0 引言

渗透率是表征储层特性的重要参数之一，目前普遍应用电缆测井作为储层渗透率计算的主要方法.然而，在深水和高温、高压井中，由于作业风险大、成本高，岩心实物资料无法普遍获取；深水井中由于必须使用高矿化度钻井液防水合物，核磁共振测井也无法适用；中子密度测井在进行渗透率计算时需要考虑放射源作业风险.针对以上问题，本文提出利用随钻声波测井数据评价地层渗透率的方法，在不增加现场测井作业成本的情况下，进一步挖潜声波波形数据信息.

在常用的声波测井模式中(单极子、偶极子和四极子)，单极子源激发的斯通利波是一种以井内流体为载体的低频压力波，其对井中流体与地层孔隙流体之间的压力传递非常敏感，因而对地层渗透率的灵敏度最高.在传统的电缆声波测井中，斯通利波常被用来进行地层的渗透率评价.目前，国内外很多学者已经建立了一些理论模型用以模拟分析渗透率对声波在介质中传播的影响(Biot, 1956a, b，1962；Rosenbaum，1974；Schmitt，1988).在理论模拟的基础上，Williams等(1984)最早提出可根据斯通利波速度和振幅与地层渗透率的相关性评估渗透率.王克协和董庆德(1986)对渗透性地层油井中的声场进行了理论分析，指出斯通利波的振幅变化对孔隙度和渗透率均较为敏感.Tang等(1991, 1998)、Tang和Cheng(1993, 1996)提出一种简化的Biot-Rosenbaum理论研究动态渗透率与斯通利波之间的关系，并利用斯通利波的频移和时滞来反演渗透率.张碧星等(1995)对双相介质井孔多极声波测井进行了理论分析和全波计算.伍先运等(1995)建立了利用斯通利波反演渗透率的图版，并开展了相应的应用研究.候春会等(1997)建立了一种利用斯通利波幅度衰减反演储层渗透率的线性化最小二乘反演模型.苏华和田洪(2002)、高坤等(2005)将Tang等提出的频移和时滞反演方法应用于实际测井解释.崔志文(2004)研究了随钻环境下可渗孔隙地层井孔中多极声场的传播特点和规律.崔志文等(2010)对利用斯通利波衰减反演渗透率的方法进行了改进.许孝凯等(2012)对斯通利波的影响因素进行研究，并分析了渗透率的反演结果.Tang等(2010)研究发现，当地层存在渗透性时，随钻条件下井中斯通利波也会出现频移和时滞现象，并指出仪器偏心会严重影响斯通利波在井中的传播，可以通过在仪器两端安装扶正器降低偏心的影响.金武军等(2017)从孔隙结构出发，结合核磁测井资料，提取出孔隙结构参数，实现了页岩渗透率的精细评价.王宇竹等(2017)进一步总结了渗透率各向异性的获取方法.张丽华等(2018)对影响渗透率测量的实验条件进行分析，其结果为岩心渗透率的测量提供了实验依据.

电缆声波测井中，斯通利波在地层渗透率反演中的研究已经相对完善，但随钻情况下关于这方面的研究还相对较少.本文针对这一现状，模拟了随钻斯通利波在含孔隙渗透地层中的传播特征，并分析了其波形、频散、衰减和灵敏度在不同渗透率下的响应特性.在理论模拟的基础上，本文利用随钻斯通利波的频移和时滞特征进行地层渗透率反演，并通过考虑等效仪器的简化Biot-Rosenbaum随钻理论降低了模型的复杂度，大大提高了反演效率，为地层渗透率评价提供了行之有效的处理方法.

1 随钻孔隙地层井孔中的声场

图 1给出了孔隙地层充液井孔中的随钻声波测井模型示意图，分别为井孔示意图 1a和横截面示意图 1b.该模型由柱状径向分层介质组成，由内向外依次为钻铤内流体、钻铤、钻铤外流体和孔隙地层，各介质的外径分别为r_a、r_b、R和无穷大，并假设钻铤在井孔中完全居中.

1.1 含孔隙地层中的测井声波传播理论及声场

含孔隙地层的应力和位移的本构关系式为(Parra and Xu, 1994)：

(1)

本构方程中涉及的孔隙流体压力和动态达西定律分别为

(2)

(3)

其中：

(4)

式(1)—(4)中：σ_ij为双相介质中的平均应力(或总体应力)；e_ij为应变张量，且e=▽·u；p为孔隙流体压力，w是流体和固体的相对位移；μ为剪切模量，λ为拉梅常数；u和U分别是孔隙固体和流体的位移矢量；ρ_s和ρ_pf分别是固体骨架和孔隙流体的密度；K_s、λ_s、μ_s分别是孔隙固体骨架的体模量和两个拉梅常数，且λ_s=ρ_sv_p²－2μ_s，μ_s=ρ_sv_s²，v_p和v_s分别为固体骨架的纵波和横波速度；K_d为介质干燥(或排水)条件下的体积模量，K_pf是孔隙流体的不可压缩模量(或体模量)；ω为角频率；ϕ为孔隙度；η为流体黏滞度；α和β是两个参数组合.κ(ω)采用Johnson等(1987)引进的动态渗透率，即：

(5)

动态渗透率表征了孔隙内流体的流动性能.其中τ是混浊度，代表孔隙中流动通道的形态；κ₀是静态达西渗透率；表示孔隙的尺寸大小(Johnson et al., 1987).

主要考虑井中单极子激发源的情况，对于孔隙井中声波传播的模拟问题，单极子源在孔隙地层中产生三种波，分别是快速纵波、慢速纵波和横波(SV振型)，三种波的位移势函数为

(6)

其中，B_fast、B_slow和D_s分别表示快、慢纵波和横波的振幅系数；q_fast、q_slow和q_s分别为快、慢纵波和横波的径向波数，具体表达式为

(7)

其中k是沿井轴方向的波数；k_fast、k_slow、k_shear分别是快、慢纵波和横波的波数，其计算公式为

(8)

式中：

(9)

利用位移势函数可以将孔隙地层中的位移分量和应力分量表示为

(10)

1.2 边界条件

图 1所示模型中各部分的声场由三个界面处的边界条件衔接，即钻铤内流体和钻铤内壁边界处，钻铤外壁和钻铤外流体边界处，钻铤外流体和地层边界处.计算声场时，本文采用体积膨胀源的加载方式(唐晓明和郑传汉，2004)，将一环状多极子位移声源放置于钻铤表面，以实现声场的激发.

(1) 钻铤内流体和钻铤界面(r=r_a)，表达式为

(11)

(2) 钻铤和钻铤外流体界面(r=r_b)，表达式为

(12)

其中，u_f^d为环状声源的位移，具体表达式为(唐晓明和郑传汉，2004)：

(13)

1.3 钻铤外流体和地层界面(r=R)

井壁处共有四个边条件，前三个分别是平均径向位移连续、平均正应力连续和剪切应力连续.其中，地层的位移由孔隙地层固体的位移u_fm和孔隙流体相对于固体的流动位移w_fm两部分组成.井壁处的最后一个边条件和压力传递有关，井壁处的压力传递受泥饼的影响，表达式为

(14)

其中，p_f是井中流体压力；T为阻抗因子，表征了泥饼的阻抗效应.当T=0时，井中流体与地层孔隙中的流体相互连通，两者可以自由交换，此时为开放孔隙的情况；当T→∞时，井中流体不能与地层孔隙中的流体交换，此时为封闭孔隙的情况.开放和封闭孔隙分别被用来模拟渗透性和非渗透性孔隙地层(Schmitt et al., 1988；Tang et al., 2010).随钻环境下，泥饼尚未形成，可以忽略泥饼的作用，此时井壁为开放孔隙的情况，井壁处对应的边界条件为

(15)

将各部分声场的应力和位移代入边界条件，可得到矩阵方程为

(16)

其中：

(17)

(18)

矩阵H中元素的表达式在附录给出.此时，随钻仪器外环上声波压力场的波形计算公式为(唐晓明和郑传汉，2004)：

(19)

其中，S(ω为源的频谱，其函数形式可以任意选取；本文中采用中心频率为ω₀的瑞克子波，S(ω)=(ω/ω₀)²e^-(ω/ω₀)2.

2 含孔隙渗透地层中随钻斯通利波的频散和衰减特性

本文主要探讨斯通利波的频散、衰减以及灵敏度随渗透率的响应特征.其中频散特征主要和式(16)中矩阵H相关，令其行列式为零，得到随钻斯通利波的频散方程为

(20)

通过求解该方程得到斯通利波波数在不同频率下的根，然后利用式(21)和(22)计算斯通利波的相速度频散及其衰减(品质因子Q的倒数)，即：

(21)

(22)

在井中导波传播的理论模拟中，波的传播特征受到众多参数的影响.灵敏度分析常被用来评估不同参数对波传播特性的影响程度.模型对某一参数p的灵敏度实际上就是归一化后的波的相速度对该参数的偏微分，计算公式为(唐晓明和郑传汉，2004)：

(23)

根据上述理论分析，下面对含孔隙渗透地层中随钻环境下斯通利波的传播特征进行数值模拟，井孔和孔隙地层的模拟参数分别见表 1和表 2.图 2展示了含水孔隙地层在不同渗透率下，充液井孔中随钻斯通利波的波形、频散及其衰减响应特征.图 2a显示，当地层存在渗透性时，斯通利波的幅度和到时发生变化，并且渗透率越大，其幅度越小，到时越靠后.随着渗透率的增加，速度逐渐减小(图 2b).衰减曲线随着频率增加呈下降趋势，并随着渗透率增加而逐渐增大(图 2c).随着渗透率的增加，相同的渗透率变化量将会引起速度和衰减更大的变化，说明渗透率较大的含水地层会对斯通利波产生可观的影响.因此地层的渗透性越好，越有利于从斯通利波中评估地层渗透率.此外，从图 2b和2c中可看出，频率越低，斯通利波速度和衰减随频率以及渗透率的变化越明显，指示采用低频段的斯通利波进行渗透率反演效果会更好.斯通利波速度和衰减随渗透率和频率的变化正是下文利用随钻斯通利波进行渗透率反演的理论依据.

为进一步研究电缆与随钻测量环境下，斯通利波受地层渗透率的影响情况，图 3给出了含水地层渗透率一定时(κ₀=1 μm²)，充液井孔中随钻和电缆斯通利波的频散曲线以及相速度对渗透率的灵敏度曲线.为了对比，还给出了非渗透地层的频散曲线.当地层存在渗透性时，随钻和电缆斯通利波的相速度都会减小，但在随钻环境下斯通利波的变化量要比在电缆中更大(图 3a).图 3b显示，在随钻中斯通利波的相速度对渗透率的灵敏度比在电缆中更高，特别是在低频段.图 3b中还给出了频率为0.5 kHz时随钻和电缆情况下对应的灵敏度值，二者比值为1.8，定量说明了随钻斯通利波相速度对渗透率的高灵敏度.数值模拟结果表明，利用随钻斯通利波反演地层渗透率比电缆斯通利波更具优势，其反演精度更高.

3 随钻斯通利波渗透率反演方法 3.1 考虑等效仪器的简化Biot-Rosenbaum随钻模型

利用频散方程(20)可以得到随钻斯通利波在孔隙地层的井孔中传播时的准确解，但由于完整的Biot-Rosenbaum理论中涉及到地层弹性参数和流体流动参数之间的耦合作用，反演过程中每一次循环迭代都需要同时计算弹性和流体的效应，使得计算比较繁琐，不适用于实际数据处理.Tang等(1991)提出一种简化理论，通过将斯通利波与孔隙地层的相互作用分解为等效弹性孔隙地层问题和孔隙流体流动问题两部分，可以得到孔隙地层中斯通利波波数的简化计算公式为

(24)

其中，为对软地层影响的校正；I₀和I₁分别为第一类零阶和一阶变型贝塞尔函数，K₀和K₁分别为第二类零阶和一阶变型贝塞尔函数；D为动态孔隙流体的扩散率(唐晓明和郑传汉，2004)；k_e为等效弹性地层中对应于弹性仪器模型的斯通利波波数.Su等(2011)采用等效仪器模型来考虑随钻测井仪器的影响，并验证了其在均匀地层中应用的可行性.仪器的效应由参数E_tool模拟，E_tool定义为与仪器弹性和井孔流体有关的贝塞尔函数组合之比：

(25)

其中，M_T是等效仪器模量，该模量与弹性仪器的杨氏模量E和泊松比ν有关：M_T≈E/(1－ν).

相比于完整的Biot-Rosenbaum理论，简化理论的优势在于利用一个简单的解析公式(24)代替了从频散方程(20)中求根的过程，并将随钻仪器的复杂结构等效为弹性仪器模型，从而大大加快理论计算的速度.在实际反演中，弹性波数只需要用测到的地层弹性参数计算一次，因而迭代过程中只需调整孔隙流体的流动参数并用公式(24)进行计算，反演效率将得到明显提高.

下面我们用数值模拟的方法验证在孔隙地层中使用考虑等效仪器的简化Biot-Rosenbaum随钻模型的可行性.图 4为随钻斯通利波在两种理论下的频散曲线.为了对比，图中同时给出了非渗透和渗透性地层中的结果.模拟结果显示，在非渗透地层中，采用简化随钻模型计算的结果与完整Biot-Rosenbaum理论计算的结果吻合较好；在渗透性地层中，两者的结果也基本一致.模拟结果的一致性表明考虑等效仪器的简化随钻模型不仅适用于非渗透地层，在渗透性地层中同样具有良好的应用效果.

3.2 反演方法

利用频移和时滞联合反演地层渗透率，图 5给出了相应的处理流程，其具体处理过程如下所述：

(1) 利用波场分离(唐晓明和郑传汉，2004)技术处理测量得到的随钻单极子声波波形，得到直达斯通利波、上行反射斯通利波和下行反射斯通利波.

(2) 上文提到的等效随钻仪器模型中，仪器半径可以通过仪器参数获得，但等效仪器模量无法获取.非渗透率地层中可以排除渗透率的影响，从而可以利用该层段测井得到的地层参数标定等效仪器模量(Lee et al., 2016)，为后续简化理论提供准确参数.

(3) 基于本文提到的简化理论，利用传播矩阵方法(Gelinsky and Tang, 1997)计算排除渗透率影响的理论直达斯通利波波形，该波形仅考虑地层弹性及井径的影响.

(4) 根据Tang和Cheng(1996)提出的计算方法，分别利用上述理论模拟及实测波形计算中心频率、走时和方差.两者之间的中心频率及走时之差确定了实测频移及时滞.

(5) 除渗透率之外，井内流体和地层非弹性内耗散衰减也会影响斯通利波的衰减和走时，因此在反演渗透率时需要同时反演内耗散衰减.对步骤4所述公式引入内耗散效应和渗透率影响(Tang and Cheng, 1996)，并计算得到理论频移及时滞.

(6) 利用上述理论及实测频移及时滞建立反演目标函数为

(26)

其中，Δf_c^msd、Δf_c^theo分别为实测波形和理论模拟波形的频移；ΔT_c^msd、ΔT_c^theo分别为实测波形和理论模拟波形的时间滞后；σ_syn为理论斯通利波计算得到的方差，用来归一化频移及时滞对目标函数的影响.通过在合理的变化范围内同时调整地层渗透率κ₀和内耗散衰减Q^－1，利用共轭梯度法使上述目标函数达到极小值，从而反演出地层渗透率.

4 反演实例

利用随钻斯通利波对L井渗透率进行评价，其处理结果如图 6所示.图中第1道给出了井径及自然伽马曲线，其中井径无明显变化，保证了声波测量数据的可靠性；自然伽马值较低的两个层段可划分为储层.从第6道岩性分析中可看出，两个层段的泥质含量较低，孔隙度在15%~25%，孔隙性较好.常规测井资料均显示具有良好的渗透性.第3道为波场分离后得到的直达斯通利波波形，第4道中分别为从实测波形和理论波形中提取出的斯通利波慢度曲线，存在明显相对时滞(即反演斯通利波慢度明显小于实测斯通利波慢度)层段可判断为渗透性地层.图中两个层段反演较测量得到的斯通利波时差出现相对时滞，指示地层存在渗透性，并且根据时滞的包络变化能够区分渗透率的相对大小.图中第5道不同渗透率处理结果的对比显示，随钻斯通利波反演的渗透率与核磁渗透率吻合较好，而且与核磁渗透率相比，随钻斯通利波反演渗透率与岩心覆压测试渗透率的匹配性更好.随钻斯通利波渗透率结果与伽马曲线及砂泥岩剖面对应一致性也较好，说明反演结果较为真实.良好的吻合性和一致性证明了利用随钻斯通利波反演地层渗透率的可行性和有效性.

5 结论

本文通过数值计算的方法，考察了地层渗透率对随钻斯通利波频散和衰减的影响，并与电缆测井情况下进行了对比，指出了利用随钻斯通利波反演地层渗透率的优势，分析了反演过程中采用的简化理论和反演方法，得到以下认识和结论：

(1) 随钻斯通利波的相速度和衰减均受地层渗透率的影响，衰减比相速度受渗透率的影响更大.与电缆测井相比，随钻环境下斯通利波相速度对渗透率的灵敏度更高，说明随钻斯通利波更适用于反演地层渗透率.并且在随钻环境下，井壁处泥饼尚未形成，可以忽略泥饼的效应，其反演的渗透率结果更加接近真实的地层情况.

(2) 渗透率越大，随钻斯通利波相速度和衰减的变化越大，因此地层的渗透性越好，其反演结果越准确.在低频区间，随钻斯通利波相速度和衰减随渗透率及频率的变化更加明显，指示渗透率反演时应选择低频段.

(3) 数值模拟表明，考虑等效仪器的简化Biot-Rosenbaum随钻模型和完整理论的计算结果吻合较好，采用简化随钻模型可使反演效率得到明显提高.

(4) 基于频移和时滞方法反演的随钻斯通利波渗透率与核磁和岩心覆压测试渗透率匹配较好，与常规测井资料反映的储层特性具有较好的一致性.并且理论分析和实例结果表明，中、高孔渗地层反演的渗透率精度较高，在低孔渗致密地层中反演精度有所降低.

附录 H矩阵元素

式(16)中H矩阵各元素的具体表达式为(所有未列出的矩阵元素都为0)：

其中，I为第一类贝塞尔函数；K为第二类贝塞尔函数；v_f为流体速度；v_p^t为钻铤纵波速度；v_s^t为钻铤横波速度；k_f为流体波数，k_f=ω/v_f；k_p^t为钻铤纵波波数，k_p^t=ω/v_p^t；k_s^t为钻铤横波波数，k_s^t=ω/v_s^t；f为流体径向波数，；p为钻铤纵波径向波数，；s为钻铤横波径向波数，s= ；μ^t为钻铤剪切模量，μ^t=ρ_t·(v_s^t)²；ρ_t为钻铤密度；其他符号定义与文中相同.