2. 中南大学有色金属成矿预测与地质环境监测教育部重点实验室, 长沙 410083;
3. 有色资源与地质灾害探查湖南省重点实验室, 长沙 410083
2. Key Laboratory of Metallogenic Prediction of Nonferrous Metals and Geological Environment Monitoring of Ministry of Education, Central South University, Changsha 410083, China;
3. Key Laboratory of Non-Ferrous Resources and Geological Hazard Detection, Changsha 410083, China
可控源电磁法(CSEM)是一种重要的地电磁勘探方法,通过引入人工场源从而大大改善了观测信号质量,使得其具有分辨率高及抗干扰能力强等特点.目前广泛用于石油、天然气、金属矿、地热、水文、环境等勘探领域(Kalscheuer et al., 2012; Li et al., 2017).
快速及高精度的CSEM正演算法是其反演的前提条件之一.目前,可控源电磁法中只有简单地电模型存在解析表达式,对于复杂的地电模型则需要涉及数值计算方法(Avdeev, 2005).目前常用的数值解法包含有限元、有限差分(有限体积)、表面积分法和体积分方程法.有限单元法(Jin, 2002, Yoshimura and Oshiman, 2002, Ren and Tang, 2014)能够模拟任意复杂起伏地形及地下异常体,但是其需要全区域剖分,未知数巨大,如Li和Key(2007)、张继峰等(2009)、Ren等(2013, 2014)、蔡红柱等(2015)、杨军等(2015)、李建慧等(2016)、Yin等(2016)实现了MT和CSEM正演模拟.有限差分和有限体积法(谭捍东等, 2003; 孙怀凤等, 2013; 张烨等, 2012; 杨波等,2012; Jahandari and Farquharson, 2015; 陈辉等, 2016; 彭荣华等, 2016; Du et al., 2016)同样需要全区域剖分,未知数较多,并且大多数采用规则的六面体单元无法模拟复杂地下异常体(除Farquharson采用的非结构化Voronoi网格的有限体积方法外).边界单元法(Ren et al., 2012)仅仅适合于非常简单的地电模型.综上所述,有限元及有限体积等数值方法虽然已逐渐成为主流数值方法,但是,积分方程法与其他方法相比却有其自身不可比拟的优点:1)只对异常体进行剖分,未知数相对较少;2)积分方程法的数值结果具有半解析解的精度,常用于测试新开发的算法的正确性及求解精度;3)基于积分方程的反演算法只需要研究异常体区域,具有非常高的反演效率和精度(Kruglyakov et al., 2016).因此,开发高精度的CSEM积分方程正演算法具有一定的研究价值以及意义.
积分方程法20世纪六七十年代被应用到电磁法数值模拟中,如Hohmann等(1975)给出了基于六面体的奇异核积分技术.Weidelt(1975)给出了层状介质张量格林函数的积分表达式,从而奠定了积分方程法的基础,之后积分方程法获得了大量的研究结果,主要集中在地下规则异常体和近似方法的求解.例如Wannamaker等(1984)应用积分方程法求解了地下规则的异常体产生的大地电磁响应.张辉等(2005, 2006)采用规则的六面体网格实现了电偶源三维电磁积分方程正演.陈桂波等(2009a, 2009b)采用规则的六面体网格实现了三维电磁积分方程各向异性的研究.另外,Habashy等(1993)、Torres-Verdín和Habashy(1994)、Zhdanov等(2000, 2002)、王若等(2009)采用近似求解方法(Born近似方法和拟线性近似等)提高了积分方程法计算效率,但降低了求解精度.Born近似方法适用电导率差异较小及频率低情况,难适用于电导率高对比情况.上述研究结果大多数都是基于结构化的六面体网格来模拟地下复杂异常体,会导致由于网格离散来模拟异常体不准确产生的系统误差.更为重要的是,上述大部分研究工作常采用挖点法计算奇异值体积分,从而进一步降低了计算精度.
因此,本文提出了一套新的积分方程求解策略,实现了CSEM问题的高精度积分方程法求解.首先,直接从体积分方程出发,避免了近似求解方法可能带来的精度降低问题;其次,采用Tetgen(Si, 2007)开发的非结构化的四面体离散技术对异常体单元进行离散,降低了由网格单元拟合目标体不准确带来的系统误差.同时,系统地分析了奇异值积分问题,推导出一种消除积分奇异性的解析表达式,解决了并矢格林函数强奇异性问题,大大提高了求解精度.最后,以块状低阻异常体为测试模型,验证了本文算法的正确性;以球状和组合等复杂地电模型为例,测试本文算法的收敛性和处理地下复杂模型的能力.
1 三维CSEM积分方程 1.1 基本原理假设时间因子为e-iωt,在准静态条件下,麦克斯韦方程组如下(Nabighian, 1988):
(1) |
(2) |
(3) |
(4) |
式中,
利用公式(1)和(2)可知:
(5) |
利用电张量格林函数
(6) |
其中,Ω为异常体区域,Ωs为场源区域的积分.(6)式既是观测点数据求取的方程亦是进行求解异常电场的方程.本文采用的并矢Green函数为均匀半空间下的频率域张量格林函数,其具体形式由Hohmann(1975)给出(见附录).从公式(6)可以看出,任意点的总场是由源Js激发的背景场和异常电导率(σ-σ0)产生的散射场组成,图 1a展示了3D CSEM工作原理.
将地下异常体离散成M个四面体子单元(如图 1b所示),令每个单元内部电场为常值(即零次基函数),其值取为单元中心ri(i=1, 2, …, M)的值,并对公式(6)进行离散化,可得:
(7) |
将观测点放在异常体区域,可得到3M个线性方程,公式(7)写成矩阵形式为:
(8) |
其中,E=[E1, E2, …, E3M]T和Eb=[E1b, E2b, …, E3Mb]T分别为由离散单元中心未知场以及背景场组成的3M列向量,T表示矩阵转置,矩阵A为离散单元的系数,表达式为:
(9) |
其中,
计算公式(8)中的矩阵A的系数时,需要涉及并矢格林函数积分计算.然而,当r=r′时,并矢Green函数具有很强的奇异性,导致系数矩阵A主对角元素不准确,从而影响计算结果的精度.首先,我们将矩阵A的系数分解成电流以及电荷两部分(Harrington,1968),矩阵A的系数的奇异积分项仅仅存在于电流及电荷的一次场项(见附录公式(A4)和(A5)),其他积分项不存在奇异性.传统的奇异值积分处理技术常常采用挖点法计算获得的奇异值体积分,从而降低了计算精度.对于四面体单元而言,该方法会造成严重的数值误差,因此基于作者在重力方法的最新研究成果(Ren et al., 2017a, 2017b, 2017c; Jiang et al., 2017),开发一种格林函数的奇异性去除办法,实现了任意多面体下格林函数积分解析计算,大大提高了奇异值积分的计算精度及实用性.
含奇异性及强奇异性积分项的电流及电荷的积分公式为:
(10) |
(11) |
其中,
当r=r′时,公式
(12) |
(13) |
其中,
由于
(14) |
(15) |
(16) |
其中,Ti为四面体第i个面,
为了去除单元积分的奇异性,构建一个局部坐标系,如图 2所示.点o为点r(观测点)在三角单元Tj上投影点,β(o)=∑β(o)j为投影点o与每一边Cj两端点的夹角之和,
(17) |
其中,∇′s为2D局部坐标下面散度算子.假设(u′, v′)为r′的局部坐标系,o为2D局部坐标中心点(0, 0),
(18) |
为了处理R→0弱奇异积分,将任意多边形Tj的积分分解为两个部分,一部分为奇异部分,即以o点为中心的无限小区域Oε,ε→0;另一部分为除奇异部分的其他区域Ωi-Oε,此时的积分公式可写为如下:
(19) |
式中,β(o)为投影点o在多边形内Tj的固体角,固体角采用下面公式进行计算:
(20) |
式中
当q=±1时,公式(19)中的Ajq+2的解析表达式的具体形式如下表示.当q=-1时,
(21) |
当q=1时,
(22) |
同理,对于任意多边形,可推导出
(23) |
其中,
公式(23)中同样涉及到q=±1时的积分计算,当q=-1时,
(24) |
当q=1时,
(25) |
上述的公式推导得出了并矢格林函数所包含的强奇异性积分公式解析表达式,该表达式能够降低由强奇异积分带来的数值积分误差等问题.
2 算例分析本文采用的测试平台内存为7.7 G,intelR CoreTM i5-4590 CPU@ 3.30 GHz.
2.1 奇异值积分正确性验证为了验证本文推导解析表达式的正确性,设计如图 3所示的四面体单元,针对矢量χ2(k1=i),观测点为四面体单元的重心,对比分析本文推导出的解析表达式与高阶高斯数值积分(N为阶数)计算结果(标量解).从表 1中可知,随着阶数N的增加,χ2的实部值在小数点后7位变化相对较小,而虚部达到了小数点后12位,说明高斯数值积分是逐渐收敛的.与解析表达式结果对比,实部值的相对误差为1.860/0000,虚部值的精度更高.结果表明本文推导出的解析表达式计算结果正确且精度高,并为本文后续工作奠定扎实的基础.
首先,设计块状低阻异常体进行程序正确性测试.图 4所示的块状低阻异常体模型,电导率为0.2 S·m-1的异常体被置于均匀半空间模型中,背景电导率为0.02 S·m-1,异常体尺寸为120 m×200 m× 400 m,中心点坐标为(1000 m, 0 m, 300 m).沿着x方向布设有限长导线源(其可以看成若干个偶极子的叠加),源的长度为100 m,源的中心坐标为(50 m, 0 m, 0 m),发射电流1 A,发射频率为3 Hz.沿着x方向布设一条测线,测线起始位置(400 m, 0 m, 0 m),终点位置为(1400 m, 0 m, 0 m).采用开源程序Tetgen(Si, 2007)非结构四面体网格离散技术进行单元剖分,剖分单元数为1155,未知数为3465,内存消耗为189 M,计算时间2143 s(直接求解).
将本文的电场Ex分量的总场及二次场计算结果与采用六面体网格(512单元)的积分方程结果(Farquharson and Oldenburg, 2002)、非结构化有限元(713542单元)的结果(Ansari and Farquharson, 2014)和程序DCIP3D(Li and Oldenburg, 1999)的计算结果进行对比.图 5、6分别表示Ex分量的总场及二次场对比曲线.从图 5中可以看出,本文的结果与前人的结果高度吻合, 验证了本文算法的正确性.同样地,图 6二次电场结果可知,本文的结果与基于磁矢势的Helmholtz方程的有限元的结果具有高度吻合性,与Farquharson的积分方程结果存在一定误差,但误差相对较小,进一步验证本文算法的正确性.图 5的结果还可以了解到在异常体上方电场的实部与虚部存在下凹的现象,这说明异常体存在使得电流发生明显的变化,使得电流趋于低阻体方向流动,导致流经地表电流密度降低.
设置如图 7a所示的球状异常体模型分析本文算法收敛性情况.球体的半径为225 m,球体的中心位置为(0 m, 0 m, 450 m).沿x方向放置长接地导线,导线长度为1 km,发射电流为1 A,源的中心坐标为(0 m, 6000 m, 0 m).以坐标原点为中心,沿着x轴布设19个测点,测点x方向的坐标范围为(-1000~1000 m),y与z等于0 m.发射频率为16 Hz.球状异常体被置于均匀半空间中,电导率为1 S·m-1,背景电导率为0.01 S·m-1. 图 7b展示了不同异常体单元剖分数视电阻率曲线变化图.从图 7b结果中可知,视电阻率曲线能够较明显体现低阻异常响应,同时随着网格数的增加,视电阻率值未发现明显的变化,说明了本文编制的3D CSEM程序收敛且正确.
设计如图 8所示的倾斜板状异常体模型,异常体被置于电导率为0.01 S·m-1的均匀半空间中,异常体的电导率分别为0.1 S·m-1和0.333 S·m-1,异常区尺度为400 m×400 m×800 m,x方向的坐标范围为:顶部[-200 m, 200 m], 底部[-400 m, 0 m];y方向的坐标范围为:[-200 m, 200 m];z方向的坐标范围为:[100 m, 900 m].沿着x方向布设电偶源,偶极子源长度为10 m,源的中心坐标为(0 m, 1000 m, 0 m),发射电流100 A,激发频率分别为1 Hz和32 Hz, 沿着y方向布设五条测线(y=100 m, 0 m, -100 m, -200 m, -300 m),每条测线的长度为2000 m,每条测线均29个测点,具体模型如图 8所示.从图 9所示的结果中可以看出,电场分量Ex随着收发距增大而逐渐减小,这一现象也满足电磁场能量随距离增大而逐渐衰减的规律.地下不存在板状异常体(均匀半空间)时,电场Ex振幅关于y轴对称;当地下存在倾斜板状体时,电场Ex振幅不关于y轴对称,其明显受到倾斜高导板状异常体的影响.从不同高导异常体电场Ex振幅等值线图 9b,9c,9e,9f可知,当电导率为0.333 S·m-1电场Ex振幅等值线凹陷程度明显大于电导率为0.1 S·m-1.
设计如图 10所示的组合异常体模型,异常体被置于电导率为0.01 S-1·m的均匀半空间中,图 10a中从左到右的异常体的电导率分别为0.001 S-1·m, 0.1 S-1·m, 0.002 S-1·m, 异常区尺度为600 m×200 m×400 m,x方向的坐标范围为:[-300 m, 300 m];y方向的坐标范围为:[-100 m, 100 m];z方向的坐标范围为:[200 m, 600 m].在x轴线以及y轴线上分别布设有限长导线源,源长为1000 m,源的坐标分别为(5000 m, 0 m, 0 m),(0 m,5000 m, 0 m),激发频率分别为1 Hz,2 Hz和4 Hz,激发电流为1 A,测量了主剖面y=0 m,共计算了53测点.图 11, 12分别表示源点坐标为(5000 m, 0 m, 0 m)激发时,电场Ex总场与二次场的实部与虚部曲线.由图 11可以看出,在异常体正上方曲线发生明显弯曲的变化,并在低阻异常体正上方曲线向下弯曲,体现了低阻异常体吸引电流的现象,而在高阻异常体的正上方曲线有明显向上凸的趋势,说明了高阻异常体具有排斥电流的现象.同时随着测点距离源越远,电场幅值逐渐衰减.而从纯二次电场Esx曲线(图 12)中可知,在异常区上方出现明显的三个极值点,极值点的位置区域能够很好地对应各异常体区的正上方.从图 12中可知,受场源的影响,在异常体电导率为0.002 S-1·m的正上方电场峰值明显要大于其他两个区域,这一现象与源点位于(0 m,5000 m, 0 m)激发产生的二次电场Esx的曲线存在明显的不同.图 13中可知,异常体区域同样出现明显的三个异常极值点,且可与异常体相对应,与图 12不同之处为异常体的电导率在0.001 S-1 · m得到的幅值最大,然后逐渐依次减小.
本文采用非结构化四面体网格对地下异常体进行离散,推导出了全新的任意非规则四面体(适合任意多面体)单元的张量格林函数的积分解析解表达式,实现了3D CSEM高精度的正演模拟.通过设计一系列地电模型进行测试,获得不同地电模型下三维可控电磁法正演响应,同时与公开的程序结果进行对比,得出以下几点认识:
(1) 本文给出任意多面体的张量格林函数奇异性去除的解析表达式与高阶(400阶)高斯积分结果具有高度吻合,误差精度达到万分之一数量级,高斯数值积分随着积分阶数的增加求解效率将大大降低,而本文的解析解表达式不存在此类问题.同时,相比于规则六面体网格奇异性处理技术(扣点法)传统积分方程法,本文方法更具有一般性且求解精度较高.
(2) 文中采用了非结构化四面体的网格剖分技术离散复杂异常体,弥补了传统规则网格不能准确模拟复杂异常体的不足,提高了计算精度.
(3) 本文的研究成果为加速积分方程法的求解速度、精确计算地下复杂模型的CSEM响应等后续研究提供了基础;同时,文中的奇异值积分技术还可以扩展到大地电磁、直流电阻率及地震波的积分求解中;另外,本文所开发的长导线CSEM程序可为同行测试新开发的算法提供有力的参考.
致谢感谢纽芬兰纪念大学地球科学系Colin.G Farquharson教授课题组的Hormoz Jahandari与SeyedMasoud Ansari两位博士提供算法验证数据,同时特别感谢两位审稿专家中肯的修改意见,使得本文内容更加完善.
附录频率域半空间张量Green函数的表达式可以写成一次场GP和二次场GS和的形式(Hohmann, 1975; 鲍光淑等, 1999):
(A1) |
(A2) |
(A3) |
其中,
(A4) |
(A5) |
(A6) |
(A7) |
这里
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