经典瞬变电磁理论大多从偶极子的假设出发，将电性源和磁性源看作偶极子，得到谐变场的频率域表达式，然后经过一系列变换得到时间域解析式，偶极子近似在理论和实践中取得了成功应用(考夫曼和凯勒，1987；Knight and Raiche, 1982).但对于大回线装置等，偶极子假设对全区探测不能全部成立.偶极子叠加的方式，虽然减弱了近源区探测的误差(Poddar，1983)，但是误差不能得到根本性消除.在此基础上，国内外学者们提出了单位点源的假设.纳比吉安给出了单位点源的频域格林函数，通过反傅氏变换，得到全空间直流点源静电场时域格林函数，进而得到瞬态偶极元电磁响应解析式.由于推导时需将点源放在坐标原点，无法处理大尺度长接地导线源和大回线源等装置(米萨克N纳比吉安，1992).

薛国强和闫述等提出了以时变点电荷为载流微元的瞬变电磁场直接时域解的思想，以点电荷代替偶极子假设，直接在时域位函数的基础上推导时域瞬变场(薛国强等，2014；闫述，2002)，以减小误差.薛国强等(2011)通过计算静态场中偶极子近似解与精确解之间的误差，得出了在近区误差较大的结论.周楠楠进一步计算了静电场、恒定电流场、辐射场中磁偶极子和电偶极子的近似解与各自对应的非偶极子假设的电流环和载流导线的精确解之间的误差，得出使用偶极子近似时，在近源区和一部分中源区内，会带来较大误差(Zhou et al., 2013).

薛国强等(2014)通过数学物理方程的格林函数解，进一步给出了全空间有源波动场、扩散场的时域响应解析式，替代了以偶极子为假设的传统方法.在此基础上，我们研究了均匀半空间瞬变电磁场的直接时域解问题，通过时域格林函数，采用分离变量等方法推导出了上半空间一次有源波动场和反射波的时域解析式和下半空间二次无源波动场的时域解析式，结合均匀半空间瞬变电磁场的边界条件(图 1)给出了均匀半空间瞬变电磁场的直接时域解析式.在此基础上利用第一型曲线积分，通过沿回线源叠加推导出了圆回线源瞬变电磁场的直接时域解析式，并对圆回线源在两种源假设下的瞬变电场沿x轴、y轴和间接方法沿z轴方向进行了对比分析.

图 1

Fig. 1

图 1 半空间媒质边界示意图 Fig. 1 The diagram of medium boundary for half space

考夫曼和凯勒(1987)给出了在均匀半空间情形下垂直磁偶极子源m的垂直磁场和水平电场频域解的解析表达式：

(1)

式中，m表示发射磁矩，m=I×ds×ds，I表示激发电流；ds表示偶极源半径，r为收发距.做s=iω的代换，用s除H_z，用反拉普拉斯变换公式(Abramowitz and Stegun, 1964; Erdélyi et al., 1954)经过一些代数代换，得到均匀半空间下的垂直磁场和水平电场时间域的解析解：

(2)

式中，θ=[μ₀/(4ρt)]^1/2，t为观测时间，ρ为均匀大地的电阻率，r=(x²+y²)^1/2为收发距，x, y分别为测点的坐标，erf(·)是误差函数.

建立如图 2所示的三维坐标系.当z=0时，可简化成平面坐标系(图 3).

图 2

Fig. 2

图 2 瞬变电磁磁偶源三维示意图 Fig. 2 TEM circle loop source 3D system

图 3

Fig. 3

图 3 瞬变电磁磁偶源二维示意图 Fig. 3 TEM circle loop source 2D system

上半空电磁场满足F₀=F_0p+F_0q，其中F_0p为有源一次波动场，其解由全空间非齐次初始条件下有源波动方程的格林函数解给出，F_0q为无源二次波动场，是下半空间地质体感应电流产生的二次场，解齐次波动方程求出其解析式.

下半空间电磁场为F₁，它由无源阻尼波动场过渡到扩散场，借助解齐次阻尼波动方程得到相应解析式.在求得上下均匀半空间是直接时域解析式F₀和F₁的基础上，结合均匀半空间瞬变电磁场的边界条件可求得均匀半空间瞬变电磁场点源直接时域解析式.为了研究及计算方便，我们把场点取在x轴、y轴和z轴上，

在x轴上，

(3)

在y轴上，

(4)

其中， φ₀(x′)，ψ₀(x′)，φ，ψ为相应初始值，x′=(x′, y′, z′)为源点，x=(x, y, z)为场点，l为无穷限广义积分的积分限，表示充分大的数，μ₀为上半空间磁导率，ε₀为上半空间介电常数.

在z轴上，场点x=(0, 0, z)，故有C_mn=1，所以

(5)

由于场点处初始值φ一般为0，所以公式(3)变为

并且，一致有界，所以收敛，从而理论上保证了这一项是有限的，x为固定的一个场点，这就是一个收敛的数项级数计算问题，通过Matlab软件可算出级数收敛时m和n的值，比如：x=0.3时，m= 36, n=40时级数收敛.

精确计算振荡函数数值积分是难点问题，随振荡频率因子k的增大, sin(kx)会在正、负值之间快速振荡, 从而加大了数值积分的难度.有不少研究者曾讨论过振荡积分的解决方法，所用方法要么是通过分部积分法得到的高频振荡因子情况下的近似展开解, 要么是通过B样条等函数的近似替代解, 这些方法或带来一定的不容易分析的误差, 或与原有的数值积分方法相比, 计算速度并未得到显著的改善.从积分表达式本身出发, 通过变量代换和积分路径的复变换, 将正弦型振荡积分变换为非振荡型积分, 从而很好地解决了正弦型振荡积分问题.通过对变换后的积分进行高斯积分的结果与直接高斯积分的结果进行对比, 发现计算速度与振荡频率因子反变化, 这使得计算时间大大减少.由于仅是数学变换, 该算法几乎不存在误差.公式(4)(5)可类似的计算.

在推导出均匀半空间圆形回线源上瞬变电场沿x轴、y轴和z轴方向的时域解析式后，与其偶极子假设下瞬变电场公式(1)和(2)以及文献(李貅，2002)中的一些间接公式进行对比分析.下面仅以圆形回线源在点电荷源和偶极源假设下瞬变电场值的x分量在均匀半空间情况下的响应进行数值分析, 均匀半空间的电阻率为ρ=100 Ωm，磁导率为μ₀=μ=4π×10^-7H·m^-1，介电常数为ε₀=8.85×10^-12C²/Nm.

为了方便计算，l近似取为50000.比较两种假设下的误差，远区误差较小，中区、近区误差较大.

相应初始值的取值为，ψ₀(x′)，ψ均为1，φ=0.t=0.001 s，现在对所求公式的计算结果进行分析.

在点电荷源和磁偶源假设下，沿x轴方向的远区总场x分量的计算结果如图 4所示.

图 4

Fig. 4

图 4 圆形回线源沿x轴方向的远区的电场值 Fig. 4 Electric field value about circular loop source on the x axis in the far zone

根据图 4可以得出：均匀半空间上，点电荷源和电偶极源假设下在远源区沿x轴方向的瞬变电场强度值的x分量值比较接近.如在远源区沿x轴方向的7 m处，圆形回线源在偶极源假设下和点电荷源假设下产生的电场值的x分量值分别为1.48×10^-6，1.50×10^-6，两者的误差为0.7%.因此在远源区，两者具有等效性.

在点电荷源和磁偶源假设下在近区沿x轴方向的瞬变电场强度e_x分量的计算结果如图 5所示.在近源区，电偶极源假设下的沿x轴方向的瞬变电场值与点电荷源假设下计算出的瞬变电场值相比，偏差很大.数值分析结果表明：沿y轴方向的瞬变电场值的情况也类似.如在近源区沿y轴方向的2.5 m处，圆形回线源在偶极源假设下和点电荷源假设下产生的电场值x分量值分别为3.80×10^-4，4.70×10^-4，两者的误差为10.5%.

图 5

Fig. 5

图 5 圆形回线源沿x轴方向的近区的电场值 Fig. 5 Electric field value about circular loop source on the x axis in the near zone

对于圆形回线源在点电荷源(直接方法)和偶极源(间接方法)的两种假设，在近区沿z轴方向的总瞬变电场强度的Z分量的计算结果如图 6所示.无论是磁偶源还是点电荷源，在源中心点处都可以推导出精确响应，这是与圆回线在中心点的解析解有关，因此在中心点二者是重合的.随着z的变大，二者差别越来越大，在源尺寸处达到最大，因此，在近源区，磁偶极子近似不满足.

图 6

Fig. 6

图 6 圆形回线源沿z轴方向的近区的电场值 Fig. 6 Electric field value about circular loop source on the z axis in the near zone

在点电荷源和间接方法两种不同假设情况下，在远区沿z轴方向的总瞬变电场强度的X分量的计算结果如图 7所示.随着距离的进一步增大，都属于烟圈扩散，二者的差别越来越小.

图 7

Fig. 7

图 7 圆形回线源沿z轴方向的远区的电场值 Fig. 7 Electric field value about circular loop source on the z axis in the far zone

综上所述，圆形回线源在点电荷源和电偶极源假设下沿x轴、y轴和间接方法沿z轴方向的瞬变电场在近源区具有较大的场值差别，偶极子近似不再成立，随着距离的逐渐增大，在远区，误差变小.

均匀半空间上，对于远源区，圆形回线源在点电荷源的和电偶极源假设下的间接方法计算出的总电场强度分量值比较接近，两者具有等效性.但在近源区，电偶极源假设下间接方法的计算结果与点电荷源假设下的电场值相比，偏差很大.因此对于近源区而言，圆形回线源在点电荷源和电偶极源假设下的计算结果具有较大的场值差别，偶极子近似不再成立.对于z轴方向空中场，我们的直接方法与文献(李貅，2002)中的间接方法的比较与分析是以往文献中没有涉及的，本文给出的点电荷源假设下的均匀半空间瞬变电磁场直接时域解析式为瞬变电磁场的高精度探测和全源区探测提供了理论依据.