2018, Vol. 61
高频近似下的几何射线能够准确刻画波场高频部分的传播方向，但实际勘探中同时需要考虑波场低频部分的传播，这时菲涅尔体或者“物理射线”的概念(Kravtsov and Orlov, 1990; Červený, 2001)就显得更为合理与重要.菲涅尔体(Fresnel volume)或者“物理射线”(physical ray)表示邻近几何射线的一定空间区域，它被定义为参考射线(几何射线)上所有横向菲涅尔带的积分结果(Kravtsov and Orlov, 1990)，换个角度来说，菲涅尔带即为菲涅尔体与垂直参考射线平面的交叉区域，此外，菲涅尔体与某一地下界面的交叉区域被称为界面菲涅尔带(Interface Fresnel Zone, IFZ)，在地震勘探中，菲涅尔带或者界面菲涅尔带常被用于表示波场的横向(或空间)分辨率(王绪松等，2006).关于菲涅尔带和菲涅尔体的计算既有解析的方法，也有数值的方法.Sheriff和Geldart(1982)出版的Exploration Seismology一书中给出了零炮检距下来自平界面的反射波(第一)菲涅尔带的计算公式.Hubral等(1993)给出了投影菲涅尔带的定义，并给出了利用速度分析得到的均方根速度计算零炮检距下反射波菲涅尔带的解析公式.Kvasnička和Červený(1996a, 1996b)分别给出了来自平界面的反射波、透射波和折射波界面菲涅尔带的解析公式，Sun(1996)给出了几何扩散因子和(第一)菲涅尔带的关系.
上述关于菲涅尔带的计算并未具体讨论界面的弯曲程度，然而实际中更多需要处理的是弯曲界面.Lindsey (1989)就给出了零炮检距下来自(某一曲率)弯曲界面的相对于来自平界面的反射波界面菲涅尔带(IFZ)的变化大小，但却没有具体的推导与证明.Favretto-Cristini等(2009)通过联立曲线方程组的方法进一步推导了非零炮检距下来自(某一曲率)弯曲界面的反射波界面菲涅尔带的横向与纵向尺度的解析公式，但计算时需要分步求取多个参数，实际应用中其实是一件繁琐的事情.此外，Ursin等(2014)又给出了各向异性介质时来自弯曲界面的反射波和透射波界面菲涅尔带的解析公式.本文按照菲涅尔带的简单定义(Kravtsov and Orlov, 1990; Červený，2001)，充分利用(某一曲率)弯曲界面与源点和接收点之间的几何关系，具体推导了垂直入射下来自弯曲界面的反射波与透射波界面菲涅尔带近似的解析公式，并证明了公式中曲率为零对应了Kvasnička和Červený(1996a, 1996b)给出的平界面下的解析公式.
菲涅尔体和菲涅尔带的数值计算方法主要有两种(Červený, 2001)，首先是Červený和Soares(1992)提出的菲涅尔体射线追踪的数值算法，它在标准的运动学射线追踪的基础上，将动力学射线追踪和傍轴射线近似结合进去，通过求解射线传播矩阵估计了菲涅尔体的大小.与菲涅尔体射线追踪对应的另一种数值算法是基于网格射线追踪或者基于网格走时计算的菲涅尔体计算策略(Červený, 2001)，因为只是简单地利用走时来判定菲涅尔体的范围，若走时计算的精度足够高，后者较前者理论上应该具有更高的精度.实际上网格射线追踪(如最短路径法)和网格走时计算(如快速推进法)相较于标准的运动学射线追踪往往精度较低，以基于快速推进法的菲涅尔体计算策略来说，其走时计算本身在源点附近就具有较大的误差，由于误差累积进而影响了全局走时计算的精度，加之菲涅尔体定义式中频率判别项的苛刻条件，这一策略在实际应用起来必须加以改进，本文针对弯曲界面下菲涅尔体的计算问题，具体研究了这一策略的实现方法，并将这一策略用于研究弯曲界面对分辨率的影响特点，结果取得了与解析公式相一致的结论.
需要补充的是，虽然基于网格射线追踪的菲涅体计算方法(如Bai et al., 2014；李兴旺等，2014)和本文基于网格走时计算的菲涅体计算方法在原理上相似，但两者因为所采用走时计算策略的不同，出于计算精度的考虑，实现途径上也应做出相应改进.区别于基于网格射线追踪的菲涅体计算方法，本文方法并不需要射线路径的求取，只需要网格走时计算(如快速推进法)就能快速给出规则界面下菲涅尔体较为精确的计算结果.
1 基本原理 1.1 菲涅尔体和菲涅尔带如图 1所示，S和R分别为源点和接收点，轨迹Ω为连接源点和接收点的一条几何射线，引入辅助点F，对于频率为f的简谐波，我们称满足定义式(1)的点F全体构成的空间为源点S和接收点R对应的菲涅尔体.
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图 1 菲涅尔体的定义示意图 Fig. 1 Schematic of Fresnel volume |
其中，T(S, F)，T(F, R)和T(S, R)分别为相应两点之间的几何射线走时.
由定义可以看出，菲涅尔体是由频率、源点和接收点所共同决定的.定义式(1)具有直接的物理意义，即走时差|T(S, F)+T(F, R)-T(S, R)|大于简谐波半周期的那些点F对接收点处的波场没有产生明显的影响.
从几何关系上来讲，菲涅尔带表示垂直几何射线的平面与菲涅尔体的交叉区域，它的大小随垂直平面与几何射线的交点变化而变化.特别地，某一界面与菲涅尔体的交叉区域称为界面菲涅尔带(IFZ).界面菲涅尔带的大小是与波场对界面的分辨能力息息相关的(王绪松等，2006).
均匀介质中的菲涅尔体是以源点到接收点的直射线为旋转轴的旋转椭圆体，相应地，菲涅尔带为圆域.特别地，在二维均匀介质中，菲涅尔体为一椭圆，椭圆的长半轴a和短半轴b具有解析的表达式(Kvasnička and Červený, 1996a; Červený, 2001)：
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其中，λ=Vf-1表示波长，l为射线走过的路径长度，当λ≪l时，a和b可以简化为
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由公式(5)可以看到，菲涅尔体的短半轴b与
通过菲涅尔体的定义式(1)看到，菲涅尔体的计算是完全依赖于走时的，接下来我们介绍一种网格走时计算策略——基于快速推进迎风线性插值法的走时计算(孙章庆等，2009a; 2009b; 2012; 2015).
1.2 基于快速推进迎风线性插值法的走时计算基于快速推进迎风线性插值法的走时计算(孙章庆等，2009a; 2009b; 2012; 2015)由快速推进法(Sethian, 2001)发展而来.该方法在局部使用线性插值公式和迎风差分格式计算走时，而在整体实现时采用快速推进法中的窄带技术进行波前扩展.因为在局部实现时采用了平面波的假设条件来应用线性插值公式，所以该方法在源点附近具有较大误差，此外由于局部射线路径计算的误差，该方法得到的初至波走时相对于实际的走时往往是偏大的，如果直接应用该网格走时计算方法来计算菲涅尔体，势必会导致实际计算的菲涅尔体偏小，因此这一策略在实现上需要对源点附近较大的走时误差作一定处理.本文采用解析公式计算了包含源点界面一侧介质(包含界面)中的直达波走时，然后将界面作为子震源(Rawlinson and Sambridge, 2004; 唐小平和白超英, 2009)，利用基于快速推进迎风线性插值法的走时计算方法计算了经界面反射和透射后的波场走时，极大地提高了整个网格走时计算的精度和菲涅尔体计算的精度.
1.3 菲涅尔体和菲涅尔带的计算在介绍完菲涅尔体和菲涅尔带的定义和网格走时计算策略的特点后，接下来我们主要介绍利用网格走时计算菲涅尔体和菲涅尔带的具体方法.在详细介绍这一策略之前，首先给出来自平界面和弯曲界面的反射波与透射波界面菲涅尔带(IFZ)的近似解析公式.
1.3.1 平界面解析公式对于二维介质，首先给出反射波(不考虑转换波)界面菲涅尔带的解析公式.如图 2a所示，地下存在一倾斜界面，S为源点，R为接收点，Q为射线在界面上的入射点，iS为入射角，hS为源点S到界面的距离，hR为接收点R到界面的距离.记Q点处倾斜界面与菲涅尔体交叉形成的界面菲涅尔带(IFZ)的半宽度为d，则有近似的解析表达式(Kvasnička and Červený, 1996a)：
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图 2 平界面菲涅尔带计算示意图 (a)反射；(b)透射. Fig. 2 Schematic of computing IFZ for a planar interface (a) Reflection; (b) Transmission. |
这一公式是在精确的解析公式基础上近似得到的，它的近似条件为：简谐波波长远小于几何射线走过的路径长度，并且镜像椭圆(镜像菲涅尔体边界)的短半轴长度远小于长半轴长度.实际应用中这一条件在大深度处是很容易满足的.
与反射波界面菲涅尔带解析公式形式类似，透射波界面菲涅尔带近似的解析公式(Kvasnička and Červený，1996b)为
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式中各参数的物理意义如图 2b所示.需要说明的是精确的透射波界面菲涅尔带解析公式的求取是一件繁琐的事情，所以在透射波近似公式的推导中假设界面菲涅尔带(IFZ)的宽度远小于源点到透射点的几何射线路径长度.
上述反射波和透射波界面菲涅尔带的解析公式在VS＞VR时完全适用，但当VS＜VR时，由于折射波的影响，实际的界面菲涅尔带宽度在接近临界角或超过临界角时可能变得非常大，从而导致解析公式失效.
1.3.2 弯曲界面解析公式同样对于二维介质，首先考虑垂直入射下来自弯曲界面的反射波(不考虑转换波)界面菲涅尔带解析公式的求取.如图 3a所示，地下存在一曲率半径恒为r的弯曲界面(向斜弯曲)，O为弯曲界面圆心，S为源点，R为接收点，Q为几何射线在界面上的入射点，O、S和R位于同一条直线上，hS和hR分别为源点S和接收点R到入射点Q的距离，假设hS≤r，hR≤r.记点F为所求的菲涅尔带边界点，则弧段FQ的长度即为所求的界面菲涅尔带半长度，记其大小为d，其对应的圆心角为θ.
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图 3 弯曲界面菲涅尔带计算示意图 (a)反射；(b)透射. Fig. 3 Schematic of computing IFZ for a curved interface (a) Reflection; (b) Transmission. |
按照菲涅尔体和菲涅尔带的定义，点F应该满足
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其中，T=1/f为简谐波周期，SF和RF的长度为
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将(9)和(10)式代入方程(8)解得cosθ，然后利用公式d=rθ=r·arccos(cosθ)即可得到弯曲界面菲涅尔带精确的计算结果.为了给出具体简洁的解析公式，我们对公式(9)和(10)进行Taylor展开，当θ角较小时略去1-cosθ的高阶项得到
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将(11)和(12)式代入方程(8)解得cosθ，因为θ角较小，将cosθ的Taylor展开截断有θ≈[2(1-cosθ)]1/2，然后利用公式d=rθ可以得到
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(13) |
其中，K=1/r表示弯曲界面的曲率，当K=0时，公式(11)即为垂直入射下来自平界面的反射波界面菲涅尔带解析公式(6).公式(13)是在hS≤r且hR≤r下推导的，对于hS＞r或hR＞r也有相同的结果.此外，公式(13)推导过程中假设弯曲界面是向斜弯曲，对于背斜弯曲的情况同理可以得到.我们规定向斜弯曲时曲率为正，背斜弯曲时曲率为负，则对任意的曲率为K的弯曲界面，其界面菲涅尔带半长度近似的解析表达式即为公式(13)，需要注意的是，公式(13)应用时要求弯曲界面菲涅尔带弧段对应的圆心角2θ是小的.
对于透射波界面菲涅尔带半长度解析公式的推导思路类似反射波，如图 3b所示，假设弯曲界面圆心O，源点S和接收点R位于同一条直线上，则菲涅尔带边界点F同样满足
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并且有
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将(15)(16)两式代入方程(14)，当θ角较小时，利用关系式d=rθ≈r[2(1-cosθ)]1/2最终得到
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公式(17)在向斜弯曲时，曲率K取正，在背斜弯曲时，曲率K取负，当K=0时，公式(15)即为垂直入射下来自平界面的透射波界面菲涅尔带半宽度解析公式(7).同样需要注意，公式(15)应用时要求弯曲界面菲涅尔带弧段对应的圆心角2θ是小的.
1.3.3 数值算法根据菲涅尔体的定义式(1)，要想准确计算弯曲界面下菲涅尔体，首先必须保证网格走时计算的精度.因为基于快速推进迎风线性插值法的走时计算策略误差主要集中在源点附近，所以在计算包含源点界面一侧介质(包含界面)中直达波走时时采用准确的走时解析公式，而在计算经过界面透射或者反射后的波场走时时采用基于快速推进迎风线性插值法的走时计算策略.接下来将分别阐述弯曲界面下透射波菲涅尔体和反射波菲涅尔体的数值计算策略.
如图 4所示，首先考虑从源点S到接收点R的透射波菲涅尔体计算.计算过程可分为5步：
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图 4 透射波菲涅尔体的计算过程 Fig. 4 Process of computing Fresnel volume for transmission |
① 利用均匀介质中的走时解析公式计算包含源点S的界面Σ一侧介质中直达波的走时(等时线如图 4a所示)，包括界面Σ上的走时；
② 保存源点直达波在界面Σ上的走时，利用基于快速推进迎风线性插值法的走时计算策略计算界面Σ另一侧透射波的走时(如图 4b所示)；
③ 利用均匀介质中的走时解析公式计算包含接收点R的界面Σ一侧介质中直达波的走时(等时线如图 4c所示)，包括界面Σ上的走时；
④ 保存接收点直达波在界面Σ上的走时，利用基于快速推进迎风线性插值法的走时计算策略计算界面Σ另一侧透射波的走时(如图 4d所示)；
⑤ 根据菲涅尔体的定义，寻找满足条件(18)的点F构成所计算的菲涅尔体.
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(18) |
接下来考虑在界面Σ反射下的反射波菲涅尔体的计算(如图 5所示).实现策略类似透射波菲涅尔体计算，计算过程同样可分为5步：
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图 5 反射波菲涅尔体的计算过程 Fig. 5 Process of computing Fresnel volume for reflection |
① 利用均匀介质中的走时解析公式计算包含源点S的界面Σ一侧介质中直达波的走时(如图 5a所示)，包括界面Σ上的走时；
② 保存源点直达波在界面Σ上的走时，利用基于快速推进迎风线性插值法的走时计算策略计算在界面Σ反射下的反射波走时(如图 5b所示)；
③利用均匀介质中的走时解析公式计算包含接收点R的界面Σ一侧介质中直达波的走时(如图 5c所示)，包括界面Σ上的走时；
④ 保存接收点直达波在界面Σ上的走时，利用基于快速推进迎风线性插值法的走时计算策略计算界面Σ反射下的反射波走时(如图 5d所示)；
⑤ 根据菲涅尔体的定义，寻找满足条件(19)的点F构成所计算的菲涅尔体.
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(19) |
需要说明的是，公式(19)中最小值的求取是为了完整地计算反射波菲涅尔体，如图 6所示，图 6a表示按照菲涅尔体的定义T(R, F)+T(S, Σ, F)-T(S, Σ, R)≤1/(2f)计算得到的接收点R一侧的菲涅尔体，图 6b表示按照定义T(S, F)+T(R, Σ, F)-T(S, Σ, R)≤1/(2f)计算得到的源点S一侧的菲涅尔体，最小值的意义其实是将两个菲涅尔体的并集作为反射波菲涅尔体.
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图 6 反射波菲涅尔体的计算原理示意图 Fig. 6 Schematic of computing Fresnel volume for reflection |
除了走时计算策略的精度影响菲涅尔体的计算准确度外，网格计算中如何近似弯曲界面也尤为关键.如图 7所示，为了近似一局部弯曲界面Σ，我们以纵向上距离弯曲界面的长度不超过半个网格间距的网格点代替界面点，如果这一纵向长度正好等于半个网格间距，则选用上端的网格点，在图 7中我们以网格点ABCDE构成的折线代替了弯曲界面Σ.上述的菲涅尔体计算策略在这些近似的界面点上是完全精确的，也就是说，本文的菲涅尔体计算策略能准确判断这些近似的界面点是否属于该近似界面下菲涅尔体的范围.
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图 7 弯曲界面近似示意图 Fig. 7 Schematic of approximate curved interface |
二维均匀介质中的菲涅尔体边界是椭圆，当有界面存在时，透射波菲涅尔体的形状又会变成怎样呢？如图 8所示，位于水平位置4 km处的平界面将模型分为左右两块均匀介质，左侧介质速度为1500 m·s-1，右侧介质速度为4500 m·s-1.其中源点位置为(1 km, 2 km)，接收点位置为(7 km, 2 km)，图中的粗实线表示利用本文数值算法计算的5 Hz菲涅尔体，为了让菲涅尔体边界更加精确，计算中采用了反插值(关治和陈景良，1990)，可以看到，当有界面存在时，界面两侧的菲涅尔体出现不对称，并且较高速度的介质对应着较“胖”的菲涅尔体.为了进一步说明界面菲涅尔体的特点，我们假设界面不存在，分别计算了均匀介质速度为1500 m·s-1和4500 m·s-1时的5 Hz椭圆菲涅尔体的边界，图 8中外圈的虚线椭圆对应介质速度为4500 m·s-1，内圈的点线椭圆对应介质速度为1500 m·s-1.需要说明的是界面菲涅尔体的边界正好位于这两个椭圆边界所限定的范围内(不包括两个椭圆边界).
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图 8 平界面下的菲涅尔体 Fig. 8 Fresnel volume under a planar interface |
如图 8所示，其中FS表示均匀介质速度为1500 m·s-1时对应5 Hz椭圆菲涅尔体边界上的任意一点，当有界面存在时(本例中界面导致右侧出现高速体)，点FS处对应的源点走时和接收点走时之和变小，按照菲涅体的定义式(1)，从而会导致菲涅尔体的边界向外变“胖”.图中的FR表示均匀介质速度为4500 m·s-1时对应5 Hz椭圆菲涅尔体边界上的任意一点，同样当有界面存在时(本例中界面导致左侧出现低速体)，点FR处对应的源点走时和接收点走时之和变大，从而会导致菲涅尔体的边界向内变“瘦”.
3 弯曲界面下的菲涅尔体为了研究弯曲界面下菲涅尔体的特点，我们建立如图 9所示的速度模型，模型横纵向网格点数均为1001，网格间距10 m.图 9中展示了不同曲率的弯曲界面，其中5 km深度处的水平界面对应曲率为零，其上侧向斜弯曲界面对应曲率为正，下侧背斜弯曲界面对应曲率为负，它们都与水平界面在Q点处相切.弯曲界面将介质分为两个部分，界面以上介质速度为1500 m·s-1，界面以下介质速度为4500 m·s-1.
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图 9 弯曲界面模型 Fig. 9 Velocity model with a curved interface |
为了讨论弯曲界面曲率变化对菲涅尔体大小的影响，我们控制Q作为入射点，保持几何射线入射角为零(即保持源点S与入射点Q的连线垂直界面)，分别计算了水平界面下与弯曲界面下菲涅尔体的大小，对比给出了弯曲界面曲率变化与菲涅尔体大小的关系.
3.1 反射波菲涅尔体如图 10所示，为利用解析公式(13)计算的来自不同曲率弯曲界面的反射波界面菲涅尔带半长度(5 Hz)的结果，横坐标表示(用入射点Q处波前曲率KS归一化的)弯曲界面的曲率K，负曲率对应背斜弯曲，正曲率对应向斜弯曲.图中菲涅尔带半长度(半弧段)的计算结果对应的圆心角均小于10°，因此解析公式的计算误差是完全可以忽略的.可以看到，在一定的曲率范围内，来自弯曲界面的反射波界面菲涅尔带(IFZ)半长度随着界面曲率的增加而增加，即相对于水平界面，背斜弯曲使菲涅尔带变窄，向斜弯曲使菲涅尔带变宽，且向斜弯曲的影响程度要明显大于背斜弯曲.
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图 10 反射波界面菲涅尔带(IFZ)随界面曲率的变化 Fig. 10 IFZ for reflection from a curved interface changing with different curvatures |
通过解析公式(13)的计算结果我们了解到弯曲界面曲率对界面菲涅尔带大小的影响特点，那么菲涅尔体又是如何受界面曲率影响呢？如图 11a和图 11b所示分别为正曲率和负曲率下的反射波菲涅尔体(5 Hz)计算结果(图中用黑线绘出了弯曲界面下的菲涅尔体边界)，图中的阴影区表示水平界面下的菲涅尔体大小，通过对比可以看到，向斜弯曲使界面附近的菲涅尔体明显变宽，而背斜弯曲使界面附近的菲涅尔体变窄，若考虑图 11a和图 11b为曲率变化相同幅度，类似于曲率变化对菲涅尔带的影响，则向斜弯曲对反射波菲涅尔体的影响要明显大于背斜弯曲.需要说明的是，当弯曲界面的曲率|K|(绝对值大小)大于入射点处的波前曲率|KS|时，往往伴随着多路径的出现(Rawlinson et al., 2010)，这时计算得到的菲涅尔体可能会变宽或者出现分叉，在此只针对界面曲率(绝对值大小)小于入射点处波前曲率的情况(|K/KS|＜1).
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图 11 弯曲界面下的反射波菲涅尔体 Fig. 11 Fresnel volume for reflection from a curved interface |
图 12为利用解析公式(17)计算的来自不同曲率弯曲界面的透射波菲涅尔带半长度(5 Hz)的结果，同样，图 12曲线所展示的计算结果对应的圆心角均小于10°.可以看到，在一定的曲率范围内，透射波界面菲涅尔带半长度的大小随着界面曲率K的增加而增加，即相对于水平界面，背斜弯曲同样使菲涅尔带变窄，向斜弯曲使菲涅尔带变宽.
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图 12 透射波界面菲涅尔带(IFZ)随界面曲率的变化 Fig. 12 IFZ for transmission from a curved interface changing with different curvatures |
图 13a和图 13b分别为正曲率和负曲率下的透射波菲涅尔体(5 Hz)计算结果(图中用黑线绘出了弯曲界面下菲涅尔体边界)，图中的阴影区表示水平界面下的菲涅尔体大小，通过对比可以看到，类似于反射波，向斜弯曲使界面附近的菲涅尔体变宽，而背斜弯曲使界面附近的菲涅尔体变窄.本文只讨论了界面曲率|K|(绝对值大小)小于入射点处波前曲率|KS|的情况，对于大于入射点处波前曲率的情况(|K/KS|＞1)，往往需要通过射线追踪求取相应的射线路径.
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图 13 弯曲界面下的透射波菲涅尔体 Fig. 13 Fresnel volume for transmission from a curved interface |
通过本文的研究看到，界面下高速时，相对于平界面下的菲涅尔体，向斜弯曲引起菲涅尔体在界面附近变宽，使得分辨率降低，而背斜弯曲引起菲涅尔体在界面附近变窄，使得分辨率提高，并且向斜弯曲对分辨率的影响程度要明显大于背斜弯曲.而界面下低速时，结论正好相反.本文只计算了某一频率下的菲涅尔体和菲涅尔带，此外对于其他频率是同样适用的，但随着频率的变化，菲涅尔体和菲涅尔带的大小也会相应变化，从而导致了近似解析公式的适用范围发生改变，计算中需要根据解析公式的约束条件来具体分析.本文菲涅尔体和菲涅尔带的数值算法只考虑了较小曲率的弯曲界面，实际上随着界面曲率的增加，往往伴随着焦散区的出现，这时菲涅尔体射线追踪的计算策略可能是个不错的选择.
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