰减向量及衰减角；P_j、θ_j、A_j、γ_j(j=1, 2, 3, 4)分别表示第一、二、三类反射纵波和反射横波的传播向量、反射角、衰减向量及衰减角；P′_j、θ′_j、A′_j、γ′_j(j=1, 2, 3)分别表示快、慢透射纵波和透射横波的传播向量、透射角、衰减向量及衰减角.

1.2 入射、反射及透射波波函数

由于上、下层孔隙介质中的流体含黏性，弹性波在该孔隙介质中传播时会产生衰减，我们将入射、反射及透射波波函数表示成以下衰减波(Borcherdt, 1982; Kumar and Sharma, 2013; Kumar and Saini, 2016)的形式.

第一类纵波入射：

(1)

(2)

(3)

反射波：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

其中，i为虚部，ω为入射波频率，和分别表示沿x轴和z轴的坐标向量，p.v.(principal value)表示复数开方得到的有效值.φ₀、F₀、v₀分别为入射纵波的波函数、位移位振幅及速度；φ_j、F_j、v_j(j=1, 2, 3, 4)分别为反射波的波函数、位移位振幅及速度，φ′_j、F′_j、v′_j(j=1, 2, 3)分别为透射波的波函数、位移位振幅及速度.Re(·)和Im(·)分别表示求取复数的实部和虚部，下标r和l分别表示复数的实部和虚部.对于上层孔隙介质，下标j=1, 2, 3, 4分别表示第一、二、三类纵波、横波；对于下层孔隙介质，下标j=1, 2, 3分别表示快纵波、慢纵波、横波.

2 含黏性流体孔隙介质反透射理论

Biot奠定了弹性波在孔隙介质中传播的理论基础，该理论考虑了岩石骨架、孔隙流体以及二者之间的相互耦合对弹性波传播的影响；Tuncay和Corapcioglu(1997)、Lo和Sposito(2005)建立了弹性波在含两项不混合黏性流体孔隙介质中的传播理论.基于以上理论，本节分别分析了两种孔隙介质对应的波函数、位移及应力之间的关系.

2.1 含黏性流体孔隙介质的位移和应力

基于Biot(1956, 1962)孔隙介质理论和Silin和Goloshubin(2010)线性近似理论，弹性波在含黏性流体孔隙介质(介质2)中传播时，流、固体位移和受力情况可以分别表示为

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

其中，u′_sx、u′_sz分别为岩石骨架沿x和z方向的位移，u′_fx、u′_fz分别为黏性流体相对于岩石骨架沿x和z方向的位移；Λ′_j(j=1, 2)分别为与快、慢纵波波函数对应的孔隙流体相对于岩石骨架的位移位振幅与岩石骨架位移位振幅之比；ψ′=φ′₃为横波波函数，Γ′表示与横波波函数对应的流体相对于岩石骨架的位移位振幅与岩石骨架位移位振幅之比.〈τ′_t〉、〈τ′_s〉、〈τ′_f=〉分别为岩石骨架受到的总应力、岩石骨架之间的作用力及流体静压力；u′_s=[u′_sx, u′_sz]^T, u′_f=[u′_fx, u′_fz]^T分别为岩石骨架的位移向量和孔隙流体相对于岩石骨架的位移向量，上标T表示转置；K′、μ′分别为岩石骨架的体积模量和剪切模量；α和M为介质2的Biot参数，f′为介质2的孔隙度；I表示单位矩阵.

2.2 含两项不混合黏性流体孔隙介质的位移和应力

基于含两项不混合黏性流体孔隙介质理论(Tuncay and Corapcioglu, 1997; Lo and Sposito, 2005; Kumar and Saini, 2016)，介质1中岩石骨架及第一、二类流体的位移和受力情况可以表示为

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

其中，u_sx、u_sz分别为岩石骨架沿x和z方向的位移，u_fx^l、u_fz^l分别为孔隙流体相对于岩石骨架沿x和z方向的位移；Λ_j^l(l=1, 2, j=1, 2, 3)分别为与三类纵波波函数对应的孔隙流体相对于岩石骨架的位移位振幅与岩石骨架位移位振幅之比，Γ^l(l=1, 2)为与横波波函数对应的孔隙流体相对于岩石骨架的位移位振幅与岩石骨架位移位振幅之比；ψ=φ₄为横波波函数；上标l=1, 2分别表示第一、二类孔隙流体，下标j=1, 2, 3分别表示第一、二、三类纵波.〈τ_s〉表示岩石骨架之间的作用力，〈τ_f¹〉、〈τ_f²〉分别表示第一、二类孔隙流体受到的静压力，〈τ_t〉为岩石骨架受到的总应力；us=[u_sx, u_sz]T为岩石骨架位移向量，u_f^l=[u_fx^l, u_fz^l]T, l=1, 2分别为第一、二类孔隙流体相对于岩石骨架的位移向量；μ为岩石骨架剪切模量，系数a_mn(m, n=1, 2, 3)可以参考文献Kumar和Sharma(2013).

2.3 含黏性流体孔隙介质反透射系数方程

含黏性流体孔隙介质分界面上的边界条件由存在的物理条件决定，考虑分界面上的能量平衡和流动性流体连续性方程是分析边界条件的基本思路(Sharma, 2008).弹性孔隙体的能量可以通过固体所受应力、固体颗粒的速度、流体静压力及流体质点的速度来描述.上层为含两项不混合黏性流体孔隙介质、下层为含单项黏性流体孔隙介质分界面上的能量平衡方程为

(25)

其中，上标‘·’表示标量函数对时间求一阶偏导；s₁表示上层孔隙介质中第一类流体所占的体积比，β、β′分别为上层和下层的流固体耦合系数；〈·〉_zz为主应力方向，〈·〉_zx为切应力方向.

结合以上等式，可以得到以下7个边界条件：

(26)

将(1)—(6)式代入(18)—(20)式，再代入(21)—(24)分别得到上层孔隙介质中用波函数表示的位移和应力表达式；将(7)—(9)式代入(13)—(14)式，再代入(15)—(17)式分别得到下层孔隙介质中用波函数表示的位移和应力表达式.最后将(13)—(24)式代入边界条件(26)式，获得上层为含两项不混合黏性流体孔隙介质、下层为含单项黏性流体孔隙介质的反透射系数方程，即：

(27)

其中，，其他各参数的表达式见附录A.

以上反透射系数是相对于位移位而言的，利用位移位振幅比和位移振幅比之间的关系，可以获得用位移振幅比表示的反透射系数方程，即：

(28)

其中，r_pj(j=1, 2, 3)、r_s分别为用位移振幅比表示的第一、二、三类纵波及横波的反射系数，t_pj(j=1, 2)、t_s分别为用位移振幅比表示的快纵波、慢纵波及横波的透射系数；

3 含黏性流体孔隙介质模型

获得孔隙介质分界面上的反透射系数需要多种参数，为研究其随入射角和流体参数的变化规律，我们将数值分析限定于某个特定的模型.建立上层为含两项不混合黏性流体孔隙介质、下层为含单项黏性流体孔隙介质的地质模型.上、下层分别为饱含油和盐水(或油和气)、盐水的砂岩介质，其对应的岩石骨架参数如表 1所示(Tuncay and Corapcioglu, 1996; Ren et al., 2009)、孔隙流体参数如表 2所示(Rubino and Holliger, 2012；Zhao et al., 2015).

表 1、2中，K_s、μ_s、ρ_s分别为岩石基质的体积模量、剪切模量及密度；K_d、μ_d分别为岩石骨架的体积模量和剪切模量；f、κ、S分别为孔隙度、岩石渗透率及孔隙因子；K_f、ρ_f、η分别为孔隙流体的体积模量、密度及黏滞系数.第五、六列分别描述了气与油、盐水与油之间的弹性物性差异比，具体表达式为

(29)

其中，R表示孔隙流体的任意弹性或物性参数，Δ(R)为参数的相对差之比，下标gb表示气或盐水，o表示油，符号·表示取绝对值.

4 数值分析

将模型参数代入反透射系数方程(式(28))，分别分析不同入射角、不同孔隙流体及不同含油饱和度情况下的反透射系数特征.本文假定入射波的频率为40 Hz, 衰减角为γ₀=5°，上下层的流、固耦合系数分别为β=0.03、β′=0.02.首先分析模型上层的孔隙介质饱含油和盐水时：(1)不同含油饱和度情况下，各类波在孔隙介质分界面上的反透射系数随入射角的变化；(2)不同入射角情况下，各类波在孔隙介质分界面上的反透射系数随含油饱和度的变化.随后将模型上层的第二类孔隙流体(盐水)替换为气，继续对比分析各类波的反透射系数特征.

图 2是模型上层的孔隙介质饱含油和盐水、含油饱和度分别为0.1、0.5、0.8时，各类波的反透射系数随入射角的变化；图 3是模型上层的孔隙介质饱含油和盐水、入射角分别为5°、20°、35°时，各类波的反透射系数随含油饱和度的变化；图 4和图 5中，除了将第二类孔隙流体(盐水)替换为气外，其他参数的取值都分别依次与图 2和图 3相同.图 2—图 5的子图(a)、(b)、(c)、(d)分别依次表示第一类纵波、横波、第二、三类纵波的反射系数，(a′)、(b′)、(c′)分别依次表示快纵波、横波及慢纵波的透射系数.为了便于讨论，下文将快、慢纵波透射系数分别表达成第一、二类纵波透射系数，下面详细分析各类波的反透射系数特征.

(1) 第一类纵波反射(子图(a))和透射(子图(a′))系数特征分析

① 由于油和盐水的弹性物性参数(表 2)存在差异，含油饱和度(油和盐水)的变化会引起两类孔隙流体对下层介质的作用力发生变化(式(26))，从而影响第一类纵波的反透射系数值；如图 3a和3a′所示，随含油饱和度(油和盐水)的增加，其反射系数分别在0.15和0.75处出现局部极大值和局部极小值，而其透射系数的变化恰好与此相反.

② 入射角较大时，该类波的反透射系数受含油饱和度(油和盐水)的影响更加明显，如图 3a和3a′中的蓝色实线、图 2a和2a′中入射角大于20°的范围所示.这是由于随入射角的增大，总应力在垂向上的应力分量减小，岩石骨架之间的垂向相互作用力变弱，两类孔隙流体对下层介质的作用力被突显出来(式(26)).

③ 第二类孔隙流体(盐水)被替换为气后，气比盐水的弹性物性参数小很多(表 2)，对下层介质产生的作用力极小；因此低含油饱和度(油和气)时，气对反透射系数的影响可以忽略(图 4a和4a′中红、绿色实线，图 5a和5a′中含油饱和度小于0.7的范围)；而高含油饱和度(油和气)时，油对下层介质产生的作用力不可忽略，会影响到该类波的反透射系数值(图 5a和5a′中含油饱和度大于0.7的范围).

(2) 横波反射(子图(b))和透射(子图(b′))系数特征分析

① 入射角为0时，垂直入射在孔隙介质分界面上的地震波仅存在反透射纵波，不产生转换横波；即在0入射角处横波反透射系数为0(图 2和图 4的子图b、b′)，这验证了所推方程式的正确性.

② 随入射角增大，总应力在切向上的应力分量增加，从而引起横波反透射特征的变化；由于没有考虑孔隙流体产生的切应力，上下层介质之间的总切应力仅与上下层岩石骨架之间的切向应力相关、与孔隙流体无关；又由于油和盐水的密度差异不大(表 2)，因此饱含油和盐水的孔隙介质对应的横波反透射系数仅依赖于入射角(图 2b和2b′)，与含油饱和度(油和盐水)的大小无关(图 3b和3b′).

③ 由于油和气的密度差异很大(表 2)，饱含油和气的孔隙介质对应的等效密度会受到含油饱和度(油和气)的影响；因此含油饱和度(油和气)增大到一定程度时，其变化会影响到横波反透射系数(图 5b和5b′中含油饱和度大于0.7的范围)，且该现象在大入射角情况下更加明显(图 4b和4b′中入射角大于30°的范围).

(3) 第二类纵波反射(子图(c))和透射(子图(c′))系数特征分析

① 模型上层孔隙介质饱含油和盐水时，其对应的第二类纵波反透射系数值比第一类纵波反透射系数值小6~7个数量级(图 2和图 3的子图c和c′)；将第二类孔隙流体(盐水)替换为气后，前者对应的反透射系数值比后者小7~10个数量级(图 4和图 5的子图c和c′).

② 孔隙流体的存在使孔隙介质中出现第二类纵波的传播和衰减，因此第二类纵波在孔隙介质分界面上的反透射特征受孔隙流体性质(包括流体的类型、体积模量、密度、黏性及饱和度等)的影响比较大.例如, 模型上层孔隙介质饱含油和盐水时，其反射系数随含油饱和度的增加而增大(图 3c)，透射系数先增大后减小(图 3c′)；将第二类孔隙流体(盐水)替换为气后，在低含油饱和度情况下其反透射系数基本不变(图 5c和5c′)，在高含油饱和度情况下其反射系数迅速增大(图 5c)、透射系数迅速减小(图 5c′).

③ 模型上层的孔隙介质中无论饱含油和盐水还是饱含油和气，其对应的反射(图 2c和4c)和透射(图 2c′和4c′)系数对入射角的变化都不敏感.

(4) 第三类纵波反射系数(子图(d))特征分析

① 饱含两类流体的孔隙介质中存在第三类纵波的传播和衰减，该类波在孔隙介质分界面上的反透射能量非常小，如本文中该类波的反射系数值比第一类纵波的反透射系数值小16~17个数量级(图 2—图 5的子图d).

② 第二类孔隙流体的存在使得孔隙介质分界面上产生第三类纵波的反射，该类波的反射特征受两类孔隙流体性质的影响较大, 受入射角的影响较小(图 2d和4d)；如本文中，随含油饱和度增加，该类波的反射系数先增大后减小，分别在含油饱和度0.4(饱含油和盐水)和0.6(饱含油和气)处出现反射系数峰值(图 3d和5d).

③ 含油饱和度为0(孔隙中仅饱含气或盐水)和1(孔隙中仅饱含油)时，该类波的反射系数为0；这说明只有在饱含两项及两项以上流体的孔隙介质分界面上存在该类波的反透射，饱含单项流体的孔隙介质中不存在第三类纵波的传播.

5 结论

本文研究了上层为含两项不混合黏性流体孔隙介质、下层为含单项黏性流体孔隙介质分界面上的反透射系数理论.由于孔隙介质中黏性流体的存在，地震波在该类介质中传播时存在耗散，本文用衰减波描述平面波在耗散介质中的传播.上层孔隙介质中存在三类衰减纵波和一类衰减横波，下层孔隙介质中存在两类衰减纵波和一类衰减横波.在完全连通孔隙假设条件下，本文推导出了第一类纵波倾斜入射至孔隙介质分界面上的反透射系数方程；通过建立砂岩孔隙介质模型，分别分析了在不同孔隙流体性质、不同含油饱和度及不同入射角情况下，孔隙介质分界面上反透射系数的变化特征，并得到以下结论：

(1) 各类波的反透射系数在数值上差别很大.以本文构建的孔隙介质模型为例，第一类纵波和横波的反透射系数数值范围为[－1，2]，而第二类纵波的反透射系数数值比第一类纵波小6~10个数量级，第三类纵波的反射系数数值比第一类纵波小16~17个数量级.

(2) 孔隙介质饱含油和盐水时，第一类纵波对入射角和含油饱和度(油和盐水)都比较敏感；而孔隙介质中饱含油和气时，该类波对入射角和高含油饱和度比较敏感，对低含油饱和度不敏感.

(3) 无论孔隙介质中饱含油和盐水还是饱含油和气，横波反透射系数受入射角变化的影响比较大、基本不受含油饱和度变化的影响.

(4) 第二、三类纵波反透射系数对入射角不敏感，对含油饱和度(油和盐水)敏感性较大；孔隙介质中饱含油和气时，高含油饱和度对两类波的反透射系数影响较大，低含油饱和度对其影响较小.

总之，入射角的变化会引起总应力在垂向和横向上应力分量的变化，孔隙流体性质和含油饱和度的不同会造成孔隙流体静压力和孔隙介质等效密度的差异.本文从以上两个角度分析了各类波的反透射系数特征，并得出一些有意义的结论，为储层预测和流体识别奠定了理论基础.

附录A

式(27)为用位移位表示的上层为含两项不混合黏性流体孔隙介质、下层为含单项黏性流体孔隙介质分界面上的反透射系数方程，该式中相关参数的表达式为

其中，