0 引言

海面船载和航空重力测量是获取海域重力场信息的两种主要手段(孙中苗，2004；黄谟涛等，2005；欧阳永忠，2013).海空重力仪是两种测量模式的核心装备，海空重力测量成果质量除了会受到测量动态环境效应的干扰和数据处理建模误差的影响外，海空重力仪自身技术性能的优劣也是影响观测数据质量的主要因素之一.重力仪技术性能的优劣取决于设备制造工艺的技术水平和仪器参数标定的精准程度，其误差源主要来自重力传感器动态灵敏度、仪器固有误差、温度控制误差、仪器标定误差及仪器零点非线性漂移等.海空重力测量误差除很小一部分是由随机干扰因素引起的观测白噪声外，其主要部分是由仪器误差和测量环境动态效应综合影响引起的有色噪声，它们是一类特殊的随时间变化和积累的非常值系统误差(杨元喜，2012).海空重力测量中由重力传感器参数标定、零点漂移改正、环境效应改正剩余影响、数据滤波等各环节引起的误差源都属于有色噪声的范畴(孙中苗，2004；欧阳永忠，2013；孙中苗等，2013).海空重力测量成果是开展地球重力场逼近计算和各领域保障应用的数据基础，相比于偶然误差，重力观测数据中的系统性偏差对后端的各类应用具有更加显著的影响(李建成等，2003；黄谟涛等，2005).因此，消弱系统性因素对测量成果的影响是提高海空重力测量数据应用效能的关键，也是开展海空重力测量误差分析处理和精度评估的目的所在(黄谟涛等，2002；Olesen，2002；郭志宏等，2008；欧阳永忠等，2011；黄谟涛等，2013；欧阳永忠，2013；孙中苗等，2013).

海空重力仪格值是指将重力仪的计数单位(俗称“格”)转换为重力单位(一般取为mGal=10^-5m·s^-2)的标定函数，也称格值函数(黄谟涛等，2005；孙中苗等，2008)，是重力传感器的主要标定参数之一，一般在仪器交付前，由生产厂家通过实验室和野外测量的方式对其进行测定.受试验和作业条件的限制，生产厂家标定的重力仪格值可能存在一定的误差；当重力传感器出现机械故障需要进行大修或更换零部件时，重力仪格值会发生一定的变化；对于使用弹性系统作为传感器的重力仪，弹性系数随时间的变化也会引起仪器格值的变动.当重力仪格值偏离正常值达到一定量值时，格值误差将对海空重力测量成果产生不可忽视的系统性影响，必须对其采取必要的校正和补偿措施.最近我们在处理多型航空重力仪同机测试数据时，发现多台重力仪的测量成果出现比较明显的系统性偏差(欧阳永忠等，2013)，经分析研究后确认，这类偏差主要源自重力仪自身格值的变动或格值标定的不确定性.针对此问题，本文提出了相应的格值校正方法和计算模型，取得了非常满意的补偿效果.

1 格值标定方法及误差影响机理分析 1.1 格值标定基本方法

由Ander等(1999)和黄谟涛等(2005)知，要想精确测定重力仪格值的标定函数，除了必须事先知道重力仪自身的物理和几何参数外，还需要掌握标定系统的基本特征参数.由于两个系统内部各种参数之间的关系极其错综复杂，指望借助内部参数值通过理论计算就能得到严密的格值函数几乎是不可能的.因此，在实际应用中，一般都将格值函数设计为一定形式的函数模型，以已知的高精度重力段差作为观测量，通过简单的模型解算即可确定格值函数的模型系数，最终获得经验型的格值函数.

考虑到重力仪工作原理的复杂性、多样性及高精度要求，在标定陆地重力仪时，一般将格值函数设计为由常值、线性、非线性和周期项组成的综合模型，并利用特殊的装置对仪器格值进行分段标定(华昌才等，1991).生产厂家首先把仪器全测程划分为若干个测段，并在实验室完成各个测段的格值测定，然后在已知的野外重力基线场进行格值函数实地标定，最后以表格形式给出该型仪器的分段格值，这就是通常所指的厂方格值函数.重力仪使用一段时间以后，由于受仪器元器件老化和外部干扰因素的影响，厂方格值函数会发生一定的变化.因此，一般要求每隔3年就要对格值函数进行重新标定(孙少安等，2002).相比较而言，海空重力仪格值的标定及要求要简单一些，由于格值函数中的非线性项和周期项影响只有0.001~0.01 mGal，在海空重力测量中可以忽略不计，故实践中只需定期对海空重力仪的格值常数进行标定和校正，以防止重力仪内部结构变化对海空重力测量成果带来系统性的影响(黄谟涛等，2005；孙中苗等，2008).

目前，海空重力仪格值主要采用三种标定方法：基线法、倾斜法和质量法.基线法要求在野外建立标准的重力基线场，至少已知由两个高精度重力基点获得的重力段差.假设已知段差为dg，重力仪在两个基点之间的读数差为Δs，则由(1)式即可求得重力仪的格值常数C：

(1)

由式(1)标定重力仪格值的精度取决于已知段差和读数差的观测精度，其相对精度则主要取决于已知重力段差的大小，段差越大，标定格值的可靠性越高，这也正是人们要求尽可能在长基线上进行重力仪格值标定的原因.

倾斜法是一种室内格值标定方法，当已知某个测点的重力值为g、重力仪读数为s₀时，借助倾斜平台可以改变作用在重力传感器上的重力加速度和重力仪读数.假设平台倾斜角为α，此时相对应的重力仪读数为s_α，作用在重力传感器上的重力加速度为gcosα，则由(2)式可求得重力仪的格值常数C：

(2)

由式(2)标定重力仪格值的精度主要取决于仪器读数和倾斜角的观测精度，其相对精度则与倾斜角的大小密切相关，倾斜角调整越大，标定格值的可靠性越高.由于此方法要求的保障条件比较苛刻，故一般只有仪器生产厂家采用.

改变重力仪系统的质量也可以获得预想的重力变化，采用这种方法标定重力仪格值被称为质量法.假设在原系统中增加或移去一个附加的质量块Δm，使得重力加速度产生改变量dg，则有(3)式成立：

(3)

由(3)式可得：

(4)

又假设质量改变前后的重力仪读数差为Δs，则可由(5)式求得重力仪的格值常数C：

(5)

显然，只有仪器生产厂家才具备采用质量法标定重力仪格值的基本条件，美国L & R型和德国KSS型海洋重力仪生产厂家都曾采用过质量法标定各自的重力仪格值，并取得(2~3)×10^-4的相对标定精度(黄谟涛等，2005).

由式(1)—(5)不难看出，三种格值标定方法所对应的相对标定精度估算公式均可统一表达为：

(6)

式中，m_dg和m_Δs分别代表重力段差(变化量)和仪器读数差的观测精度；m_c为仪器格值的标定精度.

1.2 格值误差影响机理分析

海空重力测量都属于相对重力测量，从某个比对重力基点g₀出发，航迹线上某个测点P的重力加速度值g_p按(7)式计算：

(7)

式中s₀和s_p分别代表重力仪在比对重力基点和测点处的读数，C为重力仪的标定格值.当标定格值C由于各方面的原因出现一定的偏差ΔC时，将使得测点P的重力加速度g_p产生如下大小的偏差：

(8)

显然，格值误差对重力观测值的影响具有明显的系统性特征，无论是从时间尺度还是从空间分布角度看，此类误差都归属于典型的有色噪声范畴.由式(8)知，格值误差影响量大小与测点和基点之间的读数差成正比，即测点和基点之间的重力段差越大，格值误差造成的影响量就越大.

为了满足各个领域的应用需求，海空重力仪必须具备全球测量能力，也就是说，海空重力仪的测程必须覆盖全球重力场的最大变化幅度.采用常见的正常重力模型即可粗略估计地球重力场随地理纬度的变化趋势，本文采用“2000中国大地坐标系”(CGCS2000)所对应的椭球面正常重力公式如下(欧阳永忠等，2008)：

(9)

式中B为计算点的大地纬度.利用式(9)可分别计算不同纬度线相对于赤道线的正常重力变化量Δγ_i0以及不同纬度线之间的正常重力相对变化Δγ_ij.表 1列出了以10°为间隔的不同纬度线计算结果.

由表 1可以看出，地球重力场总体上有由赤道向两极逐步增大的趋势，纬度每增加10°，正常重力增幅大约在150~900 mGal之间，全球最大变化幅度超过5000 mGal.如果把测点和基点之间的读数差Δs_p=s_p-s₀近似取为地球重力场的变化量，那么依据表 1给出的计算值，利用式(8)可估算不同量值格值误差作用下的海空重力测量数据偏差Δg_p，具体估算结果如表 2所示.

由表 2结果得知，如果从保障跨越全球海域和空域重力测量作业考虑，海空重力仪格值的标定精度必须达到10^-5.如果只限于局部区域(比如比对基点与测区纬度跨越不超过5°)测量作业保障，那么对于航空重力测量，考虑到此时的区域重力场变化幅度和厄特弗斯(Eötvös)效应作用量值一般最大不会超过2000 mGal, 因此航空重力仪格值的标定精度要求可降低到10^-4；对于船载重力测量，相对应的区域重力场变化幅度和厄特弗斯效应量值一般最大不会超过500 mGal, 因此海洋重力仪格值的标定精度要求可降低到10^-3.目前国际上的仪器生产厂家大多采用野外短基线场(重力段差一般不超500 mGal)对重力仪格值进行实地标定(LaCoste & Romberg Inc.，2003；Joint-Stock Company，2008；Micro-g LaCoste Inc.，2010)，据估计，这样的标定精度水平在10^-3~10^-4之间，基本满足局部区域海空重力测量的精度要求，但要想满足全球测程覆盖需求，必须采取相应的改进措施，一方面进一步提高在野外长基线场标定格值的精度，另一方面也可考虑采用类似于陆地重力仪格值的分段标定方法，即将仪器全测程划分为若干个测段，分别给出各个测段的格值标定值，以反映仪器格值的非线性变化特征.

2 格值校正方法及计算模型

由前面的分析得知，海空重力仪格值误差主要来自两个方面，一是仪器出厂时的标定误差，称为原值误差；另一方面是仪器经过一段时间使用后，受元器件老化和外部干扰因素的影响，厂家标定的格值发生了一定的变化，称为老化误差.当两类误差之一超过一定的量值时，格值误差将对海空重力测量成果产生不可忽略的系统性影响.对于船载重力测量，当测量船以36 km/h的速度航行时，在东西向测线上的厄特弗斯效应影响量值可达150 mGal, 两条东西正反航向重复测线的厄特弗斯效应影响量互差可达300 mGal, 此时, 如果重力仪格值误差的量级达到10^-3，那么由表 2知，由格值误差引起的重复测线系统偏差为0.3 mGal, 这样的影响量虽然不应忽略，但很难从多种因素的综合影响中分离出这么小量值的格值误差影响，除非格值误差量级增大到10^-2.航空重力测量的情形则大不相同，当测量飞机以400 km/h的速度飞行时，在东西向测线上的厄特弗斯效应影响量值可达1800 mGal, 两条东西正反航向重复测线的厄特弗斯效应影响量互差可达3200 mGal, 此时, 如果重力仪格值的误差量级仍取为10^-3，那么由表 2知，由格值误差引起的重复测线系统偏差将超过3 mGal, 显然这么大的偏差量已经足以影响测量成果质量的评估结论和未来的应用价值(郭志宏等，2008；黄谟涛等，2013).但反过来讲，如果我们能从重复测线数据的互比中检测到比较显著的系统性误差影响，那么基本上也能判定这种影响主要来自仪器格值不确定性的干扰，因为在具备高精度GNSS导航定位系统保障条件下，其他误差源对海空重力测量成果的系统性影响已经被压缩到较低的水平.因此，可以利用东西正反航线重力仪读数差变化幅度较大且符号相反的特性，通过重复线测量来检测和校正海空重力仪的格值误差，这正是本文开展此项研究的核心思路所在.

根据Olesen(2003)、孙中苗(2004)和欧阳永忠(2013)，海空重力测量的基本数学模型可表达为：

(10)

式中，g_p代表测线采样点P的绝对重力值；g_b代表比对基点处(码头或停机坪)的重力值；f_Z、f_Z⁰分别代表比力观测量及其初值；δa_V为载体垂直加速度；δa_E为厄特弗斯改正；δa_H为水平加速度改正(也称平台倾斜改正)；δa_F为空间改正；δa_A代表垂直加速度偏心改正(也称杆臂效应改正).实际上，对于船载重力测量，在式(10)右端还应增加仪器零漂改正δa_K和测量船动态吃水重力改正δa_C，具体参见欧阳永忠(2013).比力观测量f_Z的计算模型可统一表达为：

(11)

式中，C为格值；s_p代表重力仪读数.对于L & R型海空重力仪，s_p由(12)式计算：

(12)

式中，s代表弹簧张力；K为摆杆尺度因子；B′为摆杆速度；CC代表摆杆型重力仪固有的交叉耦合(Cross-Coupling)效应改正.弹簧张力s是式(12)右端的主项，第二和第三项的量值都相对较小，但摆杆尺度因子K的标定误差也会影响重力仪的观测精度，关于该因子重新标定问题的讨论可参见孙中苗等(2002, 2007), 这里不再涉及.

假设在东西方向上布设了两条正反向的重复测线1和2，由式(10)和(11)知，在测线1和2的重复测点P处的绝对重力值可分别表示为：

(13)

(14)

此时，重复测点P处的重力互差为：

(15)

假如重力观测和数据处理的各个环节都不存在误差，那么理论上重复测点的重力互差应为零.显然，这种理想化的情形是不可能实现的，也就是说，测量过程中难免会受到各种干扰因素的影响，包括动态环境干扰、各项改正建模误差干扰、仪器参数不确定性影响等，在此情形下，重复测点处必会出现一定大小的重力不符值δg_p12.这里假设不符值的趋势性部分主要由仪器格值偏差ΔC所致，其随机性部分则归结为动态环境和各项改正建模误差的综合影响Vg_p12，此时由式(15)可得：

(16)

对应于重复测线上的每一个重复测点均可建立类似于式(16)那样的观测方程，当存在n个重复测点时，分别以ΔC作为待定参量，以δg_i12作为观测量，以Vg_i12作为观测误差的改正数，则由最小二乘原理可求得格值偏差ΔC的最或然估值如下：

(17)

估值的精度估算式为：

(18)

其中

(19)

求得格值偏差估值后，可按(20)式计算仪器格值的校正值：

(20)

使用校正值代替原值C重新计算各个测点的绝对重力值，即可消除格值偏差给海空重力测量成果带来的系统性影响.当前海空重力仪的标称精度均优于1 mGal, 一般要求其系统性偏差不得超过标称精度的四分之一，即0.25 mGal, 这就意味着，正反向重复测点重力互差δg_i12中的系统性部分δg_i12不应超过0.5 mGal，如果超过这样的限差值，就应查找引起误差超限的具体原因.由前面的分析知，正常作业条件下，海面船载重力测量的正反向重复测点重力仪读数差(s_i1-s_i2)一般不超过300 mGal, 航空重力测量一般不超过3200 mGal, 如果统一取δg_i12=0.5 mGal作为误差下限，那么由式(19)知，对应于海面船载重力测量的仪器格值校正量为：ΔC_i=1.7×10^-3；对应于航空重力测量：ΔC_i=1.6×10^-4.由此可见，利用船载正反向重复测线测量，至多只能检测和校正10^-3及以上量级的重力仪格值偏差，航空重力测量模式至多也只能将格值偏差检测和校正范围扩展到10^-4量级.

这里需要补充说明的是，利用重复测线测量来检测重力仪格值标定误差的机理，不仅取决于某个干扰因素的影响量值，还取决于其影响量随航向的变化规律，这也是我们反复强调必须采用东西正反向重复测线测量数据进行检测才能达到预期效果的原因.厄特弗斯效应在东西航向上不仅量级大，而且在东西正反方向上的影响量值正好相反，完全符合我们设想的误差检测机理的要求.航空重力测量瞬时垂直扰动加速度的量值虽然最大可达几十万mGal，但在航空重力仪的强阻尼作用下，经滤波处理后的垂直扰动加速度量值一般不超过500 mGal.尤为关键的是，垂直扰动加速度的变化特性与载体航行方向没有必然的联系，不管是东西向还是南北向，不管是同向还是反向，垂直扰动加速度的影响都很难在重复测线的互比中得到反映.因此，如果在东西正反向重复测线数据的互比中出现了比较大的系统性偏差，那么可以判定，这样的偏差不可能是垂直扰动加速度影响所致，因为根据当前的导航定位技术水平，完全可以优于0.5 mGal的精度计算垂直扰动加速度的影响.其他因素的影响也有类似的变化特征和相近的计算精度水平(包括厄特弗斯效应的计算精度在内)，说明各项测量环境效应改正的计算误差不足以构成比较大的重复测线互比中的系统性偏差.由此可见，本文将航空重力东西正反向重复测线测量数据互比出现比较大的平均差值归结为“由重力仪格值标定误差所引起”是有理论依据和前提条件的，也是符合实际情况的.

3 实例计算及对比分析 3.1 试验数据概况

为了全面评估国内外各种型号海空重力仪的技术性能，2012年，我国有关部门在某海域组织开展了4型5套重力仪的同机飞行测试(欧阳永忠等，2013).该试验主要通过设计多种重复线和交叉线测量，检测各型航空重力仪动态测量特性的内部符合程度，同时检测不同型号航空重力仪相互间测量结果的一致性.试验共布设南北向(J1~J8)和东西向(M1~M8)测线各8条，测线长度约分别为260 km和290 km；布设重复线5组，其中南北向重复线两组，测线号为J1和J6；东西向重复线两组，测线号为M2和M6；东北-西南斜向重复线一组，测线号为Z，测线长度约400 km.测量航迹线示意图见图 1.试验飞行高度约1500 m，飞行速度约400 km/h.

3.2 内部检核计算及对比分析

由欧阳永忠等(2013)知，在5套海空重力仪的重复测线内部检核统计结果中，除了SGA-WZ01型捷联航空重力仪以外，其他3套完成东西向重复线测量(L & R SⅡ型重力仪(编号：S167)只完成1组南北向重复线测量)的重力仪均呈现比较明显的系统性偏差(即互差平均值)，而且比较大的偏差都出现在东西方向的测线上，东北-西南斜向测线次之，南北向偏差较小.其中，GT-1A型重力仪的重复线互差平均值在-4.58~4.24 mGal之间，TAGS(L & R S158)测量结果的互差平均值为：-7.56~7.54 mGal，GDP-1为：-10.41~10.50 mGal.如此显著的系统性偏差在以往的飞行试验中是极为罕见的，我们反复分析了引起此类系统性偏差的可能原因，基本排除了动态环境干扰和效应补偿不足或过头的可能性，最后将注意力聚焦于各型重力仪格值的不确定性.经计算验证，内部和外部检核结果都证实，我们的分析和判断是正确的，即3套重复线测量成果出现系统性偏差主要源自重力仪格值的标定误差.这里以美国Micro-g LaCoste公司生产的TAGS型航空重力仪测量数据为例，通过对比分析，说明采用本文提出的计算模型(即公式(17))对格值偏差进行校正前后，重复测线和测网交叉点计算结果的一致性检核情况.表 3首先给出M2和M6两组东西正反向重复测线格值修正前后的内部比对统计结果.这里需要补充说明的是，表中给出的修正前互差平均值与文献(欧阳永忠等，2013)结果存在微小的差异，是由于在数据处理中，本文使用了更加严密的厄特弗斯改正公式的缘故.

由表 3计算结果看出，TAGS型重力仪格值确实存在比较明显的标定误差，原格值精度不足10^-3，由两组东西正反向重复线测量数据求得的格值修正量非常接近，吻合度高于10^-4，两个修正量的估算精度均达到10^-5.对原格值进行修正后，两组重复线测量结果内部互比的系统性偏差已经得到消除，校正效果非常明显.图 2和图 3直观展现了格值校正前后M6重复测线吻合度的改善效果.

这里进一步采用由M6重复测线数据获得的新格值重新处理整个测线网的重力观测量，表 4列出了格值修正前后M2和Z(含3条测线)重复线的比对结果，表 5列出了格值修正前后测线网交叉点不符值在东西方向上的代数平均值比对情况，表 6则列出了格值修正前后测线网交叉点不符值的统计结果.

表 4和表 5计算结果清晰显示，经过格值校正后，其他测线的系统性偏差也都得到了有效补偿，具体体现在平均差值和均方根值两项指标上.表 6则从另一个侧面说明，格值校正对提升整个测线网的内部符合度也具有显著作用，测网精度从原先的3.1 mGal提升到了1.8 mGal.这些结果进一步证实，通过重复线测量来校正重力仪格值误差是合理、可行和有效的.

3.3 外部检核计算及对比分析

为了检核格值校正前后航空重力测量数据对外部信息源的符合程度，这里进一步使用Poisson积分模型将同一区域内的船载重力测量成果向上延拓到飞行高度面(Heiskanen and Moritz, 1967)，并内插到航空重力测线的各个测点，进而求取两组测量数据的互差.其中，为了减弱积分边缘效应的影响，相对于航空作业区域，海面重力测量数据在四周都向外大约延伸了1°带宽.表 7同时列出了格值修正前后两组测量数据在部分测线、所有南北向测线、所有东西正向测线、所有东西反向测线和全部测线上的比对统计结果.图 4和图 5直观展现了格值校正前后M4测线两组测量数据吻合度的改善效果.

从表 7和图 4、图 5比对结果可以看出，经过格值校正后，TAGS型航空重力仪观测数据与海面船测数据向上延拓值的整体吻合度均得到显著提高(重点关注表 7中的平均差值和均方根值两项指标)，东西方向测线的改善幅度尤为明显，这样的结果与我们在前面所做的理论分析也是相吻合的，即仪器格值误差对东西向测线数据的影响要远大于南北向测线，因此相对应的改善效果更加明显也是必然的.TAGS重力仪是从船载型升级到航空型的改进型重力仪，生产厂家忽视了航空重力测量对仪器格值标定精度有更高的要求，应当是出现上述系统性偏差问题的内在原因.

4 结论

海空重力仪格值误差对测量结果具有显著影响，无论是仪器生产厂家还是普通用户，都应当对此问题给以足够的重视.按规定每隔一段时间在重力长基线场中对重力仪格值进行重新标定，是降低仪器格值出现系统性偏差风险的首选方法.当不具备野外基线场标定条件时，可采用本文提出的东西正反向重复线测量方法，对海空重力仪格值偏差进行检测和校正.通过前面的理论分析和数值计算检核，可得出以下结论：

(1) 为满足全球海域和空域重力测量作业需求，海空重力仪格值的标定精度应达到10^-5.如果只限于局部区域作业，那么航空重力仪格值的标定精度应达到10^-4，海洋重力仪格值精度应达到10^-3.

(2) 根据东西正反航线重力仪读数差变化幅度较大且符号相反的特性，可利用重复线测量来检测和校正海空重力仪的格值误差.但海面船载作业模式至多只能检测和校正10^-3及以上量级的重力仪格值偏差，航空作业模式可将格值偏差检测和校正范围扩展到10^-4量级.

(3) 利用重复线测量校正航空重力仪格值的精度可达到10^-5，经过格值校正后，TAGS型航空重力仪观测数据的内部和外部符合度均得到显著提高，系统性偏差基本得到消除，充分证实通过重复线测量来校正重力仪格值误差是合理、可行和有效的.

(4) 可使用同样的计算模型和方法对GT-1A型和GDP-1型重力仪格值误差进行检测和校正，经校正后的新格值可替代原格值作为该型仪器日后一段时间内的作业参数使用.