地球物理学报  2018, Vol. 61 Issue (9): 3592-3606   PDF    
基态位涡径向分布对浅水涡旋系统演变的影响分析Part Ⅱ:扰动发展和结构变化
刘爽, 钟玮, 刘宇迪     
中国人民解放军国防科技大学气象海洋学院, 南京 211101
摘要:本文在基态位涡(Potential Vorticity,PV)径向分布和基态涡旋强度对热带气旋(Tropical Cyclone,TC)类涡旋系统稳定性特征影响的研究基础上,结合理想试验和数值模拟诊断分析基态PV径向分布对扰动增长和系统结构变化的影响.基于线性正压浅水模型,设计三种典型基态PV中空结构下基态涡旋强度对系统稳定性影响的敏感性试验.结果表明:基态涡旋的强度主要影响稳定性的强弱,强度越强,不稳定增长率越大,而基态PV径向分布对系统最不稳定波动性质起着决定作用.分析不同波数下扰动的发展及不同波数间扰动的相互作用可知,对于宽且实的PV环,系统稳定性主要取决于低波数不稳定,且最不稳定波数扰动的发展具有明显的优势地位;对于窄且空的PV环,系统稳定性主要取决于高波数不稳定,且多个高波数下增长最快模态的不稳定增长率值十分接近.利用模态线性叠加法讨论扰动增长对系统结构变化的影响表明:最不稳定波数的扰动发展对系统结构变化有关键影响,而多个波数的扰动不稳定增长相当时,不同波数的扰动发生相互作用从而影响系统结构变化.最后,利用实际个例模拟资料分析基态PV径向分布及其变化对TC结构和强度的影响表明:TC内核区出现的多边形眼墙结构与当前时刻基态PV径向分布所决定的最不稳定波数有很好的对应关系,同时基态PV径向分布变化所反映出的系统动力稳定性强弱与TC强度发展阶段具有很好的相关性.
关键词: 基态位涡径向分布      动力不稳定      最不稳定模态      多边形眼墙     
Impacts of basic state Potential Vorticity (PV) profiles on the evolution of shallow-water vortices PartⅡ: Disturbance development and structural change
LIU Shuang, ZHONG Wei, LIU YuDi     
Institutes of Meteorology and Oceanography, National University of Defense Technology of PLA, Nanjing 211101, China
Abstract: In previous work, the influence of the basic state Potential Vorticity (PV) profile or the strength of basic state vortex on the stability in Tropical Cyclone (TC)-like vortices has been investigated. In this study, the impact of the basic state PV profile on the perturbation growth and the structural change in vortices are further discussed using a series of numerical simulations. Sensitivity tests of intensity of the basic state vortex to the stability of the system are conducted by setting three different hollow PV structures in a two-dimensional (2D) shallow water barotropic model. The results show that the disturbance growth rates become larger with increasing strength of vortices in the same PV structure. Moreover, the shape of the PV profile is the major factor to determine the stability of a vortex. The disturbances development of different azimuthal Wavenumbers (WNs) and their interaction are analyzed. For thick and filled PV rings, the instability is more likely to occur at lower WNs and the disturbance growth of the Most Unstable Wavenumber (MUWN) is much faster than that of other WNs. For thin and hollow PV rings, the disturbance development depends mainly on the instability of higher WNs and the growth rates of the fastest growing mode (largest dimensionless growth rate) for two or more different WNs are very close. Based on the eigenmode linear superposition method, the role of disturbance growth in the intensity and structureal change in the vortex system is also discussed. It is found that the disturbance development at the MUWN plays a significant role in structural change, and the interactions of disturbance between two or more different WNs are more important as their unstable growth has little difference. To verify the aforementioned discussion, a high resolution dataset from a realistic simulation is used to examine the impacts of the evolution of PV ring on intensity and structural change of TCs. It is shown that the polygonal features appearing in the TC eyewall are highly consistent with the MUWN determined by the radial distribution of the basic state PV at the current time. The dataset also demonstrates the dynamic instability with the evolution of the PV ring is closely related with the development stage of TC.
Keywords: Basic state Potential Vorticity (PV) profiles    Dynamic stability    Most unstable mode    Polygonal eyewall    
0 引言

早期,受到观测技术和数值模式的限制,热带气旋(Tropical Cyclone,TC)常被视为具有高度轴对称结构的涡旋系统(Anthes,1982Ooyama,1982).随着观测手段和数值模式的发展,精细化观测资料和高分辨率模式输出数据表明:典型的TC可看作是由一个对称的基态涡旋场和许多不同的非对称扰动叠加组成(Elsberry,1995Shapiro,1996Pendergrass and Willoughby, 2009).这些非对称扰动(如内外螺旋雨带、多边形眼墙、中尺度涡等)的发展和变化对TC的强度和结构变化具有重要影响(Montgomery et al., 2006Yang et al., 2007Menelaou et al., 2013a, bPersing et al., 2013).然而这些非对称扰动影响TC强度和结构变化的物理机制并不十分清楚,所以限制了TC强度预报水平的进一步提高(Wang and Wu, 2004).

Melander等(1987)基于一个二维涡旋流体的理想试验,指出即使在没有耗散的情况下,涡旋系统内任何扰动都会通过产生丝状涡度(或位涡Potential Vorticity: PV)最终回归到基态涡旋中,这个过程被称为“非黏性衰减(Inviscid Damping)”.基于这个思想,近年来TC内核动力学的研究主要将该过程分为两个阶段:第一个阶段主要是涡度扰动的丝化过程,可理解为系统内核区域扰动的传播和发展问题;第二个阶段则主要是扰动与基本气流相互作用的过程.Montgomery和Kallenbach(1997)基于线性化的正压无辐散模型,在单极涡旋(即基态涡度或PV沿半径向外单调递减)条件下,提出了较为完整的涡旋Rossby波(Vortex Rossby Waves,VRWs)理论,指出TC内螺旋雨带的形成和传播受到VRWs的影响,这也是TC内核区域涡丝化过程的主要物理机制.接着Möller和Montgomery(1999, 2000)通过诊断不同非对称初始扰动位涡在正压和斜压的非线性平衡模式中的演变,发现非对称初始扰动会向基态涡旋传输能量,并揭示了VRWs在径向和垂直方向上存在传播且该波动的传播对TC的强度和结构有着重要的影响,从而基于VRWs理论分析了扰动的轴对称化过程.考虑到波动理论对扰动增幅的作用有限,同时大量观测和模拟研究表明TC系统基态涡旋常常表现为中空(涡度或PV最大值出现眼墙内侧非中心位置)的形态特征(Yau et al., 2004Hendrick et al., 2012, hereafter H12),此时波动不稳定是系统内核区域出现明显多边形眼墙、中尺度涡等非对称扰动结构的主要原因,同时也是扰动快速增强并涡丝化的动力机制(Schubert et al., 1999, hereafter S99;Kossin and Schubert, 2001, hereafter KS01;Kwon and Frank, 2005Rozoff et al., 2009).随后不稳定造成扰动的增长和破碎,使得高值PV环崩溃,眼墙区域的高值PV与眼心的低值PV发生混合,即“位涡混合(PV mixing)”,从而影响TC强度和结构(Hendricks et al., 2009, hereafter H09;Rozoff et al., 2009Hendricks and Schubert, 2010).由此可见涡旋系统内核区域扰动的传播和发展问题,不仅与TC内核区域结构变化密切相关,而且很大程度影响轴对称化过程中扰动与基流的相互作用和能量交换,是揭示TC内核物理机制的核心问题.

目前,研究涡旋系统内核区域扰动的传播和发展问题,主要集中在两个方面,一是波动和不稳定的性质;二是影响波动和不稳定的关键因子.在基于标准模方法讨论波动和不稳定的动力框架内,波动和不稳定性质是密切相关的.许多研究基于正压无辐散模型下VRWs理论,分析中空PV环状结构的涡旋满足正压不稳定的必要条件,同时最不稳定的波动模态具有VRWs的典型特征,因此眼墙内出现的高度非对称结构(显著的多边形眼墙和中尺度涡)与正压不稳定引起的波动破碎有关(S99;KS01;H12).Nolan和Montgomery(2000)Nolan等(2001)提出当基流角速度在飓风最大风速半径内除眼心外的位置存在极大值时,系统会出现涡旋Rossby波的1波代数不稳定,该结论能够用来解释低波数扰动在水平面上的不稳定增长问题.此外,Ford(1994)Zhong等(2009)研究旋转浅水模式下自由波动时证明在具有类兰金环状涡旋中,基流PV在最大风速半径处存在径向不连续时,高波数情况下会出现混合Rossby-重力波(简称混合波)的不稳定,这类波动和不稳定产生的原因是在浅水模型并考虑涡旋运动和位势运动共存条件下基本气流发生高速旋转(曾庆存,1979).关于波动和不稳定的影响因子,主要集中在基态PV环的结构以及基态涡旋的强度上.大量理论研究和数值试验表明(S99;KS01;H09):基态PV环的结构对不稳定增长率和最不稳定波数的分布具有决定性作用,PV环越厚越实,主要表现为低波数最不稳定;反之,PV环越薄越空,则表现为高波数不稳定.Nolan和Montgomery(2002)对飓风内涡旋的稳定性和动能收支进行了讨论,发现强度达到1级飓风标准的飓风类涡旋系统表现为2波最不稳定,涡旋强度达到3级飓风标准的表现为3波最不稳定,而热带风暴强度的涡旋可视为稳定的.

现有研究基本上是针对特定基态涡旋强度(或基态PV结构)分析不同基态PV结构(或基态涡旋强度)影响下扰动的传播和发展机制,且大多数结论是基于理想数值试验得到的.然而实际观测和模拟结果中,TC系统的基态涡旋强度以及基态PV径向分布是不断且同步发生变化的(刘爽等,2015).因此分析不同基态涡旋强度以及不同PV结构下,占优势的物理机制及其与系统结构和强度的关系,并结合实际个例进行诊断,可以加深对TC内核动力学的理解.

前期研究基于理想浅水模型,给出了相同基态涡旋强度下170组不同基态PV廓线对系统稳定性特征的影响和分类,并讨论了不同典型PV结构下最不稳定模态(扰动增长率最大的特征波动)动力学性质.在此基础上,本文进一步分析典型PV结构在不同基态涡旋强度下系统稳定性特征的表现,并利用高分辨率模拟资料诊断分析TC不同发展阶段的强度和结构特征与系统稳定性特征的联系.本文第二部分对所用的数学方法和理想试验设计作简要介绍;第三部分对试验结果进行分析,并讨论不同基态PV廓线对内核扰动发展及系统结构变化的影响;第四部分利用高分辨率的数值模式资料对理想试验得到的结论进行验证;最后是结论.

1 模态线性叠加原理与理想试验设计 1.1 模态线性叠加原理

为了进一步分析类TC涡旋系统内特征模态的发展及其对系统结构的影响,本文基于Nolan等(2001)开发的浅水涡旋扰动分析和模拟(Shallow Water Vortex Perturbation Analysis and Simualtion,SWVPAS)模式,采用数值积分和特征模态线性叠加的方法对这类涡旋系统的扰动发展和模态相互作用进行分析.

本文的出发方程为SWVPAS模式的基本动力框架,即极坐标下线性化的正压浅水涡旋扰动方程组,公式为

(1a)

(1b)

(1c)

其中u′、v′和h′分别为扰动径向风速、扰动切向风速以及扰动高度;trλg分别为时间、半径、方向角和重力加速度;ζ(r)为基流相对涡度;f为牵连涡度,并取f=cons(t);H(r)为静止流体的厚度,且与基流切向风速V(r)满足梯度风平衡关系,即fV+V2/r=gdH/drΩ(r)=Ω/r表征基流旋转角速度;D′=∂(ru′)/(rr)+∂v′/(rλ)为扰动散度.

为了分析扰动发展过程以及影响系统稳定性的最不稳定模态特征,设方程组的波解形式为

(2)

其中,等式左项表征涡旋系统的扰动场;n代表切向波数;unvnhn均为时间和半径的函数,表示不同波数下扰动变量随时间的演变,因此等式中项表征扰动的波数解形式;为波动的特征频率,表示与波动频率对应的扰动变量振幅的径向分布,因此等式右项表征不同波数扰动的波动解形式.两个等式形式分别对应于大气系统波动和稳定性数值计算的两种基本方法:基于不同波数扰动演变的数值积分法和基于标准模波动性质的模态分析法.

将扰动的波数解(式(2)中间项)形式代入扰动方程组可得到矩阵形式的数值积分方程,即:

(3)

其中Tn为方程的时间演变算子,与基态场及切向波数有关;Xnunvnhn组成的列向量,表征波数为n的扰动变量.式(3)是一个预报方程,可以用来研究特定基态场条件下不同波数扰动的发展问题.由此可见,数值积分法可讨论某一特定波数下扰动的演变或增长过程,但值得注意的是特定波数下的扰动并不是简单的某一类波或某一支波动,而是该波数下模式中不同性质波动的集合.同时根据方程(1)中不同波数扰动的波动解形式(等式右项)可将出发方程改写为与波动频率有关的方程,此时浅水方程波动性质及其发展问题转化为求特征方程的数值解,即:

(4)

其中A为特征值方程的系数矩阵,与方程(3)中时间算子Tn相同. 为矩阵A的特征值,同时也表征涡旋系统特定波数以及特定背景条件下产生的波动的频率特征;为与特征值相对应的特征函数,即为具有特定频率的特征波动所具备的扰动风场和高度场的径向分布结构.当为复数时,表示该特征波动不稳定,其实部为不稳定扰动的传播频率,虚部为不稳定扰动增长率.

特征模态线性叠加的基本思想是基于线性动力学假设和标准模的波解形式,可将波数n的通解表征为该波数下所有可能特征模态的线性叠加.基于方程(4)求得的离散化特征值和特征向量,得到不同波数下扰动演变的模态线性叠加表达式.考虑到与前文数值计算方案相一致,表达式仍然采用相同的交错网格,故有:

(5a)

(5b)

(5c)

这里N为离散化精度,j表示离散化径向位置指数,水平风场取N个偶数格点的值,j=2, 4, 6, …, 2N;高度场取N+1个奇数格点上的值,j=1, 3, 5, …, 2N+1.k代表特征频率指数,表示第k个特征频率对应的特征向量在rj处的值.Ck为各特征模态的权重系数,表征了每一支波动在系统扰动结构分布和发展过程中的作用大小.参考Montgomery和Lu(1997,hereafter:ML97)计算方案,通过预先给定一个初始条件[un(rj, 0), vn(rj, 0), hn(rj, 0)],求解线性方程组(5)的反问题得到Ck.之后,就可以利用特征模态线性叠加的结果讨论扰动的演变问题.该方法的研究对象是特征模态,因此模态线性叠加的方法不仅可以讨论不同特征波动模态的传播和演变(ML97),还可以分析不同性质模态的集合对系统整体变化的影响(Zhong and Zhang, 2014),这对于弄清楚影响TC强度和结构变化的内部动力学机制十分重要.

本文数值求解方案与前期研究设定相同:定义涡旋系统的外边界为rb,采用极坐标系交叉网格配置,对方程进行离散化,水平风速方程写在偶数格点上,质量方程写在奇数格点上,将[0,rb]区域均分为2N等分.设rb=600 km,离散化的精度N=3000,空间分辨率dr为200 m.边界条件为:r=0,

1.2 理想试验设计

涡旋系统稳定性受到基态涡旋的强度和廓线结构分布的共同影响.本文前期研究利用170组数值试验系统地讨论了在涡旋系统具有相同基流最大切向风速的前提下基态PV径向分布对浅水涡旋系统动力稳定性的影响,指出基态PV结构对系统最不稳定模态的特征频率和不稳定增长率的大小及其对应的最不稳定波数的分布具有重要的影响.尽管本文的研究对象是不同PV廓线条件下的基态涡旋,但由于我们选取的浅水模型不考虑非绝热加热的影响,使得垂直运动尺度远小于水平运动尺度,将涡度廓线可以近似看作PV径向分布结构.本文构造基态PV径向分布的方法与前期研究一致,即采用与Nolan等(2001)相同的构造方法,根据相对涡度廓线来定义基态涡旋的结构,设基态相对涡度廓线为阶梯状分布,分布函数为

(6)

其中,ζ1ζ2ζ3r1r2r3r4r5r6均为常数.ζ1ζ2ζ3为基态涡旋涡度径向分布的参考值.r1~r6用于划分基态涡旋涡度区域函数的参考半径,r2r3之间距离为基态涡旋的眼墙区域,r1r2之间和r3r4之间的区域分别为涡度发生陡变(剧增或骤减)的区域.r6以外为基流涡度为零的区域,r5r6之间为涡度陡变区域与弱涡度区的过渡.选取具有三次多项式形式的形状函数,即S(x)=1-3x2+2x3,其满足S(0)=1,S(1)=0和S′(0)=S′(1)=0.该函数可以控制涡度的径向分布结构,且使得基态涡度径向分布廓线光滑.

参照Hendricks等(2009)设计关于基态涡旋PV环状结构的敏感性数值试验的方法,引入两个参数即宽度(Thickness)δ和中空度(Hollowness)γ,来定量描述PV环的结构特征.首先,PV环宽度δ表征高值PV带的径向宽度,定义为眼墙内外边界涡度发生陡变的半径长度之比,即δ=(r1+r2)/(r3+r4).其次,中空度γ表征眼心相对涡度与高值PV的差异,理想试验中定义为相对涡度ζ1与内核区平均相对涡度ζav之比,即γ=ζ1/ζav.考虑到真实TC发展过程中系统的强度和结构随时都在发生变化,为了完整地分析基态PV结构对涡旋系统演变的影响,本文将进一步讨论具有不同基态涡旋强度系统的基态PV结构对内核区域扰动发展和涡旋结构变化的影响.

结合前期170组试验结果的分类,本文挑选了3组典型PV结构参数,即在(δγ)空间内的取值依次为(0.25,0.7)、(0.5,0.2)和(0.75,0.2),其分别表征具有宽且实、宽度适中且较空以及窄且空的PV环.随后在固定每组PV结构参数的条件下,设置基流最大切向风速分别为20 m·s-1、40 m·s-1和60 m·s-1,对相同PV结构下基态涡旋强度对系统稳定性的影响进行敏感性试验.

考虑到在发展成熟的TC眼墙区域,常观测到局地非对称对流的存在.本文在涡旋的眼墙区域给定一个具有高斯分布特征的初始扰动位势高度场,公式为

(7)

其中reye=(r2+r3)/2表示眼墙区域中心位置,weye=r3-r2表示眼墙的宽度,初始扰动高度的振幅为基态高度最大值H0的1%,即h0=0.01×H0,这里H0=3000 m,因此,给定的初始扰动高度的最大值为30 m,最小值为0.设初始扰动风速为0.

根据基态涡旋的基本特征,可计算得到基态涡旋的相关物理量,图 1给出了(δγ)=(0.25,0.7)条件下,具有不同强度涡旋的基流相对涡度、切向速度、角速度和位势高度的径向分布.从基流相对涡度径向分布可以看出,三条廓线涡度大值区的径向位置均相同,说明三条廓线表征的中空PV环的宽度相等;另外,尽管三条廓线的眼心处相对涡度值不同,但是TC中心处的涡度与对应的内核区域涡度平均值的比值相同,即三条廓线的中空度一样,由此说明涡度径向分布在形态上保持一致.从基流切向风速的径向分布可以看出,三组试验的基流最大风速半径均为40 km,这就使得切向速度从眼心向外增大达到最大风速过程中,基流强度越大则内核区域风速变化越剧烈.基流角速度的径向分布与切向风速类似,PV结构相同使得角速度在同一半径处(10 km左右)开始出现量值增长,而基流强度越大,基流角速度也越大,同时增长曲线越陡.从不同强度的基流位势高度分布来看,强度越大,中心位势高度越小且内核区域基流位势梯度越大.对于其余两组PV结构参数,在基流最大切向风速不同的情况下计算得到的基态涡旋场,除相对涡度径向分布体现PV环宽度和中空度的差异外,其他物理量具有相似的分布特征(图略).

图 1 (δγ)=(0.25,0.7)条件下不同强度系统的(a)基流相对涡度、(b)切向风速、(c)角速度及(d)位势高度的径向分布 (虚线、实线和点虚线依次表示基流最大切向风速分别为20 m·s-1、40 m·s-1和60 m·s-1的涡旋系统) Fig. 1 Radial distributions of (a) relative vorticity (10-3 s-1), (b) azimuthal velocity (m·s-1), (c) angular velocity (10-3s-1), and (d) fluid depth (m) associated with different maximum azimuthal velocities at (δ, γ)=(0.25, 0.7) as the basic state (Dotted lines, solid lines and dot-dashed lines denote the maximum azimuthal velocities are 20 m·s-1、40 m·s-1 and 60 m·s-1, respectively)

研究表明:相同基流强度条件下不同PV廓线结构对系统最不稳定波数(the Most Unstable Wavenumbers,MUWN)具有关键的影响(H09),同时通过影响系统最不稳定模态(the Most Unstable Mode in System,MUMS)的特征频率以及不稳定增长率大小,对系统最不稳定波动具有选择性(曾庆存,1979).为进一步说明基态涡旋强度在此过程中的影响和作用,表 1给出了基于前文敏感性试验配置得到的系统稳定性参数.表中ω表示MUMS固有频率,GRMUMS表示系统最不稳定模态的增长率.需要说明的是,波动固有频率ω量值的相对大小是判断波动物理本质的重要参考(Holton,2004),而数值模式计算得到的特征频率是考虑基流后不同波数条件的波动频率,即固有频率ωnΩ之和,同时由于内核区域MUMS一般出现在高值PV环中(H09),因此表中ω是由nΩmax的差值来估算其固有频率的大小.

表 1 敏感性试验基态PV结构参数、最大切向风速、MUMS的固有频率和不稳定增长率以及MUWN Table 1 Structural parameters of PV rings, maximum azimuthal velocities, intrinsic frequencies of MUMS, growth rates of MUMS and MUWNs in sensitivity tests

前期研究通过分析170组试验讨论相同基流最大切向风速条件下,不同PV廓线对系统稳定性特征的影响,结果表明PV环较厚时,系统主要表现为1波低频波的弱不稳定特征;而随着PV环变薄变空,最不稳定模态的不稳定增长率越大,且表现为高波数最不稳定,同时MUMS的固有频率向中高频波动移动.而对于基态PV廓线相同但基流最大风速不同的涡旋系统来说,基流切向风速越大,MUMS的不稳定增长率的量值越大,说明基态涡旋强度对稳定性的强弱有影响.对于具有厚且实的PV环,MUMS的不稳定增长率对系统强度变化更加敏感,如在(δγ)=(0.25,0.70)PV环结构的三组试验中,Exp.1-1、Exp.1-2和Exp.1-3的MUMS的增长率量值依次相差接近1个数量级,而其他两个PV环结构的系列试验中不同强度的MUMS增长率量值基本维持在同一数量级.值得注意的是,尽管MUMS的固有频率随着基流强度的增强有所增加,但MUMS波动频率的性质和MUWN仍未发生改变.对于(δγ)=(0.25,0.70)的PV环,不同强度的MUMS的固有频率均为低频波且表现为1波最不稳定;对于(δγ)=(0.50,0.20)和(0.75,0.20)的PV环,不同强度的MUMS的固有频率均为高频波,最不稳定波数分别为3波和4波.

总的来说,基态PV的径向分布对涡旋系统的稳定性特征以及决定稳定性特征的系统最不稳定模态的波动性质起着决定作用,同时对内核区域扰动发展和结构变化有着重要影响.而基态涡旋强度主要影响稳定性的强弱,也就是说对扰动发展的快慢起作用,尤其对具有厚且实的PV环结构的弱不稳定系统影响更大.

2 内核扰动发展与系统结构演变 2.1 不同波数下不稳定模态分布及其扰动动能演变

大量研究表明:不稳定对波数n具有一定的选择性,在特定基态背景场条件下,具有某些n值的波动是不稳定的,而具有其他波数的波动则具有相对稳定性,且不稳定波数间的扰动也存在相互作用(曾庆存等,1990Zhong et al., 2009).因此,分析不同波数下增长最快模态的分布和发展过程,揭示其传播规律,有助于探讨不同波数下扰动发展及其相互作用,理解其对类TC系统的结构和强度变化的影响.

由涡旋系统1~10波不同波数下增长最快模态(the Fastest Growing Mode for n,FGM_n)的扰动增长率(Growth Rate,GR)的分布特征(图 2)可知,尽管强度差异对GR随波数分布的量值有一定影响,但相同基态PV廓线条件下不同强度的系统的GR随波数变化的曲线大体一致,这与前文(表 1)分析结果完全一致,而基态PV径向分布的差异对GR的变化曲线影响很大.当基态PV结构厚且实(Exp.1-1~3)时,系统稳定性主要取决于低波数扰动的影响,1~3波下FGM_n的GR位于(10-6,10-5)区间内,高波数(4波及其以上)的不稳定增长率快速衰减至10-7以下,明显小于MUMS的不稳定增长率.当高值PV环宽度适中且较空(Exp.2-1~3)时,3组不同强度的试验MUMS均出现在3波且对应的GR基本位于10-4量级,较其他波数下的FGM_n大1个数量级以上.当基态PV环薄且空时(Exp.3-1~3),3组不同强度的涡旋MUMS的GR超过了10-4,值得注意的是,3~5波增长最快模态的GR基本均处于同量级(10-4)且量值非常接近.

图 2 理想试验的不稳定增长率随波数的分布 Fig. 2 Distribution of growth rates with wavenumbers

前期研究在分析不同基态PV廓线下扰动动能演变时,将动力不稳定造成的扰动增长达到基态涡旋强度所用的时间定义为系统对动力不稳定的响应时间,在响应时间内系统的强度和结构变化主要受稳定性的影响.根据MUMS不稳定增长率可以估算出各组试验的响应时间,结果如表 2所示.对于厚且实的PV环,当基流最大切向速度小于60 m·s-1(Exp.1-1和Exp.1-2),系统的响应时间超过了240 h,说明这种PV结构下的系统可视为稳定的;当基流最大切向速度达到60 m·s-1(Exp.1-3),系统响应时间约为80 h,说明此时动力不稳定造成的扰动增长相对涡旋系统非常小.对于宽度适中且较空的PV环(Exp.2-1~3),系统响应时间均不超过24 h,说明这种基态PV廓线引起的动力不稳定对扰动增长有一定作用,且基态涡旋强度越大响应时间越短,扰动增长越快.在Exp.3-1~3中,由于不稳定增长率较大,使得系统对不稳定响应时间短,当基流最大切向速度达到40 m·s-1以上时,响应时间不超过3 h,动力不稳定非常强使得扰动快速增长达到基态涡旋强度.总的来说,PV环越厚且强度越小,系统不稳定越弱,扰动的不稳定发展对系统影响很小;PV环越薄越空且强度越大,扰动增长越快,系统对不稳定响应时间越短.

表 2 各组试验系统对动力不稳定的响应时间 Table 2 Response time of vortices to dynamic instability

为了讨论不同波数下扰动的演变,同时考虑到不稳定对波数的选择性以及不同PV环结构下系统稳定性的波数分布特征存在的明显差异(图 2),图 3主要给出了各组试验前3个不稳定波数的扰动动能随时间的演变.注意,初始时刻扰动动能为0,纵坐标取对数坐标,因此t=0时,扰动动能设置为缺省.

图 3 不同波数下扰动动能随时间的演变(纵坐标取对数坐标) Fig. 3 Perturbation kinetic energy as a function of time for different wavenumbers (ordinate takes log)

分析扰动动能的演变情况(图 3a),发现对于PV环厚且实的系统主要表现为1波不稳定,且扰动动能的演变存在明显初始能量调整过程,这个过程与快波的能量频散过程有关(Nolan et al., 2001),说明了这类低频波主导的发展演变具有平衡特征的约束.而在不稳定发展阶段,低波数扰动能量的增长与Nolan等(2001)描述的代数不稳定发展过程类似,说明PV环厚且实时,主要表现为低频波动缓慢增长特征,不稳定性质更接近代数不稳定.PV环宽度适中(Exp.2-1~3,图 3b)的情况,同样存在初始非平衡能量调整过程,该过程结束后不稳定增长率大的优势波数出现快速指数型增长,并取得主导地位.感兴趣的是,对于PV环结构较厚较空且基流最大切向速度为20 m·s-1的Exp.2-1,由于其扰动增长率明显小于其他两组PV环结构相同但强度不同试验的扰动增长率,使得其MUWN下扰动动能增长远远落后于Exp.2-2和Exp.2-3的MUWN的扰动动能.当PV环薄且空(Exp.3-1~3,图 3c)时,无初始能量调整过程,说明此时出现快速增长的波动对于平衡性的约束要求较低,同时, 每组均存在2个或2个以上具有快速指数型增长的FGM_n且具备同步增长的过程,说明该PV环结构下多个波数FGM_n的不稳定增长相当,造成系统演变过程中不同波数之间出现相互作用,从而影响系统扰动的强度和结构.

2.2 稳定性对涡旋结构变化的影响

H09利用正压无辐散数值模型研究类TC涡旋系统的PV混合过程时指出PV环出现动力不稳定会引起波动破碎使得眼墙区域的高值PV向眼心区域混合,而在混合过程中不同环形结构的PV环会出现不同的多边形结构或中尺度涡,这些非均匀结构与初始动力稳定性密切相关.在上述讨论稳定性对扰动发展影响的基础上,考虑到PV环厚且实条件下系统接近稳定的特征,同时基态涡旋强度对最不稳定波数基本无影响,本节以基流最大切向速度均为40 m·s-1,PV环结构较厚较空的Exp.2-2和结构较薄较空的Exp.3-2两组试验为例,分析稳定性对系统结构变化的影响.

基于线性化的动力学理论,系统变量可以看成是基本场变量和叠加在其上的扰动量组成,即:

(8)

其中F为系统变量;F是半径的函数,表征基态场物理量;F′为扰动变量.同时,扰动量也可视为不同切向波数n下扰动之和,公式为

(9)

这里Fn(r, t)是时间和半径的函数,表示不同波数下扰动变量随时间的演变.本文运用模态线性叠加法可得到不同波数下扰动变量Fn随时间演变的结果,再将其与给定的基态场叠加,该结果可用于讨论系统的强度和结构变化.

考虑到不同波数扰动下最大不稳定增长率存在量级差异(图 2),当特定波数下最快增长模态的增长率较最不稳定模态小两个量级以上,则在方程(7)可视为小量,因此可取不稳定增长率量值为前三的波数扰动下所有模态的叠加近似表征系统扰动量及其发展.基于上述方法,图 4展示了两组试验扰动变量随时间的演变及内核区域涡旋的结构变化.对于Exp.2-2,从一维分布来看(图 4ac),扰动发展1 h后系统最不稳定模态的PV扰动在径向方向上存在两个明显的峰值,分别位于半径20 km和40 km处,且半径20 km处的峰值更大,其余位置扰动分布均比较平缓;而模态线性叠加法计算得到的3波扰动的整体量值明显小于最不稳定模态,且半径20 km处存在明显峰值,半径20~60 km范围内表现为小幅度的波状振荡,随后,3波扰动在半径20 km处的峰值越来越接近MUMS的峰值,且半径40 km处逐渐发展起第二个扰动PV峰值,说明最不稳定模态在影响3波扰动的发展上基本占据了优势主导地位,不同模态之间的相互作用逐渐弱化.扰动发展2 h后,二者的径向结构基本一致且两个峰值的值十分接近,说明此时3波扰动的发展完全受到最不稳定模态的控制.同时,3波扰动发展达到基态涡旋的强度,说明其模态发展造成的扰动物理量场的变化达到足以影响整个系统结构和强度变化的量级.结合Exp.2-2的涡旋结构变化来看,系统发展1 h后,高值PV环的结构出现非均匀分布,在眼墙内边界逐渐出现3边形结构;到1.5 h,眼墙区域出现3个明显的PV大值中心,系统发展到2 h,涡旋内边界可以明显地看到3波结构,眼墙外边界也逐渐出现3边形的结构,这说明在Exp.2-2的基态PV廓线下更有利于3波扰动增长的维持.

图 4 不同时刻Exp.2-2和Exp.3-2的扰动PV的发展和系统的结构变化 第一行是Exp.2-2系统最不稳定模态(MUMS, 红色实线)与特征模态线性叠加的3波(WN3,黑色实线)扰动PV绝对值的径向分布;第二行是Exp.2-2的PV(阴影,单位PVU)二维平面分布图;第三行表示Exp.3-2前3个不稳定波数的增长最快模态(包括系统最不稳定模态),按增长率从大到小的顺序排列依次为MUMS(红色实线)、FGM5(绿色实线)和FGM3(蓝色实线),以及特征模态线性叠加的4波(WN4,黑色实线)扰动PV绝对值的径向分布;第四行分别与第二行表示一致,但代表Exp.3-2.阴影图的色阶均取不同时刻PV最大值PVmax与0之间5等分. Fig. 4 Development of perturbation PV and structural change of vortices in Exp.2-2 and Exp.3-2 The first line denotesradial profiles of perturbation PV for both the MUMS (red line) and the WN3 (black line) obtained by summing all the vortex eigenmodes at time t=1.0, 1.5, and 2.0 h in Exp.2-2. The second line denotes map-plots of PV at the same times of the first line in Exp.2-2. The third line denotes radial profiles of perturbation PV for the fastest growing mode for the first three unstable WNs, including MUMS (red line), FGM5 (green line), and FGM3 (blue line), as well as the WN4 (black line) obtained by summing all the vortex eigenmodes at the same times of the first line in Exp.3-2. The forth line denotes map-plots of PV at the same times of the first line in Exp.3-2.

通过上文分析可知,对于表征具有薄且空的PV环结构的Exp.3-2来说,3~5波下增长最快模态的不稳定增长率均处在同一数量级上(图 2)且扰动动能同步发展(图 3).在这种稳定性特征下为了能够更加清楚地解释内核区域扰动的发展及其系统的结构变化,图 4gi同时给出了Exp.3-2的前3个不稳定波数的增长最快模态(包括系统最不稳定模态)的扰动PV径向分布.扰动发展1 h后前3个不稳定波数下增长最快模态和由特征模态线性叠加的4波扰动的PV在径向方向上同样出现了两个扰动PV的峰值,分别位于半径32 km和40 km处.最不稳定模态的PV扰动量值整体小于该波数下所有模态之和,且峰值以外区域波状振荡更为明显,这是由于最不稳定模态所对应的模态系数小,使得扰动发展初期增长速度缓慢,削弱了MUMS对4波扰动发展的影响,使得该波数下不同模态间的相互作用影响较为明显(图 4g).在半径32 km附近3波和5波对应的增长最快模态(FGM3和FGM5)的扰动PV峰值均小于最不稳定模态.但在半径40 km处两个增长最快模态的扰动PV发展超过了4波下的最不稳定模态,甚至超过了4波所有模态叠加的结果.到1.5 h(图 4 h),Exp.3-2的MUMS和4波扰动在量值和结构分布上几乎完全一致,说明此时MUMS在4波扰动的发展过程中已占据主导地位,同时最不稳定波数下扰动发展达到基态涡旋强度.同样,FGM3和FGM5的扰动也在发展,尤其是FGM5扰动发展与4波扰动发展接近,在眼墙外边界附近半径40 km处甚至超过了最不波数下的扰动发展.而从涡旋结构演变来看(图 4jl),当4波扰动发展到与基态涡旋强度同量级时,系统并没有出现典型的4边形结构,而是表现为非均匀的多边形结构,这是由于Exp.3-2中多个波数的FGM不稳定增长相当,造成系统演变过程中不同波数之间出现相互作用,从而影响扰动结构变化.

3 个例诊断

前文通过一系列的理想试验证实了基态PV廓线对内核区域扰动的发展及结构变化起着重要的影响.在实际TC快速发展过程中,常常观测到非对称的多边形眼墙结构,可以是3边形、4边形和5边形,甚至存在6边形的多边形结构(Lewis and Hawkins, 1982Muramatsu,1986Hendricks et al., 2012),这些结构的形成与TC中的动力不稳定密切相关(Terwey and Montgomery, 2002Kwon and Frank, 2005Hendricks et al., 2009Hendricks and Schubert, 2010Menelaou et al., 2013a).本节利用高分辨率数值模拟资料,诊断分析飓风Wilma(2005)在发展过程中基态PV的径向分布对系统结构变化的影响.

3.1 基态PV强度和结构分布

本文所用资料来源于Chen等(2011)利用WRF模式对飓风Wilma(2005)成功地模拟,并将此次模拟过程分为快速增强前(pre-Rapid Intensification,pre-RI)阶段(积分0~15 h)、快速增强(RI)阶段(积分15~36 h)和快速增强后(post-RI)阶段(积分36~72 h).参照刘爽等(2015)在实际个例中对基态PV环结构参数——宽度δ(眼墙内外边界涡度发生陡变的半径长度之比)和中空度γ(眼心处位涡值与径向位涡的峰值之比)的定义,求得飓风Wilma模拟过程中PV环的两个结构参数.由于模式初始6 h为模式调整阶段,并考虑到48 h以后开始出现眼墙替换过程,基态径向PV出现多个峰值,因此图 5给出了6~48 h的模拟过程中PV的强度和结构分布及其与飓风Wilma(2005)强度变化的对应关系.

图 5 (a) 飓风强度、(b) 3 km高度上PV最大值和(c) 3 km高度上径向PV结构参数随时间演变(a)中实线表示最低海平面气压(单位hPa),虚线表征最大地面风速(m·s-1);(c)实线表示相对宽度,虚线表示中空度 Fig. 5 Time series of (a) minimum sea level pressure (solid, hPa) and surface maximum tangential wind (dashed, m·s-1), (b) the maximum PV at z=3 km, and (c) two structural parameters, in which thickness and hollowness are denoted by solid and dot-dashed lines, respectively

在飓风缓慢发展阶段(pre-RI),PV强度变化不大,对应的PV环的两个结构参数δγ基本保持不变,分别为0和1,说明此时PV环基本呈单极分布特征,即PV最大值位于眼心,沿眼墙两侧向外单调递减.进入RI阶段,积分15~27 h飓风爆发性增强,此时内核区域PV强度也快速增强,PV最大值从37.38PVU增加到111.1PVU,而两个结构参数基本呈反比的关系,宽度振荡式增加而中空度振荡式减小,说明该阶段系统基态PV结构整体上具有变薄变空,系统动力不稳定增强,同时基态涡旋结构在中空涡旋和单极涡旋之间存在快速循环转变,有利于扰动与基态涡旋之间的能量交换(Hendricks).接下来的RI阶段(积分28~36 h),这阶段尽管两个结构参数依然保持反比关系,但变化趋势发生了明显的改变,宽度逐渐减少,中空度逐渐增加,说明此时眼墙区域的高值PV向眼心处混合造成PV环变厚变实,动力不稳定减弱,对应于TC系统增强的速率减小,PV最大值的增加速率也明显变缓.在post-RI阶段,两个结构参数的变化更加复杂,在该阶段的前5 h内,中空度缓慢减小而宽度几乎没有变化,系统稳定性变化较小,对应该时段虽然系统最大气压出现增大,但是最大风速基本保持不变,同时PV最大值依然保持增加的趋势;到积分41 h后宽度与中空度开始出现明显增大,说明此时PV环有变薄变实,具有向单极涡旋转变的趋势,TC系统也趋于稳定对应TC强度和PV最大值均开始减弱.

3.2 系统结构变化

Chen等(2011)Chen和Zhang(2013)利用高分辨率数值模拟资料对飓风Wilma(2005)进行了详细描述,指出在Wilma(2005)发展过程中存在明显的多边形眼墙结构.本文将通过讨论实际个例的结构变化,进一步分析基态PV廓线对系统结构变化的影响.

结合图 5的显示结果,在飓风发展的三个阶段依次挑选一个时次并计算出相应的PV环结构参数.参照H09给出的不同基态PV廓线下最不稳定波数分布结果,判断出其对应的最不稳定波数的分布,结果如表 3所示.在积分15 h 00 min,PV环的结构厚且实,此时系统表现为1波弱不稳定;在Wilma(2005)爆发性增强阶段,PV环变得薄且空,动力稳定性特征主要表现为高波数不稳定,在23 h 00 min系统MUWN为4波;到了飓风衰减阶段,两个结构参数均增加,PV环变得较薄且实,在积分44 h 30 min时,表现为2波最不稳定.

表 3 不同积分时刻飓风Wilma基态PV环结构参数及MUWN的分布 Table 3 Structural parameters of PV rings and the MUWNs of Hurricane Wilma at different integration times

图 6给出了各积分时刻及其后每间隔5 min的3 km上PV的水平分布图,结合表 3的结果讨论基态PV环的结构对系统结构变化的影响.积分15 h 00 min,PV水平分布的非对称性很明显,在内核区域零散地分布着几个PV大值中心,这些大值中心发生合并形成一条未闭合的高值PV带,这种非对称性与1波扰动增长有关(图 6ac).积分23 h 00 min,PV值明显增大,且内核区域出现了闭合的高值PV的中空结构,该结构表现为不规则的4边形,随后4边形结构越来越清晰,与该时刻下基态PV廓线表现的4波最不稳定对应,说明在该基态PV环结构下更有利于4波扰动增长的维持.积分44 h 30 min,整体来看PV大值较前一阶段有所减小,但眼心处的PV值有所增加,说明眼墙区域的高值PV向眼心处混合,另外,尽管高值PV的水平分布不均匀但整体仍然呈椭圆形分布特征.已有研究表明(Nolan and Montgomery, 2002; H09)椭圆形眼墙结构与2波发展有关,因此该时刻的系统结构与由基态PV廓线决定的2波最不稳定相对应.

图 6 模式资料不同发展阶段3 km高度上的PV(阴影,单位PVU)结构的演变 第一行表示pre-RI阶段(a) 15 h 00 min、(b) 15 h 05 min和(c) 15 h 10 min;第二行表示RI阶段,(d) 23 h 00 min、(e) 23 h 05 min和(f) 23 h 10 min;第三行表示post-RI阶段(g) 44 h 30 min、(h) 44 h 35 min和(i) 44 h 40 min. Fig. 6 Horizontal diagrams of predicted PV (shaded, PVU) at z=3 km over a subdomain of 30 km×30 km at different development stages The first line denotes the pre-RI stage at 5-minute intervals from the 15 h model integration; the second line denotes the RI stage at 5-minute intervals from the 23 h model integration; the third line denotes the post-RI stage at 5-minute intervals from the 44 h 30 min model integration.

通过对Wilma(2005)不同发展阶段PV结构变化的分析表明:TC内核区域眼墙结构及其变化与基态PV廓线决定的最不稳定波数有很好的对应关系,说明特定基态PV廓线对最不稳定增长的扰动波数具有选择性,有利于该波数下较小尺度涡旋的快速增长,从而对其眼墙的多边形结构产生影响.

4 结论

本文基于相同基态涡旋强度下不同基态PV结构(即PV环的宽度和中空度)对浅水涡旋动力稳定性的影响,进一步分析不同基态涡旋强度下典型基态PV径向分布对扰动增长和系统结构变化的影响,深入探究影响TC强度和结构变化的动力机制.

基于线性正压浅水模型,选择分别表征具有厚且实、宽度和中空度适中以及薄且空的三种典型基态PV环结构,针对基态涡旋强度对系统稳定性的影响进行敏感性试验,结果表明基态涡旋强度越大,MUMS的不稳定增长率越大,说明基流强度对稳定性的强弱有影响,尤其对于具有厚且实PV环结构的涡旋来说,MUMS的不稳定增长率大小对强度变化更加敏感.虽然MUMS的固有频率随着基流最大切向风速的增大有所增加,但MUMS波动频率性质和MUWN仍未发生改变.由此说明,基态涡旋的强度主要影响扰动发展的快慢,而基态PV的径向分布对系统最不稳定波数以及最不稳定波动的选择起着决定作用.

考虑到不稳定对波数具有选择性且不稳定波数间的扰动存在相互作用,对不同波数下扰动的发展及其相互作用进行分析.结果表明:当PV结构厚且实,系统稳定性弱且主要取决于低波数不稳定,同时1波扰动动能呈代数型缓慢增长;对于宽度适中且较空的PV环,3组不同基态涡旋强度试验的最不稳定波数均出现在3波,且强度越大扰动动能增长越快,最不稳定波数下的扰动动能出现快速指数型增长且扰动增长的优势地位明显;对于空且薄的PV环,扰动增长率大,不同强度的涡旋均表现为高波数最不稳定且3~5波最不稳定增长率的量值十分接近,造成2个或2个以上具有快速指数型增长的优势波数同步增长,使得系统演变过程中受到多个波数相互作用的影响.基于模态线性叠加结果讨论扰动增长对系统强度和结构变化的影响,发现扰动的发展受到最不稳定增长率和初始扰动配置的共同影响,对于最不稳定波数的优势地位明显的涡旋,最不稳定波数下的扰动发展对系统结构变化具有重要作用,而当多个波数扰动不稳定增长相当时,不同波数之间相互作用对系统结构变化有重大影响.

利用高分辨率数值模拟资料,诊断飓风Wilma(2005)发展过程中的基态PV及对应的系统结构,验证理想试验结果.结果表明:飓风的强度变化与PV最大值的变化率和结构有很好的对应关系.在快速发展前,PV环呈单极分布,系统缓慢增强,对应的PV最大值变化幅度小;飓风快速加强过程中,PV环形成中空结构且逐渐变薄变空,飓风动力不稳定增强,PV最大值急剧增加;当飓风开始减弱时,此时眼墙区域的高值PV向眼心处混合,PV环的结构变得厚且实,不稳定减弱.另外,分析飓风不同时刻PV环的结构参数及涡旋结构特征,发现飓风具有明显的多边形眼墙结构,且多边形结构与当前时刻基态PV廓线决定的最不稳定波数有很好的对应关系,证实了基态PV径向分布对最不稳定增长的扰动波数具有选择性,有利于维持该波数下扰动的增长,从而对涡旋多边形结构产生影响.

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