地球物理学报  2019, Vol. 62 Issue (10): 4028-4038   PDF    
小尺度散射体稀疏最小二乘逆时偏移方法研究
巩向博1,2, 王升超1,2, 韩立国1,2     
1. 吉林大学地球探测科学与技术学院, 长春 130026;
2. 国土资源部应用地球物理重点实验室, 长春 130026
摘要:地震勘探方法在深部固体矿产资源勘探中发展潜力巨大,同时也面临挑战.由于固体矿产资源地下分布呈现陡峭构造、尺度小,物性差异小的特点,常规偏移方法对小尺度矿体成像的分辨率提高有限.本文研究了一种基于稀疏促进约束的最小二乘逆时偏移方法.首先,将非均匀分布的矿体等效为随机介质,建立小尺度扰动的矿体模型;其次,改进现有最小二乘偏移方法,以稀疏模型为先验信息约束成像结果,并通过Curvelet变换压缩成像空间,经过多次迭代计算,可以提高小尺度散射体的成像分辨率;再次,对炮域记录进行随机震源编码,减少成像所需的炮集个数,通过稀疏促进约束条件,降低串扰噪声引起的成像误差.通过庐枞金属矿模型数值计算,验证本文方法可以较好的成像包含小尺度散射体的金属矿地质模型.
关键词: 散射体      成像分辨率      最小二乘偏移      稀疏约束     
Sparse least-squares reverse time migration of small scatters in seismic exploration
GONG XiangBo1,2, WANG ShengChao1,2, HAN LiGuo1,2     
1. College of Geo-Exploration Science and Technology, Jilin University, Changchun 130026, China;
2. Key Laboratory of Applied Geophysics, Ministry of Land and Resources of PRC, Changchun 130026, China
Abstract: Seismic exploration has a great potential in exploration of mineral resources in the deep subsurface, while also faces many challenges. Due to the steep structure, small-scale scatters and small differences of physical properties between the background and the orebody, the conventional migration method has a low imaging resolution for small-scale orebodies. In this paper, we propose a least-squares reverse time migration based on a sparsity-promoting constraint. First, the non-uniformly distributed orebodies are assumed to be equivalent to a random medium, and a multi-scale orebody model for such a medium is established. Second, we improve the existing Least-Squares Migration (LSM) by using the sparse constraint as the priori information, and then compress the imaging space by Curvelet transform. After iterative calculations, the imaging resolution of small-scale scatters can be enhanced. Third, the random source encoding is used to reduce the number of gathers for LSM, which speeds up the computation. By the sparsity-promoting constraint, the imaging error caused by crosstalk noise is reduced greatly. Numerical calculation on the Luzong metallic deposit model indicates that the proposed method can image the metallogenetic geological model containing small-scale scatters with a relatively high resolution.
Keywords: Scatter    Imaging resolution    Least-Squares Migration(LSM)    Sparse constraint    
0 引言

偏移成像是深部固体矿产资源地震勘探处理中的关键一环,矿产资源的分布规律与地质特点使得我们必须考虑成像方法既具有高分辨率,又要有抗干扰能力(吕庆田等,2015).最小二乘偏移(LSM)是一种有效提高成像质量的偏移方法,它将标准偏移过程映射到一个线性优化问题当中,通过拟合模拟数据与观测数据差异最小,反演求解最优的成像空间(Schuster, 1993).受限于计算机的效率,最初的LSM都采用计算效率很高的克希霍夫型偏移方法(Schuster, 1993Nemeth et al., 1999),相比于常规克希霍夫型偏移方法,LSM能较好的压制标准偏移剖面中的偏移噪声和画弧现象.之后逐渐发展了基于单程波动方程的LSM(Wang et al., 2005; 周华敏等,2014).随着计算能力的快速发展,包括多节点并行计算以及图形加速卡(GPU)的广泛使用,基于逆时偏移(RTM)的LSM逐渐成为主流,即最小二乘逆时偏移方法(LSRTM),它计算的是全波场信息,没有等效与近似,因此被认为是分辨率最高的偏移方法之一(Dong et al., 2012; Zhang et al., 2015).但是LSRTM的缺点也很明显,因为涉及迭代多次正、逆算子(反偏移、偏移)计算,使得其计算成本特别昂贵.

为了更加实用化,提高计算效率,震源编码是一个重要的策略,它是将多个炮集按照一定规律编码(平面波编码)(韩利等,2011巩向博等,2014黄建平等,2015李振春等,2017Chen et al., 2017)或者随机编码(Li and Herrmann, 2012),组合成较少的炮集,再进行常规LSM.若LSM在频率域实现,即偏移与反偏移求解的是频率域波动方程(亥姆霍兹方程),需采用相位编码加速计算单频率时的多个震源(Tang, 2008).若以传统的观点看待震源编码或相位编码,尤其是随机编码方式,偏移成像计算的结果引入了极大的干扰,是由混合炮集数据相互交叉成像引起,称为串扰噪声(既在数据域,也在成像空间域).因此,有些学者研究了利用反演的多次迭代运算消除串扰噪声的策略.Schuster等(2011)提出了LSM过程中随机变换震源极性和激发延时的动态编码策略,并通过迭代次数对串扰噪声压制的信噪比分析,给出了震源编码与成像质量之间的关系.Dai等(2011)提出了一种反模糊滤波算子,来压制震源编码造成的串扰噪声,并基于克希霍夫型偏移算子,验证了动态编码方式优于静态编码方式.Chen等(2015)对混合炮集数据直接成像,并采用了预条件共轭梯度算法求解结构平滑约束的LSM,压制串扰噪声的同时,获得了真实振幅的偏移成像结果.

另外一个实用化的技术是带正则项约束的LSM,一般认为反演中加入先验信息约束使得LSM更加快速的收敛到高分辨率的成像结果(Tu and Herrmann, 2015; Tu et al., 2016),另外正则化约束也可以提高LSM的抗噪能力(王彦飞,2013).类似其他的约束反演方法,l2范数约束的LSM会得到一个平滑的成像结果,l1范数约束的LSM会得到一个稀疏的成像结果,对于成像剖面逼近于反射系数模型的假设来说,后者可以获得分辨率更高的成像剖面.对于成像空间的l1范数约束可以进一步将其分解在稀疏域内,即稀疏提升的LSM方法.这种稀疏促进方式虽然不能改变目标函数的下降方向,但它更好的消除了震源编码串扰噪声造成的偏移假象,即用更少的迭代次数获取高质量的成像结果(Li and Herrmann, 2012; Li et al., 2016).在压缩感知和l1范数约束正则化理论框架下,Yang等(2016)提出了一种时间域稀疏促进的LSM,这种方法平衡了LSM的迭代有限差分求解波动方程次数,这种稀疏促进的策略也应用于全波形反演之中(Herrmann and Li, 2012; Li et al., 2016).

对于一般金属矿产资源地质区域,其非均匀小尺度地质体与速度扰动引起较强散射波场,很难用常规偏移方法成像(吕庆田等,2010廉玉广等,2011).基于逆时偏移与反偏移算子,本文我们应用了这种稀疏促进的LSRTM(SLSRTM)来解决小尺度散射体的成像问题.通过迭代缩小反偏移数据与观测数据的误差来提高成像质量;采用了随机震源编码方式提高计算效率;通过约束成像空间的稀疏促进反演压制震源编码引起的串扰噪声,以提高反演的效率.对于l1范数约束问题,采用了流行的快速迭代阈值收缩算法(FISTA)求解.通过了三种尺度散射体模型与庐枞金属矿模型的试算,验证SLSRTM能够较好的成像小尺度散射体的地质构造.

1 方法原理

常规LSM是一个迭代计算的过程,通过降低观测数据与反偏移数据之间的误差以提高成像的质量.在每次迭代的计算过程中,均需要一次偏移与反偏移的计算.在时间域双程声波方程算子时(逆时偏移),震源波场pS与接收点波场pR分别写为

(1)

(2)

其中,x=(x, z)表示成像结果,v(x)表示速度模型;f(t)表示震源子波;▽2是拉普拉斯算子; xs=(xs, zs=0)和xr=(xr, zr=0)分别表示震源和检波点的地表位置,d(xr; t; xs)表示当前炮集记录.按照零延时互相关成像条件,成像剖面等于所有离散标量时间上炮点和接收点波场快照互相关的结果之和(Zhang et al., 2015刘学建和刘伊克,2016Liu et al., 2017).为了得到一个真振幅的成像结果,需考虑全角度域道集以及应用角度独立的成像条件(Xie et al., 2006Yan and Xie, 2016),但是它会带来更加庞大的计算量,为了简化计算,我们忽略角度域信息,成像条件写为

(3)

需要注意,若为散射地震数据成像,成像条件中对于入射波场代替为时间二阶导数的入射波场;若为反射地震数据成像,入射波场代替为时间一阶导数的入射波场,可得到分辨率更高的成像结果(陈生昌和周华敏,2016).对于散射波能量较强的金属矿地震数据,我们选择前一种成像条件.将成像空间r(x)作为输入,反偏移写为

(4)

其中d′(xr; t; xs)表示反偏移后的炮集数据,若成像为地下准确的反射系数模型,反偏移后的数据应该与观测数据一致.

我们把双程波方程的偏移与反偏移过程写成算子形式:

(5)

(6)

其中d表示时间域地震数据,madj表示RTM成像结果, AT是RTM算子(方程(1)、(2)和(3)),A是反偏移算子(方程(4)).传统的无约束LSRTM写成如下的优化问题:

(7)

它的最小二乘(LS)解写成mls=(ATA)-1ATdobs, 其中H=ATA是Hessian算子矩阵,它将成像空间变模糊,而它的逆起着去模糊化成像空间的作用.然而时间域直接求Hessian矩阵是非常困难的,因为Hessian矩阵有非常大的空间维数, 因此方程(7)常采用数值梯度优化方法求解.它的最速下降法解写为如下的迭代式子:

(8)

if i>0 and dobs-Ami < ε:

(9)

其中i是当前的迭代次数,α是反演步长,ε是数据域允许的最大误差.经过多次迭代计算,通过减小观测数据与反偏移数据的差异,以提高成像的准确性.

由地震勘探认识可知,地下地质模型的反射系数是稀疏的,真实振幅成像结果向着真实反射系数模型逼近,采用稀疏约束的LSM符合实际地下反射系数稀疏化的物理模型,即能更快地收敛成像结果.稀疏正则化的LSRTM的目标函数写为

(10)

其中l2范数约束数据误差,l1范数约束成像空间,λ是折中参数,平衡数据误差与成像空间的稀疏度.从图像的角度来看,成像空间m有较大的冗余度,因此将曲波变换(CT)加入到目标函数中,成像空间m变换至稀疏的曲波系数域x,这样会使稀疏约束反演更加有效率,也称作稀疏促进的反演(马坚伟等,2012Herrmann and Li, 2012Li et al., 2016).稀疏促进LSRTM(SLSRTM)的目标函数写为

(11)

(12)

(13)

其中C是CT正变换算子,将成像空间变换到稀疏的曲波系数;CT是CT逆变换算子,从稀疏的曲波系数恢复到成像空间.这是一个典型的混合范数求解问题,我们采用快速迭代收敛阈值算法(FISTA)来求解方程(11),因为它计算效率高并且易于实现(Beck and Teboulle, 2009; Gong et al., 2016, 2017).

我们将伴随解作为初始解,FISTA求解SLSRTM的迭代过程写为

(14)

(15)

(16)

if 0≤kkmax & ‖Δd2>ε:

(17)

(18)

(19)

(20)

其中k是当前迭代次数,kmax是设定的最大迭代次数,ε是允许的最大误差,α是Lipschitz常数,反演步长应大于α,soft是软阈值算子,定义为

(21)

(22)

(23)

其中a是向量e中的元素.经过kmax次迭代运算或者满足条件‖Δd2 < ε,就会获得最优的曲波系数x.注意要获得最终的成像剖面还需要执行一步CT反变换m=CTx.

为了降低SLSRTM计算量,节约处理成本.采用震源编码方式提高成像的计算效率(Schuster et al., 2011).本文使用了随机编码方式,其关键问题是压制串扰噪声,动态编码策略可以有效降低随机编码时的串扰噪声,即SLSRTM目标函数重写为

(24)

其中,算子B是随机编码算子,应用FISTA求解方程(24)时,需要在同一次迭代中观测数据编码与反偏移数据编码方式一致;而在不同次迭代时,尽可能的采用与其他次迭代不相关的编码方式.编码方式上采用随机激发时间编码和随机抽取激发炮结合的策略(Li and Herrmann, 2012);同时采用静态时移与激发震源极性结合的策略,可以有效地提高成像空间信噪比(Schuster et al., 2011).基于动态随机震源编码的稀疏促进最小二乘偏移算法流程如图 1所示.动态随机震源编码算子需要在每次更新迭代计算时更新随机编码方式,能够压制成像空间中的串扰噪声.成像空间与Curvelet系数通过正逆CT算子相互转换.CT引入地震勘探最早是用于数据去噪,它可以通过阈值法或者迭代阈值法压制随机噪声、提高数据信噪比(Herrmann and Verschuur, 2004).在成像域内,每次迭代编码偏移中的串扰噪声相比于成像结果是随机出现的,可将串扰噪声当作一种随机噪声压制,因此采用基于CT稀疏促进的约束条件有助于压制震源编码产生的串扰噪声.建立的混合范数优化问题通过FISTA算法迭代求解,需要执行多次RTM算子与反偏移算子,稀疏促进约束与随机震源编码策略,减少了单次迭代波动方程求解的次数,从而提高了计算效率.最优化后的结果是Curvelet稀疏,还需进行一次逆CT,获得成像空间.

图 1 稀疏促进最小二乘偏移算法流程图 Fig. 1 Flow chart of sparsity-promoting least-squares migration (SLSRTM)
2 数值算例

本文采用图 2所示的地质模型验证方法的有效性,该模型是三种不同尺度的散射体分布在相同的背景模型之中,从图 2a—c散射体尺度依次从大到小.背景地质模型近似呈层状分布,层厚度不等,从最薄处40~50 m到最厚处超过500 m;深度在500~1500 m范围内的地层速度交替变化,速度差异仅有100多m·s-1,而背景地质速度场大于3000 m·s-1,相对波阻抗差异较小.经随机层状速度扰动,分别获得不同尺度扰动的中、小尺度地质模型(图 2bc), 对于小尺度扰动模型,扰动尺度仅有一两个网格,即层状扰动尺度仅有10~20 m,即建立三个不同尺度的随机介质模型.采用这种随机介质模型表示矿区的地质情况,符合矿床背景下含多种岩石蚀变后的复杂地质情况,而非均匀体尺度大小可以通过建立随机函数的相关长度参数调节(廉玉广等,2011).由于随机分布的小尺度散射体,地震波场中有很强的散射波能量,细小的散射层与散射体使用常规方法难以成像.采用本文方法,将成像的地质模型分解为稀疏系数并作为约束条件加入到最小二乘偏移迭代计算中,能够一定程度上恢复小尺度的构造形态,其中随机震源编码提高了计算效率,稀疏促进约束压制了成像噪声.图 3是对背景模型构造成像的结果,图 4图 5分别是中尺度与小尺度散射体模型的成像结果.图 3图 5的(a)和(b)分别是常规震源与随机编码震源的SLSRTM成像结果,该模型的随机编码震源是采用了25个原始炮集合成一个炮的方式,相比于常规顺序震源,计算效率提高了25倍.反演过程均迭代计算了100次,各自的目标函数曲线如图 6所示,图 6ab分别是是三种尺度模型在常规震源和随机编码震源方式下目标函数曲线.从图 6中可知,反演计算会减小目标函数的误差,背景模型的目标函数误差比小尺度散射模型的小;随机编码震源方式下的目标函数误差不再是单调函数,会存在后次迭代误差更大情况,但经100次迭代计算后,误差会下降到比较小.从成像结果对比图中看,随机编码震源方式引入的串扰噪声,可以在多次迭代后,压制的较好,对比于常规震源方式来说,成像的误差并不大.随着散射体的增加,尺度的减小,成像的误差也会增大,但经过SLSRTM的多次迭代运算之后,成像的质量大幅提升.从目标函数误差曲线上来看,本文方法在迭代20~30次左右,就能得到相对较小的误差,与随机编码震源技术结合(计算效率提高25倍),计算量与常规的RTM基本相当,但其成像质量会大幅度的提高.

图 2 三种尺度的地质模型 (a)背景速度模型;(b)中等尺度扰动速度模型;(c)小尺度速度模型. Fig. 2 Velocity models of three scales (a) Large-scale (background model); (b) Moderate scale (disturbance model); (c) Small scale.
图 3 背景模型SLSRTM成像结果 (a)普通震源; (b)编码震源. Fig. 3 SLSRTM imaging results of background model (a) General source; (b) Encoding source.
图 4 中等尺度散射体模型SLSRTM成像结果 (a)普通震源;(b)编码震源. Fig. 4 SLSRTM imaging results of moderate-scale model (a) General source; (b) Encoding source.
图 5 小尺度散射体模型SLSRTM成像结果 (a)普通震源;(b)编码震源. Fig. 5 SLSRTM imaging results of small-scale model (a) General source; (b) Encoding source.
图 6 三种尺度模型SLSRTM成像的目标函数误差曲线 (a)普通震源;(b)随机编码震源.红线scale 1表示背景模型;黑线scale 2表示中等尺度模型;蓝线scale 3表示小尺度模型. Fig. 6 Error curves of objective function for SLSRTM imaging on three models (a) General source; (b) Random encoding source. Red: Background model. Black: Moderate-scale model. Blue: Small-scale model.

图 7是安徽庐枞矿集区泥河矿区段的金属矿模型,矿体主要由磁铁矿、黄铁矿构成.模型左侧主体为磁铁矿,总体呈厚层状、透镜状产出,是多层矿体上下叠置而成,倾角15°~30°;右侧主体为黄铁矿,由多层矿体组成,矿体总长度约900 m,埋藏深度在655~1065 m之间;矿体赋存于闪长玢岩的顶部(模型的黄色区域),闪长玢岩侵入于砖桥组火山岩内,呈穹隆构造,矿体在穹窿处相对厚大(廉玉广等,2011).图 7a是根据钻井与地质测绘资料建立的模型;图 7b是加入非均匀散射体之后的地质模型,物理模型的是由背景物理参数模型与等效随机介质模型叠加而成,等效随机介质是相关长度为20 m,方差为5%和粗糙系数为0.5的Von Karman型随机介质(廉玉广等,2011),它符合矿体非均质性强、散射体随机分布的特点.相比于其他地质问题,矿体构造复杂多变,构造体尺度很小,矿体最薄处仅有十几米;矿体与围岩内部非均质性很强,地震炮集的散射波能量很强,有效反射波信噪比很低.采用本文方法对背景模型和小尺度散射扰动场模型分别成像,其结果如图 8所示,图 8abc分别是背景模型成像结果、小尺度散射体模型的RTM成像结果和小尺度散射体模型的SLSRTM成像结果,其中RTM成像是莱斯大学TRIP研究项目组的成果(http://trip.rice.edu; http://www.reproducibility.org/RSF/book/trip/struct/paper_html/node14.html),成像反映了该地区的金属矿体的具体形态和特征.对比同为小尺度散射体扰动情况模型的RTM成像图和SLSRTM成像图(图 8bc),后者可以较好压制浅层的低频干扰(图中浅层箭头所示);可以较好识别左侧较厚磁铁矿的下边界(图中左侧红框内的箭头所示),有利于定量圈定矿体厚度;可以较好识别右侧黄铁矿薄层,分辨其陡构造的顶面反射(图中右侧红框的箭头所示).对于散射能量与小尺度构造,稀疏促进的约束能够提高成像的分辨率和信噪比,成像结果可用于地质成果的解释.

图 7 庐枞矿集区泥河矿段地球物理模型 (a)背景物理场模型;(b)小尺度扰动的物理场模型. Fig. 7 Geophysical models of Nihe section, Luzong mining area (a) Background field; (b) Small-scale disturbance field.
图 8 本文方法成像结果 (a)背景物理模型成像图;(b)小尺度散射体扰动情况下的莱斯大学RTM成像图;(c)小尺度散射体扰动情况下的SLSRTM成像图. Fig. 8 Imaging result by SLSRTM (a) Background velocity model; (b) RTM image of Rice University with small-scale scatters; (c) SLSRTM image with small-scale scatters.
3 讨论与结论

金属矿集区普遍存在较小尺度的散射体,这种介质的不均匀性使得地下构造难以获取好的成像质量,另外矿区不规则地质体的边缘引起的散射(或绕射)也是影响成像质量的重要原因.本文研究的方法SLSRTM克服了常规LSRTM仅能获得平滑成像剖面的缺点,通过更新迭代缩小观测数据与反偏移数据的误差,提高散射体的成像质量;采用了随机震源编码,减少了成像需要的震源个数,提高了计算效率;通过正逆CT将成像空间与稀疏的Curvelet系数关联,构建了l1范数约束成像空间的最优化问题,并采用FISTA算法求解,从而较好的压制了随机震源编码产生的串扰噪声.

震源编码的SLSRTM降低了迭代运算中求解波动方程的次数,兼顾了运算效率和成像质量,可为十几米尺度大小的散射体金属矿区成像提供技术支持.但本文方法应用于金属矿地震中,甚至相对简单的层状介质的油气地震中,面对低信噪比地震数据、复杂非均匀地质体成像中还有许多挑战,需要注意的问题包括:矿体的非均匀特性采用随机介质模型近似等效的科学性需要进一步验证,尤其是非均匀矿体呈现各向异性特征时;对于实际矿区地震数据信噪比较低时,会加剧串扰噪声对成像剖面的影响;地下更为陡倾的矿体需要范围更大的地震采集观测排列,会进一步增加地震勘探的成本.因此在今后的研究中,需要进一步研究矿体的非均匀特性及其理想的数学参数化方法;研究震源编码的优化方法,不降低运算效率的同时,提高成像的抗噪性,进一步降低串扰噪声对成像结果的影响;实际数据处理中引入并行计算和CPU加速;另外,探索效率更高的稀疏约束非线性优化算法,对于提高运算的效率和成像稳定性具有重要的意义.

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