0 引言

碳酸盐岩、火山岩、致密碎屑岩等油气藏，是目前油气勘探开发的重要目标.作为重要的储集空间和渗流通道，裂缝发育程度直接控制储集层的储集性能，受构造作用和地层应力影响，裂缝通常以裂缝组形式存在(司马立强, 2005; 赵仑等, 2010; Saboorian et al., 2015; 丁拼搏等, 2015; 冯建伟等, 2016).

常规测井项目中，双侧向测井具有较强的聚焦能力，较早用于裂缝研究.Sibbit和Faivre(1985)利用有限元法进行了单条裂缝(0°和90°)的模拟研究；Pezard和Anderson(1990)采用宏观各向异性模型，依据电导率张量矩阵，计算了不同角度裂缝组的测井响应；李善军(1996)用三维有限元法计算了任意角度平板状裂缝模型的测井响应，建立了裂缝孔隙度的反演模型；邓少贵(2012)进行了缝洞型地层的双侧向测井响应数值模拟；范宜仁(2016)进行了洞穴型地层双侧向测井响应的物理和数值模拟对比分析.双侧向测井对裂缝探测主要是定性或半定量解释，并根据深浅侧向幅度差异识别裂缝产状，但缺少方位敏感性信息.电成像测井可以直观显示过井眼裂缝(裂缝的产状、张开度、方位和发育规律)，在裂缝评价中具有重要作用，但成本较高且仅能反映井壁附近地质特征(Moinfar et al., 2012; Li et al., 2016; Sarkar et al., 2016).方位成像测井仪(ARI)和高分辨率方位侧向成像测井仪(HALS)是被较早提出用来研究井周地层电阻率三维分布的仪器，但其相关裂缝的测井响应及应用实例较为少见(Faivre, 1993; Davies et al., 1994; Smits et al., 1995; 杨, 1999).

本文提出一种方位侧向测井方法，它将井旁径向和井周方位电阻率探测相结合，利用三维有限元方法，模拟研究了其对裂缝的测井响应特征和指示刻画方法，以期为裂缝产状和发育特征的评价提供帮助.

1 方位侧向测井电极系结构及测量原理

方位侧向电极系为，全长仅6 m，电极距(监督电极中点间的距离)0.2 m，相当于分层厚度约0.2 m.电极系结构如图 1，将中间的监督电极M0等角度间隔成12个方位电极(M0₁…M0₁₂)，单个方位电极角度为10°，相邻两个方位电极之间的绝缘体跨度为20°，方位电阻率测量是利用M0中12个方位电极的电位差异确定井周介质的非均质性；在外侧对称分布同名主电极A0和屏蔽电极A1、A2.该仪器能够同时测得深、浅侧向视电阻率以及深、浅探测深度下的各12个井周方位电阻率.

(1) 深、浅侧向视电阻率

令监督电极M0的12个方位电极的电位均值与M1、M1′电位相等，深、浅侧向视电阻率的计算公式如下：

(1)

(2)

(2) 方位电阻率确定

方位电阻率是通过测量主电极A0和方位电极M0_i(i=1, 2, …, 12)的电位差得到，计算公式如下(Deng et al., 2015)：

(3)

(4)

式中：K_d、K_s分别为深、浅侧向的电极系系数；U_d(M1)、U_s(M1)分别为深、浅探测模式监督电极M1的电位；I_d(A0)、I_d(A0′)和I_s(A0)、I_s(A0′)分别是深、浅探测模式下主电极的电流；ΔU_d(M0iA0)、ΔU_s(M0iA0)分别为深、浅探测模式下各方位电极M0_i与主电极A0 (A0′)的电位差.

经数值模拟计算，方位侧向测井的深、浅探测深度(径向积分几何因子为0.5时的探测半径)分别约为1.0 m，0.4 m，纵向分辨率约为0.2 m.

2 裂缝性地层方位侧向测井三维有限元算法

假设裂缝性地层由裂缝和基质两部分组成，裂缝布满仪器整个探测范围，采用平板状裂缝地层模型(李善军, 1996; 史謌等, 2004)，如图 2，裂缝走向沿x轴，倾向沿y轴负方向，z为井轴方向，σ_b、σ_f分别为基岩和裂缝流体的电导率，h、d分别为裂缝张开度和裂缝间的垂直距离，α为裂缝倾角，定义裂缝孔隙度.以y轴正方向为零角度起点，1~6号方位电极的排列角度依次增加，设置的模型镜面对称，只需确定这6个方位电极电阻率，其他6个方位电极电阻率可直接对称取得.

方位侧向测井响应计算实际上是求解稳流场定解问题，即求出一个连续的势函数U，使它满足：

(5)

σ为介质电导率，函数U满足的第一类和第二类边界条件.将上述定解问题转化为U的某一泛函的极值问题，采用的能量泛函可表示为：

(6)

式中V为求解区域，J和E分别为电流密度矢量和电场强度矢量，I_E、U_E分别为供电电极的电流和电位.

裂缝性地层，式(6)可改写为(邓少贵和李智强, 2009; 邓少贵等, 2012)：

(7)

其中：

(8)

(9)

式(7)—(9)中，Φ_b、Φ_f的积分分别在基岩体积V_b和裂缝体积V_f中进行，V_f=Vϕ_f，V_b=V(1－ϕ_f)，e_n为裂缝法向方向.一般在碳酸盐岩、火山岩等裂缝性储层中，泥浆通常侵入较深，可认为裂缝流体性质只与钻井液有关，且基岩电阻率一般较高，所以σ_b≪σ_f；一般裂缝孔隙度ϕ_f≪1，则V_b≈V，所以式(7)可改写为

(10)

裂缝性地层，裂缝多以裂缝带的形式存在，致使裂缝性地层的电参数(电导率等)具有复杂的各向异性，从宏观及统计意义上考虑，裂缝组等效为宏观电性各向异性地层(Schoen et al., 1999; 沈金松等, 2009; Cook et al., 2010).也就是说，在一定地质尺度下，裂缝性地层的电导率在宏观和微观上是统一的.

宏观各向异性地层的能量泛函表示为：

(11)

式中，ξ₁=x, ξ₂=y, ξ₃=z，σ为地层的电导率张量.

对于裂缝性储层的水平方向电导率σ_h，裂缝组可视为与周围介质并联，则有：

(12)

对于垂直方向电导率σ_v，这些平行导电体可视为与周围介质串联，则有：

(13)

因为ϕ_f≪1，σ_b≪σ_f，所以：

(14)

地层的电导率张量σ可表示为：

(15)

将式(15)代入式(11)，宏观各向异性地层的能量泛函为：

(16)

显然，利用三维有限元算法计算等间距平行裂缝组与宏观各向异性地层测井响应时，二者所构造的泛函是一致的，结果也该一致.利用式(7)—(10)或(11)—(16)并施加特定的电极系约束条件，采用改进的前线解法(张庚骥, 1984)，编写三维有限元算法Fortran程序，可快速计算裂缝性地层的方位侧向测井响应.

3 单一裂缝的方位侧向测井响应 3.1 不同倾角单一裂缝的方位侧向测井响应

计算条件：井眼直径8 in，基岩电阻率为10000 Ωm，钻井液电阻率1 Ωm，裂缝流体电阻率1 Ωm，裂缝张开度200 μm，仪器中点对应裂缝位置.由于深、浅方位电阻率曲线的响应规律相似，文章只阐述深探测的方位响应特征.

倾斜裂缝方位侧向测井响应如图 3，HARLs、HARLd、HARLd(i)(i=1, 2, …, 6)分别代表浅侧向、深侧向、深方位电阻率.深浅侧向测井响应反映裂缝的倾角特征，方位电阻率的差异反映裂缝的倾向信息.随着裂缝倾角的增大，深浅侧向视电阻率和方位电阻率数值均增加.深浅侧向曲线在低角度缝时为负差异(深侧向电阻率低于浅侧向电阻率)，高角度缝时为正差异；沿裂缝走向的方位电极(3号和4号)电阻率值小，沿裂缝倾向的方位电极(1号和6号)电阻率值大，且各方位电阻率之间的差异随倾角的增加而增大.与常规双侧向测井相比，方位侧向测井响应可用于直接判断裂缝倾向、倾角等信息.

3.2 不同张开度单一裂缝的方位侧向测井响应

计算条件：井眼直径8 in，基岩电阻率3000 Ωm，钻井液电阻率1 Ωm，裂缝流体电阻率1 Ωm，裂缝倾角分别为0°、45°、90°.

不同张开度裂缝的深浅侧向视电阻率如图 4a，裂缝张开度增大，视电阻率值减小，低角度缝下降较快，高角度缝下降较慢；张开度相同时，低角度缝的视电阻率明显低于高角度缝；张开度足够大时，深浅侧向曲线发生明显的分离，同图 3a规律一致，低角度缝为负差异，高角度缝为正差异.

不同张开度裂缝的深方位电阻率如图 4b，方位电阻率间的差异随着倾斜裂缝张开度的增加而增大，水平缝的方位电阻率曲线完全重合，裂缝倾角越大，方位差异性越明显，垂直缝的方位电阻率差异最强.

3.3 裂缝的方位电阻率井周成像

根据6条井周方位电阻率曲线，采用Matlab中的Griddata插值函数，计算井周360°方向的电阻率分布，得到裂缝的方位电阻率井周成像图，提供裂缝产状、张开度特征的直观显示.

如图 5a，基岩电阻率3000 Ωm，裂缝张开度200 μm，倾角分别为0°、45°和75°.水平缝的方位电阻率无差异，倾角越大，视张开度越大，图像为明显余弦曲线特征.图 5b将张开度缩小至20 μm，裂缝图像响应不明显，尤其是高角度裂缝识别变的困难.

4 等间距裂缝组的方位侧向测井响应 4.1 计算条件

井眼直径8 in，基岩电阻率10000 Ωm，钻井液电阻率1 Ωm，裂缝流体电阻率1 Ωm，定义裂缝密度为单位纵向长度内裂缝的条数，保持裂缝孔隙度不变，裂缝组总张开度为500 μm，裂缝密度分别为2、3、5、8、10、20和50条/m.

4.2 深浅侧向测井响应

裂缝组深浅侧向测井响应如图 6，裂缝密度较小时(如小于8条/m)，测井视电阻率值随裂缝密度的增加而增大，而且低角度缝条件电阻率增加更明显；随着裂缝密度增大到一定程度，深浅侧向测井值趋于稳定，如裂缝密度为10、20、50条/m时，测井响应基本重合.另外，深浅侧向幅度差异受裂缝倾角控制，在低角度时为负差异，高角度时为正差异.

4.3 方位电阻率测井响应

裂缝组方位电阻率测井响应如图 7，方位电阻率的差异随裂缝密度的增加，倾角的增大发生明显变化：裂缝密度较小时(如小于8条/m)，与单一裂缝(图 3b)测井响应类似，沿裂缝走向的方位电极(3号和4号)电阻率值小，沿裂缝倾向的方位电极(1号和6号)电阻率值大.

随裂缝密度增大，方位电阻率差异特征发生变化，如裂缝密度为8条/m时，低角度裂缝组1号、6号方位电阻率大于3号、4号的方位电阻率；高角度裂缝组方位电阻率的差异发生反转，3号和4号方位电阻率大于1号和6号的方位电阻率.裂缝密度增大到10条/m，随倾角的增加，方位电阻率的差异也发生反转渐变现象，与8条/m相比，低角度情况下方位电阻率差异幅度减小，反转的临界角减小.裂缝密度大于20条/m时，整个倾角范围内出现方位电阻率的差异反转现象，沿裂缝走向的方位电极(3号和4号)电阻率值大，沿裂缝倾向的方位电极(1号和6号)电阻率值反而小.

由此，方位电阻率响应受裂缝密度影响较大，低裂缝密度时，井周方位电阻率测井指示与地层实际电阻率特征吻合；但当裂缝密度足够大时，却出现方位电阻率的“差异反转”现象，即方位电阻率测井指示与地层实际电阻率特征反向.

4.4 裂缝组的方位电阻率井周成像

方位电阻率井周成像图直观显示了裂缝组的产状和发育程度，如图 8、图 9，裂缝密度分别为2，5，10和20条/m.裂缝密度较小时(如小于5条/m)，可以清晰指示裂缝存在，其产状特征很明确.

但随裂缝密度增大，成像图的裂缝指示特征发生变化.如裂缝密度为10条/m，水平裂缝组依然可以观测到裂缝的形态，75°裂缝组则表现出宏观各向异性地层的特征，在90°附近方位电阻率明显偏高，正是3号、4号方位电极表征的位置，向左右依次代表 2号、5号和1号、6号方位电极的指向，电阻率值逐渐减小.

裂缝密度增大至20条/m时，水平裂缝组、75°裂缝组均表现为宏观各向异性地层特征，水平裂缝组的各个方位电极主要反映水平方向电阻率，彼此不存在差异；75°裂缝组3号、4号方位电极指向的位置，电阻率偏高，与10条/m相比，图像更加均匀，方位电阻率的“差异反转”现象在井周成像图也有清晰表现.

5 方位电阻率差异反转机理 5.1 宏观各向异性地层方位侧向测井响应

将裂缝组方位侧向测井响应与宏观各向异性地层的测井响应对比，如图 10，当裂缝密度超过20条/m，二者响应基本吻合.基岩电阻率分别为10000、3000 Ωm，其余条件与4.1节相同，基岩电阻率减小不会改变曲线基本形态，但会造成临界角减小，方位电阻率的差异减小.倾斜各向异性介质中，沿层理方向方位电极(3号和4号)电阻率值大于沿垂直层理方向方位电极(1号和6号)电阻率值，宏观各向异性地层的方位电阻率也出现了“差异反转”现象.

5.2 宏观各向异性地层方位电阻率差异反转机理

(1) 各向异性地层方位电阻率测量简化理论

以深探测模式为例，如图 11，分析倾斜各向异性地层的方位电阻率测井响应机理.根据电位叠加原理，方位电极M0_i(i=1, 2, …, 12)处的电位U_M0i(i=1, 2, …, 12)可看作主电极A0和屏蔽电极A1、A2单独产生的电位场在方位电极处的叠加.下面以A0单独发射电流为例，计算倾斜均匀各向异性介质中的U_M0i(i=1, 2, …, 12).将A0发射电流I_A0看作点电流源的积分.仪器坐标系(x, y, z)下，点电流源在空间任意一点(x, y, z)产生的电位：

(17)

其中：

式中：为地层的平均电阻率；为各向异性系数；Ω为井斜角.

令x=rcosφ，y=rsinφ，z=－ξ，则圆柱坐标系rφξ下，主电极A0在方位电极处产生的电位可以表示为：

(18)

令Δ(ξ)=Ar²cos²φ+r²sin²φ+Bξ²+2Crcosφξ，得到：

(19)

式中：φ为层理面在xoy平面的倾向的反方向(也就是y的正方向)与r的夹角，可用来表示仪器方位电极的方位角.由式(19)可以求得r方向的方位电极M0处电场强度：

(20)

根据，因而在r处方位方向测得的方位视电阻率：

(21)

可见，在各向异性地层测得的视电阻率，不仅与地层的电性(ρ_m, λ)和产状(α)有关，还与方位电极方向有关.

(2) 方位电阻率测量理论分析

由知，方位电阻率随方位角φ的增加而增大.特别地，当α=90°，φ =0°时，ρ_ar(φ)表示垂直层理方向电阻率；φ=90°时，ρ_ar(φ)表示沿层理方向电阻率，而ρ_ar(φ=90°)＞ρ_ar(φ=0°).由此，各向异性地层方位视电阻率出现了与实际电阻率不对应的“差异反转”现象.这是因为电流在地层中的流动服从最小能量原理，在裂缝非常发育或各向异性地层中，供电电流主要沿裂缝走向流动，裂缝倾向电流很少，导致沿层理面方向方位电极(3号和4号)电阻率值大，而沿垂直层理方向方位电极(1号和6号)电阻率值小.裂缝密度并不太大(8条/m、10条/m)时，走向和倾向的电流分布随倾角的增加发生变化，所以方位电阻率的差异反转是渐变的，倾角较小时，并未表现差异反转，当达到临界角时，才会出现反转现象，且裂缝密度越大，反转的临界角越小.

方位电阻率测井提供了宏观各向异性地层的“伪”方位电阻率显示特征，在电阻率法勘探中，各向异性地层“差异反转”现象普遍存在(傅良魁, 1983; Zhdanov and Keller, 1994).因此，实际应用时，需要对方位视电阻率测井值做“返真处理”.

6 结论

(1) 方位侧向测井响应值随裂缝倾角的增加而增大，深浅侧向测井幅度差异受裂缝倾角的控制，低角度缝为负差异，高角度缝为正差异；裂缝倾角和张开度的增大都会导致方位电阻率差异的增大.

(2) 井周方位电阻率受裂缝倾向的控制，单一缝/低裂缝密度时，方位电阻率测井响应指示地层实际电阻率的分布，沿裂缝走向的方位电阻率值小，沿裂缝倾向的方位电阻率大.

(3) 裂缝发育(密度足够大)地层，测井响应显示宏观各向异性地层特征，此时方位电阻率测井响应提供的是地层“伪”方位电阻率显示，差异发生反转，沿裂缝走向/层理方向的方位视电阻率大，沿裂缝倾向/垂直层理方向的方位视电阻率反而小.在实际应用中，可快速识别各向异性地层，指导测井解释，但若利用方位电阻率进行各向异性评价，需做返真处理.

(4) 裂缝性地层的井周方位电阻率成像，直观显示了裂缝的产状、发育程度以及导致的宏观各向异性特征，可以为裂缝识别，井旁地质构造分析，地层评价等方面提供帮助.

致谢

感谢李善军博士在各向异性地层电测井响应机理方面的指导！感谢审稿专家对论文提出的宝贵修改建议！