地球物理学报  2018, Vol. 61 Issue (7): 2937-2949   PDF    
基于层状双孔介质的地震波反射和透射系数频散特性研究
印兴耀1,2, 赵正阳1,2, 宗兆云1,2     
1. 中国石油大学(华东), 山东 青岛 266580;
2. 海洋国家实验室海洋矿产资源评价与探测技术功能实验室, 山东 青岛 266580
摘要:本文研究了纵波垂直入射情况下两种介质分界面处的纵波反射和透射系数的频散特性,分界面上下两侧分别为层状双孔页岩介质和层状双孔砂岩介质.当纵波沿垂直于分界面的方向传播至分界面处时,会在上层双孔介质中产生三类反射纵波,在下层双孔介质中产生三类透射纵波.基于层状双孔介质的特性,给出了分界面处的六个边界条件.根据层状双孔介质的波动方程,利用平面波分析得到了纵波的反射和透射系数.结果表明:当多孔介质中存在流体时,纵波的反射和透射系数与频率相关,即存在频散现象.波致流体流动是造成纵波反射和透射系数频散的主要原因.此外,结果还表明局部流体流动引起地震频带内反射和透射系数的频散,宏观Biot流引起超声频带内反射和透射系数的频散.本文同时对岩石参数对反射和透射系数频散曲线的影响进行了研究.
关键词: 层状双孔介质      波致流体流动      反射系数      透射系数      频散特性     
Dispersion characteristics of seismic reflection and transmission coefficients based on layered double-porosity media
YIN XingYao1,2, ZHAO ZhengYang1,2, ZONG ZhaoYun1,2     
1. China University of Petroleum(East China), Shandong Qingdao 266580, China;
2. Laboratory for Marine Mineral Resources, Qingdao National Laboratory for Marine Science and Technology, Shandong Qingdao 266580, China
Abstract: We studied the dispersive characteristics of P-wave reflection and transmission coefficients at the interface of two kinds of media under the vertical incidence of P-waves. The upper and lower sides of the interface were layered double-porosity shale media and layered double-porosity sandstone media, respectively. Three types of reflected and transmitted P-waves existed at the interface of the upper and lower double-porosity media when the P-waves propagated perpendicularly to the interface. Based on the properties of the layered double-porosity media, we introduced six boundary conditions at the interface. According to the wave equations of layered double-porosity media, the P-wave reflection and transmission coefficients were calculated based on the plane wave analysis. The results demonstrate that when fluid exists in the porous media, the P-wave reflection and transmission coefficients are related to the frequency and the dispersion phenomenon occurs. Wave-induced fluid flow is the main mechanic for the dispersion of the P-wave reflection and transmission coefficients. In addition, the results also indicate that the local fluid flow and macroscopic Biot flow can cause the dispersion of the reflection and transmission coefficients in the seismic band and ultrasonic band, respectively. We have further analyzed the effects of rock parameters on dispersive curves of reflection and transmission coefficients.
Key words: Layered double-porosity media    Wave-induced fluid flow    Reflection coefficient    Transmission coefficient    Dispersive characteristics    
0 引言

当地震波在流体饱和的多孔介质内传播时,会造成孔隙内流体的流动,这种波致流体流动会对地震波的传播产生影响.很多学者都对流体饱和多孔介质内地震波的传播特性进行了研究(Biot, 1956a, b, 1962; Mavko and Nur, 1975, 1979; White, 1975; White et al., 1975; Dvorkin and Nur, 1993; Pride et al., 2004; 魏修成等,2008; Ba et al., 2011; 巴晶等,2012; 吴建鲁等,2015).这些理论均表明流体流动会引起地震波的衰减和速度频散.

在进行储层预测及流体识别的过程中,地震波的反射和透射系数是十分重要的参数(Zong and Yin, 2017Zong et al., 2017, 2018).储层介质中流体的流动使地震波产生了衰减和速度频散,进而影响了反射和透射系数,使它们也产生了频散现象(Deresiewicz and Rice, 1960; De La Cruz et al., 1992; Yang, 1999; Dai, 2006a; 张震等,2014; 郭智奇等,2016).流体的宏观流动会造成地震波高频范围内的频散,而局部流动会造成地震波低频范围内的频散.在实际地下岩石介质中,两种流动是同时发生的,故反射和透射系数会在很大频率范围内产生频散.在地震解释和储层预测的过程中,这种频散是不能被忽略的.根据对实验室数据和野外实际资料的观察研究,Korneev等(2004)认为流体饱和层的反射系数存在明显的频散现象,且野外观测的结果与实验室理论模拟的结果是一致的.Goloshubin等(2006)也有类似的结论.Chapman等(2006)对等效介质与弹性盖层间界面的反射系数进行了研究.他们认为反射系数与频率相关,且这种相关性产生的影响与AVO响应有关.

均匀多孔介质间分界面的反射系数是很多学者的研究重点(Gurevich and Schoenberg, 1999; Denneman et al., 2002; Bouzidi and Schmitt, 2012).Gurevich等(2004)研究了流体饱和多孔介质与气体饱和多孔介质间界面的反射和透射系数,给出了一个垂直入射条件下的反射和透射系数的表达式.结果表明,分界面处的反射和透射系数与频率的平方根相关.Rubino等(2006)同样对流体饱和黏弹性多孔介质间分界面的反射和透射系数进行了研究.李京南等(2016)将经典的Sommerfeld积分引入球面波反射系数的研究中,计算了两层均匀弹性介质中球面波PP的反射系数.研究表明:当介质参数不同时,球面波反射系数存在频变现象,频变规律十分复杂.

均匀多孔介质是一种理想化的介质,以这种介质为基础研究反射系数得到的结论在实际地下岩石介质中并不适用,因为它们大多都是非均匀介质.Quintal等(2009)给出了一种一维层间流模型并研究了薄层间分界面的反射系数,结果表明反射系数在低频范围内有频散现象.利用解析方程和数值模拟,Ren等(2009)研究了垂直入射条件下非频散介质和部分饱和频散介质间分界面的反射系数.Liu等(2011)同样利用解析方程和数值模拟,研究了任意入射角条件下非频散介质和部分饱和频散介质间分界面的反射系数,不仅证明了反射系数与频率相关,还与入射角相关.程冰洁等(2012)在研究频变AVO属性计算方法的过程中,考虑了多尺度裂缝介质模型中物性参数的频变特征,建立了频变AVO含气性识别技术.杨志芳等(2014)认为纵波和横波速度频散会引起反射系数的频散,并利用线性黏弹性理论,推导了反射系数随频率变化的公式,研究了与孔隙内流体相关的反射系数的频散特性.Liu等(2014)建立了一种改进的贝叶斯反演方法,基于频变AVO属性反演对多尺度裂缝介质进行流体识别.钟晗和刘洋(2017)认为速度随频率变化、地层吸收衰减和动校正拉伸是造成频变AVO的主要原因,并利用White模型和水平层状衰减模型分析了这些因素对AVO曲线的影响.

双孔模型是一种比较常见的非均匀介质模型,很多学者都对这种模型进行了研究(Berryman and Wang, 2000; Pride et al., 2004; Ba et al., 2011, 2014; Sun et al., 2015).Dai等(2006b)研究了流体饱和单孔介质和流体饱和双孔介质间分界面的反射和透射系数特征,讨论了入射角与频率对反射和透射系数的影响.Zhao等(2015)Pride等(2004)的双孔模型为基础,研究了波致流体流动对非均匀储层介质中反射系数的影响.结果表明:局部流体流动会造成P波反射系数振幅在低频范围内40%左右的变化,即出现高频散现象.贺鹏飞等(2016)利用双重孔隙介质理论,研究了P1波在半空间自由边界上的反射系数随入射角和频率变化的规律.

White在1975年建立了两种典型的部分饱和多孔模型(一种为含球状内含物的部分饱和模型,一种为周期成层的部分饱和模型),并研究了弹性波在低频范围的衰减和速度频散.White虽然用这两种部分饱和模型很好地描述了岩石内部的局部非均匀性,但却没有推导出与这两种模型相适应的波动方程.针对这样的问题,Ba等(2011)将双孔模型的思想引入含球状内含物的部分饱和模型中,建立了一种含球状内含物的双孔模型,并推导了该模型的波动方程.但对于周期成层的部分饱和模型,仍无与该模型十分相符的波动方程.为了推导周期成层的部分饱和模型的波动方程,Zhao等(2017)同样将双孔模型的思想引入周期成层的部分饱和模型中,建立了一种层状双孔模型,并推导了该模型的波动方程.虽然Zhao建立了层状双孔模型并推导了波动方程,但却没有对层状双孔模型中弹性波的反射和透射系数做进一步的研究.

本文以前期建立的层状双孔模型为基础(Zhao等, 2017),研究了垂直入射条件下非均匀介质反射和透射系数的频散特性,同时讨论了岩石参数对反射和透射系数频散曲线的影响.文章具体内容安排如下:在第二部分中,首先回顾了层状双孔模型的建立和以此模型为基础的波动方程,其次给出了分界面处的反射与透射模型和六个边界条件,再次利用平面波分析计算得到了反射和透射系数振幅.在第三部分中,通过数值模拟分析了在宏观流动和局部流动的共同作用下反射和透射系数的频散特征,讨论了岩石参数对频散特征的影响.最后在第四部分中阐明结论.

1 理论 1.1 层状双孔模型

Zhao等(2017)以层状White模型为基础,选取一个两层的单元体,构建了一种层状双孔介质模型,如图 1所示.

图 1 层状模型示意图 (a) White层状模型;(b)层状双孔模型. Fig. 1 Schematic of layered models (a) White model; (b) Double-porosity model.

图 1a是White周期成层部分饱和模型的示意图,其中黑框为我们选取的两层单元体,单元体的顶、底界面在White模型每一层的中间位置,X1X2分别表示第一层介质和单元体的厚度.图 1b是层状双孔介质模型的示意图,其中l1l2分别表示单元体的长度和宽度,ϕ10ϕ20分别表示两层介质的局部孔隙度,黑色箭头和白色箭头分别表示流体的宏观流动和中观流动.利用Biot理论和Rayleigh理论,Zhao等(2017)推导了层状双孔模型的波动方程,公式为

(1)

其中ANQ1Q2R1R2表示刚度系数;u1U1(1)U1(2)分别表示x方向上的固体和流体位移;eξ1ξ2分别表示固体和流体的体应变;ϕ1ϕ2分别表示两层介质的绝对孔隙度;ζ表示局部流体流动造成的流体应变增量;ρ00ρ01ρ02ρ11ρ22ρf表示密度参数;b1b2表示耗散系数;κ1κ2表示渗透率;η表示流体的黏滞系数;变量上面的点表示对时间求导数.

利用平面波分析,将固体和流体位移的平面波解代入波动方程中,可以得到三个纵波的波数值,这说明当纵波沿垂直方向穿过单元体时,双孔介质内会产生三类纵波,分别是快纵波和第一、第二类慢纵波.Biot理论预测当纵波在双相介质内传播时,由于孔隙内含有流体,介质内不仅存在快纵波,还会出现第一类慢纵波.当模型为双孔介质时,由于局部非均匀性的存在,还会出现第二类慢纵波.三类纵波的相速度与品质因子分别为

(2)

其中,k1表示x方向上的复波数,ω表示圆频率.

1.2 分界面反射与透射模型

我们考虑一个介质分界面,分界面上下两侧为层状双孔介质,如图 2所示.当一个平面纵波沿垂直于分界面的方向入射到分界面处时,由于界面两侧多孔介质属性的差异,就会在第一个介质内(层状双孔介质1)产生三种反射纵波,分别为反射快纵波、第一类和第二类反射慢纵波;在第二个介质内(层状双孔介质2)产生三种透射纵波,分别为透射快纵波、第一类和第二类透射慢纵波.

图 2 界面处纵波反射与透射 Fig. 2 Sketch of P wave reflection and transmission at the interface
1.3 分界面处边界条件

根据Deresiewicz和Rice(1960)Zhao等(2015)Dai等(2006b),我们可以给出以下6个边界条件:

(1) x方向固体位移连续,公式为

(3)

(2) x方向总应力连续,公式为

(4)

(3) x方向流体流量连续,公式为

(5)

(4) 流体压力连续,公式为

(6)

(5) x方向层状双孔介质1中的上层介质内流体相对于固体的位移为零,公式为

(7)

(6) x方向层状双孔介质2中的下层介质内流体相对于固体的位移为零,公式为

(8)

需要指出的是,以上6个边界条件被限制在x-z平面内,且仅在x=0处成立.

1.4 反射系数与透射系数

根据亥姆霍兹分解定理,我们可以将固体和流体位移写成位移势的形式,即:

(9)

其中φsψs为固体相的标量势和矢量势,φfψf为流体相的标量势和矢量势.在本文中,入射波垂直入射,则不存在矢量势,且固体和流体只沿x方向移动,故可以将式(9)改写为

(10)

当入射波垂直传播至分界面处,入射波、反射波和透射波的位移势函数可以表示为:

入射波:

(11a)

(11b)

(11c)

反射波:

(12a)

(12b)

(12c)

透射波:

(13a)

(13b)

(13c)

其中上标i、r和t分别表示入射波、反射波和透射波;As1iAs1rAs1t分别表示入射快纵波、反射快纵波和透射快纵波与固体位移相关的振幅,As2rAs2t分别表示第一类反射慢纵波和第一类透射慢纵波与固体位移相关的振幅,As3rAs3t分别表示第二类反射慢纵波和第二类透射慢纵波与固体位移相关的振幅;Af1(1), iAf1(2), iAf1(1), rAf1(2), rAf1(1), tAf1(2), t分别表示入射快纵波、反射快纵波和透射快纵波与流体位移相关的振幅,Af2(1), rAf2(2), rAf2(1), tAf2(2), t分别表示第一类反射慢纵波和第一类透射慢纵波与流体位移相关的振幅,Af3(1), rAf3(2), rAf3(1), tAf3(2), t分别表示第二类反射慢纵波和第二类透射慢纵波与流体位移相关的振幅;kp1i表示入射快纵波的波数,kp1rkp2rkp3r分别表示反射快纵波、第一类和第二类反射慢纵波的波数,kp1tkp2tkp3t分别表示透射快纵波、第一类和第二类透射慢纵波的波数.

分界面处的反射系数与透射系数是由各种波与入射波之间的与固体位移相关的振幅比定义的,故在双相介质中需要将与流体位移相关的振幅值进行替换.Dai等(2006a)认为与固体位移相关的振幅和与流体位移相关的振幅之间的比值是一个常数.将入射波、三类反射波和三类透射波的位移势函数分别带入式(1)中,可以得到“流固振幅比”为

(14a)

(14b)

(14c)

(14d)

其中:

(15a)

(15b)

(15c)

(15d)

(15e)

(15f)

(15g)

(15h)

其中i=1、2分别表示层状双孔介质1和层状双孔介质2,j=1、2、3分别表示快纵波、第一类和第二类慢纵波;Vp1j分别表示层状双孔介质1内快纵波、第一类和第二类慢纵波的相速度,Vp2j分别表示层状双孔介质2内快纵波、第一类和第二类慢纵波的相速度.

将式(10)代入边界条件式(3)—(8)中,且根据应力-应变关系,可以得到:

(16a)

(16b)

(16c)

(16d)

(16e)

(16f)

将式(11)—(14)代入式(16)中,可以得到:

(17)

其中R是一个6×1的列向量,表示未知的反射和透射系数,具体表达式为

(18)

Rp1p1Rp1p2Rp1p3分别表示快纵波、第一类和第二类慢纵波的反射系数,Tp1p1Tp1p2Tp1p3分别表示快纵波、第一类和第二类慢纵波的透射系数;G是一个6×6的矩阵,表征了层状双孔介质1和层状双孔介质2在波传播时的响应特征;P是一个6×1的列向量,反映了入射波的信息.GP的具体表达式详见附录1.

由于矩阵G和列向量P中的部分元素与频率相关且为复数,故通过对式(17)求解得到的列向量R同样与频率相关且为复数,可以写为

(19)

其中|R|和θ分别表示系数R的模值和相位角.后文中我们将主要通过对|R|的计算研究反射与透射系数的频散特征.

2 数值模拟

为了研究界面反射和透射系数的频散特征,通过对式(17)求解得到列向量R的值,并通过式(19)计算得到反射和透射系数的模值|R|.为了接近实际地下岩石储层,我们首先假设分界面上侧为页岩盖层,分界面下侧为砂岩储层,页岩盖层与砂岩储层均为层状双孔介质.具体岩石参数如表 1所示,其中Ksμsρs分别表示固体颗粒的体积模量、剪切模量和密度;Kfρf分别表示孔隙流体的体积模量和密度;ccs表示固结系数.本文选取水、热水和油三种流体,它们的黏滞系数分别为η=0.001、0.0002、0.005 Pa·s;页岩盖层和砂岩储层的总厚度均为X2=0.2 m.

表 1 页岩盖层和砂岩储层岩石参数 Table 1 Rock parameters of overburden shale layer and sandstone reservoir
2.1 衰减和速度频散

图 3是页岩盖层和砂岩储层内快纵波和两类慢纵波的速度频散和衰减曲线图,介质内饱和水且页岩盖层和砂岩储层中的第一层厚度均为X1=0.1 m.从图中可以看出,在流体宏观流动和局部流动的共同作用下,三类波均存在衰减和速度频散现象.从图 3a中可以看出,快纵波在页岩盖层中具有更高的波速,且在低频范围内发生频散的起始频率更低,约为0.1 Hz.从图 3b中可以看出,快纵波在盖层和储层内均存在两个衰减峰,低频范围内的衰减峰是由局部流体流动造成的,且在盖层内衰减峰出现的频率更低,高频范围内的衰减峰是由宏观流体流动造成的.

图 3 页岩盖层和砂岩储层内三类纵波频散和衰减曲线图 Fig. 3 Dispersion and attenuation curves of three kinds of P waves in overburden shale layer and sandstone reservoir

图 3c-f中可以看出,两类慢纵波在低频范围内速度几乎为零,在高频范围内随着频率的增大两类慢纵波的相速度逐渐增大.第一类慢纵波在低频范围内无衰减,在高频范围内随着频率的增加衰减逐渐减小.第二类慢纵波在低频范围内随着频率的增加衰减逐渐升高,在高频范围内随着频率的增加衰减逐渐减小.

2.2 反射系数和透射系数

利用三类波在页岩盖层和砂岩储层中的相速度和表 1中的岩石参数,可以求得反射和透射系数的模值|R|,从而分析反射和透射系数的频散特性.

图 4是快纵波和两类慢纵波反射和透射系数振幅曲线图,其中页岩盖层中饱和水,砂岩储层中饱和油.从图中可以看出,三类纵波的反射系数和透射系数均存在频散现象.图 4ab是快纵波反射和透射系数振幅曲线图,可以看出由于局部流体流动的影响,反射和透射系数振幅在0.1~10 Hz的频率范围内存在很强的频散,其频散程度在13%左右.这一结果表明在利用反射和透射系数进行地震解释时,低频范围内的频散是不能被忽略的.在高频范围内反射和透射系数振幅的频散是由流体宏观流动造成的,由于程度不高是可以被忽略的.通过与Zhao等(2015)的结果进行对比可以看出,两者在低频和高频范围内均存在频散现象,但本文在低频范围内出现频散的频率范围略窄,主要原因是本文所采用的层状双孔模型的相速度在低频范围出现频散的频率范围较窄.此外,在100~100000 Hz频率范围内,本文的反射和透射系数振幅曲线无明显的频散现象,这与Zhao等(2015)的结果有明显的不同,其原因可能是本文的相速度曲线在这一频率范围内同样无明显频散现象.从图 4cd中可以看出,由于两类慢纵波在低频范围内速度几乎为零,故它们的反射和透射系数振幅在低频范围内也几乎为零;在高频范围内存在频散现象,同样是由流体宏观流动引起的.

图 4 三类纵波反射系数和透射系数振幅曲线图 Fig. 4 Curves of P-wave reflection and transmission amplitudes of three kinds

下面我们以快纵波反射和透射系数为例分析岩石参数对频散特征的影响.图 5是页岩盖层内饱和不同流体时快纵波反射系数和透射系数振幅曲线图.从图中可以看出,随着流体黏滞系数的增加,频散曲线向振幅增加的方向移动,曲线的形状大致相同.

图 5 页岩盖层内饱和不同流体时快纵波反射系数和透射系数振幅曲线图 Fig. 5 Curves of reflection and transmission amplitudes of P waves for overburden shale layer saturated with different fluids

图 6是页岩盖层渗透率不同时快纵波反射和透射系数振幅曲线图,其中图 6ab是盖层中第一层介质渗透率变化而第二层不变;图 6cd是第二层渗透率变化而第一层不变.从图中可以看出,随着第一层介质渗透率的减小,反射系数和透射系数振幅曲线没有明显变化;随着第二层介质渗透率的增加,频散曲线向振幅减小的方向移动.这一结果可以说明在层状介质中,渗透率较低的层对层状介质的总体渗透率贡献较大,当这一层的渗透率发生变化时,层状介质的总体渗透率也发生较大变化,从而引起反射和透射系数振幅频散曲线的变化.

图 6 页岩盖层内渗透率不同时快纵波反射系数和透射系数振幅曲线图 Fig. 6 Curves of reflection and transmission amplitudes of P waves for different permeability in overburden shale layer

图 7是页岩盖层内层厚度不同时快纵波反射和透射系数振幅曲线图,其中图 7ab是盖层中第一层厚度变化而盖层总厚度不变;图 7cd是第一层厚度和总厚度同时发生变化,而它们的比值不变,即X2=2X1.从图中可以看出,随着第一层厚度的减小,频散曲线向振幅增加的方向移动,且低频范围内的频散范围增加,说明在层状介质中,当介质总厚度不变的情况下,孔隙度和渗透率相对较高的介质层的层厚度越小,所引起的低频范围内的频散的程度越高.当第一层厚度和总厚度等比例同时减小时,在低频范围内极值向低频方向略有移动,且频散程度略有增加,但对高频范围内的频散没有影响.在低频范围内,两种改变层厚度的方法所得到的结论类似,都是随着层厚度的减小,频散程度增加,但在高频范围内,结果却有很大不同.当用第一种方法改变层厚度时,随着层厚度的减小,高频范围内的反射和透射系数振幅值增加,而当用第二种方法改变层厚度时,高频范围内的反射和透射系数振幅值没有变化.造成这种现象的主要原因是在反射和透射系数的计算过程中,层厚度只参与了低频范围内的计算(局部流体流动过程),而没有参与高频范围内的计算(宏观流体流动过程),所以高频范围内的频散与层厚度无关.第一种改变层厚度的方法之所以使高频范围内的频散曲线发生变化,是因为单独改变第一层厚度时同时改变了介质的总体渗透率(总体渗透率不仅与每一层的渗透率有关,还与每一层在单元体中所占的比例有关),从而引起了高频范围内反射和透射系数振幅值的变化.第二种改变层厚度的方法是保持第一层厚度和单元体总厚度的比值不变,所以没有改变介质的总体渗透率,故反射和透射系数振幅值没有变化.

图 7 页岩盖层内层厚度不同时快纵波反射系数和透射系数振幅曲线图 Fig. 7 Curves of reflection and transmission amplitudes of P waves for different thicknesses in overburden shale layer
3 结论

本文以层状双孔模型为基础,构建了一个分界面两侧均为层状双孔介质的反射、透射模型,研究了垂直入射情况下分界面处的反射系数和透射系数的频散特性.根据层状双孔介质的特性和前人的研究成果给出了分界面处的六个边界条件,并基于这六个边界条件和层状双孔模型的波动方程,利用平面波分析方法计算得到了快纵波和两类慢纵波的反射和透射系数振幅.通过数值模拟可以发现由于孔隙内流体的流动,三类纵波的反射和透射系数均存在频散现象.流体的局部流动引起了反射和透射系数在低频范围内的频散,而高频范围内的频散是由流体的宏观流动造成的,这一结论与前人的研究结果类似,进一步证明了之前所建立的层状双孔模型是合理的.本文同时研究了岩石参数对反射和透射系数频散特性的影响.随着孔隙内流体黏滞性的增加,频散曲线向振幅增加的方向移动.层状介质中渗透率较低的层对介质的总体渗透率贡献较大,当这一层的渗透率增加时,频散曲线向振幅减小的方向移动.当层状介质中高孔高渗层的层厚度减小而总厚度不变时,频散曲线向振幅增加的方向移动,频散程度增加.

本文仅对地震波垂直入射的情况进行了研究,没有涉及任意角度入射的情况,也没有考虑部分饱和介质,这都值得在后面的工作中继续深入研究.

附录1

矩阵G的具体表达式为

(A1)

其中:

(A2a)

(A2b)

(A2c)

(A2d)

(A2e)

(A2f)

(A3a)

(A3b)

(A4a)

(A4b)

列向量P的具体表达式为

(A5)

其中:

(A6a)

(A6b)

References
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