0 引言

地层各向异性的特征分析一直是地球物理领域内十分重要的课题(Ellefsen, 1990；Schmitt, 1989；White and Tongtaow, 1981；Xu et al., 2018a, 2018b; Zhang et al., 1994, 1995; 杜启振等，2015；胡恒山和何晓，2009；李希强等，2013；刘金霞等，2012；王瑞甲等，2013；王瑞甲和乔文孝，2015；许松等, 2014, 2015；张碧星和王克协，1998).近年来，随着非常规页岩油气勘探开发的进一步深入，储层的各向异性(尤其是横向各向同性)评价变得尤为重要(Sinha et al., 2014; 邹才能等，2014).直接深入储层内部的井下声波测量可以提供地层各向异性的第一手证据，并对地层各向异性特征进行描述(He and Hu, 2009；He et al., 2010；Tang and Cheng, 2004；Tang, 2003；Tang and Patterson, 2004；Xu et al., 2017, 2018a, 2018b).然而，对于大多数的直井情况而言，声波测井可以测量到沿垂直方向传播的声波速度信息，而不能直接获得水平方向的声波传播特征，因此，如何利用测井资料处理的手段进行储层各向异性评价就变得十分重要(Tang and Cheng, 2004).

Tang(2003)提出一种利用单极子斯通利波反演地层各向异性的方法，其研究表明，斯通利波在低频区间对沿地层各向同性面内方向的横波传播速度(或对应的剪切模量C₆₆)具有较高的灵敏度，该现象在慢速地层更为明显.据此，采用频谱加权平均慢度关系可以对地层的水平横波速度进行反演，进而得到地层的水平各向异性，实际处理表明该方法具有很好的应用效果；同时Tang和Cheng(2004)指出该方法存在两个不足：①该方法主要适用于慢速地层中，这种情况下斯通利波对水平横波速度具有较高的灵敏度.然而，对于快速地层情况，斯通利波对横波速度的灵敏度下降甚至消失，导致计算的结果具有较大的误差，甚至得到错误的结果；②应用该方法在慢速地层处理时需输入地层垂直方向的剪切模量C₄₄，然而偶极弯曲波在慢速地层传播时会发生明显的频散效应，导致直接测量到的模量参数与真实值存在一定的误差，需要首先对其进行频散校正后才可使用(Tang et al., 2010).

针对斯通利波在快速地层反演灵敏度较低的情况，Xu等(2017)提出了一种利用偶极弯曲波反演地层各向异性的方法.其理论分析表明，快速地层情况时偶极弯曲波对水平向横波速度仍具有较高的灵敏度；与此同时，低频时偶极弯曲波对垂直方向传播横波速度也具有很高的灵敏度.据此，提出了一种利用全频偶极弯曲波反演地层各向异性的方法，可以同时得到地层的垂向横波速度和各向异性大小.

本文提出一种利用单极子斯通利波和偶极子弯曲波相互结合的联合反演地层各向异性的方法.理论分析了各向异性地层单极和偶极子波对不同参数的灵敏度，提出了一种仪器联合标定的方法来排除井内仪器和流体参数对反演的影响，在此基础上采用斯通利波和弯曲波联合反演的方式获取地层的横波速度和各向异性大小.数值模拟和实际处理结果表明，该方法可以有效地改善传统方法在各向异性求解过程中的不足，并可以准确地提取地层横波速度.

1 理论分析

VTI介质的弹性特征通常由五个弹性系数表示(Tang and Cheng, 2004)，Xu等(2017)利用Thomsen(1986)经典各向异性测量数据验证了安妮(ANNIE)近似模型(Schoenberg et al., 1996)的适用性，最终将五个弹性系数简化为三个，由此给出了各向异性井孔单极和偶极振型的频散方程：

(1)

式中，n代表n阶声源；k和ω分别代表波数和角频率；ψ表示地层和井孔的纵波速度、密度及尺寸参数；T表示等效仪器参数(Tang and Cheng, 2004; Su et al., 2011)；v_SV和v_SH分别表示沿地层垂直方向传播和水平方向传播的横波速度，由两者可进一步确定地层各向异性的大小(Tang and Cheng, 2004)：

(2)

式中，C₆₆和C₄₄分别表示与横波传播相关的弹性系数.由(2)式可知，要对地层各向异性进行评价，首先要获得准确的地层横波速度：v_SH不能直接测量到，需要对数据进行处理获得；v_SV通常由测井直接测得，但由于频散效应，需要对其进行校正处理.

通过求解频散方程(1)可进一步得到各向异性地层情况下不同声波振型速度或慢度随频率的变化规律：

(3)

在井中导波传播理论分析时，许多参数可以影响波的传播特征.灵敏度分析是讨论每个参数对波传播影响程度的常用手段，其定义如下：

(4)

式中，e^Sens代表相速度V_phase对参数e的灵敏度大小.由能量守恒原理可知，不同参数灵敏度的总和等于1.由于各向异性地层导波传播涉及的参数较多，灵敏度分析更显的十分重要，通过灵敏度分析可以探究不同频率下参数对波传播的影响程度，进而可以确定主控因素.

在井孔多模式波的频散和灵敏度特征分析过程中必须考虑实际声波仪器的影响(Tang and Cheng, 2004; Su et al., 2011).以慢速地层为例，图 1给出了各向异性地层的单极和偶极声波频散特征，模拟时具体参数见表 1.图 1a和1b分别代表慢速地层情况下斯通利波和弯曲波的频散特征.灰线代表考虑仪器影响的结果，黑线代表未考虑仪器结果；通过对比表明，无论是斯通利波还是弯曲波，灰线和黑线的计算结果有明显的差异，表明在理论分析和实际处理时，必须考虑井内仪器对声波传播特征的影响.

采用公式(4)考察各向异性地层参数的灵敏度，模拟时考虑仪器的影响，等效仪器的半径和模量分别取值为0.045 m和130 GPa；模拟时地层各向异性为20%，其他参数详见表 1.图 2和图 3分别代表慢速地层和快速地层的模拟结果，(a)和(b)分别表示单极子斯通利波和偶极子弯曲波灵敏度分析结果.从慢速地层的模拟结果中可以看出，斯通利波在低频段时(< 3 kHz)对水平向横波速度v_SH具有很高的灵敏度(在40%附近)，此处的高灵敏度现象正是斯通利波反演地层水平横波速度或各向异性的理论依据(图 2a)；对于慢速地层偶极子弯曲波而言(图 2b)，在高频部分(>3 kHz)对v_SH也具有一定的灵敏度(大于20%)，达到了参数反演的要求.区别于慢速地层，图 3a快速地层情况的斯通利波对v_SH的灵敏度急剧下降(≤10%)；值得注意的是，快速地层偶极子弯曲波对v_SH的灵敏度在一定频段内(3.5~4.5 kHz)具有一个峰值；在该频段内，其灵敏度峰值要高于20%，该现象证明了快速地层偶极数据可以用于地层各向异性的反演.

由于弹性波在地层中传播时速度会产生频散，导致实际测井测量到的垂向横波速度大小要小于实际地层横波速度，这给地层各向异性反演带来了不确定性.图 2和图 3给出了垂向横波速度v_SV的灵敏度结果，从中不难看出，无论是快速地层还是慢速地层，偶极子弯曲波的低频部分(截止频率附近)对v_SV具有很高的灵敏度(接近100%).基于该理论结果，Xu等(2017)在利用偶极数据反演地层各向异性的同时，也考虑了不同垂向横波速度的影响，提出了一种同时确定各向异性和垂向速度大小的方法.此外，本文还考察了等效仪器以及流体速度的影响.从结果中不难发现，模式波对等效仪器的半径和流体速度参数也有一定的灵敏度，尤其是快速地层情况时，斯通利波和弯曲波对流体速度具有很高的灵敏度，表明在各向异性反演过程时还需考虑其他参数对计算结果的影响.

从理论分析结果中不难看出，不同类型的模式波(斯通利波和弯曲波)在反演地层各向异性时各具优势，若将两者结合起来可以达到互补的作用.具体而言，采用斯通利波和弯曲波联合反演的方式，在快速地层情况时，可以保留弯曲波对v_SH(或各向异性)反演的高灵敏度的优势，弥补斯通利波在快速地层v_SH灵敏度低的不足；在慢速地层情况时，在保留斯通利波对v_SH的高灵敏度优势的同时，还可以利用弯曲波对v_SV的高灵敏度来消除地层横波速度频散对各向异性反演带来的不确定性.

2 反演方法和数值验证 2.1 仪器联合标定

第1节理论分析表明，在进行地层各向异性反演之前，首先要排除井孔仪器的影响.值得注意的是，区别于以往只考虑单一声波模式下井孔仪器对波传播的影响，本文采用多模式联合反演的方法，在考虑实际仪器的影响时，需同时满足井孔多模式波的条件.基于此，本文提出一种仪器联合标定的方法.

由于等效仪器半径和流体速度的灵敏度很高，而等效仪器模量的灵敏度较低，因此，在仪器联合标定的过程中，我们重点考虑仪器半径和流体速度参数.采用理论频散曲线V_theory与实际测井数据V_data拟合的方法，使仪器标定的目标函数值最小.

(5)

式中，标定频域区间Ω_ST^T与Ω_FL^T分别代表单极子斯通利波与偶极子弯曲波处理的频段范围；该目标函数包含两部分：一部分是给定频率范围Ω_ST^T内理论计算斯通利波频散数据和被拟合数据的均方差和；另一部分是频率范围Ω_FL^T理论计算弯曲波频散数据和被拟合数据的均方差和；通过调节加权因子λ^T来控制斯通利波和弯曲波的相对贡献大小.

接下来，我们对公式(5)进行数值验证.由于实际声波测井仪器十分复杂，通常采用有限差分的方法进行数值模拟，该方法可以一定程度上还原实际测量环境中仪器隔声装置、电子线路和泥浆等复杂环境对声波传播的影响.为了进一步还原实际测量环境，采用一多极子(单极和偶极)声波仪器的实际测量结果进行验证.

该数据为一均匀快速地层的测量结果，分别对单极和偶极测量波形数据进行频散提取，得到该数据点斯通利波和弯曲波的频散数据，如图 4a中圆圈点所示，值得注意的是，该频散数据中包含了仪器对单极和偶极声源频散的影响.采用公式(5)对该数据进行理论计算，该点的地层速度、密度和井孔尺寸等参数已知，频率区间分别取Ω_ST^T=1~3 kHz和Ω_FL^T=3~6 kHz，加权因子λ^T=0.2，结果如图 4b所示，为了方便对比，将结果进行了归一化处理.从模拟结果中可以看出，目标函数不存在反演的多解性问题，采用最小化算法找到唯一解为v_f=1520 m·s^-1，a=0.0225 m.利用反演的结果理论计算频散曲线，结果如图 4a中实线所示，与实际数据吻合很好，证明了该方法的正确性.

为了进一步理解该方法，将公式(5)中单极子斯通利波和偶极子弯曲波两部分单独计算，结果分别如图 5a和5b所示，图中一个显著的特征是两个目标函数在真值(v_f=1520 m·s^-1，a=0.0225 m)附近不能成为一个收敛的解，而是出现一个狭长的“山谷”状极小值带穿过真值，沿着山谷内的目标函数并没有明显的差异，换言之，在“山谷”区域内任取一个(v_f, a)都可以分别得到与模型数据拟合很好的理论解，表明单独考虑单极子斯通利波或偶极子弯曲波情况时结果具有多解性；此外，值得注意的是，对比图 5a和5b中两个狭长“山谷”带，不难发现两者存在一定的差异：图 5a中“山谷”的斜率要大于图 5b，表明斯通利波对于井内流体的灵敏度更高，该现象与图 3中的灵敏度分析结论一致，从侧面验证了结果的正确性.

2.2 联合反演方法

以上分析了仪器对单极和偶极模式波的影响，提出了一种仪器联合标定的方法来消除仪器的影响.在此基础上，我们对地层的各向异性进行反演.类似于仪器联合标定，联合反演地层各向异性的目标函数如下：

(6)

其中，目标函数E为地层垂直向横波慢度S_SV和各向异性系数γ的函数；V_theory和V_data分别表示理论频散曲线与被拟合频散数据；Ω_ST和Ω_FL分别代表斯通利波和弯曲波的各向异性反演处理频段；λ为加权因子.

采用数值模拟的方式检验联合反演方法，仍采用仪器联合标定数据的参数.假设地层存在20%的各向异性，通过理论计算波形，对波形提取频散数据，结果如图 6a中的方块点所示，为了更加清楚地显示，采用慢速的方式；作为对比，给出了地层各向异性为0时的理论频散曲线(图 6a中黑虚线)，值得注意的是，黑虚线的解与图 4a中黑实线相互对应.从结果中可以看出，地层存在各向异性会影响频散曲线特征，这也是我们进行地层各向异性反演的理论依据.采用联合反演目标函数(公式(6))对图 6a中方块点数据进行求解，计算时频率区间分别取Ω_ST=1~4 kHz和Ω_FL=3~6 kHz，加权因子λ=5.0；图 6b给出了目标函数E(S_SV, γ)的变密度显示，可以看出结果中存在唯一的最小值，DTS_SV=382.02 μs·m^-1和γ=0.2021.根据反演参数理论计算频散曲线，结果在图 6a中黑实线给出，与提取的频散数据(方块点)拟合很好.

为了进一步验证反演结果的可靠性，本文给出了一种反演结果质量监控的方法，具体表达式如下：

(7)

式中，Q代表质量监控参数；N为频率区间Ω数据点数；S_SV^*和γ^*分别代表反演的结果；V_theory^ST(FL)和V_data^ST(FL)分别代表理论计算和实际提取的频散数据.该质量监控参数实际上就是区间内理论解和实际值相对误差的平均值.对于该点的反演结果，其质量监控结果分别为0.83%(斯通利波)和0.68%(弯曲波)，表明反演结果是可靠的.

3 应用实例

接下来利用一慢速地层现场实例来验证本文方法的有效性.首先利用仪器联合标定的方法确定该井段等效仪器参数分别为a=0.046 m，v_f=1452 m·s^-1和M_T=6.0425×10¹⁰GPa.处理结果表明，在全井段范围内都存在明显的VTI各向异性.为了更加清楚地显示该各向异性的特征，图 7给出其中20 m井段的各向异性分析结果.

图中第1道给出自然伽马和井径曲线，从井径曲线可知该井段井眼条件较好.采用单极和偶极子阵列声波仪器采集到了高质量的单极子和偶极子阵列波形数据，图中第2和3道分别给出斯通利波和弯曲波波形的变密度显示.对波形数据进行频散提取，得到不同深度上斯通利波和弯曲波的频散数据，分别在第4和5道中以红点表示.采用本文联合反演的方法，斯通利波和弯曲波的处理井段分别为0.5~2.0 kHz和1.0~3.0 kHz，处理时加权因子取值λ=0.85，井段各向异性和垂向横波慢度处理结果分别在第6和7道中给出.作为对比，第7道中给出了传统时间慢速相关法处理(STC(Slowness-Time-Coherence), 见Kimball and Marzetta, 1984)所得慢度(第7道中黑虚线)，通过对比发现传统方法处理的横波慢速要大于本文结果，这是由于波在地层中传播时发生了频散现象，使得传统处理结果要大于地层真实慢度，而本文方法则相对更为接近地层真实慢速值，因此，传统方法结果要大于本文结果，该现象与之前的理论分析结论是一致的.为了进一步验证本文处理结果的正确性，利用处理的参数对不同深度上的频散曲线进行理论计算，结果在图中第4和第5道中以黑实线给出.通过对比发现，理论结果和实际数据吻合很好，证明了处理结果的正确性，进一步，第8道给出了理论频散和实际数据之间的相对误差，橙色填充部分和绿色填充部分分别表示斯通利波和弯曲波反演的相对误差，从结果中可以看出，该井段误差值大约在2%~4%之间，表明反演结果是可靠的，这为本文方法提供了一种质量监控手段.

为了进一步验证本文方法，选取一深度点X722m进行单点分析.该深度点的单极和偶极波形分别在图 8a和8b中给出，分别对阵列波形曲线进行频散提取，所得频散数据在图 8c中以圆圈点给出；利用该点参数进行联合反演，所得结果如图 8d所示，作为对比，本文还给出了分别利用斯通利波和弯曲波进行反演的结果，如图 8e和8f所示.通过对比可知，只采用斯通利波进行反演所得的目标函数结果存在非唯一性问题，在真值(DTS_SV=694.72 μs·m^-1和γ=0.2551)周围未形成一个收敛的极小值解，由之前的灵敏度分析可知，该现象是由于斯通利波对地层垂向横波速度灵敏度较低的缘故；相对而言，只采用弯曲波数据的反演结果具有收敛性，表明采用偶极可以得到地层的各向异性和垂向横波速度.值得注意的是，尽管由于斯通利波对地层垂向横波速度不敏感，在地层慢度一定时(图 8e和图 8f结果中横向黑色虚线)，图 8e中地层各向异性结果的发散程度要小于图 8f结果，这表明在慢速地层中斯通利波对地层各向异性(或水平向横波速度)的灵敏度要高于弯曲波.通过结合斯通利波和弯曲波，采用本文联合反演的方法所得结果(图 8d)在图 8e的基础上进一步收敛，表明本文方法要优于单独采用斯通利波或弯曲波的反演方法.采用反演结果理论计算频散曲线(图 8c)与实际结果吻合证明结果的可靠性.进一步，采用传统STC方法对弯曲波波形进行慢度提取，由于频散效应，我们在处理时尽量将频率处理区间选在低频区域，该点处理频段为0.014~2.125 kHz，结果如图 8g所示，对比表明尽管将处理频率选在较低的区间，传统处理的慢度结果与实际地层慢度仍有差距，而本文处理结果与地层真实慢度吻合，这证明了联合反演的方法在得到地层各向异性参数的同时，还可以得到地层准确的横波慢度.

4 结论

本文提出了一种单极和偶极振型联合反演地层各向异性的方法，利用单极斯通利波和偶极弯曲波数据进行联合，最终可得到高精度的地层横波速度和横波各向异性参数.理论分析表明，相比于单一的单极和偶极处理方法，本文方法处理结果的精度在原有方法的基础上得到了进一步提高.应用本文方法对理论和实际声波测井数据进行了处理：理论数据的处理验证了该方法的正确性和适用性；对现场数据的处理进一步验证了该方法的有效性.处理结果表明：本文方法可以有效地提取地层各向异性信息，同时得到了高精度的地层横波速度.

致谢  感谢两位匿名审稿专家和编辑提出的宝贵的意见和建设性建议，对本文的修改和提高很有助益.