0 引言

地球的内部和外部由岩石组成，岩石是由岩石骨架和孔隙流体组成的二相体.因此，岩石的性质受多种因素的影响，不仅与组成岩石骨架的各种矿物属性相关，还受孔隙度、孔隙形状、孔隙流体类型、流体黏性等因素影响.地震波在这样的岩石中传播时，会表现出复杂多样的反射和透射特征，这些特征携带了大量的岩石和孔隙流体属性信息，这些信息在一定程度上反映了含油气储层特征.因而开展含黏性流体孔隙介质分界面上反透射系数特征研究，对于识别含油气性储层、分析含油气储层的性质和分布、提高油气田勘探开发水平具有重要意义.

自Biot(1941, 1956, 1957, 1962)奠定了含流体孔隙介质弹性波传播理论以来，国内外专家学者对此展开了深入研究.Lovera(1987)针对饱和流体孔隙介质分解面上反透射问题涉及到的边界条件进行了分析；Sharma和Gogna(1990)对柱面弹性波在饱和流体孔隙介质中的传播特性展开了讨论；Vashisth等(1991)分析了上层为单相介质、下层为含饱和流体孔隙介质分界面上的反透射问题；Denneman等(2001, 2002)讨论了含饱和流体孔隙介质分界面上的反透射特征; 印兴耀等(2014, 2015, 2016)和Zong等(2016)根据含流体孔隙介质理论构建岩石物理模型，并进一步探讨了基于数据驱动和模型驱动的地震流体识别方法；Dai等(2006)研究了单孔饱和流体孔隙介质和双孔饱和流体孔隙介质分界面上地震波的反透射特征；牟永光(1996)推导出含理想流体孔隙介质分界面上的反透射系数方程；Silin等(Silin et al., 2004; Silin and Goloshubin, 2010)推导出地震波垂直入射到含黏性流体孔隙介质分界面上的反透射系数低频渐近式；Sahay等(Sahay et al., 2001; Sahay, 2008)认为地震波在含黏性流体孔隙介质中传播时存在慢横波，并给出了快、慢横波速度表达式；Corredor等(2014)讨论了存在夹层、并且涉及到三种不同孔隙介质的地震波响应问题；Tuncay和Corapcioglu(1996)针对体波在含两项不混合流体孔隙介质中的传播特性进行了深入研究；Tuncay和Corapcioglu(1997)及Lo等(2005)利用平均体积法对地震波在含两项不混合流体孔隙介质中的传播特征进行了分析.

本文在Silin和Goloshubin(2010)及Sahay(2008)等人研究成果的基础上，推导出含黏性流体孔隙介质分界面上的反透射系数方程.并且根据已有文献中的岩石骨架和孔隙流体参数，建立上层饱含油、下层饱含盐水的砂岩孔隙介质模型.分别基于不同频率和不同黏滞系数，分析反透射系数随入射角的变化，研究对反透射系数特征的影响.

1 含黏性流体孔隙介质基本理论

在前人研究成果的基础上，首先给出含黏性流体孔隙介质的应变与位移、应力与应变关系，再基于Silin反射系数近似理论和Sahay慢横波理论分析含黏性流体孔隙介质分界面上的反透射情况，最后根据八个边界条件推导出含黏性流体孔隙介质分界面上的反透射系数方程.

1.1 含黏性流体孔隙介质应变与位移关系

在含黏性流体孔隙介质中，假设岩石骨架位移和孔隙流体位移分别为u=[u_x, u_y, u_z]、U=[U_x, U_y, U_z], 其中u_x、u_y、u_z分别为岩石骨架沿x、y、z方向的位移分量，U_x、U_y、U_z分别为孔隙流体沿x、y、z方向的位移分量.与单相介质理论相似，可以将含黏性流体孔隙介质中岩石骨架位移(及孔隙流体位移)与应变的关系表示成以下形式：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

其中，e_xx、e_yy、e_zz分别为岩石骨架沿x、y、z方向的主应变，e_yz、e_xz、e_xy分别为岩石骨架沿x、y、z方向的切应变，e为岩石骨架的体应变.类似地，可以将孔隙流体沿x、y、z方向的主应变分别表示为E_xx、E_yy、E_zz，孔隙流体的体应变为E.

1.2 含黏性流体孔隙介质应力与应变关系

与单相介质类似，含黏性流体孔隙介质岩石骨架的应力与应变关系可以表示成以下形式：

(6)

(7)

其中，σ_x、σ_y、σ_z分别为沿x、y、z方向的主应力，τ_yz、τ_xz、τ_xy分别为沿x、y、z方向的切应力，拉梅常数, K、μ分别为岩石骨架的体积模量和剪切模量.

黏性孔隙流体对岩石骨架的作用力可以表示成以下形式：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

其中，σ^p和σ^f分别为黏性孔隙流体对岩石骨架作用的主应力和切应力；为黏性流体相对于岩石骨架的位移速度，W_x、W_y、W_z分别为沿x、y、z方向的相对位移速度；P为孔隙流体静压力，I为三维单位矩阵；τ为流体流动的非平稳效应和流体惯性，τ^*是一个与时间相关的参数；α和M为Biot参数，φ=φ₀η，φ₀为孔隙因子；κ和η分别为岩石渗透率和孔隙流体黏滞系数，ρ_f为孔隙流体密度，为岩石骨架加速度；f为岩石孔隙度，w=f(U-u)为孔隙流体相对于岩石骨架的位移.

1.3 含黏性流体孔隙介质反透射情况

Biot从弹性势能角度出发证明了慢纵波的存在，Sahay指出地震波在含黏性流体孔隙介质中传播时会产生慢横波.因此，地震波倾斜入射至含黏性流体孔隙介质分界面上时，在上下层孔隙介质中会产生快慢反射纵波、快慢反射横波、快慢透射纵波及快慢透射横波，介质分界面上的反透射情况如图 1所示.

假设入射波为快纵波φ₁，其对应的岩石骨架位移可以表示为

(13)

其中，j表示虚数符号，ω为入射波的频率，A₁为入射波的位移振幅，，α₀为入射角，v_p11为上层孔隙介质的快纵波速度.孔隙流体相对于岩石骨架的位移可以表示成类似的形式，但是其位移振幅为.

在上下层孔隙介质中，反透射快慢纵波的岩石骨架位移和快慢横波的岩石骨架位移分别可以表示为

(14)

(15)

(16)

(17)

其中，下标i=1表示上层反射波，i=2表示下层透射波，k=1表示快纵波(或快横波)，k=2表示慢纵波(或慢横波).φ_ik为基于纵波的岩石骨架位移，ψ_ik为基于横波的岩石骨架位移，A_ik、B_ik分别为纵波和横波的位移振幅，α_ik、β_ik分别为纵波反射角(或透射角)和横波反射角(或透射角)，v_pik、v_sik分别为上下层孔隙介质对应的快、慢纵波速度和快、慢横波速度.

孔隙流体相对于岩石骨架的位移可以表示成与岩石骨架位移类似的形式，但需将纵波和横波的位移振幅分别替换为.

1.4 孔隙介质分界面上反透射系数方程

本节推导含黏性流体孔隙介质分界面上的反透射系数方程.由于流体存在黏性，孔隙流体存在切向应力和切向位移，因此可以建立以下八个边界条件.

① 岩石骨架法向位移连续[u_z]₁=[u_z]₂；

② 岩石骨架切向位移连续[u_x]₁=[u_x]₂；

③ 岩石骨架和黏性流体的法向总应力连续；

④ 岩石骨架和黏性流体的切向总应力连续；

⑤ 黏性流体法向流量连续[f(u_z-U_z)]₁=[f(u_z-U_z)]₂；

⑥ 黏性流体切向流量连续[φf(u_x-U_x)]₁=[φf(u_x-U_x)]₂；

⑦ 黏性流体静压力连续[P]₁=[P]₂；

⑧ 黏性流体切向应力连续.

其中，σ_z^p表示σ^p在z方向上的应力分量，σ_xz^f表示σ^f在x-z平面上的切应力分量，，[·]₁、[·]₂分别表示上、下层孔隙介质.

将含黏性流体孔隙介质应变-位移关系(1)—(5)式、应力-应变关系(6)—(12)式及岩石骨架位移和孔隙流体位移的表达式(13)—(17)代入以上边界条件，可得出含黏性流体孔隙介质分界面上的反透射系数方程：

(18)

其中，R_P11、R_P12、R_S11、R_S12分别依次表示快、慢纵波反射系数和快、慢横波反射系数，T_P21、T_P22、T_S21、T_S22分别表示快、慢纵波透射系数和快、慢横波透射系数.方程中其他参数描述如下：

2 含黏性流体孔隙介质模型

本文参考Denneman等(2002)、Ren等(2009)、Teng等(2013)、Zhao等(2015)等文献，建立上层饱含油、下层饱含盐水的砂岩孔隙介质模型，并且假定孔隙流体(油和盐水)都为牛顿流体，具体参数如表 1所示.同时建立相应的等效砂岩介质模型，参数如表 2所示.

表中，K_d、K_s、K_f分别表示砂岩骨架体积模量、砂岩基质体积模量及孔隙流体体积模量，μ_d、μ_s分别为砂岩骨架剪切模量和砂岩基质剪切模量，ρ_s、ρ_f分别为砂岩密度和孔隙流体密度，f是孔隙度，κ、η分别为砂岩渗透率和孔隙流体黏滞系数，S、φ₀分别表示曲折度和孔隙因子.

3 数值分析

为研究含黏性流体孔隙介质分界面上的反透射特征，我们首先分析了该分界面上反透射系数随入射角和频率的变化；然后对几个特定频率情况下，反透射系数随入射角的变化规律进行了讨论；最后分析上层介质饱含的流体为不同黏性时，反透射系数随入射角的变化，并与等效介质模型对应的反透射系数进行了对比分析.图 2—4中各子图，(a)快纵波反射系数，(b)快纵波透射系数，(c)快横波反射系数，(d)快横波透射系数，(e)慢纵波反射系数，(f)慢纵波透射系数，(g)慢横波反射系数，(h)慢横波透射系数.

(1) 基于不同频率的快慢纵横波反透射系数特征

图 2为快纵波入射时，含黏性流体孔隙介质分界面上的反透射系数随入射角和频率的变化.其中，入射角范围为0°~90°，入射波的频率范围为20~100 Hz.分析图 2可知：1)快慢纵波(或横波)的反透射系数在数值上存在很大差异.以本文建立的孔隙介质模型为例，快纵波和快横波的反透射系数数值范围为-2~2(图 2a—2d)，慢纵波的反透射系数值比快纵波(或快横波)小6~7个数量级，而慢横波的反射和透射系数值分别比快纵波(或快横波)小12和4个数量级. 2)总体而言，快纵波和快横波的反透射系数受入射角变化的影响比较大，而对入射波的频率(20~100 Hz)相对不敏感(图 2a—2d); 慢纵波和慢横波的反透射系数不仅受入射角变化的影响，而且对入射波的频率比较敏感(图 2e—2h).

为进一步研究入射波的频率对反透射系数的影响，我们选取不同频率情况下，快慢纵横波反透射系数随入射角的变化进行分析，如图 3所示.图中，红、绿、蓝色实线表示入射波的频率分别为30 Hz、50 Hz、70 Hz时对应的快慢纵横波反射或透射系数.研究表明：1)快纵波反透射系数受入射波频率的影响较小(图 3a和3b)，快横波反透射系数在一定入射角范围内受入射波频率的影响相对较大(图 3c和3d).这是由于产生快横波的总切应力中包含了黏性流体产生的切应力，该应力直接与入射波的频率相关，受其影响较大.2)地震波倾斜入射时，由于孔隙流体及其黏性的存在，使孔隙介质分界面上出现慢纵波和慢横波的反透射，并且孔隙流体及其黏性与速度的频散相关，因此两类慢波的反透射系数受入射角和入射波频率影响都很大(图 3e—3h).3)与岩石骨架对快纵波(或快横波)反透射的贡献相比，孔隙流体及流体黏性对慢纵波(或慢横波)反透射的贡献要弱得多，再加上黏性流体对两类慢波的吸收与衰减作用，导致其反透射系数值极小(图 3e—3h).

(2) 基于流体不同黏性的反透射系数特征

孔隙流体为不同黏性时，孔隙介质分界面上反透射系数随入射角的变化规律，如图 4所示.图中，红、绿、蓝色实线表示黏滞系数分别为1.0 cP、3.0 cP、5.0 cP时，含黏性流体孔隙介质分界面上的反射或透射系数；黑色实线表示等效介质模型对应的反射或透射系数.孔隙介质中，快纵波、快横波的反透射系数分别与等效介质纵、横波的反透射系数相对应(图 4a—4d).由图 4可知：1)含黏性流体孔隙介质分界面上和等效介质分界面上的反透射系数随入射角的变化趋势基本一致，这说明方程推导和数值计算的正确性.2)在一定入射角范围内，快纵波反透射系数(图 4a、4b)随黏滞系数的增加而增加，但并不明显；快横波反透射系数(图 4c、4d)随黏滞系数的增加而发生极性翻转，并且对于较大黏滞系数，快横波透射系数值会在20°入射角处出现低谷值.3)快横波的反透射系数与孔隙介质分界面上的总切应力相关，而该应力包含了岩石骨架切应力和黏性流体切应力两部分，并且后者是黏滞系数的函数.因此与快纵波反透射系数相比，快横波反透射系数受流体黏性的影响较大(图 4a—4d).4)入射角为0时，快横波反透射系数(图 4c、4d)和慢横波反透射系数(4g、4h)值都为0，即地震波垂直入射在孔隙介质分界面上时，不存在快慢横波的反射和透射，这进一步说明所推方程式的正确性.5)由于孔隙流体的存在才使孔隙介质分界面上产生慢纵波的反透射(图 4e、4f)，又因为孔隙流体存在黏性才导致分界面上出现慢横波的反透射(图 4g、4h)，因此虽然慢纵波、慢横波的反透射系数数值很小，但受孔隙流体和流体黏性的影响很大(图 4e—4h).

随着油气勘探的深入，对勘探精度的要求越来越高，油水识别成为目前勘探的难点.地震波由地下传播到地表时会携带大量有效信息，这些信息被隐藏在叠前地震数据中，然而这些数据并没有被充分利用.充分挖掘这些数据信息，分析不同黏滞系数情况下，快纵波和快横波的反射系数随入射角的变化，可以定性区分油水.以快横波反射系数随入射角的变化(图 4c)为例，若快横波反射系数峰值两侧的旁瓣比较平缓(蓝色实线)，则说明孔隙流体为高黏性流体-油；若其峰值两侧旁瓣较凹陷(红色实线)，则说明孔隙流体为低黏性流体-盐水.当然，产生类似反射系数特征的因素有很多，应用时需结合实际工区资料具体分析.

4 结论

本文以Biot孔隙介质理论、Silin反射系数近似理论、Sahay慢横波理论为基础，推导出快纵波倾斜入射至含黏性流体孔隙介质分界面上的反透射系数方程.通过建立含黏性流体砂岩孔隙介质模型，分别分析不同频率、不同黏滞系数情况下，反透射系数随入射角的变化特征.由于考虑了黏性流体产生的切向应力对反透射波的作用，在一定入射角范围内，快横波比快纵波更易受入射波频率和流体黏性的影响.孔隙流体及黏性的存在使孔隙介质分界面上出现了慢纵波和慢横波的反透射，并且黏性流体对地震波有吸收衰减作用，因此慢纵波和慢横波的反透射系数受入射角、频率及流体黏性的影响都很大.地震波在地下介质中传播时受岩石骨架和孔隙流体的影响会呈现出复杂的变化，开展地震波在含黏性流体孔隙介质分界面上的反透射系数特征研究，对于分析地下岩石骨架和孔隙流体性质、充分挖掘叠前地震数据信息、进一步解决油水识别难题具有重要意义.