2018, Vol. 61
2. 海洋国家实验室海洋矿产资源评价与探测技术功能实验室, 青岛 266071
2. Laboratory for Marine Mineral Resources, Qingdao National Laboratory for Marine Science and Technology, Qingdao 266071, China
声-弹耦合介质在现实世界中普遍存在，包括海洋环境、河流及坝体和船舶等.地震波在这种声-弹耦合介质中的数值模拟问题，一直是人们的研究热点和难点.Hou等(2012)将地震波在该情况下的数值模拟方法分为两种：(1)单一控制方程法，即在流相和固相中采用相同的地震波波动方程，利用一阶速度-应力方程针对声-弹耦合介质进行地震波数值模拟(Virieux, 1986; Burns and Stephen 1990; Dougherty and Stephen 1991; Stephen 1996; Van Vossen et al. 2002, Basabe and Sen, 2015)，这种方法不必考虑界面的几何特征，实现方法简单，但是由于方程中的变量较多(各向同性条件下二维情况为5个，三维情况9个)，计算效率相对较低.(2)双方程耦合方法，即分别用声波方程和弹性波方程来描述地震波在液相和固相介质中的传播并利用连续性条件将两者介质联系起来.该方法需要精确考虑声-弹耦合介质的界面信息.Stephen(1983, 1988)和Sochacki等(1991)利用声-弹界面的应力、应变连续性条件采用有限差分方法对声学和弹性介质的纯位移方程耦合正演模拟研究，虽然短时间内波场传播十分稳定，一方面，随着传播时间增加，界面耦合近似误差积累逐渐增加导致地震波传播不稳定，另一方面，界面处耦合差分方法很难适用于高阶格式，极大的限制了空间差分步长.Lee等(2009)结合声-弹界面连续性条件利用单元网格有限差分数值模拟了水平界面情况下的地震波传播，同样该方法很难推广到高阶差分格式，限制了实际应用.曲英明等(2015)和Qu等(2017)利用一阶速度-应力方程将该方法推广到海底起伏模型情况，克服了起伏界面模拟时的阶梯散射波场干扰.Komatitsch等(2000)利用谱元法数值模拟了水平及起伏海底条件的地震波传播，模拟结果相对稳定，Carcione和Helle(2004)利用伪谱法分析研究了海底不同形式波的传播特征.Zhang(2004)结合有限差分和有限元方法进行了单元格子法声-弹介质地震波数值模拟方法研究，该方法对起伏不规则海底界面适用性相对较强.宣领宽等(2013)考虑了四边形单元的双线性特性并结合变步长思想进一步提高了该方法的数值模拟精度.Choi等(2008)在二阶声压波动理论和弹性位移波动理论框架下采用频率域有限元方法正演模拟了声-弹耦合介质地震波传播，并将该方法应用到不同形式下的全波形反演研究中，进一步验证了该方法实现的稳定性和有效性(Kim et al，2009；Bae et al，2010, 2011).Yu(2016a, 2016b)通过声压与应力参数的定量关系将传统的一阶速度与应力方程变换为一阶速度-应力-压力方程并开展了海上各向同性和VTI介质的逆时偏移研究.上述方法中采用一阶速度-应力波动方程模拟精度相对较高且声-弹界面模拟稳定，但是在现有计算环境下进行实际应用时，势必会面临计算量大、计算效率相对较低的问题(Choi et al., 2008).基于有限元、谱元和单元格子法采用双方程耦合方法可以有效的模拟声-弹边界处的地震波传播，但是在该方法需要进行精确的网格剖分，尤其针对复杂三维情况下的网格剖分工作需要特别留意，以免引入不必要的正演模拟误差(Xu and McMechan, 2014).
频率域数值模拟方法不仅可以提取模拟结果的单频信息和无时间频散以及对于介质的泊松比适用范围广，还便于进行并行计算和黏弹及双相介质的地震波传播研究，在实际应用模拟中逐渐受到人们的重视.Lysmer和Drake (1972)首先提出了频率域有限元地震波正演模拟方法，随后，Marfurt(1984)与Marfurt和Shin(1989)对该方法的实施过程以及差分格式、精度和稳定性等特点进行了系统的阐述和分析.为了提高空间模拟精度，Jo(1996)、Shin和Sohn(1998)以及Min(2000)分别提出了加权平均9点以及25点差分格式，有效的提高了数值模拟精度.刘璐等(2013)、Tang(2015)进一步提出了基于优化15点、17点和27点差分算子的频率域正演模拟方法.殷文等(200)、张衡等(2014)、刘财等(2014)和唐祥德等(2015)针对频率域数值模拟方法做了大量的分析研究工作.随着计算机数值计算能力的提高，频率域数值模拟方法逐渐在向三维问题以及实际资料应用等(Pratt, 1999；and Operto, 2009；高凤霞，2014；Li et al. 2015, 2016；Amestoy et al., 2016)方向转变.
为尽可能的减少频率域正演模拟的计算内存，提高计算效率，本文针对声-弹耦合介质，借助等效交错网格思想并充分考虑密度参数空间变化对地震波传播的影响(Bartolo et al., 2012, 2015)，推导了声-弹耦合地震波波动方程.在流相介质和固相介质中分别采用非均质情况频率域二阶声压标量波、二阶纯位移控制方程，为保证流、固相介质间地震波能量的稳定传输和有效交换，提出了声-弹耦合界面处转换过渡层方法，并详细阐述了过渡层与上下介质空间差分具体耦合方法.在与非均质纯位移波动方程正演结果对比分析的基础上，首先采用各向同性单层流相介质模型进行正演模拟验证了声-弹耦合方程数值模拟中过渡层策略的有效性和准确性，随后又数值模拟了地震波在声-弹耦合介质简单模型和复杂Marmousi2模型中的传播，进一步验证了本文方法稳定性和准确性，同时该方法可以简单的推广到三维情况.
1 声-弹耦合介质正演模拟方法 1.1 声-弹耦合介质波动方程一阶位移(速度)-应力方程是定量描述地震波在三维各向同性完全弹性介质中传播的基本理论，由运动平衡微分方程和应力-应变方程组成.其中，时间域运动平衡方程为
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(1) |
应力-应变方程为
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(2) |
其中，U=(U, V, W)T为质点位移向量，T=(τxx, τyy, τzz, τxy, τxz, τyz)T为正应力和剪切应力组成的应力分量，t为时间，ρ为密度，L和C分别为偏微分算子矩阵和各向同性弹性介质中的刚度张量矩阵，其具体表达式如下：
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(3) |
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(4) |
其中，λ、μ为拉梅常数.
将公式(2)代入(1)中可求得三维非均质情况下二阶纯位移方程表达式：
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(5) |
当地震波在流体(声学)介质中传播时，其剪切模量为零，即剪切应力消失，且声压P为正应力如下定量关系：
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(6) |
把公式(6)代入方程(1—2)，则得流体介质中一阶位移-压力方程：
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(7) |
其中，P为声压参数，Tf=(-P, -P, -P)T为声压向量，流相介质中的偏微分算子Lf和刚度矩阵Cf的具体表达为
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(8) |
对方程(7)进行傅里叶变换，表征流相介质的二维频率域一阶位移-压力方程组可写为
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(9a) |
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(9b) |
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(9c) |
其中，ω为圆频率，S(x, ω)为震源函数，x为(x, z).
将(7)式整理化简可得无震源项非均质情况下的二阶声压方程
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(10) |
含震源项其二维形式的表达式为
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(11) |
同样，对方程(5)进行傅里叶变换，其纯位移波动方程的二维形式为
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(12a) |
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(12b) |
其中，F=(fx, fz)为震源函数.
1.2 等效交错网格思想以二维为例，传统的交错网格差分格式是在空间和时间上应力(τxx, τzz, τxz)和速度(vx, vz)交错更新，每次都需要保存至少两个时刻的所有参数值，而等效交错网格在利用其周围应力或应变信息时，又可以采用其本身的差分格式来代替，从而实现仅含有纯压力(应力)或纯位移交错差分思想(如图 1所示)，下面给出非均质情况二阶纯位移弹性波方程(12)x方向空间四阶的差分格式：
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(13) |
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(14) |
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图 1 交错网格差分格式示意图 (a)传统交错网格; (b)声压标量波等效交错; (c)弹性波方程等效交错. Fig. 1 The diagram of staggered-grid method (a)conventional staggered-grid method; (b、c) equivalent staggered-grid method for acoustic and elastic equation |
方程(11)和(12)中的其他偏微分项的差分格式和方程(13)与(14)类似，不再另行表述，此外，我们将采用空间4阶有限差分格式开展下文声-弹耦合介质频率域正演模拟研究工作.
1.3 声-弹介质频率域声-弹耦合波动方程为尽可能的减少频率域数值计算中求解的线性方程组时所占计算内存，流相介质和固相介质分别主要采用二阶纯声压方程(公式(11))、纯位移方程(公式(12))进行定量表征，并提出了如图 2所示的过渡层思想来保证两相之间的地震波能量的传输与交换，二阶纯声压和纯位移方程控制区域的离散点分别用图 2中的红色矩形和红色三角形表示.在两种弹性波动方程控制区域的交界处，为保证流相介质中的地震波能量准确传输到固相介质中，在二阶纯声压方程控制区域边界处设置三层用一阶位移-压力方程(9)中的(9b)与(9c)公式表征的离散点(绿色三角形)作为辅助，将地震波能量传输到其下面二阶纯位移方程控制的区域介质中.反之，为保证固相介质中的地震波能量准确传输到液相介质中，在二阶纯位移方程控制的边界处同样设置三层用一阶位移-压力方程中的(9a)公式表征的离散点(黑色矩形)作为辅助，将地震波能量传输到其上面二阶纯声压方程控制的区域介质中，从而完成地震波能量在声-弹耦合介质中的数值模拟.则声-弹耦合频率域波动方程可表达为如下形式：
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(15) |
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图 2 频率域基于交错网格过渡层与上、下等效交错网格耦合过程示意图 Fig. 2 Diagram of staggered-grid method for transition layer in frequency domain |
其中，S为流相介质中的震源项，M1=
在实际处理边界层时，以下两点需要特别注意：
(1) 辅助点的层数由方程空间离散的阶数决定.为保证地震波能量在两相之间准确交换时，二阶纯声压和二阶纯位移方程控制区域边界点处的空间离散需要利用到辅助点的值，当采用的空间离散阶数逐渐升高，则辅助点的层数也要相应的增加.其中，当采用4、6、8、10阶空间离散时，则所需辅助点的层数依次为3、5、7、9.
(2) 设置的辅助点区域须在液相介质内.由于辅助点是用一阶位移-压力方程进行表征的，该方程组只在液相中成立，故过渡层中的辅助点须设置在液相介质中.若过渡层在固相介质中，则辅助点则用一阶位移-应力方程进行表征，本文暂不讨论该种情况.
在流、固相介质和过渡层内部同样采用交错网格差分格式，实现了整个数值模拟区域都采用交错网格差分思想，一方面保证了地震波在流-固相之间传播的稳定性，同时也保证了数值模拟的精度.本文空间4阶差分格式来模拟研究，该方法同样可以推广到更高的差分阶数.为模拟无限远区域的假设，采用完全匹配层(PML)吸收边界条件.
2 数值模拟结果 2.1 流相介质单层模型首先，通过流相介质单层模型数值模拟验证本文数值模拟方法的准确性.图 3为流相介质单层模型示意图，五角星代表炮点位置，距离水面8 m，三角形代表接收点位置，距离水面40 m，x与z方向的空间间隔为4 m，选用主频为30 Hz的雷克子波激发，时间采样间隔为0.00195 s.图 3中虚线为过渡层的位置，距离水面280 m.
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图 3 流相介质单层模型 Fig. 3 The model containing fluid |
通过本文频率域数值模拟方法，首先计算求取不同参数不同频率的空间分布，图 4为流相介质单层模型在30 Hz、60 Hz时声压(P)，图 5为基于本文声-弹耦合方程和纯位移方程求取的水平位移(U)和垂直位移(W)不同频率下的频谱幅值.图 6为抽取模型中第20道频率域频谱幅值的比较结果，对模型中各点进行短时傅里叶反变换(IFFT)后可获得地震波不同时间波场快照(图 7、图 8).通过图 6可知，本文所描述方法(ESG)与传统交错网格方法(SSG)求取的正演模拟结果基本相同，并且在过程层界面没有任何人工噪声的产生，进一步通过对比两种模拟结果的时间域波场快照，验证了本文方法的准确性.
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图 4 流相介质单层模型声压参数不同频率的分布情况 (a) 30 Hz；(b) 60 Hz. Fig. 4 Snap shots of acoustic model in frequency domain |
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图 5 流相介质单层模型频率域耦合方程(a—d)及纯位移方程(e—h)不同参数不同频率(a、c、e、g为30 Hz, b、d、f、h为60 Hz)的分布情况，从左到右依次为水平位移(a、b、e、f)及垂向位移(c、d、g、h) Fig. 5 Snap shots of acoustic model using the coupled (a—d) and displacement (e—h) in frequency domain (a, c, e, g for 30 Hz, b, d, f, h for 60 Hz) equations of the horizontal (a, b, e, f) and vertical (c, d, g, h) displacement |
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图 6 流相介质单层模型第20道频率域耦合方程及纯位移方程数值模拟比较 (a—b)水平位移；(c—d)垂向位移. Fig. 6 The 20th trace for the coupled and displacement equations (a—b) The horizontal displacement; (c—d) The vertical displacement. |
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图 7 流相介质单层模型声压参数波场快照 (a) 0.225 s；(b) 0.275 s. Fig. 7 Snap shots of acoustic model in time domain (a) 0.225 s; (b)0.275 s. |
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图 8 基于频率域耦合方程(a、b、e、f)及纯位移方程(c、d、g、h)流相介质单层模型波场快照(a—d) 0.225 s; (e—h) 0.275 s Fig. 8 Snap shots using the coupled (a, b, e, f) and displacement (c, d, g, h)equations for different time (a—d) 0.225 s; (e—h) 0.275 s |
为进一步验证和分析本文频率域声-弹耦合波动方程对地震波在声-弹界面处传播特征刻画准确性，故设计一简单的声-弹耦合介质单层模型，模型如图 9所示，海底界面为水平界面.模型大小为201×201，x、z方向的网格间距为4 m，水层的厚度为200 m，水下4 m激发主频为25 Hz的雷克子波，检波器的设置在水下16 m，PML吸收边界的厚度为120 m.基于本文方法数值计算不同频率下声压参数和位移参数的频率信息，同时为验证数值模拟结果的准确与否，同样进行了非均质情况纯位移波动正演模拟计算.图 10给出了不同频率下的声压频谱快照，两种方法不同频率位移分量频率快照模拟结果如图 11所示，并进一步抽取了图 11中第20道的模拟结果进行对比分析，不同频率计算的数值模拟结果完全一致，如图 12所示.对数值模拟结果经过短时傅里叶反变换，求得不同参数不同时间的波场快照(图 13、14).由图可见，地震波以声压方式在液相介质中传播时，海底反射清晰可见.地震波以位移形式在固相介质中传播时，地震波转换为纵波和横波，与传统的交错网格正演模拟结果相比，两者的模拟效果一致，验证了本文方法的准确性.
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图 9 声-弹耦合介质单层模型示意图 Fig. 9 The elastic model overlying the fluid phase |
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图 10 声压参数不同频率的分布情况 (a) 30 Hz；(b) 60 Hz. Fig. 10 Snap shots of acoustic model in frequency domain |
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图 11 频率域耦合方程(a—d)及纯位移方程(e—h)不同参数不同频率(a、c、e、g为30 Hz, b、d、f、h为60 Hz)的分布情况，从左到右依次为水平位移(a、b、e、f)及垂向位移(c、d、g、h) Fig. 11 Snap shots of acoustic model using the coupled (a—d) and displacement (e—h) in frequency domain (a, c, e, g for 30 Hz, b, d, f, h for 60 Hz) equations of the horizontal (a, b, e, f) and vertical (c, d, g, h) displacement |
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图 12 第20道频率域耦合方程及纯位移方程数值模拟比较 (a—b)水平位移；(c—d)垂向位移. Fig. 12 The 20th trace for the coupled and displacement equations (a—b) The horizontal displacement; (c—d) The vertical displacement. |
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图 13 流相介质单层模型0.3 s (a)、0.35 s (b)声压参数波场快照 (a) 0.3 s；(b) 0.35 s Fig. 13 Snap shots of acoustic model in time domain |
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图 14 基于频率域耦合方程(a、b、e、f)及纯位移方程(c、d、g、h)流相介质单层模型波场快照(a—d) 0.3 s; (e—h) 0.35 s Fig. 14 Snap shots using the coupled (a, b, e, f) and displacement (c, d, g, h) equations for different time (a—d) 0.3 s; (e—h) 0.35 s |
另外，为进一步直观说明声-弹耦合频率域方程与纯位移波动方程计算优势，表 1给出了声-弹耦合介质单层模型两种方法的待求参数个数及组建的阻抗矩阵大小结果，本文提出的声-弹耦合频率域波动方程数值模拟方法阻抗矩阵有所减小，计算效率相对提高，而且当模型的水层的厚度占比越大时，本文的计算优势体现的更加明显.
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表 1 声-弹耦合单层模型两种方法求解方程组大小比较 Table 1 The comparison for different methods in the elastic media overlying the fluid phase |
为进一步验证和说明本文方法对复杂模型的适用性和稳定性，采用复杂Marmousi2模型进行测试，如图 15所示，密度参数和纵波速度之间的变化趋势是一致的，故未在图中展示.需要特别指出，为满足模型的模拟精度，本文未考虑原始模型中海底松软低速层(高泊松比).模型大小为201×141，x, z方向的网格间距为5 m，水层的厚度为200 m，水下5 m激发主频为25 Hz的雷克子波，检波器的设置在水下10 m和海底，分别接收地震波传播时的声压和位移信息.通过声-弹耦合方程和纯位移方程频率域正演模拟计算，获取声压和位移参数的频率信息，图 16和17给出了两种方法30 Hz时声压和位移分量的空间频谱快照，并抽取了图 17中两种模拟方法第20道的位移分量进行比较，如图 18所示，两者模拟结果完全相同.对频率域的正演信息进行短时傅里叶反变换，可求得时间域地震波声压和位移参数的传播快照(图 19、20).在Marmousi2模型中，海底与弹性介质中的地层呈不整合接触，使得海底附近的构造相对复杂，通过与传统的交错网格正演模拟方法比较，本文的声-弹耦合数值模拟方法同样可对复杂海底地质条件环境进行有效的模拟，进一步说明了本文方法对复杂地下声-弹耦合环境具有较强的适应性.
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图 15 Marmousi2模型 (a)纵波速度；(b)横波速度. Fig. 15 Matmousi2 model (a) P-velocity; (b) S-velocity. |
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图 16 Maimousi2模型声压参数30 Hz频率域波场快照 Fig. 16 Maimousi2 model in frequency domain of 30 Hz |
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图 17 Maimousi2模型频率域耦合方程(a—b)及纯位移方程(c—d)不同参数30 Hz分布情况，从左到右依次为水平位移(a、c)及垂向位移(b、d) Fig. 17 Snap shots of acoustic model using the coupled (a—b) and displacement (c—d) equations of 30Hz of horizontal (a, c) and vertical (b, d) displacements |
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图 18 Marmousi2模型第20道数值模拟比较 (a)水平位移；(c)垂向位移. Fig. 18 The 20th trace for the coupled and displacement equations (a) The horizontal displacement; (b) The vertical displacement. |
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图 19 Marmousi2模型声压参数波场快照 Fig. 19 Snap shots of Marmousi2 model in time domain |
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图 20 基于频率域耦合方程(a、b)及纯位移方程(c、d)Marmousi2模型波场快照 Fig. 20 Snap shots using the coupled (a, b) and displacement (c, d) equtions |
本文针对声-弹耦合介质，借助等效交错网格思想并充分考虑密度参数空间变化对地震波传播的影响，为尽可能的减少频率域正演模拟的计算内存，提高计算效率，推导了频率域声-弹耦合地震波波动方程，在流相介质和固相介质中分别采用非均质情况频率域二阶声压标量波、二阶纯位移控制方程，为保证声-弹相介质间地震波能量的稳定传输和有效交换，提出了声-弹耦合界面处转换过渡层策略，并详细说明了过渡层与上下介质空间差分具体耦合方法.基于不同模型通过对该方法的试算结果分析研究，取得了一定的认识如下：
(1) 与传统的交错网格正演模拟，本文提出的声-弹耦合介质频率正演模拟在保持与传统交错网格方法相同空间精度的前提下，尽可能的压缩了方程中的参数变量，降低了计算运行所需的内存，提高了计算效率.
(2) 通过简单声-弹单层模型和复杂Marmousi2模型试算并与非均质纯位移波动方程正演结果进行对比以及和解析解进行对比分析，不仅验证了基于等效交错网格频率域声-弹耦合介质数值模型的可行性，而且说明了本文所述方法的适用性和稳定性.
(3) 该方法同样可以简单的推广到三维情况下，并且相对于传统的交错网格有限差分方法，本文的声-弹耦合地震波数值模拟方法对于海上的地震偏移和全波形反演等方法和实际研究有很好的适用性，尤其适用于当前海上地震勘探OBC地震采集资料(同时采集的海水中的声压资料和海底的位移或速度资料).
致谢十分感谢两位匿名专家对稿件提高的宝贵意见以及SPICE无私分享基于弹性波波动方程的地震波传播解析解程序.
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