2019, Vol. 62
2. 中国石油化工股份有限公司勘探分公司, 成都 610041
2. SINOPEC Exploration Company, Chengdu 610041, China
页岩储层的密度参数是评价页岩品质的重要敏感参数.Schmoker(1979)在分析Assam盆地泥盆系页岩的岩心测试数据中发现了密度与总有机碳含量(TOC)的负相关关系，并用于测井TOC解释.Alfred和Vernik(2013)基于北美页岩研究发现，随TOC增加，密度显著降低.Lim等(2017)在Delaware盆地也发现了密度与TOC的负相关关系.国内，陈祖庆(2014)、陈胜等(2017)分别在四川盆地南部焦石坝区块与长宁区块勘探中发现，密度随孔隙度、含气量、TOC的增加明显降低，此外TOC与含气量、硅质矿物含量也具有良好的相关性(刘若冰, 2015).国外页岩气田中纵波阻抗/纵波速度与TOC相关性较好，多采用纵波阻抗反演或纵波速度反演进行TOC预测(Løseth et al., 2011)，而国内页岩气实际资料显示，纵波速度与纵波阻抗等弹性参数与TOC的相关性较差(陈祖庆, 2014; 陈胜等, 2017)，需要开展密度反演进行TOC定量预测.重力勘探是获得密度信息的有效方法(舒梦珵和王彦飞, 2015)，但重力勘探精度远低于页岩储层评价所需的精度，通过叠前地震资料反演获得稳定的、高精度的密度反演结果成为了页岩气地球物理预测评价的重要研究方向.
目前的叠前反演方法众多，大多是基于Zoeppritz方程(Zoeppritz, 1919)及其近似式(Aki and Richards, 2002; Shuey, 1985; Fatti et al., 1994; Gray et al., 1999)开展的.近些年来，为减小间接计算引起的累计误差，提高储层预测精度，不同参数化的近似方程层出不穷，如YPD(杨氏模量、泊松比、密度)近似方程(宗兆云等, 2012)，流体体积模量近似方程(Yin and Zhang, 2014)，两项近似方程(Liu and Yin, 2014)等，极大地推动了叠前储层预测技术的进步.由于所用叠前道集资料的信噪比一般较低，常规的最小二乘反演方法通常表现出病态特征，为提高反演稳定性与精度，不同的反演算法应运而生.Downton(2005)基于贝叶斯理论引入先验信息开展了大量的AVO反演研究；Zong等(2012)引入模型先验信息开展叠前反演；利用稀疏正则化开展地震反演也取得了较好的应用效果(Liu and Yin, 2015; 刘晓晶等, 2016; 印兴耀等, 2016; 刘晓晶等, 2015).此外由于弹性阻抗(Elastic Impedance，简称EI)(Connolly, 1999; Whitcombe, 2002)以及进一步发展得到的扩展弹性阻抗(EEI)(Whitcombe et al., 2002)反演方法简洁、高效、抗噪性强，在估算储层岩石物理参数以及储层识别等方面取得良好的效果，得到了广大地球物理工作者的青睐(印兴耀等, 2014; 陈怀震等, 2014; 刘晓晶等, 2016；Aleardi, 2018; Alebouyeh and Chehrazi, 2018)，是当前广为应用的叠前反演方法.
尽管叠前反演方法得到了较快发展，但大多数学者仍认为获得稳定的、高精度的密度反演结果难度较大.Lines(1999)基于Fatti近似方程(Fatti et al., 1994)分析了密度敏感性，认为密度对反射系数的贡献相对纵波阻抗、横波阻抗较小，无法获得稳定的反演结果.Zong等(2015)基于Aki-Richards近似方程的分析表明密度对反射系数的贡献仅次于纵波速度，但其与Gidlow等(1992)、Downton(2005)等人的观点一致，也认为纵横波速度与密度之间存在相关性导致密度反演稳定性较差.尽管如此，国内外一些专家学者对密度反演这一难题进行了研究探索.Kabir等(2000)、Kabir等(2005)与Behura等(2010)分别对密度稳定反演可能性进行了研究，认为利用高阶近似方程、具有大角度入射地震资料、界面两侧密度差异较大则可以获取可靠的密度反演结果.针对模型参数之间的相关性问题，Buland和Omre(2003)基于贝叶斯理论引入参数之间统计相关关系约束提高反演稳定性；Alemie和Sacchi(2011)提出了三元柯西分布与参数间协方差矩阵约束，提高密度反演的精度.Sharma和Chopra(2015)基于扩展弹性阻抗对叠前密度反演方法进行了研究.
随着中国页岩气勘探开发的蓬勃发展，密度作为评价页岩的重要参数，尽管前期专家学者在密度反演方面做了大量的工作，但其稳定性与精度仍需要进一步的深入研究.考虑弹性阻抗反演稳定性强、效率高的优势，本文采用弹性阻抗反演开展密度反演研究.首先通过对公开发表的弹性阻抗方程中的密度敏感性进行分析，优选密度敏感性最高的方程作为反演方程，利用待定系数法建立密度与弹性阻抗的加权关系，通过测井数据与井旁道弹性阻抗反演数据回归约束求取加权系数，利用加权系数与弹性阻抗反演体实现密度稳定反演.最后通过模型测试和涪陵页岩气田焦石坝区块应用实践验证本方法的可靠性.
1 基于弹性阻抗方程的密度反演敏感性分析Connolly(1999)类比叠后反射系数的定义方式提出了弹性阻抗的概念，并基于Aki-Richards近似方程推导了弹性阻抗方程.Whitcombe(2002)对Connolly弹性阻抗方程进行了标准化处理，使其与纵波阻抗具有一致的量纲：
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(1) |
式中，θ为入射角，VP为纵波速度，VS为横波速度，ρ为密度，VP、VS、ρ分别为地层界面两侧的纵波速度、横波速度、密度的平均，EI(θ)为弹性阻抗，K为横、纵波速比的平方.
借鉴Connlly和Whitcombe的思想，基于Zoeppritz方程不同近似公式的弹性阻抗方程被推导得到，如Fatti近似弹性阻抗方程(王保丽等, 2008)、Gray近似弹性阻抗方程(王保丽等, 2007; Wang et al., 2006)，宗兆云近似(杨氏模量-泊松比-密度近似)弹性阻抗方程(Zong et al., 2013)、Russell近似弹性阻抗方程(印兴耀等, 2010)等.为了比较这些弹性阻抗方程对密度参数的敏感性，利用JY1井实测的纵波速度、横波速度、密度设计了测试模型(表 1)，各层段的纵波速度、横波速度、密度为测井数据的平均值.根据纵波速度、横波速度、密度三个基本弹性参数可以计算得到其他弹性参数，如纵波模量、剪切模量、杨氏模量、泊松比等.对优质页岩层中这些弹性参数进行扰动(扰动范围为-20%~20%，步长为4%)，并代入上述弹性阻抗方程中，得到弹性参数扰动下的弹性阻抗曲线(图 1—6，虚线为模型参数在未扰动情形下的弹性阻抗曲线，实线为参数扰动时的弹性阻抗曲线).弹性参数发生扰动时，弹性阻抗的变化差异越大则表明该弹性参数对弹性阻抗的贡献越大，反演的稳定性也越高，即敏感性越强.观察图 1—6可以发现，纵波速度与纵波阻抗的敏感性相对较高，这也是其反演较为稳定的主要原因.但密度作为这些方程中的公共参数，在不同的方程中具有不同的敏感性.在入射角小于40°范围内，基于Aki-Richards近似的弹性阻抗差异性最为明显，基于Fatti近似的弹性阻抗方程的密度敏感性最低，这是基于该方程密度反演不稳定的主要原因.基于Gray近似、宗兆云近似的弹性阻抗方程密度敏感性基本相当，高于Fatti近似弹性阻抗方程，Russell近似弹性阻抗方程略高.综合对比，基于Aki-Richards近似的弹性阻抗扰动最大，表明该方程中密度的敏感性最高，因此，本文选择其用于密度反演方法研究.
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图 1 Aki-Richards近似弹性阻抗对纵波速度(a)、横波速度(b)、密度(c)的敏感曲线 Fig. 1 The Aki-Richards approximation elastic impedance curves when (a) P-velocity, (b) S-velocity, (c) density perturbed |
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图 2 Fatti近似弹性阻抗对纵波阻抗(a)、横波阻抗(b)、密度(c)的敏感曲线 Fig. 2 The Fatti approximation elastic impedance curves when (a) P-impedance, (b) S-impedance, (c) density perturbed |
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图 3 Gray近似弹性阻抗对拉梅参数(a)、剪切模量(b)、密度(c)的敏感曲线 Fig. 3 The Gray approximation elastic impedance curves when (a) Lame parameter, (b) shear modulus, (c) density perturbed |
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图 4 Gray近似弹性阻抗对体积模量(a)、剪切模量(b)、密度(c)的敏感曲线 Fig. 4 The Gray approximation elastic impedance curves when (a)bulk modulus, (b)shear modulus, (c)density perturbed |
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图 5 宗兆云近似弹性阻抗对杨氏模量(a)、泊松比(b)、密度(c)的敏感曲线 Fig. 5 The Zong approximation elastic impedance curves when (a) Young′s modulus, (b) Poisson ratio, (c) density perturbed |
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图 6 Russell近似弹性阻抗对孔隙流体模量(a)、剪切模量(b)、密度(c)的敏感曲线 Fig. 6 The Russell approximation elastic impedance curves when (a)pore/fluid modulus, (b)shear modulus, (c)density perturbed |
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表 1 JY1井各层段实测的纵波速度、横波速度、密度 Table 1 The P-velocity, S-velocity and density of well JY1 |
(1) 式所示的弹性阻抗方程中包含纵波速度、横波速度、密度三个未知参数，至少需要三个角度弹性阻抗数据体，方能对纵波速度、横波速度、密度进行反演.首先，对(1)式中的常数项进行合并得到：
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(2) |
其中，
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(3) |
将A(θ)移至方程的左侧，令EIA(θ)=EI(θ)/A(θ)，并完成线性化处理得到：
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(4) |
令Le(θ)=lnEIA(θ)，Lp=lnVP，Ls=lnVS，Ld=lnρ，则上式可以表示为：
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(5) |
求解上式至少需要三个角度，通常的求解方式是将角度信息带入cp(θ)、cs(θ)、cd(θ)并结合各角度反演得到的弹性阻抗数据体联立方程组，进而求解得到纵横波速度以及密度参数.在m≥3个入射角，采样点个数为n时求解方程可以写作矩阵-向量的形式：
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(6) |
其中，
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(7) |
阻尼最小二乘法是求解(6)式最常见的方法：
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(8) |
其中，β为阻尼因子，I3n×3n为3n×3n单位矩阵.为了增强稳定性，通常会加入低频趋势约束提高反演的稳定性：
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(9) |
其中，Mp、Ms、Md分别纵波速度、横波速度、密度低频趋势模型，βp、βs、βd分别为纵波速度、横波速度、密度的模型约束系数，In×n为n×n的单位矩阵，kron(·, ·)为克罗内克(Kronecker)积算子.
上述弹性参数反演方法采用总体误差作为算法收敛标志，当整体收敛时可能数量级较小的密度参数仍未达到收敛标准，从而使得密度反演不稳定.同时公式(9)中涉及到大型矩阵的求逆计算，效率低.为了提高密度反演的稳定性与效率，令D=C-1，对于任意一个采样点有：
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(10) |
根据上式可以将纵波速度、横波速度、密度分别表示为弹性阻抗的加权解析方程：
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上式将各弹性参数(取对数)均独立地表示为各角度弹性阻抗(取对数)的加权和，从该式可看出需要有足够多的入射角信息，且入射角足够大，才能充分利用弹性阻抗随入射角的变化信息实现稳定的反演，其中加权系数为dj(θi)(i=1, 2, …, m; j=p, s, d)，但其是未知的，因此利用(11)式进行纵波速度、横波速度、密度反演的关键是加权系数的求取.
从井震匹配的角度看待(11)式，即井旁道弹性阻抗(取对数)的加权和应与测井弹性参数曲线(取对数)相一致，因此可以利用井旁道弹性阻抗反演结果与测井曲线回归求取加权系数.在m个入射角、n个时间采样点情形下，dj(θi)(i=1, 2, …, m; j=p, s, d)求取的目标泛函为：
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(12) |
上式中，j=p, s, d，根据反演的目标不同分别取不同的值；Le为井旁道弹性阻抗组成的矩阵，Lj(j=p, s, d)为测井曲线向量，具体表达式为：
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特别地，当求取密度对应的弹性阻抗加权系数时，其求解方程为：
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(13) |
(12) 与(13)中η≥0为正则参数，控制求解的稳定性.将求得的加权系数代入(11)式中即可反演得到纵波速度、横波速度、密度.反演过程中各参数相互独立，密度反演不受其他参数的影响，且以测井资料为匹配目标，因此，通过上述反演方法可提高密度反演的稳定性与精度.由于该方法首先假设了(6)式中系数矩阵可逆，并通过井旁道弹性阻抗与测井资料回归约束求取得到，因此将该方法称之为待定系数法.
3 模型测试为了验证文中提出的新方法的有效性，利用涪陵页岩气田JY1井的测井资料作为真实模型开展有效性实验.首先将已知井曲线(纵波速度、横波速度、密度)代入式(1)计算得到10°、20°、30°三个角度的弹性阻抗曲线(图 7a)，并分别加入信噪比(S/N)为20:1与10:1噪声(图 7b—c).利用常规方法与本文提出的新方法分别反演得到纵波速度、横波速度、密度，如图 8—10.图中黑色曲线为真实的井曲线，绿色曲线为常规方法的反演结果，红色曲线为本文提出的新方法反演结果.
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图 7 弹性阻抗合成结果 (a)无噪声; (b) S/N=20:1; (c) S/N=10:1. Fig. 7 The synthetic elastic impedances (a) Free noise; (b) S/N=20:1; (c) S/N=10:1. |
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图 8 无噪声情形下反演结果对比 (a)纵波速度; (b)横波速度; (c)密度. Fig. 8 The inverted results based on elastic impedance with free noise (a) P-velocity; (b) S-velocity; (c) Density. |
为定量地表征新方法与常规方法的反演精度，计算了不同信噪比时常规方法与本文提出的新方法的反演相对误差，如表 2所示.无噪声情形下，常规方法与新方法的反演结果均具有较高的精度(图 8)，从表 2可看出新方法的纵波速度和密度反演结果要优于常规方法，尤其是重点研究的密度，精度得到了有效的提高，横波速度的精度要略微低于常规方法.信噪比为20:1时，常规方法的密度反演结果出现明显的不稳定，与实际资料差异较大，而新方法仍具有较高的稳定性与精度(图 9、表 2).进一步增加噪声，信噪比为10:1时，纵波速度、横波速度、密度反演精度与稳定性均表现出一定的降低，但是，新方法相比常规方法的稳定性和精度更高，尤其是密度反演表现出较强的抗噪性能，更能适应真实的地下情况(图 10、表 2).因此，利用本文的方法可以稳定、可靠地反演得到密度信息.
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图 9 信噪比为20:1情形下反演结果对比 (a)纵波速度; (b)横波速度; (c)密度. Fig. 9 The inverted results based on elastic impedance with S/N=20:1 (a) P-velocity; (b) S-velocity; (c) Density. |
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图 10 信噪比为10:1情形下反演结果对比 (a)纵波速度; (b)横波速度; (c)密度. Fig. 10 The inverted results based on elastic impedance with S/N=10:1 (a) P-wave velocity; (b) S-wave velocity; (c) Density. |
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表 2 常规方法与新方法反演结果相对误差对比表(单位：%) Table 2 Comparison of the relative error between the conventional method and the new method inversion (unit:%) |
将本文提出的叠前密度稳定反演方法应用于涪陵页岩气田焦石坝工区中.该区奥陶系五峰组(O3w)-志留系龙马溪组一段(S1l1)发育一套含气泥页岩层，下伏地层为奥陶系灰岩地层，上覆地层为龙马溪组二段致密砂泥岩地层.五峰组-龙马溪组一段又可细分为三个亚段，自下而上分别为一亚段、二亚段、三亚段，一亚段与三亚段属于深水陆棚沉积，二亚段属于浅水陆棚沉积，其中，一亚段为TOC≥2%的优质泥页岩层，是目前勘探开发的最有利层段.龙马溪组一段整体上TOC表现出自上而下递增的趋势，密度与TOC呈负相关，表现出递减的趋势(图 11).
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图 11 JY1井O3w-S1l1综合评价图 Fig. 11 The comprehensive evaluation of TOC of O3w-S1l1 of Well JY1 |
该区志留系地震资料入射角较大，达38°，并且在反演之前进行了噪声去除、剩余时差校正，能量补偿等道集优化处理，保证了叠前反演具有优质的道集数据基础.图 12a-b分别为过JY1井与JY2井常规三参数同时反演与新方法反演的密度剖面，其中JY1井为已知井，JY2井作为验证井.从两图对比可以看出，两种方法均能有效地预测五峰组-龙马溪组一段低密度泥页岩的展布，但新方法在密度变化趋势及页岩层内部小层的边界刻画上更加精细，与实际情况更为吻合(图 11，图 12).提取JY1井与JY2井的井旁道密度反演结果与实际测井曲线进行对比，如图 13—14所示，JY1井常规方法反演的密度曲线与实际密度曲线差异明显，预测精度较低，新方法却能很好地反映页岩地层密度的变化趋势(图中黑色箭头)及细节变化特征，且具有较高的分辨率(图 13).验证井JY2井的预测结果也证实了新方法密度反演的精度更高(图 14).
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图 12 过JY1井-JY2井连井密度反演剖面 (a)常规方法; (b)新方法. Fig. 12 The cross-sectional density inversion profile of Well JY1 and JY2 by (a) conventional method, (b) new method |
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图 13 JY1井井旁道密度反演曲线与密度测井曲线对比 (a)常规方法; (b)新方法. Fig. 13 Comparison density inversion results between (a) conventional method and (b) new method at Well JY1 |
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图 14 JY2井井旁道密度反演曲线与密度测井曲线对比 (a)常规方法; (b)新方法. Fig. 14 Comparison density inversion results between (a) conventional method and (b) new method at Well JY2 |
将密度反演结果代入陈祖庆(2014)所建立的如(14)式所示的TOC地震预测模型，实现TOC定量预测，预测结果如图 15所示.
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图 15 基于新的密度反演方法得到的过JY1井-JY2井连井TOC预测剖面图 Fig. 15 The cross-sectional TOC prediction profile of Well JY1 and JY2 by the proposed new method |
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(14) |
式中，ρ为地层密度.
从图 15中可以看出，预测TOC自上而下呈现出递增的趋势，能够高精度地反映TOC大于2%的优质页岩层.提取JY1井与JY2井井旁道TOC预测结果与测井解释TOC进行对比分析(图 16)，无论是参与反演的JY1井还是作为验证的JY2井的TOC预测结果均与测井解释结果相一致.
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图 16 (a) JY1井与(b)JY2井地震TOC预测结果与测井解释解释TOC对比 Fig. 16 Comparison between seismic TOC prediction results and well interpretation results at (a) Well JY1, (b) Well JY2 |
综上所述，新方法的稳定性、分辨率及精度更高，验证了该方法在密度反演方面的优越性.
5 结论(1) Zoeppritz不同近似公式的弹性阻抗方程对密度参数的敏感性不同，实际页岩地质模型对比分析表明，基于Aki-Richards近似的弹性阻抗方程对密度敏感性较高.叠前反演方程的优选可有助于提高密度反演的精度.
(2) 探索提出了一种稳定的叠前地震密度反演方法，在反演过程中密度反演不受纵横波速度的影响，且以测井曲线为匹配目标，反演稳定性与精度均得到提高.模型测试与在涪陵页岩气田焦石坝地区的应用实践表明，新方法对页岩层内幕细节的刻画更加精细，进一步验证了该方法的优越性.
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