2018, Vol. 61
2. 北京真时科技有限公司, 北京 100190
2. Pacewear Co. Ltd. Beijing 100190, China
近年来，瑞利波勘探成为近地表勘探的有利工具，在地质勘察、工程地球物理及环境工程等诸多领域发挥着重要的作用(Park et al., 1999；谢昭晖等, 2007；夏江海等, 2015).瑞利波勘探主要使用多道面波分析技术提取出实测瑞利波的频散曲线，与理论计算的频散曲线建立最优化函数，通过反演计算得到介质的参数信息(Zhang et al., 2004; Lu et al., 2006; Luo et al., 2008).目前大多数的瑞利波勘探理论是建立在完全弹性介质半空间基础上的(Zhang et al., 2002; 何耀锋等, 2006; Liu and Fan, 2012)，但是在实际地层中，由于地表土质疏松及地下水等因素的影响，地表半空间中的介质在某些区域会体现出孔隙性和黏弹性.研究表明，孔隙介质或黏弹性介质等具有耗散性质的介质存在于半空间中，会使表面瑞利波的传播特性产生一定程度的改变(Tserkovnyak and Johnson, 2003; Zhao et al., 2012; 张煜等, 2015).在理论上，瑞利波的频散方程由实函数变为复变函数，瑞利波为复平面上的复极点贡献，但与通常所说的泄漏瑞利波在传播过程中会产生体波向介质内部辐射能量不同的是，在这种条件下瑞利波的传播衰减相对较小，传播过程中一部分能量转化为介质的热能，但不会向介质内部辐射声波，产生漏能现象.
对于含有孔隙介质、黏弹介质等具有耗散作用的分层介质中瑞利波的理论研究，目前主要针对的是复平面上瑞利波频散方程的求解方法以及分析瑞利波的频散特性(Lai, 2002; Cao and Dong, 2010; 柴华友等, 2015; Yan et al., 2016; 张凯等, 2016).而针对瑞利波衰减特性的理论研究相对较少，Parra等(Parra and Xu, 1994)曾讨论过三层孔隙介质模型下表面瑞利波的频散和衰减特性，分析了层厚变化时瑞利波衰减的变化规律，但由于他的模型中三层介质全是孔隙介质，因此无法分析孔隙介质对瑞利波衰减曲线的深层次作用规律.近些年来，由于探测仪器的准确性和一致性不断提高，人们开始越来越多的关注声波的衰减特性(张煜等，2015；张如伟等，2016).Xia等(Xia et al., 2013)利用Love波衰减反演了常Q黏弹介质模型下横波的Q值，但这种模型与实际地层差异较大.此外很多学者对弹性半空间中瑞利波深度方向上的衰减特性进行了较为深入的研究，讨论了瑞利波的探测深度等问题.
本文以弹性介质半空间包含一层孔隙介质为物理模型，通过数值计算得到复平面上的瑞利波的特征波数，讨论表面瑞利波传播过程中的衰减曲线随各种地层参数的变化规律.本文研究结果有助于深入认识瑞利波的传播与衰减特性，为使用瑞利波衰减曲线反演介质参数奠定了一定的基础.
1 基本理论弹性分层介质中的瑞利波频散方程可以表示为如下隐函数的形式:
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(1) |
其中，k为待求取的瑞利波特征波数，fi是对应频率点，VP, VS, ρ, h分别代表每一层介质的纵波速度、横波速度、密度以及层厚度.
在含有孔隙介质的情况下，方程中还应含有孔隙介质层的孔隙度ϕ, 以及渗透率kst等参数，如(2)式，其形式更加复杂(Yan et al., 2016)：
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(2) |
在完全弹性分层半空间模型下(1)式是实数域函数，求得的瑞利波特征波数k也是实数，此时瑞利波的传播形式相对简单.而当分层介质中含有耗散介质，如黏弹性介质或孔隙介质时，瑞利波频散方程(2)式将扩展到复平面上，其解也将是复数.假设此时通过求解频散方程得到瑞利波的特征波数为k，令kr和ki分别为k的实部和虚部，ki＞0以满足无限远处声波幅度为零的条件，则k=kr+i*ki，瑞利波的相速度Vr=ω/kr，群速度Vg=dω/dkr.Parra和Xu(1994)在研究孔隙分层介质中的瑞利波时，曾按照平面波的理论定义Q-1=2ki/kr为瑞利波的衰减系数，本文的研究沿用这一定义，讨论这种瑞利波的衰减特性.
在讨论分层介质中频散多模的瑞利波时，考虑每一阶模式的激发强度是非常重要的，激发强度较弱的模式或频率区域对瑞利波波包总体影响很小，反演计算过程中也很难提取，因此根据激发强度的大小重新确定瑞利波频散曲线或衰减曲线是很有必要的，可以使理论研究更加接近实际需求.
在频率域下，瑞利波的激发强度与极点留数相对应，对于埋藏于半空间内部的一个爆炸点源，半空间表面瑞利波的水平和垂直位移激发强度的计算表达式为
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(3) |
其中Nr，Nz为声源有关的函数，D′=∂D/∂k为频散函数的导数，H0(1)，H1(1)分别代表 0阶和1阶第一类汉克尔函数.
本文使用传递矩阵法进行频散方程的推导和计算，为了避免传递矩阵算法在计算过程中出现的有效数字丢失问题，我们对矩阵进行了适当的优化，提高了传递矩阵法的有效计算范围.在孔隙介质与弹性介质组成的混合分层半空中，瑞利波的频散方程形式非常复杂，只能通过数值方法求解.本文采用牛顿迭代法对频散方程进行求解计算，但是这种方法对初值敏感，尤其是对复频散方程，在数值迭代之前需要准确给定初值，因此本文采用扩展到复平面的二分法(Yan et al., 2016)得到最高频率点处的根，再由高频到低频进行牛顿迭代计算.
2 数值模拟与分析以三层水平分层半空间为例进行数值计算与分析，考虑实际勘察中经常遇到的两类地质模型，即速度递增模型和含有低速层模型. 表 1给出了数值计算时采用的介质参数，其中Ks，Kf，ρs，ρf分别为固体颗粒和孔隙流体的体积模量及密度，Vbp，Vbs，ϕ，kst，η则分别表示孔隙介质骨架中的纵波速度、横波速度、孔隙度、渗透率以及黏滞系数，计算时孔隙介质的孔道弯曲度均取为3.以孔隙介质参数为基础建立数值模型，数值计算中只考虑半空间含有一层孔隙介质的情况，将其余两层由孔隙介质退化为弹性介质.采用这一模型，能够使孔隙介质参数的反演问题更加具有针对性.计算中弹性介质参数由相应孔隙介质参数计算得到(Biot, 1956)，由孔隙介质的等效纵、横波速度(VP，VS)及平均密度(ρ)构成.在速度递增模型下，介质从上到下依次对应表 1中的介质T1、T2、B；在含低速层模型下，介质从上到下依次为T2、T1、B.表面两层介质厚度分别为3 m和1 m，底部为半无限空间.
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表 1 数值模型与介质参数 Table 1 Parameters of the model |
图 1给出了两种地质模型下表面瑞利波纵向位移的激发幅度曲线，图 1a为含低速层模型，图 1b为速度递增模型.从图 1中可以看到，在含低速层模型下瑞利波纵向位移激发强度最大的模式，即瑞利波的主导模式会随频率发生变化，而在速度递增模型下瑞利波的主导模式始终为基阶模式.本文以下的分析中将根据图 1给出的瑞利波纵向位移激发强度为依据，在瑞利波频散和衰减曲线图中选择对应激发强度最大的模式作为分析瑞利波传播性质的主导模式，并将这种有可能产生阶跃式变化的曲线称为主频散曲线和主衰减曲线.由于实际勘探中接收到的信号往往是瑞利波在地表产生的纵向位移，因此以纵向位移的激发强度为依据确定的主频散和主衰减曲线更能够体现瑞利波实际的传播和衰减特性.
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图 1 不同的三层模型下瑞利波纵向位移激发强度 (a)含低速层; (b)速度递增. Fig. 1 Longitudinal displacement of the Rayleigh wave in different three-layered models (a) Low-velocity interlayer; (b) Velocity increased. |
图 2给出了含低速层的三层模型下，孔隙介质位于半空间底层时瑞利波各阶模式的频散和衰减曲线，以及按激发强度最大值确定的阶跃式的瑞利波主频散和主衰减曲线(黑点线).从图 2a给出的瑞利波主频散曲线可以看到，低频时瑞利波趋近于底层介质的瑞利波速度，随着频率升高，瑞利波速度降低，最终趋近于表层介质的瑞利波速度.这体现了，瑞利波随着频率的升高波长变短后，其激发深度和影响区域由深变浅的过程.从图 2b中可以看到，虽然瑞利波各阶模式的衰减随频率的变化规律比较复杂，但主衰减曲线随频率的变化规律则比较简单.表现为在图中低频区域瑞利波受底部孔隙介质影响具有一定的衰减，而当频率升高，瑞利波的能量将趋近于表面，底层的孔隙介质对瑞利波的影响变小，因此瑞利波的衰减也趋近于零.另外从图 2b中可以发现，瑞利波的主衰减曲线虽然是阶跃式的，但在跳跃点处(236 Hz、463 Hz、758 Hz)衰减曲线没有明显的波动，整体表现出较强的连贯性，这一方面体现了瑞利波总体的衰减特性，另一方面也说明我们以激发强度最大值为依据确定瑞利波的主导模式是符合实际规律的.
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图 2 含低速层三层模型下表面瑞利波频散(a)及衰减(b)曲线(孔隙介质位于底层) Fig. 2 The Rayleigh wave dispersion (a) and attenuation (b) in the low-velocity interlayer model (Porous layer in the bottom) |
图 3给出的是当孔隙介质位于含低速三层模型的中间层时的瑞利波各模式的频散和衰减曲线及主频散和主衰减曲线，对比图 2a和图 3a可以看到孔隙介质层所处的位置改变后，瑞利波频散曲线基本没有变化，从图 3b中可以看到此时瑞利波各阶模式的衰减更加复杂，受中间的低速孔隙介质底层的影响，在每一阶模式都出现两个衰减极大值.主衰减曲线也出现了明显的阶跃波动，中频区域(100~400 Hz)处的衰减系数增大，表明在这一频段内传播的瑞利波受到孔隙介质的影响较大.从另一方面来说，这一频段内的瑞利波携带了大量的孔隙介质参数信息，实际中如果能够适当选取瑞利波的接收距离，提取到这一频段内瑞利波的衰减信息，对于反演相关介质参数将是非常有利的.
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图 3 含低速层三层模型下表面瑞利波频散曲线(a)及衰减曲线(b)(孔隙介质位于中间层) Fig. 3 The Rayleigh wave dispersion (a) and attenuation (b) in the low-velocity interlayer model (Porous layer in the middle) |
图 4对比了含低速层的三层模型下，孔隙介质位于底层和位于中间层时瑞利波主频散和主衰减曲线.可以看到，孔隙介质位置的变化，对于瑞利波总的频散特性影响较小，而对瑞利波衰减特性的影响则相对较为明显，尤其是在中高频区域.通过对比结果可知，如果能够通过实测瑞利波的波形提取到瑞利波的衰减特性，那么就有可能大致确定孔隙介质或具有强耗散性介质所处的深度.这一结果对于利用频散曲线反演介质参数也是有利的.由于单纯利用频散信息无法确定孔隙介质的位置，因此在以往的反演计算中，为了减少反演参数的个数，需要人为设定孔隙层位置，但往往缺乏依据，在实际勘探中显然是行不通的.而通过衰减曲线，使我们能够在反演前确定孔隙介质所处位置，对于提高反演效率和准确度都是很有帮助的.
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图 4 含低速层模型下，孔隙介质位于不同位置处时的主频散(a)和主衰减曲线(b)对比 Fig. 4 The comparison of the main dispersion (a) and attenuation (b) when the location of porous layer is changing (in the model of low-velocity interlayer) |
图 5对比了含低速层模型下，孔隙介质分别位于底层和中间层时的表面瑞利波时域波形，计算时采用声源形式为单周期正弦，主频为350 Hz，带宽为600 Hz.通过时域波形的对比可以看到，由于两种模型下瑞利波的频散特性基本一致，因此对比波形具有一致的相位信息，但孔隙介质位于中间层时(蓝线)瑞利波体现出更强的衰减特性，在传播速度较低的高频部分波形幅度较小，这与图 4所体现的特性一致.
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图 5 含低速层模型下，瑞利波时域波形对比 (主频350 Hz，带宽600 Hz) Fig. 5 The comparison of the time domain waveform when the location of porous layer is changing (in the model of low-velocity interlayer) |
图 6为速度递增三层模型，孔隙介质位于不同位置时的瑞利波频散和衰减曲线对比，从图中可以看到，瑞利波的主频散特性受模型的影响变化很小，基本重合，而瑞利波的主衰减仍然具有较明显的差异，当孔隙介质位于底层时只有低频区域存在衰减，而当孔隙介质位于中间层时瑞利波衰减的频带宽度变宽.
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图 6 速度递增模型下，孔隙介质位于不同位置处时的主频散(a)和主衰减曲线(b)对比 Fig. 6 The comparison of the main dispersion (a) and attenuation (b) when the location of porous layer is changing (in the model of velocity increased) |
图 7是相应的时域波形对比结果，但与图 5不同的是图 7中声源主频采用200 Hz，同时声源带宽也缩减为200 Hz，即声源激发的频率区域为100~300 Hz，从图 6b可以看到，在这一频段内两种情况下瑞利波的衰减都趋近于零，因此图 7中的时域波形在相位和幅度信息上都基本一致.这说明对于瑞利波衰减的提取，需要选择适当的声源激发频率.
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图 7 速度递增模型下瑞利波时域波形对比 (主频200 Hz，带宽200 Hz) Fig. 7 The comparison of the time domain waveform when the location of porous layer is changing (in the model of velocity increased) |
通过以上的分析可以看到，瑞利波的衰减受到孔隙介质的相对位置影响，当频率较低时瑞利波波长较大，能够传播到较深的区域，因此无论孔隙介质位于何处，都会对表面瑞利波产生影响，使表面处耦合出的瑞利波具有一定的衰减特性，而当频率升高瑞利波波长变短，处于模型底部的孔隙介质对瑞利波的影响越来越小，而模型中部的孔隙介质所占的空间比例越来越重，致使瑞利波的衰减系数增大，而当频率继续增大瑞利波的波长继续变短，以致瑞利波的能量全部集中于表层弹性介质中时，衰减系数趋近于零.由此可见各层介质的相对厚度对瑞利波的衰减变化都会产生影响.
2.2 层厚度的改变对瑞利波衰减的影响图 8为速度递增的三层模型下，表面两层厚度改变时，瑞利波主衰减曲线的变化情况，图 8a、8b为孔隙介质位于中间层的情况，图 8c、8d为孔隙介质位于底层的情况.由于在速度递增的模型中瑞利波没有发生能陷现象，因此表层介质厚度的改变对瑞利波衰减的影响较大，如图 8a及图 8c；而中间层厚度的改变对瑞利波衰减影响相对较小，如图 8b及图 8d.
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图 8
速度递增模型下介质厚度改变时瑞利波衰减的变化
(a, b)孔隙介质位于中间层；(c, d)孔隙介质位于最底层.
Fig. 8
The variation of the Rayleigh wave attenuation in different thickness of layer
(in the model of velocity increased) (a, b) Porous layer in the middle; (c, d) Porous layer in the bottom. |
观察图 8a及图 8c的变化，主要体现在随着h1的增大，瑞利波主衰减曲线的峰值减小并向低频移动，呈显著的线性对应关系，如果记Q-1的最大值对应的频率为fq，通过计算瑞利波的相速度，得到此时瑞利波的波长λq，表 2给出了λq随h1的变化情况，此时我们可以得到如下近似关系：
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(4) |
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表 2 h1改变时各参数变化情况 Table 2 The variation of the parameters in the different h1 |
虽然从图 8b、8d可以看到，随着h2的增大，瑞利波主衰减曲线的峰值也减小并向低频移动，但经过计算发现，由于h2改变时瑞利波的传播速度同时也发生了变化，λq的变化很小，表 3给出了λq随h2的变化情况，可见(4)式的关系并不受h2变化的影响.
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表 3 h2改变时各参数变化情况 Table 3 The variation of the parameters in the different h2 |
(4) 式说明在这种速度递增地层中，表面瑞利波的影响深度只有1/10个波长，在低频区域，表层厚度小于1/10个瑞利波波长时，瑞利波的影响区域可以到达分层介质的内部，受到内部介质性质的影响，而当频率升高，表层厚度大于1/10个瑞利波波长时，瑞利波能量集中于表面，受下层介质影响很小.同时，利用(4)式的关系，可以通过瑞利波的衰减快速得到分层介质的表层厚度，如果能够成功应用于实际检测，将是非常有价值的.
图 9为含低速层的三层模型下，表面两层厚度改变时，瑞利波主衰减曲线的变化情况.图 9a中我们改变最上层介质的厚度h1，而保持第二层的厚度不变h2=1 m，可以看到当h1逐渐变大时，瑞利波的主衰减系数逐渐减小，令H=h2/h1，H决定了孔隙介质所占的空间比例，当h1增大时，H减小，孔隙介质层对表面瑞利波的影响力减弱，导致表面瑞利波的衰减系数变小；在图 9b中我们改变h2的厚度，保持h1=3 m，当h2变大时，H变大，孔隙介质层对表面瑞利波的影响力变大，表面瑞利波的衰减系数随之增大.而当孔隙介质位于底层时，如图 9c, 9d，由于h1或h2的变化不会引起孔隙介质所占的相对比重，因此衰减系数的大小变化较小.当然，出现这种情况的一个重要因素是中间低速介质层的存在，此时瑞利波的能量在某些频段内不再集中于表面，而是集中到了中间的低速介质层中，即出现了瑞利波的能陷现象，这加大了中间层对瑞利波整体传播性质的影响.
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图 9
含低速层模型下，介质厚度改变时瑞利波衰减的变化
(a, b)孔隙介质位于中间层；(c, d)孔隙介质位于最底层.
Fig. 9
The variation of the Rayleigh wave attenuation in different thickness of layer
(in the model of low-velocity interlayer) (a, b) Porous layer in the middle; (c, d) Porous layer in the bottom. |
另外在这种情况下，通过计算分析，也可以根据fq随层厚的变化得到类似(4)式的关系：
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(5) |
在孔隙介质位于中间层时，fq为衰减系数的第一个峰值.此时低频表面瑞利波的影响深度约为1/5个波长，而当频率升高由于产生模式间的跳跃，情况变得复杂，很难得到统一的规律.
2.3 衰减随孔隙度、渗透率的变化孔隙介质本身参数的改变对表面瑞利波的频散和衰减也会产生一定的影响，本文以含低速层的分层介质模型为例对这一问题进行讨论.由于受激发强度的影响，瑞利波主频散曲线和主衰减曲线更能反应瑞利波的真实传播特性，因此以下分析中均只考虑瑞利波主频散曲线和主衰减曲线.
图 10给出了孔隙介质位于半空间底层时的情况，图 10a、图 10b为孔隙度变化时的结果，从图 10a中可以发现除了低频区域瑞利波的频散曲线受到孔隙度的影响之外，其他频段内瑞利波的主频散曲线受介质孔隙度的变化影响很小，图 10b中瑞利波衰减曲线受孔隙度变化的影响也很小；图 10c和图 10d中是渗透率改变时瑞利波主频散和主衰减曲线的变化情况，可以看到渗透率对瑞利波的主频散曲线影响很小，而对瑞利波主衰减曲线影响较大，当渗透率增大时表面瑞利波的衰减也随之增大.
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图 10
瑞利波主频散和主衰减曲线随孔隙介质参数变化(含低速层模型、孔隙介质位于底层)
(a, b)孔隙度变化；(c, d)渗透率变化.
Fig. 10
The variation of the Rayleigh wave main dispersion and attenuation in different porous media parameters
(low-velocity interlayer, porous layer in the bottom) (a, b) Porosity varying; (c, d) Permeability varying. |
图 11给出的是孔隙介质位于模型中间层时的瑞利波频散和衰减曲线随介质参数的变化情况，图 11a和图 11b为孔隙度变化时的情况，图 11c和图 11d为渗透率变化时的情况.从几幅图的对比可以发现，瑞利波主频散曲线受孔隙度和渗透率的影响都比较小，而瑞利波主衰减曲线受孔隙度和渗透率变化的影响则相对较大，从图 11b中可以看到当孔隙度增大时，瑞利波的衰减减弱，而从图 11d中则可以看到当渗透率增大时，瑞利波的衰减随之增大.
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图 11
瑞利波主频散和主衰减曲线随孔隙介质参数变化(含低速层模型、孔隙介质位于中间层)
(a, b)孔隙度变化；(c, d)渗透率变化.
Fig. 11
The variation of the Rayleigh wave main dispersion and attenuation in different porous media parameters
(low-velocity interlayer, porous layer in the middle) (a, b) Porosity varying; (c, d) Permeability varying. |
对比图 10和图 11中的结果能够看到，瑞利波的频散曲线对孔隙介质参数的变化并不敏感，而大多数情况下瑞利波衰减曲线对孔隙介质参数的变化则比较敏感.如果结合前文的分析，可以进一步得出结论，瑞利波的主衰减曲线不但比主频散曲线对孔隙介质本身的参数更加敏感，而且对地质模型的变化以及模型内部孔隙介质位置等信息也同样比瑞利波主频散曲线更加敏感，这说明瑞利波衰减曲线中包含了更多的有价值的地层参数信息，值得深入研究和利用.
3 结论本文以一层孔隙介质为例，讨论了含有耗散介质的分层半空间模型中表面瑞利波的衰减特性.为了使分析结果更加符合实际情况，结合瑞利波的激发特性给出了阶跃式的瑞利波主衰减曲线及主频散曲线.结果表明：
(1) 表面瑞利波的衰减与地质模型及孔隙介质所处深度均有关系，表面为弹性介质时，瑞利波的主衰减在低频区域较为强烈而在高频区域趋近于零，在含低速层的模型下，孔隙介质位于中间层时瑞利波的主衰减特性出现明显的阶跃变化.利用表面瑞利波衰减特性与孔隙介质位置有关的特性，可以为介质参数反演提供较为准确的孔隙层位置信息，提高反演效率.
(2) 通过数值计算分析了瑞利波主衰减曲线与层厚度的关系，结合瑞利波传播机制，总结了瑞利波衰减特性发生变化的规律，并在两种模型下都给出了瑞利波主衰减峰值与表层介质厚度的对应关系：速度递增模型下衰减系数极大值出现在波长等于第一层介质厚度的10倍位置；含低速层的模型下衰减系数的第一个极值点出现在波长为第一层介质厚的5倍位置，利用这一规律可利用瑞利波主衰减曲线快速确定表层介质厚度.
(3) 分析孔隙介质参数的变化对表面瑞利波主频散曲线和主衰减曲线的影响规律，发现虽然这些参数的改变对瑞利波各阶模式的频散特性有一定影响，但对主频散曲线影响较小，在实际勘察中很难通过频散曲线对这些参数进行反演，而瑞利波主衰减曲线对这些参数则相对比较敏感.
(4) 结合全文的计算对比，我们认为表面瑞利波的主衰减曲线中包含了更加丰富的地层参数信息，尤其是孔隙介质的相关参数，对各参数的变化也非常敏感，这对于介质参数的反演是非常有利的，在下一步的研究中，我们将尝试采用瑞利波的主衰减曲线进行介质参数反演计算.
致谢本文的工作得到中国科学院声学研究所汪承灏院士的指导，论文写作过程中得到黄河水利科学研究院李长征博士的许多有益意见，在此表示感谢.
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