2018, Vol. 61
2. 中国科学院地质与地球物理研究所, 北京 100029;
3. 吉林大学, 长春 130026
2. Institute of Geology and Geophysics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100029, China;
3. Jilin University, Changchun 130026, China
在煤田中煤层因冲刷与加积会导致煤层厚度的不规则变化，这是一种常见的井下煤层展布的构造现象，常会给综合机械化采煤造成减产或停产的不利影响，直接关系到掘进率、回采率等生产效率和经济效益等指标(王宇林等, 1998).煤矿开采之前，勘探、研究清楚煤田结构特征，能够有效预防灾害事件的发生.在诸多的地球物理方法中，地面地震勘探具有不可克服的缺点，如高频成分随传播距离的增加而很快衰减、激发频率低、层间多次波干扰严重等，致使其分辨率精度不高，为解决这些在实际工作中存在的问题，当今普遍采用槽波探测技术(王伟等, 2012).地震槽波地震勘探为利用煤层中传播的地震波具有能量强、易于识别的特点，以及面波频散效应明显的特性来探测煤层中的异常构造.这尚是一种在发展中的方法，受到各国煤业的关注(胡国泽等, 2013).在地质剖面中，由于煤层与顶、底板围岩物质相比密度、地震波传播速度都会小很多，在物理上构成一个“波导”.当在煤层中激发地震波(包括P波、S波)时，激发的部分能量由于顶、底板界面的多次全反射(入射角大于临界角)而被禁锢在煤层及其邻近的岩层(煤槽)中，不向围岩辐射传播，在煤槽中相互叠加、相长干涉，形成一个很强的干涉扰动，即槽波(胡国泽等, 2013).
槽波地震勘探主要利用地震槽波的频散特性反演煤层的结构及其变化特征，因此地震槽波理论频散曲线的计算尤为重要.目前不论计算Love型槽波频散曲线(Räder et al., 1985; 程久龙, 1994; 杨真等, 2010；程建远等, 2012; 钱建伟和李德春, 2013)，还是计算Rayleigh槽波频散曲线(Buchanan, 1987; 徐果明等, 1998; 杨小慧等, 2010)，一般使用水平层状均匀介质模型.基于该模型假设的地震面波频散曲线计算发展了很多方法：Thomson(1950)提出经典的Thomson-Haskell传播矩阵法，Haskell(1953)对该方法做了改进，它是第一种系统且可有效计算面波频散问题的方法，然而该方法在高频情况下不稳定，存在精度失真问题.为了解决这些问题，领域发展了很多的理论方法，包括Delta矩阵法(Pestel and Leckie, 1963; Dunkin, 1965; Thrower, 1965)、简化Delta矩阵法(Watson, 1970)、快速Delta矩阵法(Buchen and Ben-Hador, 2007)、Schwab-Knopoff方法(Knopoff, 1964; Schwab, 1970)、Abo-Zena方法(Abo-Zena, 1979)和尚在不断发展的广义反射-透射系数法(Kennett, 1974, 1980; Chen, 1993; 凡友华等, 2007)等.
然而这些方法均是基于水平层状均匀模型假设，而在实际煤田中，由于煤层在沉积变质过程中受包括地壳不均衡沉降、沉积环境及沼泽基底不平、同生冲蚀等影响，以及在煤形成后受冲蚀、构造变动、岩浆侵入等影响，会产生煤层厚度的横向变化(王世彬和郭厚亮, 2005; 张德亮, 2015).煤田槽波地震勘探中，由于煤层采掘工作面尺度小(通常数百米左右)，检波点处接收到的槽波信号会受到传播路径上煤层厚度变化的影响，频散曲线会发生变化(文中有讨论)，故直接使用煤层厚度恒定的层状模型计算的频散曲线不能真实反映接收点处槽波信号的频散状况.
在槽波地震勘探中，为了能够更好更全面地利用接收到的频散信息，需综合考虑地震槽波在煤层传播过程中受到地质状况变化的影响.故厘清煤层厚度变化对地震槽波频散曲线特征的影响，对于全面认识槽波特性，提升槽波勘探技术的应用效果具有基础理论支撑意义.例如，目前利用地震槽波反演煤层厚度的方法(王伟等, 2012；Schott and Waclawik, 2015; 李刚, 2016)是根据煤田地质概况，进行层状模型地震槽波的理论频散分析与实测数据的频散分析，选取一个对煤层厚度分辨率最高的频率，进行关于群速度的层析成像，再根据巷道处拟合的群速度-煤层厚度经验关系曲线，转化成厚度的成像，这是煤层厚度的间接反演，只利用了槽波的单一频率信息.要想直接利用接收到的槽波频散信号中的煤层厚度变化信息，多频率综合反演煤层厚度，提高煤层厚度的探测精度，首先必须对煤层厚度变化时地震槽波频散曲线做出准确计算，并对其理论变化特征具有量化的认识.
本文在前人计算层状模型地震槽波频散曲线的基础上，发展了含煤三层模型煤层厚度变化时地震槽波理论频散曲线的计算方法.基于该方法以Rayleigh型地震槽波为例，计算分析了不同厚度函数模型的频散曲线形态特征.
1 计算方法 1.1 水平层状模型地震槽波理论频散计算简述 1.1.1 相速度的求取对于弹性半空间夹有N层水平层状均匀介质的模型(图 1)，在无震源情况下，计算Rayleigh型地震槽波的相速度理论频散曲线可以使用广义反射-透射系数算法(Chen, 1993).一般矩阵E采用式(1)无量纲化系数以提高数值计算的精度(袁腊梅等, 2009).公式(1)为
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图 1 水平层状模型 Fig. 1 Horizontal layered model |
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(1) |
其中：
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λ、μ、ρ分别为介质的拉梅常数与密度；α为纵波速度，β为横波速度；c为相速度，k为波数，ω为角频率，f为频率，i为虚数单位.
1.1.2 群速度的求取当已知相速度时，可以通过群速度与相速度的微分关系来求取群速度，而进行数值计算时，往往会产生数值不稳定问题.利用面波的变分原理将微分变为积分，则可以解决数值不稳定问题，定义Rayleigh波能量积分为(Aki and Richards, 1980; 潘佳铁等, 2009)：
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(2a) |
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(2b) |
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(2c) |
其中U、V为Rayleigh波本征函数，群速度为
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(3) |
式中c为相速度，k为波数，i为虚数单位.
1.1.3 频散曲线无量纲化在弹性半空间只有一层水平介质(三层模型)时，可以按照式(4)无量纲化相速度与群速度频散曲线，无量纲化后频散曲线与中间层厚度无关(刘天放等, 1994).
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(4a) |
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(4b) |
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(4c) |
其中f为频率，d为中间煤层厚度，vs为中间层横波速度，cR为相速度，gR为群速度，fN为无量纲化频率，cRN为无量纲化相速度，gRN为无量纲化群速度.
1.2 煤层厚度变化时地震槽波频散计算本文在上述前人水平层状模型地震槽波理论频散计算基础上，推导煤层厚度变化时，地震槽波理论频散曲线的计算方法.当煤层厚度变化时，对于频率为f的地震槽波群速度可以定义为射线路径与走时的比值，公式为
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(5) |
式中ss为震源位置，se为接收点位置.此时所求群速度成为与频率及射线路径相关的二元函数.对于含煤三层模型，设d(s)为射线路径上煤层厚度函数，基于以下三种情形讨论地震槽波频散曲线的计算方法.
1.2.1 地震槽波射线为一维情形设射线路径上煤层厚度函数为d(x).
(1) 当d(x)为常数，即煤层厚度恒定不变时，频散曲线依然为水平层状模型的计算结果，与射线路径无关，其频散曲线公式为
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(6) |
(2) 当d(x)具有一阶导数时，定义
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(7) |
其中
当煤层厚度呈线性变化时，射线上厚度变化率
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(8) |
其中积分上下限fNe、fNs只与射线首、尾处的煤层厚度d(xe)、d(xs)相关.故煤层厚度线性变化模型频散曲线只与射线首、尾处的煤层厚度参数有关，与射线长度无关.相对于煤层厚度恒定模型，煤层厚度线性变化时，其频散曲线的计算从一个厚度参数扩展到两个厚度参数(射线首、尾处的煤层厚度参数).
(3) 当d(x)为分段函数，且具有不可导点时，射线路径可以由不可导点离散分割为不同的可导段，整体走时为所有可导分段走时的叠加.则群速度频散曲线为
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(9) |
式中j为k(x)不为零的分段标号，m为k(x)为零的分段标号.
1.2.2 地震槽波射线为垂向二维情形
设煤层厚度函数为d(x, z)，Ss(xs, zs)为震源位置，Se(xe, ze)为接收点位置.各向同性均匀介质时，对于同一频率不同深度处的频散相同，其地震槽波射线为直线，则
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(10) |
由式(10)可见，地震槽波射线为垂向二维情形时，所求群速度频散问题便转化为求取对应射线在水平向上投影射线所对应的群速度问题，即转化成一维情形，故得以简化.
1.2.3 地震槽波射线为三维情形
设煤层厚度函数为d(x, y, z)，变换到圆柱坐标系，则
基于此，本文在对不同厚度模型频散曲线探讨中，使用的厚度-射线函数均为实际射线在水平面投影射线所对应的厚度-射线函数，文中简称为厚度函数，是基于一维情形时的计算分析所得.
2 数值模拟算例检测设计一个二维三层模型(图 2)，中间层为煤层，且厚度满足于关系式(11).模型物理参数见表 1.使用谱元法进行数值模拟实验，设定PML吸收边界层厚度为20 m，以2.5 m为边长自动剖分非规则四边形网格，共生成5374个四边形单元、5582个节点，最小边长为0.95 m、最大边长为5.59 m；单元内采用6阶插值，共形成194707个GLL(Gauss-Lobatto-Legendre)积分节点(含吸收边界).在(50 m, 17.5 m)处，放置一雷克(Riker)子波爆炸震源，主频为185 Hz，时间采样间隔为0.004 ms，总体计算到0.6 s，接受点位于在R1、R2、R3处.公式(11)为
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图 2 地质模型 ★:震源位置; ▼:接收点. Fig. 2 Geological model ★: Source; ▼: Receiver. |
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表 1 模型物理参数 Table 1 Physical parameters of the model |
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(11) |
在R1、R2、R3处地震槽波射线与煤层厚度满足关系式(11)，数值模拟得到的水平分量的地震信号如图 3所示.由于模型关于煤层中心对称，在煤层中心的Rayleigh型地震槽波水平分量主要满足一阶频散关系(Jose, 1990).对于数值模拟得到的地震槽波记录(图 3)使用多次滤波技术提取其群速度频散曲线.由图 4可见，在R1、R2、R3接收点处，本文提出的方法计算的群速度一阶频散曲线(图 4中虚线)与数值模拟地震槽波记录中提取的频散曲线吻合的相当好，说明本文计算方法计算煤层厚度变化时理论频散曲线是很有效的.
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图 3 R1、R2、R3接收点处数值模拟x水平分量地震信号 Fig. 3 Horizontal component (x) of seismic signals at receivers R1, R2, and R3 from numerical modeling |
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图 4 R1、R2、R3接收点处一阶Rayleigh型地震槽波群速度频散曲线 Fig. 4 Group velocity dispersion curves of first-order Rayleigh channel waves at receivers R1, R2, and R3 |
设计不同煤层厚度模型(表 2)，使用本文方法计算其理论频散曲线，以研究煤层厚度变化时地震槽波频散曲线的特征.煤层厚度线性变化或分段线性变化模型，可以近似模拟煤田中由于煤层顶底界面倾斜、小断层等引起煤层厚度变化情形，如兖州煤田小断层引起煤层厚度的变化(图 5).煤层厚度弧形变化模型可以模拟透镜状煤层情形，或煤层受到冲刷或加积等地质作用引起的煤层厚度变化，如吕梁煤矿区冲刷带砂体在平面上呈带状，断面形态为上平下凹的半透镜状，厚0.8~2.1 m，宽度从0.7~116 m不等(尹晋平, 2011).表 2中不同模型的围岩及煤层的物理参数统一使用表 1中数据，计算相对应的频散曲线都为Rayleigh型地震槽波一阶群速度频散曲线.
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图 5 兖州煤田小断层分布(刘海燕等, 2005) Fig. 5 Distribution of small faults in the Yanzhou coalfield |
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表 2 煤层厚度模型列表 Table 2 Models of coal-seam thickness |
为了研究在煤层厚度呈线性变化时，频散曲线的形态变化特征，设计相同射线长度不同煤层厚度变化率模型(图 6)：d51为煤层线性减薄模型，d59为煤层线性增厚模型，d55为煤层厚度恒定模型.图 7为计算的一阶群速度频散曲线与群速度相对于频率的梯度曲线.可以看出：d51煤层线性减薄模型，相对于d55厚度恒定模型，频散曲线在频率方向上拉伸了；d59煤层线性增厚模型，相对于d55厚度恒定模型，频散曲线在频率方向上压缩了；相对于模型d55，模型d51与d59频散曲线在群速度方向上都压缩了，使得群速度变化范围变小，且处于最小值位置的埃里相群速度增大，埃里相频率发生改变(表 3).
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图 6 煤层厚度呈线性变化函数模型 Fig. 6 Models of linearly changing coal-seam thickness |
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图 7 一阶群速度频散曲线与梯度曲线 (a)频散曲线; (b)梯度曲线. Fig. 7 Group velocity dispersion and gradient curves of first-order Rayleigh channel waves (a) Dispersion curves; (b) Gradient curves. |
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表 3 群速度最小值处埃里震相对比 Table 3 Comparison of Airy phase at minimum group velocity |
由式(4)可以看出，对于煤层厚度恒定模型，若改变中间层厚度，则会引起频散曲线频率方向上的伸缩变化，这种变化基于煤层厚度是线性的，并且群速度方向上不具有压缩变化.而对于图 6模型，由煤层厚度线性变化引起频散曲线频率方向上的伸缩变化，群速度方向上的压缩变化都是非线性的.
由图 7b梯度曲线可以看出，不论煤层线性增厚还是煤层线性减薄，与煤层厚度恒定模型相比，频散曲线梯度变化趋势相同，故煤层厚度的线性变化不会引起频散曲线在形态上的改变.对于水平层状单一煤层厚度模型，当煤层减薄时，由于频散曲线在频率方向上的拉伸变化，会使得相应频率处频散曲线梯度绝对值减小；当煤层增厚时，由于频散曲线在频率方向上的压缩变化，会使得相应频率处频散曲线梯度绝对值增大.而对于图 6模型，煤层厚度线性增厚并没有使得群速度频散曲线梯度绝对值的最大值增大，这是由于在频散曲线形态不发生改变的情形下，频散曲线群速度方向上的压缩引起的.说明这种情形，群速度方向上的压缩，会减弱频率方向上的压缩对群速度梯度的影响.在煤层厚度呈线性渐薄时，群速度方向上的压缩与频率方向上的拉伸在频散曲线梯度上的影响是正向叠加的，即都会使得梯度绝对值变小.图 7b显见煤层减薄相对于煤层增厚，频散曲线梯度受到的影响更大.
3.2 煤层厚度弧形变化当厚度函数为非线性函数时，煤层厚度对于射线路径的导数不为常数(式(7)中kN(fN))，在计算理论频散曲线时则须先求得该导数.
为了研究煤层厚度弧形变化时，在其中传播的地震槽波频散曲线特征.设计煤层圆弧形冲刷模型与加积模型(图 8)，其射线上煤层厚度分别满足式(12)与式(13)，厚度变化的曲率半径为r=(10009/6)m，冲刷模型煤层厚度的变化范围为5 m到2 m，加积模型煤层厚度的变化范围为5 m到8 m，在x=0 m处激发，在x=200 m处接受，分别计算其一阶群速度频散曲线，并与煤层厚度恒定为5 m时的理论频散曲线进行对比分析.由于该厚度模型关于x=100 m对称，故接收点200 m处理论频散计算中只需计算x=100 m处的频散曲线即可.公式(12)和(13)为
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图 8 煤层呈圆弧形冲刷模型(d5r2)与加积模型(d5r8) Fig. 8 Models of arc-like washout coal seam (d5r2) and coal aggradation (d5r8) |
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(12) |
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(13) |
由图 9a可见，相对于煤层厚度恒定模型，煤层厚度弧形变化与线性变化相同，频散曲线在频率方向上具有伸缩变化，在群速度方向上具有压缩变化，故埃里相速度与频率发生改变，这些变化都是非线性的.
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图 9 群速度一阶频散曲线与其梯度曲线 (a)频散曲线; (b)梯度曲线. Fig. 9 Group velocity dispersion and gradient curves of first-order Rayleigh channel waves (a) Dispersion curves; (b) Gradient curves. |
由图 9b梯度曲线可以看出，煤层厚度弧形冲刷模型d5r2与煤层厚度恒定模型d55相比，其群速度频散梯度曲线趋势发生一定变化，即反映了频散曲线形态上的变化，这与上文讨论煤层厚度线性变化不会引起频散曲线形态改变是不同的.而煤层厚度弧形加积模型d5r8与煤层厚度恒定模型d55相比，其群速度频散梯度曲线变化趋势相同，频散曲线在形态上没有发生明显改变.
3.3 煤层厚度分段变化实际煤田中煤层厚度变化通常是非线性的、不规则的，射线路径上煤层厚度可以使用分段函数拟合，通过式(9)计算其频散曲线.
3.3.1 煤层厚度分段线性变化为研究射线路径上煤层厚度分段以不同函数变化时，引起的地震槽波频散相应变化特征.设计地震槽波水平射线总长度为300 m，煤层厚度呈分段线性函数变化的不同模型(图 10).其中模型d55射线路径上，煤层厚度恒定为5 m；模型d585射线前半段(0~150 m)煤层厚度由5 m线性增厚到8 m，后半段(150~300 m)煤层厚度由8 m线性减薄到5 m，射线路径上煤层厚度变化具有对称性；模型d558射线前半段(0~150 m)煤层厚度恒定为5 m，后半段(150~300 m)煤层厚度由5 m线性增厚到8 m；模型d5588射线分为三段，在0~100 m煤层厚度恒定为5 m，在100~200 m煤层厚度线性增厚到8 m，在200~300 m煤层厚度恒定为8 m.对于图 10中不同模型，计算其对应的频散曲线和梯度曲线(图 11)，进行对比分析.
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图 10 煤层厚度呈分段线性变化函数模型 Fig. 10 Piecewise linearly changing models of coal-seam thickness |
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图 11 不同煤层厚度模型群速度一阶频散曲线及梯度曲线 (a)频散曲线; (b)梯度曲线. Fig. 11 Group velocity dispersion and gradient curves of first-order Rayleigh channels wave for different models of coal-seam thickness (a) Dispersion curves; (b) Gradient curves. |
对于模型d585，由于射线路径对称，地震槽波在煤层厚度线性变化的前后两段走时相同，可以使用射线前半段或后半段煤层厚度线性变化函数计算其频散曲线，故其频散曲线与煤层厚度线性变化模型相同，曲线形态不发生改变(图 11b).对于模型d558与模型d5588，由其梯度曲线(图 11b)看出，相对于模型d55，在200~400 Hz频段均增加了一个极大值和一个极小值，因此图 11a中频散曲线在该频段形态上发生了变化.
图 10中，模型d585频散曲线实为5 m到8 m之间的煤层厚度恒定模型频散曲线均匀叠加的结果，不同厚度成分对频散结果影响均匀，频散曲线形态相对于煤层厚度恒定情形不发生改变.而模型d558与模型d5588对应的都是非均匀叠加情形，其中模型d558射线路径前半段在煤层厚度为5 m，整体上5 m厚度占主要成分；模型d5588射线路径前1/3段煤层厚度为8 m，后1/3段煤层厚度为5 m，整体上8 m、5 m两个厚度占主要成分.对比图 11a中频散曲线：相对于模型d585频散曲线，模型d558的频散曲线向5 m煤层厚度频散曲线(d55)移动，且在埃里相附近的移动比其他位置显著，引起频散曲线形态变化；模型d5588频散曲线在5 m煤层厚度对应埃里相频率340 Hz附近，向5 m煤层厚度对应频散曲线(d55)移动，而在8 m煤层厚度对应埃里相频率212 Hz附近，向低频移动，也就是向厚煤层对应频散曲线移动，导致频散曲线形态上发生变化.
可以得出结论：当射线路径上煤层存在主要厚度成分时，在主要厚度成分对应的埃里相频率附近，频散曲线发生趋向于主要厚度频散地明显移动，从而使频散曲线形态发生显著变化；如果煤层厚度具有多个主要成分，在不同频段主要影响频散曲线的厚度成分不同；地震槽波频散曲线的埃里相能更好地反映射线上主要的煤层厚度.
3.3.2 复杂煤层冲刷模型如图 12，对于地震槽波射线长度为200 m的不同煤层冲刷模型，在x=0 m处激发，x=200 m处接收，射线首尾处煤层厚度为5 m，x=100 m处煤层厚度控制为2 m.模型d5l2煤层厚度线性减薄与线性增厚变化；模型d5r2煤层厚度呈圆弧形变化；模型d5s2为一个随机生成的厚度在2 m到5 m之间变化的煤层冲刷模型，来模拟实际煤田中煤层受到冲刷作用使得煤层厚度发生不规则变化的现象.
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图 12 不同煤层冲刷模型 Fig. 12 Different models of coal washout |
使用本文计算方法分别计算不同模型对应频散曲线(图 13a)与梯度曲线(图 13b).由图 13可见，模型d5s2梯度曲线在400~800 Hz频段出现多个不同极值，因此在该频段内模型d5s2频散曲线形态不同于煤层厚度线性变化模型d5l2和弧形变化模型d5r2，频散曲线形态复杂化.
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图 13 群速度一阶频散曲线及梯度曲线 (a)频散曲线; (b)梯度曲线. Fig. 13 Group velocity dispersion and gradient curves of first-order Rayleigh channel waves (a) Dispersion curves; (b) Gradient curves. |
本文基于前人对水平层状均匀介质模型面波理论频散曲线的计算方法，对于煤田中含煤三层模型，推导了煤层厚度变化时地震槽波理论频散曲线的计算公式，可以应用于煤层厚度任意变化时地震槽波理论频散曲线的计算.对于二维、三维地震槽波射线情形，由公式推导得知，可以简化为其在水平面的投影射线进行频散曲线的计算.并使用该计算方法分析了不同厚度函数模型的频散曲线形态特征.研究表明：
(1) 与单一厚度煤层相比，煤层厚度变化使得地震槽波群速度成为与频率及传播射线在水平面投影路径相关的二元函数.射线路径上煤层厚度的变化使得频散曲线在群速度方向上压缩，使得群速度变化范围变小，处于最小值位置的埃里相群速度增大，这种压缩是由于同一频率时，不同煤层厚度频散群速度之间的平均引起的.
(2) 煤层厚度线性变化时，其频散曲线只与射线首尾处的煤层厚度有关，由于射线路径上不同厚度成分含量均匀，与煤层厚度恒定模型相比其频散曲线形态上不发生改变.煤层厚度的非线性变化，使得射线路径上煤层厚度具有主要成分时，在该厚度成分对应的埃里相频率附近，频散曲线发生趋向于该厚度成分所对应频散曲线地移动；如果煤层厚度具有多个主要成分，则在不同频段主要影响频散曲线的厚度成分不同；与煤层厚度恒定模型相比频散曲线形态上发生改变.
(3) 本文计算方法的应用对象为三层结构模型，通过计算某一恒定厚度煤层所对应的理论频散，由式(4)无量纲化，得到标准化的频散曲线，进而可以通过式(9)计算所求模型理论频散曲线.虽然文中算例以Rayleigh型地震槽波为例，但计算方法对于Love型地震槽波同样适用.对于四层及以上地质模型，如果使用无量纲式(4)，中间各层厚度依据相同比例变化，即当某一层厚度改变时，计算的频散曲线所对应的其他层厚度，亦要按照相应比例改变.故对于四层及以上结构模型，只改变煤层厚度，其他层厚度不变时，本文提出的方法计算理论频散曲线将不再适用.
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