地球物理学报  2018, Vol. 61 Issue (4): 1508-1518   PDF    
引用本文
宋建国, 郭毓, 冉然. 2018. 基于比值均方根的杨氏模量反演方法. 地球物理学报, 61(4): 1508-1518, doi: 10.6038/cjg2018L0017.  
Song J G, Guo Y, Ran R. 2018. Pre-stack inversion method of Young's modulus based on the root mean square ratio. Chinese J. Geophys. (in Chinese), 61(4): 1508-1518, doi: 10.6038/cjg2018L0017.  
基于比值均方根的杨氏模量反演方法
宋建国1,2, 郭毓1, 冉然1     
1. 中国石油大学(华东)地球科学与技术学院, 山东青岛 266580;
2. 海洋国家实验室海洋矿产资源评价与探测技术功能实验室, 山东青岛 266071
收稿日期 2017-01-05, 2018-03-15 收修定稿
基金项目: 国家自然科学基金项目（41674125），国家自然科学基金委员会-中国石油化工股份有限公司石油化工联合基金项目（U1663207），国家十三五重大专项（2017ZX05049002）和国家重点基础研究发展计划项目（973计划项目）（2014CB239104）联合资助
第一作者简介: 宋建国, 男, 1971年生, 副教授, 硕士生导师, 1993年毕业于中国石油大学(华东)物探专业, 获学士学位, 分别于1996年、1999年获中国石油大学(华东)应用地球物理专业硕士和博士学位, 现在中国石油大学(华东)地球科学与技术学院从事地震资料高分辨率处理与解释理论、方法研究和教学工作.E-mail:jianguosong@163.com
摘要：杨氏模量和泊松比是表征岩石脆性、评价储层可压性以及描述储层流体特征的重要参数，叠前地震反演是从地震数据中得到此类参数的有效手段.常规的叠前地震反演方法多使用Zeopppritz方程的近似式计算反射系数，近似式的误差影响了反演结果的精度.针对这个问题，推导了比值均方根形式的杨氏模量、泊松比和密度的Zoeppritz方程，并基于广义线性反演构建了杨氏模量和泊松比直接反演方法，有效地避免了使用近似式的局限性，提高了反演的精度.模型测试和实际资料试算结果表明：采用比值均方根形式构建的反演流程稳定，能够从叠前地震数据中获得可信的杨氏模量、泊松比和密度，提供了一种可靠的杨氏模量和泊松比直接反演方法.
关键词: 杨氏模量      泊松比      密度      叠前反演      Zoeppritz方程     
Pre-stack inversion method of Young's modulus based on the root mean square ratio
SONG JianGuo1,2, GUO Yu1, RAN Ran1     
1. School of Geosciences, China University of Petroleum, Shandong Qingdao 266580, China;
2. Laboratory of Marin Mineral Resources, Qingdao National Laboratory for Marine Science and Technology, Shandong Qingdao 266071, China
Abstract: Young's modulus and Poisson's ratio are two important rock parameters to characterize reservoir properties. Pre-stack seismic inversion is an effective tool to deterime such parameters from seismic data. Conventional seismic pre-stack inversion methods are mostly based on approximate expressions of the Zoeppritz equation. The error caused by this approximation would affect the accuracy of inversion results. To address this issue, we deduce the Zoeppritz equation in the form of the root mean square ratio of Young's modulus, Poisson's ratio and density. With this equation we develop the direct inversion method for Young' modulus based on a generalized linear inversion algorithm, effectively avoiding the limitation of approximate equation and enhancing the accuracy of inversion. Tests on a model and real data show that this inversion method based on the root mean square ratios is able to obtain credible Young's modulus, Poisson's ratio and density from pre-stack seismic data, which offers a reasonable direct inversion method for Young's modulus and Poisson's ratio.
Key words: Young's modulus    Poisson's ratio    Density    Pre-stack inversion    Zoeppritz equation    
0 引言

杨氏模量、泊松比是描述储层特征和流体识别的重要弹性参数.Goodway等(2010)指出杨氏模量是表征岩石正向应力与正向应变之比的物理量，其大小反映岩石的脆性，与岩石的岩性、孔隙度、构造等相关；泊松比是表示岩石正向应变与切向应变之比的物理量，是一种常用的流体因子(Domenico，1977).目前AVO/AVA反演是从叠前地震数据中提取这些弹性参数的主要手段，AVO/AVA反演的理论基础为Zoeppritz方程，但是由于方程的复杂性，很多学者选择使用各种近似式来进行AVO/AVA反演工作.Fatti等(1994)使用加权叠加法计算纵横波阻抗，第一次在反演中引入密度项而非使用Gardner公式进行拟合，提高了反演的精度.Simmons和Backus(1996)应用线性反演方法获得纵横波阻抗和密度，不足之处是其使用了Gardner公式进行密度项的拟合，这在一定程度上导致反演结果不精确.Goodway等(1997)建立了基于拉梅常数的反演技术(LMR)，实现了弹性参数的直接反演.Buland和Omre(2003)研究了基于贝叶斯理论的线性反演方法.杨培杰等(2008a，b，2015)研究了非线性二次约束叠前反演方法，并建立了基于贝叶斯理论的流体因子直接反演方法.宗兆云等(2011, 2012a)建立了基于弹性阻抗(EI)理论直接获得拉梅常数的叠前AVO反演方法.随后，宗兆云等(2012b)推导了基于纵横波模量的Zoeppritz方程近似式，并用于流体识别.桂金咏等(2011)针对页岩气储层，基于弹性阻抗理论建立了泊松比的直接反演方法，该方法使用了Shuey近似式.侯栋甲等(2014)基于贝叶斯理论建立了弹性模量联合反演方法，该方法具有较强的稳定性以及抗噪性.张广智等(2014)针对页岩气储层建立了基于弹性阻抗反演方法直接求取杨氏模量和密度的乘积以及泊松比的方法.以上方法多为使用Zoeppritz方程的近似式进行AVO反演，在进行叠前反演工作之前都分析了近似式的适用条件和局限性.

弹性参数是判断储层特征和流体识别的重要依据，传统的基于精确Zoeppritz方程的反演方法都为直接反演纵横波速度和密度然后间接计算各项弹性参数(Cooke and Schneider, 1983；MacDonald et al., 1987；张丰麒，2011；张丰麒等, 2013；Zhi et al., 2013)，这样势必会带来累积误差，而Zoeppritz方程的复杂性也使得直接反演弹性参数显得尤为困难.针对这些问题基于Zoeppritz方程推导了杨氏模量、泊松比和密度的比值均方根形式方程，并根据此方程构建了直接反演杨氏模量的迭代方法，实现了弹性参数的直接反演.

1 比值均方根形式的地震波反射透射系数方程

Zoeppritz方程是叠前AVA反演的基础.根据弹性波动力学的理论，P波入射到反射界面上时，会产生反射P波、反射SV波、透射P波、透射SV波.德国物理学家Zoeppritz在1919年建立反射系数和透射系数的表达公式为

(1)

其中vP和vS分别为纵横波速度；ρ为密度；Rpp和Rps分别为反射P波和反射SV波的反射系数；Tpp和Tps分别为透射P波和透射SV波的透射系数；α、β、α′、β′分别为P波入射角度，SV波反射角度，P波透射角度，SV波透射角度.

在弹性理论下，纵横波速度和杨氏模量E、泊松比δ、密度ρ之间的关系式为

(2)

(3)

(4)

设，并将公式(2)、(3)和(4)代入方程(1)中可得：

(5)

令η=1+δ，称其为泊松比系数，则方程(5)可化简为

(6)

公式(6)整理得：

(7)

至此得到了杨氏模量E，泊松比系数η，密度ρ和纵横波速度比γ形式的地震波反射透射系数方程，式中未知量均可以组合为比值均方根形式.

2 比值均方根校正量公式

Zoeppritz方程是叠前AVA反演的基础.但是由于Zoeppritz方程本身的复杂性，在进行叠前反演时一般使用各种近似式来计算反射系数.如果使用Zoeppritz方程进行直接反演，就需要基于广义线性反演的思想对非线性方程进行线性化处理(张广智等，2014)，即对方程(7)中各项分别求取对于、和的一阶偏导.将方程(7)表达为Z×R=C的形式，其中Z为方程(7)的左边系数矩阵，R为方程(7)中的反射透射项，C为方程(7)右边常数项.

方程(7)对于的一阶偏导为

(8)

为了得到方程(7)对的一阶偏导，首先求取纵横波速度比对泊松比的偏导数，公式为

(9)

其次求取界面上下介质泊松比对的偏导数，公式为

(10)

(11)

由式(9)、(10)、(11)可得纵横波速度比对的偏导数为

(12)

(13)

方程(7)对求一阶偏导，并将式(12)和(13)代入，整理后可得：

(14)

方程(7)对的一阶偏导为

(15)

反射系数和透射系数对于这三个独立分量的一阶偏导由方程(8)、(14)和(15)给出，通过给定的初始模型，分别对这三个方程进行求解，即可构建反演方程组为

(16)

方程(16)中各项左下标表示反演中使用的角度域共成像点道集的角度.左边系数矩阵中nRpp, 表示由初始模型求得的PP波反射系数在第n个角度处对于的一阶偏导数，nRps, 表示由初始模型求得的PS波反射系数在第n个角度处对于的一阶偏导数，其他各项亦是如此.右边常数项中nΔRpp表示第n个角度的地震PP波反射系数和根据模型计算得到的PP波反射系数的残差，nΔRps表示第n个角度的地震PS波反射系数和根据模型计算得到的PS波反射系数的残差.方程(16)表示在地震PP数据和PS数据均存在的情况下的反演方程.如果地震数据只有PP波数据，则需要将方程(11)中的PS项舍去，反之亦然.

根据AVA理论，叠前地震数据的角度数远远大于方程(16)中未知量的个数.因此方程(16)是超定的，可使用最小二乘广义逆法进行求解.

求解方程(16)可得到三参数反演的扰动量Δ、Δ和Δ，与初始模型相加即可得到新的反演结果、和，但是反演结果只是相对的值，如果要得到绝对的地下介质的弹性参数需要将反演结果转化为与反射系数类似的形式，再结合初始模型进行低频补偿.为此将、和写为

(17)

模型测试和实际资料测试时，以上步骤需要进行多次迭代，图 1给出了模型测试时迭代次数与反射系数参数残差的关系，从图中可以看出，在模型测试时三次迭代即可得到稳定的反射系数，实际资料时可适量的增加迭代次数.

图 1 反射系数残差与迭代次数关系 Fig. 1 Relationship between residual of the reflection coefficient and the number of iterations

求解公式(17)得到的反射系数然后结合初始低频模型进行低频补偿(Ferguson and Margrave, 1996)，即可得到最终的反演结果、和，反演流程由图 2给出.

图 2 叠前反演流程图 Fig. 2 Flow chart of pre-stack inversion
3 模型测试

为验证基于Zoeppritz方程的杨氏模量直接反演方法的可行性和准确性，使用实际测井资料进行测试.模型中的杨氏模量和泊松比皆为使用测井资料中的纵横波速度计算得到，并使用Zoeppritz方程结合40 Hz雷克子波进行正演得到叠前角度域共成像点道集并加入随机噪声，叠前数据的角度范围为1~42°.图 3分别为无噪声和信噪比为2：1情况下的纵波和横波角度域共成像点道集道集.为了保证反演方程组可解，必须保证部分叠加之后的角道集分量数不少于反演方程组的未知量数.这里每七个角度进行一次叠加，叠加之后的地震数据保留六个分量，图 4分别对应图 3中叠前道集的分角度叠加结果.通过对比图 3和图 4可以看出分角度叠加能够有效地压制叠前道集中的随机噪声，提高叠前地震数据的信噪比，从而提高反演结果的准确性.图 5为反演结果、低频模型和实际模型之间的对比.通过对比不同信噪比情况下的反演结果可以看出，本反演方法能够根据叠前地震资料合理得到合理的杨氏模量、泊松比(, )，同时也具有较高的抗噪性.但是实际地震资料一般只有PP波数据，很少有PS波数据，因此需要验证只有PP波道集的反演结果.图 6为使用信噪比2：1的地震资料的直接反演结果和间接反演结果(张丰麒，2011)的对比，通过对比可以看到直接反演结果可以有效的减小累积误差.图 7为只是用信噪比为2：1的PP波道集反演结果，通过对比图 5b可以看出，只使用PP波道集也能够得到合理的反演结果.由于反射系数对密度的不敏感，密度项存在局部的不合理，在实际应用时应该注意该问题(Lines，1998).

图 3 合成PP波和PS波角度域共成像点道集 (a)无噪声的角度域共成像点道集；(b)信噪比为2：1的角度域共成像点道集. Fig. 3 Synthetic ADCIP records of PP and PS waves (a) Synthetic seismic records without noise; (b) Synthetic seismic records with S/N=2: 1.
图 4 分角度叠加叠前道集(其它同图 3) Fig. 4 Part stack ADCIP records(Other same as Fig. 3)
图 5 联合反演得到的杨氏模量的均方根(单位N·m-2)、泊松比系数的均方根(无单位)和密度的均方根 (单位kg·m-3)(红色实线为反演结果，绿色虚线为低频模型，黑色实线为测井资料.其它同图 3) Fig. 5 Inversion results (, , ) (red solid lines), initial models (green dashed lines) and real log data (black solid lines) (Other same as Fig. 3)
图 6 直接反演结果和间接反演结果对比(红色实线为直接反演结果，绿色实线为间接反演结果，黑色实线为测井资料) Fig. 6 Direct (red) and indirect (green) inversion results. Black solid lines are real logging data
图 7 使用信噪比为2：1的PP波地震数据反演得到的杨氏模量的均方根(单位N·m-2)、泊松比系数的均方根(无单位)和密度的均方根(单位kg·m-3) 红色实线为反演结果，绿色虚线为低频模型，黑色实线为实际模型 Fig. 7 Inversion results (, , ) using with PP wave seismic data Red solid lines are inversion results. Green dashed lines are initial model. Black lines are real model.
4 实际资料测试

将本文方法应用于中国东部某常规油气工区.在进行叠前反演之前，对叠前地震数据进行了预处理(Zong et al., 2015)，并进行分角度叠加.图 8 a、b、c分别为叠前数据经过分角度叠加之后的小、中、大角度叠加剖面.从分角度叠加剖面可以看出，工区叠前地震记录在分角度叠加之后信噪比依然较低.

图 8 分角度叠加地震剖面 (a)小角度叠加剖面；(b)中角度叠加剖面；(c)大角度叠加剖面. Fig. 8 Part stack seismic profiles (a) Seismic profile of small angle-stack; (b) Seismic profile of middle angle-stack; (c) Seismic profile of big angle-stack.

杨氏模量为弹性物体在受到正应力时应力和应变之比，其本身并非传统意义上的含油气性敏感因子，储层分析时通常将杨氏模量视为储层保持裂缝能力的一个量纲，高杨氏模量通常表示岩石能够保持有利储层.泊松比是常用的流体因子，在流体识别中，低泊松比通常表示有利储层，因此在实际应用中需要结合二者进行解释.图 9为反演得到的过j井杨氏模量E剖面，在含油气区域为高异常.图 10为反演得到的过j井泊松比系数η剖面，在含油气区域为低异常.图 11为反演得到的过j井密度ρ剖面，在信噪比较低的情况下不能准确的反演出密度信息，对含油气区域无明显响应.图中测井曲线为SP曲线.图 12为反演得到的本工区层位切片和井位信息，可以看出，本方法反演得到的杨氏模量在含油气区域多显示高异常值，但是在局部区域显示含油气特征相反，例如在井e、b附近位置的杨氏模量切片显示该区域为低异常值，这是由于杨氏模量受岩性影响较大，同时岩石孔隙和孔隙流体也会降低岩石的杨氏模量，因此在常规油气工区中需要综合杨氏模量和泊松比二者进行岩性判断和油气识别.

图 9 叠前反演得到的杨氏模量E结果剖面 Fig. 9 Young′s modulus profile from pre-stack inversion
图 10 反演得到的泊松比系数η结果剖面 Fig. 10 Poisson′s ratio parameter profile from inversion
图 11 反演得到的密度ρ结果剖面 Fig. 11 Density profile from inversion
图 12 反演得到的层位切片 (a)反演得到的杨氏模量E层位切片；(b)反演得到的泊松比系数η层位切片. Fig. 12 Horizon slice from inversion (a) Young′s model horizon slice from inversion; (b) Poisson′s ratio parameter horizon slice from inversion.
5 结论与认识

根据弹性模量之间的关系，推导了杨氏模量、泊松比和密度比值均方根形式的Zoeppritz方程，进而采用比值均方根的形式推导了杨氏模量、泊松比和密度校正量公式，构建了广义线性反演迭代公式，设计的反演计算流程稳定.模型试算和实际资料测试结果表明：本方法能够根据叠前地震资料得到地下介质的杨氏模量、泊松比和密度；方法抗噪性良好，在使用信噪比较低的地震数据时反演结果依然准确，验证了方法的有效性；实际资料反演结果与已知地质情况一致，展示了该方法具有较大的应用推广前景.

参考文献
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