2018, Vol. 61
2. 中国地质大学地球内部多尺度成像湖北省重点实验室, 武汉 430074
2. Hubei Subsurface Multi-scale Imaging Key Laboratory, China University of Geosciences, Wuhan 430074, China
瑞雷波是由纵波和横波垂直分量在自由表面相互干涉而形成并沿自由表面传播的一种地震面波，以其能量强、衰减慢、信噪比高、抗干扰能力强以及在层状介质中具有频散特性等特点，现已在区域和全球地震学(石耀霖和金文, 1995; 朱良保和王清东, 2011; 黄忠贤等, 2014; 潘佳铁等, 2014)、浅地表地球物理工程(胡家富等, 1999; 邵广周等, 2007; 刘江平等, 2009)等领域得到了广泛应用.面波多道分析方法(MASW)通过反演瑞雷波相速度来获取浅地表剪切波速度结构(Xia et al., 1999)，作为一种优秀的瑞雷波勘探方法，以其非侵入性、无损、高效经济等优点，越来越受到浅地表地球物理和地质工程学界的重视(夏江海等, 2015).MASW的应用和研究主要有五个方面：野外资料采集(Tian et al., 2003; Zhang et al., 2004; Xu et al., 2006)，频散曲线提取(Luo et al., 2008)，频散曲线正演(凡友华等, 2002)，频散曲线反演(张碧星等, 2000; 陈祥和孙进忠, 2006; Lu et al., 2007)和波场正演模拟(周红和陈晓非, 2007; 周竹生等, 2007; 熊章强等, 2008).迄今为止，瑞雷波勘探方法仍是建立在弹性介质理论框架下，而地球介质已被广泛证实具有黏弹性(Emmerich and Korn, 1987; Carcione et al., 1988; Robertsson et al., 1994).通过数值模拟，展开对黏弹性介质瑞雷波特性的研究，对于进一步拓宽瑞雷波勘探应用领域和指导实际瑞雷波勘探工作等都具有重大意义.
前人对黏弹性介质地震波场数值模拟做了很多有价值的研究.Carcione等(1988)以广义标准线性黏弹模型为理论基础，发展了一组黏弹性介质波动方程，推导了一套完整的理论体系，并实现了地震波场的模拟；Carcione(1992)基于伪谱法实现了黏弹性介质瑞雷波的数值模拟；Robertsson等(1994)发展了一种新形式的黏弹性波动方程，实现了有限差分地震波场数值模拟；Bohlen(2002)将Robertsson等(1994)的黏弹性波动方程推广到了三维，并通过并行实现了三维地震波场模拟；Zhang等(2011)利用伪谱法实现了黏弹性介质瑞雷波模拟，并对瑞雷波的频散特性进行了分析；高静怀等(2012)通过有限差分模拟对非层状介质中弹性和黏弹性瑞雷波特性进行了对比研究；Bohlen和Wittkamp(2016)基于交错Adams-Bashforth(ABS)时间积分法，提高了三维黏弹性介质地震波有限差分模拟精度；Fan等(2016)实现了二维时间域黏弹性地震波有限差分模拟.常Q模型通过松弛时间被整合到黏弹性波动方程中，Emmerich和Korn(1987)提出利用最小二乘法来反演松弛时间；Blanch等(1995)提出了一种“τ-method”来获取松弛时间；Blanc等(2016)在前人研究的基础上，提出利用非线性“SolvOpt”优化算法来计算松弛时间，其计算过程更稳定、结果精度更高.此外，张凯等(2016)利用Muller法实现了层状黏弹性介质瑞雷波频散曲线的计算，这使验证黏弹性瑞雷波模拟结果的正确性成为可能.
本研究主要目的是通过数值模拟分析黏弹性介质瑞雷波的衰减和频散特性.首先，我们建立了结合交错ABS时间积分法、应力镜像法(SIM)(Robertsson, 1996)和多轴完美匹配层(M-PML)(Zeng et al., 2011)的标准交错网格高阶有限差分模拟方案，提出了一种计算过程简单，稳定好且效率高的黏弹性介质瑞雷波频散曲线正演策略.然后，在均匀半空间模型中，我们在时间-空间域测试了模拟程序的精度，在频率-速度域验证了模拟结果的正确性，并分别从波场快照、波形曲线和频散能量图三个角度，详细地分析了介质的黏弹性对瑞雷波传播的影响，也分析了参考频率对黏弹性介质瑞雷波模拟结果的影响.最后，我们模拟了两层速度递增模型去进一步分析瑞雷波在黏弹性层状介质中的特性.
1 模拟方法 1.1 黏弹性介质波动方程本文在二维P-SV波情况(XOZ平面)下，采用各向同性黏弹性介质一阶速度-应力波动方程进行有限差分数值模拟(Bohlen, 2002).对于广义标准线性黏弹体，其应力-应变关系可表示为：
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(1a) |
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(1b) |
方程中具有记忆变量(l=1, …, L)：
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(2a) |
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(2b) |
速度与应力的关系可用动量守恒方程来表示：
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(3) |
方程(1)、(2)和(3)一起组成了黏弹性介质波动方程.其中，i, j, k=x, z，vi表示速度分量，σij表示应力分量，L表示松弛组件的数量，rijl表示与应力分量相对应的记忆变量(l=1, …, L)，fi代表外部体力分量，ρi表示与vi对应的介质密度，∂i, ∂j和∂k表示空间差分算子.变量上的小黑点表示对时间的一阶导数.τσl表示同时适用于P波和S波的应力松弛时间.τlp和τls分别表示P波和S波的衰减程度(l=1, ..., L)，可由τσl和应变松弛时间τpεl、τsεl确定，计算式如下(Blanch et al., 1995; Bohlen, 2002)：
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(4a) |
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(4b) |
π和μ分别是用于定义在参考频率f0(ω0=2πf0)处纵波和横波相速度模型(vP0, vS0)的松弛模量，可通过如下式子计算得到(Bohlen, 2002)：
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(5a) |
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(5b) |
其中，符号Re( )表示对复数求取实部的运算.本文将详细分析参考频率对数值模拟的作用和影响.
本文中的松弛时间是通过采用Blanc等(2016)的“SolvOpt”优化算法反演纵横波品质因子QP和QS曲线得到的.根据品质因子的定义，QP和QS可由复模量MvC表示为(Blanc et al., 2016)：
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(6a) |
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(6b) |
其中，Re( )和Im( )分别表示对复数求取实部和虚部，Mv为松弛模量，且M1=π, M2=μ，v=1, 2分别表示P波和S波.
本文采用时间域标准交错网格高阶有限差分算法进行数值模拟，并将交错ABS时间积分法引入到差分格式中，以提高时间导数的求取精度(Bohlen and Wittkamp, 2016). ABS是一种多步法，其使用先前计算的波场来增加时间上精度的阶数.在时间M阶精度下，黏弹性介质波动方程显式速度与应力更新格式可参考Bohlen和Wittkamp(2016)的文章.值得注意的是，在黏弹性波动方程中，令τlp和τls均为0，可使黏弹性介质波动方程退化为弹性介质波动方程，本文弹性介质瑞雷波数值模拟均是通过这种方式实现的.在Bolhen(2002)以及Bohlen和Wittkamp(2016)的文章中黏弹性介质波动方程缺少一个系数因子1/L，本文进行了纠正.
1.2 边界条件的设置自由表面是地球介质与空气层之间的物性突变面，而瑞雷波正是基于其存在才得以形成和传播.本文采用应力镜像法(SIM)作为自由表面边界条件(Robertsson, 1996).其基本思想是把自由表面看作一面镜子，在镜面以上设置虚拟层，并使上下两侧的与垂向相关的应力关于自由表面镜像对称.在自由表面，正应力σzz及对应的记忆变量rzzl设置为0，在自由表面以上虚拟层中，速度分量vx和vz设置为0.在2N阶标准交错网格有限差分条件下，虚拟空气层具有N个网格点的宽度，SIM的具体实现方式如下：
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(7) |
其中，i为横向任意的网格剖分点，j为自由表面所在的位置，k为虚拟层中正参与镜像处理的网格点距离自由表面的网格点数.在自由表面上，由σzz, rzzl为0的条件，化简方程(1)可得到：
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(8) |
σxx与rxxl在自由表面上必须通过式(8)进行更新.
为了消除模型人工边界反射的问题，本文采用多轴完美匹配层(M-PML)来作为吸收边界条件，相比较于传统的PML，它能更好地解决高泊松比地质情况下，由于数值误差的积累引起的不稳定问题(Zeng et al., 2011).根据Zeng等(2011)的研究，对于二维地震模型中的瑞雷波来说，多轴技术只对于PML的自由空间区域(左上角和右上角)是必须的.然而，Zeng等(2011)对M-PML的研究是在弹性介质条件进行的.由于黏弹性介质波动方程中记忆变量的存在，M-PML吸收边界的处理比弹性的更复杂.具体体现在应力方程和记忆变量方程右侧记忆变量求和项的处理上，处理不当，会造成错误的模拟结果.本文采用将记忆变量求和项等分到M-PML的分裂方程中的方式成功解决了这个问题.以σxz和rxzl的情况为例，它们的M-PML分裂方程形式为：
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(9a) |
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(9b) |
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(9c) |
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(10a) |
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(10b) |
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(10c) |
其中，∂t表示时间差分算子，dx和dz分别代表x和z方向上的阻尼系数，上脚标x和z分别表示x和z方向上的M-PML分裂成分.波动方程中其他方程的M-PML分裂方程可以按照上面的方法得到.
此外，在标准交错网格有限差分算法中，内部物性界面因物性突变可能产生解不稳定问题.通过对密度ρx和ρz做算术平均，对模量μxz做调和平均可很好地解决该问题(Moczo et al., 2002).
1.3 黏弹性瑞雷波频散曲线正演在黏弹性水平层状介质中，瑞雷波频散方程可用角频率ω，瑞雷波复速度VRC，纵横波复速度VPC和VSC，密度ρ和层厚h表示为：
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(11) |
纵横波复速度的计算式如下(Carcione et al., 1988)：
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(12a) |
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(12b) |
与弹性介质不同的是，在黏弹性介质中，瑞雷波、纵波和横波速度都是复数，且为ω的函数，久期函数FR也为复数.因此，不能采用实数域求根方法来求解FR的零点.张凯等(2016)采用Muller法求取黏弹性水平层状介质瑞雷波频散方程的复根，进而确定频散曲线.但Muller法求根计算效率低，计算过程复杂，对于复杂的模型某些频点出现漏根现象.本文提出了一种简单、稳定且高效的近似求取频散曲线的策略，即利用纵横波相速度代替纵横波复速度在实数域进行频散曲线的计算.纵横波相速度计算式为：
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(13a) |
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(13b) |
因此，瑞雷波频散方程变为：
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(14) |
该策略使久期函数由复数域变为实数域.在实数域，本文采用快速矢量传递算法(凡友华等, 2002)计算久期函数的值，利用二分法确定频散方程的根，即可近似得到黏弹性介质瑞雷波频散曲线.通过各向同性黏弹性半空间瑞雷波相速度的解析解，可验证该策略的可靠性和精度.
在各向同性黏弹性半空间中，瑞雷波的频散关系可以表示为(Carcione, 1992)：
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(15) |
式(15)在复数域存在三个根，但只有一个具有物理意义的根，即瑞雷波复速度的解.进一步通过式子VR=1/Re(1/VRC)可得到瑞雷波相速度.取式(5)中参考频率f0=0 Hz，地质模型参数如表 1所示，通过计算得到图 1.灰色实线表示通过式(15)得到的瑞雷波相速度解析解，黑色实心点表示通过我们的策略(式(14))得到的数值解.由对比可知，两者基本重合，证明了该策略近似计算得到的黏弹性介质瑞雷波频散曲线可用于验证本文数值模拟结果的正确性.
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表 1 均匀半空间模型的参数 Table 1 Parameters of a homogeneous half-space model |
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图 1 黏弹性均匀半空间瑞雷波相速度数值解与解析解的对比 Fig. 1 Comparison of Rayleigh phase velocity betweenanalytical and numerical results in a viscoelastic homogeneous half-space |
为测试模拟程序和研究黏弹性介质瑞雷波的衰减和频散特性，我们对均匀半空间模型进行了模拟，模型参数如表 1所示，并从波场快照、波形曲线以及频散能量图三个角度，对弹性和黏弹性模拟结果进行对比分析.黏弹性介质模拟需要一套能很好地近似常Q模型的松弛时间，本文采用Blanc等(2016)的“SolvOpt”优化算法来计算松弛时间，当L=2时，计算得到QP=40和QS=20对应的松弛时间如表 2所示.
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表 2 黏弹性介质松弛时间 Table 2 Relaxation times of a viscoelastic medium |
本文基于ABS法采用差分格式为时间上4阶、空间上12阶的标准交错网格高阶有限差分来进行瑞雷波数值模拟；力源为Z方向点力源，震源函数为主频fP=25 Hz，延迟时间t0=50 ms的高斯一阶导函数；M-PML吸收层宽度设为10 m，左右上角设置垂直层厚为20 m，理论反射系数为0.000001，阻尼比例系数取为1.通过设置τlp和τls均为0，可以实现弹性介质的情况.以上参数在本文中均保持不变，下文不再赘述.
2.1 波场快照的对比设置100 m×50 m的模拟区域，震源位置为(50 m, 0 m)，采用时间步长dt=0.1 ms，空间步长dh=0.25 m，式(5)中参考频率f0=0 Hz，分别对弹性和黏弹性半空间进行数值模拟，得到时间t=0.18 s的波场快照，如图 2所示.由图可知，弹性和黏弹性介质情况下数值模拟均能生成符合勘探地球物理规律的波场快照，自由表面上都存在明显的瑞雷波(RW)，其能量在整个波场中占据主导地位，其速度稍慢于横波(S波)速度，说明SIM能很好处理自由边界问题.波场清晰且干净，说明M-PML能很好处理人工边界问题.由图可知，黏弹性的波场快照(图 2c和2d)与弹性的(图 2a和2b)相比，存在两个明显的差异：一是地震波能量被衰减，二是地震波传播速度被提高.
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图 2 均匀半空间模型t=0.18 s质点速度场快照 (a)弹性vz分量和(b)其vx分量; (c)黏弹性vz分量和(d)其vx分量. Fig. 2 Particle velocity field snapshots of the homogeneous half-space model when t=0.18 s (a) Elastic vertical component and (b) its horizontal component; (c) Viscoelastic vertical component and (d) its horizontal component. |
将震源设置在左侧(0 m, 0 m)，采用dt=0.05 ms，dh=0.25 m，在偏移距为30 m处设置一检波器，模拟时长设为0.3 s，分别对弹性和黏弹性半空间进行模拟，可采集到对应的单道地震记录.图 3为弹性均匀半空间归一化模拟记录和解析解的对比图，解析解是利用Cagniard-De Hoop技术，求解带自由表面弹性半空间的格林函数得到的(Berg et al., 1994).图 3a的vz分量波形曲线的拟合误差(RMS误差)为0.201%，图 3b的vx分量的拟合误差为0.403%，说明结合了ABS法的交错网格高阶有限差分模拟程序具有很高精度.图 4和图 5分别是当f0=0 Hz时和当f0=fP时黏弹性和弹性介质归一化波形曲线及其振幅谱对比图.由图可知，两种f0情况的黏弹性波形曲线振幅都被严重衰减，由于模拟采用同一套松弛时间，所以振幅衰减程度相同；高频衰减更加剧烈，中心频率向低频端移动；相比于弹性波形曲线，黏弹性瑞雷波波形也发生了变化.两者的差异在于传播速度不同：参考频率越低，地震波起跳越早，瑞雷波尤为突出；当参考频率等于震源主频时，黏弹性地震波和弹性地震波起跳时间相同.
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图 3 均匀半空间模型偏移距为30 m处vz(a)和vx(b)分量弹性波形曲线数值解和解析解的对比 Fig. 3 Comparison of seismograms of the homogeneous half-space model of vertical component (a) and horizontal component (b) between analytical and numerical results at offset of 30 meters |
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图 4 均匀半空间模型偏移距为30 m处黏弹性(f0=0 Hz)和弹性波形曲线及其振幅谱的对比 (a) vz分量波形曲线和(b)其振幅谱; (c) vx分量波形曲线和(d)其振幅谱. Fig. 4 Comparison of seismograms and amplitude spectrums of the homogeneous half-space model between viscoelastic (f0=0 Hz) and elastic numerical results at offset of 30 meters (a) Waveform curves of vertical component, and (b) its amplitude spectrum; (c) Waveform curves of horizontal component, and (d) its amplitude spectrum. |
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图 5 均匀半空间模型偏移距为30 m处黏弹性(f0=fP)和弹性波形曲线及其振幅谱的对比 (a) vz分量波形曲线和(b)其振幅谱; (c) vx分量波形曲线和(d)其振幅谱. Fig. 5 Comparison of seismograms and amplitude spectrums of the homogeneous half-space model between viscoelastic (f0=fP) and elastic numerical results at the offset of 30 meters (a) Waveform curves of vertical component, and (b) its amplitude spectrum; (c) Waveform curves of horizontal component, and (d) its amplitude spectrum. |
设置一个90道，最小偏移距为10 m，道间距为1 m的检波器排列，模拟时长增至0.8 s，其他模拟参数保持不变，分别对弹性和黏弹性半空间进行模拟，可采集到对应的炮集记录(图 6a，7a和8a)，再通过高分辨率线性拉东变换(Luo et al., 2008)得到频散能量图(图 6b，7b和8b).图 6是弹性介质的模拟结果，图 7是黏弹性介质参考频率f0=0 Hz时的模拟结果，图 8是黏弹性介质参考频率f0=fP时的模拟结果.
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图 6 弹性介质均匀半空间模型炮集记录(a)和频散能量图(b) Fig. 6 Shot gathers (a) and dispersive images (b) of elastic homogeneous half-space model |
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图 7 黏弹性介质(f0=0 Hz)均匀半空间模型炮集记录(a)和频散能量图(b) Fig. 7 Shot gathers (a) and dispersive images (b) of viscoelastic (f0=0 Hz) homogeneous half-space model |
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图 8 黏弹性介质(f0=fP)均匀半空间模型炮集记录(a)和频散能量图(b) Fig. 8 Shot gathers (a) and dispersive images (b) of viscoelastic (f0=fP) homogeneous half-space model |
在炮集记录上，瑞雷波清晰可见，能量在整个炮集记录中占主导地位，弹性瑞雷波振幅极强，且基本上不随偏移距变化而变化(图 6a)；黏弹性瑞雷波振幅明显被衰减，且衰减程度随偏移距增加而增大(图 7a和8a).在频散能量图上，弹性和黏弹性的频散能量均能同瑞雷波理论频散曲线(小黑点)重合，验证了模拟结果的正确性(图 6b，7b和8b).在图 6b中，由于在弹性半空间中没有频散特性，所以瑞雷波以一固定的相速度(189.79 m·s-1)传播，频散曲线为一条直线.在图 7b和图 8b中，由于介质的黏弹性，瑞雷波的相速度发生了频散，且随着频率的增大而增大，频散曲线为一条曲线；频散能量的分辨率也明显降低.图 9展示了弹性和黏弹性瑞雷波频散曲线的对比.当f0=0 Hz时，黏弹性瑞雷波相速度(黑色虚线)恰好在频率为0 Hz处与弹性的相速度(灰色实线)相等，随着频率增加，黏弹性的相速度越来越高于弹性的相速度.当f0=fP=25 Hz时，黏弹性瑞雷波相速度(黑色点虚线)恰好在频率为25 Hz处与弹性的相速度(灰色实线)相等；在小于f0的频段，其小于弹性的相速度；在大于f0的频段，其大于弹性的相速度.两条不同参考频率的黏弹性频散曲线的走势近似平行.
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图 9 均匀半空间模型中弹性与黏弹性介质瑞雷波相速度对比 Fig. 9 Comparison of phase velocities of Rayleigh-wave between elastic and viscoelastic media in homogeneous half-space model |
为进一步研究瑞雷波在黏弹性层状介质中的特性，一个两层速度递增模型被设计，模型参数如表 3所示.震源位置、时间和空间步长、检波器排列均与上节半空间炮集记录模拟的参数相同，采集时长增至1.0 s，分别对弹性和黏弹性(f0=fP)两层模型进行模拟，可得到对应的炮集记录(图 10a和11a)，再通过高分辨率线性拉东变换得到频散能量图(图 10b和11b).
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表 3 两层速度递增模型的参数 Table 3 Parameters of a two-layer earth model with increasing velocity |
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图 10 弹性介质两层速度递增模型炮集记录(a)和频散能量图(b) Fig. 10 Shot gathers (a) and dispersive images (b) of elastic two-layer earth model with increasing velocity |
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图 11 黏弹性介质(f0=fP)两层速度递增模型炮集记录(a)和频散能量图(b) Fig. 11 Shot gathers (a) and dispersive images (b) of viscoelastic (f0=fP) two-layer earth model with increasing velocity |
在炮集记录上，瑞雷波清晰可见，呈发散的扫帚状，信噪比高，能量占主导地位；与弹性的(图 10a)相比，黏弹性瑞雷波振幅被严重衰减，同相轴条数明显减少，高频同相轴衰减更加剧烈(图 11a).在频散能量图上，弹性和黏弹性的频散能量均能同瑞雷波理论频散曲线(小黑点)重合，验证了模拟结果的正确性(图 10b和11b).由图 10b可知，瑞雷波在两层速度递增模型中具有频散特性，也具有多阶模式，其中能量占主导地位的是基阶模式，高阶模式的能量随阶数的增大而减弱.与弹性的(图 10b)相比，黏弹性频散能量图(图 11b)高阶模式的能量被严重衰减，其频散能量的分辨率也明显降低.图 12展示了黏弹性与弹性介质瑞雷波基阶模式频散曲线的对比(a)和差异(b).由图 12a，弹性频散曲线(灰色实线)在大于20 Hz的频段为水平直线，而黏弹性频散曲线在该频段却呈现出低角度上扬；在图 12b中，黏弹性频散曲线与弹性的相减得到两者的差异(黑色点虚线)，差异呈现为一条相速度差随频率增大的曲线(＞8 Hz).这反映了介质黏弹性引起的瑞雷波相速度频散.在f0=fP=25 Hz处，黏弹性瑞雷波基阶模式相速度恰好等于弹性的相速度；在小于f0的频段，其小于弹性的相速度；在大于f0的频段，其大于弹性的相速度.
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图 12 两层速度递增模型中黏弹性(f0=fP)与弹性介质瑞雷波基阶模式频散曲线对比(a)和差异(b) Fig. 12 Comparison (a) and difference (b) of dispersion curves of Rayleigh-wave fundamental mode between viscoelastic (f0=fP) and elastic media in two-layer earth model with increasing velocity |
本文基于广义标准线性黏弹波动方程，通过结合了交错ABS法、SIM和M-PML的标准交错网格高阶有限差分模拟方案，实现了黏弹性介质瑞雷波的数值模拟.模拟结果与理论结果的对比证实了该模拟方案具有很高的精度，能够正确模拟黏弹性介质中的瑞雷波.在均匀半空间和两层速度递增模型中，通过弹性与黏弹性模拟结果的对比，分析了黏弹性瑞雷波的衰减和频散特性，也分析了参考频率对模拟结果的影响.结果表明：介质的黏弹性会引起瑞雷波振幅衰减，高频成分比低频成分衰减更加剧烈，衰减程度随着偏移距的增大而增强；介质的黏弹性也会引起瑞雷波相速度频散，相速度随频率的增大而增大，频散能量的分辨率一定程度地降低；参考频率的改变，不会影响瑞雷波振幅衰减和相速度频散的程度，但会影响相速度的大小，并决定黏弹性和弹性介质瑞雷波相速度相等的频率位置.这些结论有助于人们更好地理解地球介质中瑞雷波的行为，并对瑞雷波勘探的应用和研究等具有一定的指导意义.
本文所建立的高精度的有限差分模拟方案为瑞雷波及其他地震波场模拟研究提供了有价值的参考，所提出的近似计算黏弹性介质瑞雷波频散曲线的方法为频散曲线反演研究以及瑞雷波频散特性研究提供了工具.本研究也间接反映了在实际的瑞雷波勘探工作中考虑介质黏弹性影响的必要性.在今后的工作中，考虑介质黏弹性对瑞雷波的影响，展开对黏弹性介质瑞雷波全波形或频散曲线的反演研究，和展开对黏弹性介质瑞雷波地震记录的振幅补偿和相位校正的研究，对于进一步提高瑞雷波勘探的反演解释精度和拓宽瑞雷波勘探应用领域等具有重要意义.
致谢本文作者感谢评审专家对稿件的审阅以及提出的宝贵修改意见.
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