0 引言

随钻测井通过边钻边测的方式，获得实时地层信息，进而及时调整钻铤方向，获得更多“甜点”，从而大大节约成本.近几年，随着大斜度井数量的增加以及海上油田和页岩气的勘探开发，市场对钻井过程中获得地层的纵、横波速度的需求急剧增加，因而需要开展随钻声波测井的理论研究与仪器研制.

前人开展了关于随钻声波测井研究，提出了从单极子随钻声波测井响应获得纵波速度的思想(Schmitt, 1988；Minear et al., 1995).由于信号中有很强的钻铤波干扰，人们采用刻槽的办法削弱钻铤波，突出地层波信号(Aron et al., 1994; Yang et al., 2017).利用动电测井可降低钻铤波在全波中的相对幅度(Zheng et al., 2015)，但尚处于探索阶段.关于地层横波速度的随钻测量则面临更大的困难.尽管硬地层中单极子随钻声波测井曲线中有明显的横波波群，软地层中却无明显的横波波群，很难直接利用单极子测井响应反演地层横波速度.众所周知，在电缆测井中，人们通常利用偶极子仪器测量软地层的横波速度(Kurkjian and Chang, 1986).于是，人们设想将电缆测井中的多极子技术应用到随钻声波测井中.Tang(2002a)提出利用四极子随钻声波测井测量软地层横波速度，理由有二：第一，地层螺旋波的低频截止频率是地层横波速度；第二，通过增加钻铤厚度，可使钻铤波向高频移动，进而与螺旋波分开.崔志文(2004)获得了类似的结论.但我们注意到四极子随钻声波测井存在以下问题：螺旋波在截止频率附近激发强度很低，必须进行频散校正才能得到横波速度；四极子测井信号较弱(Tang et al., 2002b; 郑晓波, 2012).之后，有学者提出在TI(Transverse Isotropy)地层中，从偶极子随钻声波测井的低阶钻铤波中提取各向同性面内剪切模量(李希强, 2013; Wang et al., 2016).最近，卫建清(2018)提出在TI介质中，利用随钻测井中偏心点声源激发的地层快、慢波速度分别反演软地层各向同性面内剪切模量和面外剪切模量.

众所周知，电缆测井中可以利用TI地层中斯通利波的低频极限速度(White, 1983；Norris, 1989)获得依赖于地层各向同性面内剪切模量的横波速度.其中斯通利波是沿井壁传播的导波，其高频极限速度趋近于平面舒尔特波(Scholte wave)速度，它是单极源激发的舒尔特波.与之类似，在偶极随钻声波测井时，也存在一个频散较弱且高频时趋近于平面舒尔特波速度的导波(Hu et al., 2017)，我们将其称为偶极舒尔特波，在本文中简称舒尔特波.是否可以利用舒尔特波速度反演地层横波速度，需要考虑以下几个问题：首先，能否在全波中观测到与其他模式波在时间上分开的舒尔特波？其次，其幅度是否足够大？只有幅度足够大时，其到时才能被准确地提取，用于计算其速度.再次，舒尔特波速度和地层横波速度是否存在一一对应的关系？最后，舒尔特波速度对横波速度的敏感程度是否远大于其他参数？若是，对其他参数分别取一个合理的假设值，就可以通过舒尔特波速度获得地层横波速度.如果以上问题的答案均为“是的”，利用舒尔特波反演地层横波速度是完全可行的.

文中我们将论述利用偶极随钻声波测井中的舒尔特波反演软地层横波速度的可行性.

1 偶极随钻声波测井中舒尔特波的性质

随钻声测井响应，在频率域上可表达为关于实波数的积分.这个积分可转化为被积函数在极点处的留数和沿割线的积分之和.任一极点处的留数可按(1)式算出，再通过快速傅里叶变换，可得到该极点对应模式波的时域波形，如(2)式(郑晓波, 2017).

(1)

(2)

其中，ω为角频率，S(ω)为声源脉冲的频域表达式；z为接收器距声源的轴向距离，r为接收器距声源的径向距离；ρ_f为井内泥浆的密度；k_z为轴向波数，η_f为井内泥浆径向虚波数(，k_f为井内泥浆波数)，k_pole为极点的波数；D(k_z, ω)是声场系数矩阵的行列式，依赖于频率、波数以及井内外介质和井孔几何特性，被称为声场的特征函数，其零点即为声场的极点，N₈(k_z, ω)和N₉(k_z, ω)分别为声场系数矩阵的第8、9列被声源向量取代后的矩阵行列式的值(郑晓波, 2017)；K_n(η_fr)，I_n(η_fr)均为n阶虚宗量贝塞尔函数，对于偶极源情况，n取1.

由(1)和(2)式可得到舒尔特波的时域波形.图 1给出了舒尔特波与通过实轴积分所得到的全波时域波形，其中蓝色虚线为舒尔特波的时域波形，红色实线为全波的时域波形.计算时采用中心频率为8 kHz的余弦包络脉冲作为声源函数，其频带范围是4~12 kHz，时间脉冲长度为0.5 ms.井孔、钻铤与地层参数由表 1给出.由图 1可知，舒尔特波速度小于其他分波速度，到时为4.1 ms，与其他模式波相分离，容易识别.

由于声场的特征函数D(k_z, w)的零点即为复波数平面内声场表达式的极点，在不同频率下搜索复波数平面上D(k_z, w)的零点，可获得声场表达式的复极点.这些极点的实部对应着各模式波的速度频散曲线，虚部对应着各模式波的衰减频散曲线.

图 2中粗线表示各模式波的相速度，细线表示各模式波的群速度.各个模式波的名称已经在对应曲线旁标出，Scholte表示偶极舒尔特波，Leaky-P表示以地层纵波速度为低频极限的泄漏模式波，其在复波数平面上的极点在纵波波数附近，在下文中称其为泄漏纵波，D1、D2、D3、D4分别是1阶至4阶钻铤波，v_P表示地层的纵波速度，v_f表示井内流体的声速，v_S表示地层的横波速度，v_Sch表示流-固平面分层界面模型的舒尔特波速度.

D2、D3、D4与钻铤置于无限大流体中时对应的2阶、3阶、4阶模式波频散曲线十分接近.D1在低频时受舒尔特波影响产生低频截止现象，其低频截止速度为地层横波速度，在高频时受泄漏纵波的影响产生高频截止现象，因此它只与钻铤置于无限大流体中时的1阶模式波频散曲线的中间频段部分十分接近.泄漏纵波在不同地层参数下，其形态有很大不同，但其低频截止速度均为地层纵波速度.在本算例中，泄漏纵波与钻铤置于无限大流体中时的1阶模式波频散曲线的高频段部分十分接近，可见其与1阶钻铤波的相互影响现象十分明显.这个现象与前人(Tang et al., 2002a; 崔志文, 2004; Sinha et al., 2009)计算的结果不同.前人没有计算泄漏纵波低频部分的频散曲线，使得D1波与泄漏纵波貌似相连，被认为二者共同构成一阶钻铤波.实际上，从计算完整的频散曲线上看，二者的相速度曲线不是相连的，群速度也有明显差异.我们的计算表明，泄漏纵波的低频部分对全波的贡献是不能忽略的(郑晓波, 2017)，而前人忽略了泄漏纵波对井孔声场的影响.

从图 2中可以看出，舒尔特波的速度在15 kHz之前要远小于其他模式波，容易从全波的时域波形中提取，这就解释了图 1中舒尔特波在最后出现的现象.此外，舒尔特波是全频域激发的，当频率在0~3 kHz时，其频散较大，相速度迅速上升至地层横波速度附近，然后略微下降；当频率大于3 kHz时，其频散较小，速度趋于稳定值；随着频率的进一步增加，舒尔特波速度逐渐趋向于平面分层的流固界面模型的舒尔特波速度(Vinh, 2013).这个现象可以这样理解，随着频率增加，波长减小，当频率增加到一定程度后，舒尔特波波长会远小于井孔模型的几何尺寸，此时井孔的柱面分层模型接近于平面分层模型，舒尔特波速度也因此接近于平面分层模型的舒尔特波速度.由于舒尔特波的速度受界面两侧流体和固体参数(包括地层横波速度)的影响，且舒尔特波在较高频时的速度趋于一个稳定值，即平面模型的舒尔特波速度，因此我们可以考虑利用较高频的舒尔特波速度反演地层横波速度.

值得说明的是，前人在随钻测井研究过程中也注意到了这个波.Tang(2002a, 2002b)与崔志文(2004)等类比电缆测井中的地层弯曲波将其称为地层低阶弯曲波，但是我们注意到，这个波与电缆测井中的弯曲波性质有所不同，其低频截止频率不再趋近于地层横波速度；Sinha等(2009)和李希强(2013)则认为此波与钻铤波性质类似，称其为低阶钻铤波，但这种类似只限于低频范围；Wang等(2016)则根据此波低频时接近钻铤波性质，高频时接近地层波性质的特点，将其称为钻铤-地层耦合弯曲波；郑晓波(2017)根据其受两侧流体和固体性质影响的特点将其称为流固界面波.可以看出，这个波呈现复杂的特性，将其简单的归结为地层波或者钻铤波都不准确.而由图 2可以看出，这个波在随钻声波测井仪器工作频率范围(3~20 kHz)内，几乎以流体-固体平面分层界面上的舒尔特波速度传播，因此将其命名为舒尔特波是恰当的.

图 3给出各模式波的衰减曲线，是在不考虑泥浆和地层耗散的条件下计算得到的.可以看出，舒尔特波不因传播而衰减，因此，即使源距较大时(比如4 m)也容易接收到.

图 4显示了各模式波的激发曲线.可见频率在0~8 kHz，舒尔特波激发强度与D1波相近，频率在8~15 kHz，舒尔特波激发强度比D2波和Leaky波小很多.但由于舒尔特波的速度较小，因此在全波中出现较晚，能与其他波分开.

至此，可以在全波曲线中直接观测到舒尔特波，且它不受其他模式波的影响；其幅度足够大，使得到达时间能被准确提取.

2 地层参数对偶极舒尔特波速度的影响

为了考察舒尔特波速度与地层横波速度是否存在一一对应的关系，分别计算了频率在5 kHz，10 kHz，15 kHz的情况下，舒尔特波速度随地层横波速度的变化情况.流体、钻铤和地层的力学与几何参数如表 1所示.自800 m·s^-1到1300 m·s^-1，每隔50 m·s^-1取一个地层横波速度，形成共11组参数.

图 5可以看出随着地层横波速度的增加，舒尔特波速度也在增加.在频率为5 kHz、10 kHz和15 kHz时，二者均一一对应.

此外发现当地层横波速度小于1100 m·s^-1时，舒尔特波速度与地层横波速度呈现线性关系；且对于同一地层横波速度，不同频率下的舒尔特波速度基本相同.当地层横波速度大于1100 m·s^-1时，舒尔特波速度随地层横波速度变化曲线的斜率缓慢降低；从而相对于低速直线的延伸线向下发生了偏离，且低频时偏离略大一些，但对于同一地层横波速度，频率越高，舒尔特波速度越大.这为下一步研究提供了很好的信息.

3 舒尔特波速度的敏感度分析

上述分析证明了舒尔特波与地层横波速度存在一一对应的关系，本节计算舒尔特波对地层横波速度的敏感度.

给出几个计算算例：第一个算例保持其他参数不变，只改变地层横波速度，从1000~1250 m·s^-1每隔50 m·s^-1计算出一条舒尔特波速度频散曲线，其结果如图 6a所示.第二个算例保持其他参数不变，只改变地层纵波速度，从2000~3000 m·s^-1每隔200 m·s^-1计算出一条舒尔特波速度频散曲线，其结果如图 6b所示.在计算第二个算例时，我们开始也将地层纵波速度每50 m·s^-1计算一次，但是6条曲线几乎完全重合在一起，为了方便观察，将增大间距，改为200 m·s^-1.

由图 6a可知，当频率在0~1 kHz时，6条舒尔特波的曲线基本完全重合；当频率大于1 kHz时，随着地层横波速度的增大，舒尔特波的速度明显增大.由图 6b可知，当频率在0~1 kHz时，6条舒尔特波的曲线基本完全重合；当频率大于1 kHz时，随着地层纵波速度的增大，舒尔特波的速度微微增大.

可见，相比于地层纵波速度，地层横波速度对舒尔特波速度的影响更大，进一步详细的分析舒尔特波对模型各项参数的敏感度.

参考前人的工作(Cheng et al., 1982; 何晓, 2010)分别定义舒尔特波的速度(v_Sch)对地层横波速度(v_S)、地层纵波速度(v_P)、地层密度(ρ)、井内泥浆速度(v_f)、井内泥浆密度(ρ_f)以及井孔半径(R)的敏感度，如(3)式所示.其中S代表灵敏度.

(3)

根据上式，分别得到舒尔特波对不同地层参数的灵敏度，如图 7.由图 7可以看出，在软地层中，当频率大于5 kHz时，舒尔特波速度对地层横波速度最为敏感，为0.9左右，而对其他参数的敏感度较小，为0.1左右.可见当其他参数选取合理的假设值时，由舒尔特波反演得到的地层横波速度的误差比较小，具体验证如下.

由敏感度曲线可知，除去地层横波速度，舒尔特波速度对地层密度的敏感度较大，那么当地层密度的输入值有5%的偏差时，获得的地层横波速度会有多大误差呢？

如图 8所示，图 8a表示舒尔特波速度随着横波速度的变化，其中红色实线表示地层密度的输入值是准确的，黑色实线表示地层密度的输入值比准确值小5%，蓝色实线表示地层密度的输入值比准确值大5%.图 8b表示由于地层密度输入值的偏差给地层横波速度的反演所带来的误差，其横坐标与8a图相同.图 8中右侧两个图分别是对图(a)和图(b)对应红框中的局部放大.

从图 8a可以看出，舒尔特波速度随横波速度增加而增加，而且3条线几乎重合在一起，可见地层密度的取值对反演地层横波速度影响不大.在图 8b中可以定量的看出地层密度的取值对反演地层横波速度的影响，这种影响随着横波速度的增加而增大.但是在软地层中地层横波速度不会超过井内泥浆声速(1470 m·s^-1)，因此，反演误差不会超过0.5%，可见地层密度的取值对反演横波速度影响很小.图 8右侧的局部放大图可以清晰的看出这种误差是如何计算的.当我们利用舒尔特波反演地层横波速度时，正常应该在红色实线取点，但由于地层密度输入值的不准确，使得我们在蓝色实线上取得了点，这两点的差与地层横波速度的真实值之商即为在该点的相对误差，由右侧下图可以读出该值.

除此之外，还分析了两种参数的输入偏差给反演地层横波速度带来的影响.由图 7中的灵敏度曲线可知，舒尔特波速度对井内泥浆密度也很敏感，因此计算了两个算例，一是如图 9a所示，地层密度输入值比真实值小5%时，井内泥浆密度也比真实值小5%，如图中黑线所示；地层密度输入值比真实值大5%时，井内泥浆密度也比真实值大5%，如图中蓝线所示.二是如图 9b所示，地层密度输入值比真实值小5%时，井内泥浆密度比真实值大5%，如图中黑线所示；地层密度输入值比真实值大5%时，井内泥浆密度比真实值小5%，如图中蓝线所示.图中红线依旧表示输入的地层密度和井内泥浆密度均为准确值时的结果.图 9c、9d分别表示图 9a、9b对应的地层横波速度的反演误差.

从图 9可知，第一种情况时，舒尔特波速度随横波速度变化的3条曲线几乎重合在一起，产生的误差在0.01%以下.为什么这种情况下反演误差会这么小呢？观察图 7的灵敏度曲线，舒尔特波对地层密度的敏感度为正值，即随着地层密度增加，舒尔特波速度也会增加；而舒尔特波对井内流体密度的敏感度为负值，即随着地层密度增加，舒尔特波速度反而减小.因此当地层密度与井内泥浆密度的偏差方向相同时，两种偏差产生的误差相抵消，所得到的地层横波速度反演结果反而更准确.第二种情况与第一种情况相反，两种参数产生的误差相加，得到的反演结果误差更大，尽管如此，此时的误差仍在1%以下.可见，如果对于其他参数，只取合理的假设值，那么通过舒尔特波获得地层横波速度的方法带来的误差很小，均在1%以下.

4 结论

偶极随钻声波测井时，存在多阶钻铤波、泄漏纵波、舒尔特波.在3~15 kHz的声波测井频率范围内，井中舒尔特波的传播速度接近于流体-固体水平分层界面上的舒尔特波的传播速度.在频率低于3 kHz时，这种波的速度频散很强；但在频率高于3 kHz时，频散十分微弱；频率高于15 kHz时，舒尔特波与钻铤波的艾里相混叠.因此，建议将反演频率设定在3~15 kHz.

计算结果表明，在3~15 kHz的频率范围内，因其速度远小于其他模式波的速度，舒尔特波不受其他模式波的干扰，容易被观测到，其速度可被准确地获得.舒尔特波速度对地层横波速度很敏感，并与横波速度存在一一对应关系，而对其他参数不太敏感.算例表明，当其他参数在合理区间内取任意假设值时，通过舒尔特波反演的地层横波速度的误差均小于1%.