岩石是一种含有孔隙的固相集合体.岩石固相(也称为“矿物基质”,后面简称为“基质”)一般是由两种或两种以上的矿物组成,例如砂岩基质包含石英、长石、岩屑、黏土矿物(如高岭石、绿泥石、蒙脱石、伊利石及其混层等)等;岩石孔隙包含孔隙性、裂缝性或者孔隙-裂缝性的孔隙,例如孔隙性圆形管、裂缝性椭圆形管以及复合型孔隙(Bernabé,1995)等.岩石基质和孔隙的多样性使得用于描述与评价岩石渗透率的有效应力方程(式1)也呈现出多样性.
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其中,peff、pc和pf分别是有效应力、围压和孔隙流体压力,单位MPa;κ是有效应力系数,无因次.有效应力方程的多样性具体表现为有效应力系数的多样性,正如实验所观察到的不同类型岩石κ值的变化特征:对于含有易于压缩矿物(如黏土矿物,不同于石英等不易变形的矿物)的孔隙性(即孔隙表现为圆形管束孔的特征)岩石,κ为常数,且大于1.0(甚至高达7.1)(Zoback and Byerlee, 1975;Nur et al., 1980;Al-Wardy and Zimmerman, 2004);对于未含有易于压缩矿物的孔隙性岩石,κ为小于1.0的常数(最小值是0.43)(Nur et al., 1980),而不含有易于压缩矿物裂缝性岩石的κ是围压和孔隙流体压力的函数,变化范围是[ϕ,1.0](ϕ是孔隙度,小数) (Warpinski and Teufel, 1992;肖文联等,2013;Li et al., 2014);此外,含易于压缩矿物的裂缝性岩石κ大于1.0,且随围压和孔隙流体压力的变化而变化(Ghabezloo et al., 2009;Xiao et al., 2015).
为了解释有效应力系数的多样性,研究者们(Zoback and Byerlee, 1975;Al-Wardy and Zimmerman, 2004;Bernabé,1986)从岩石基质组成和孔隙类型入手提出了概念模型(如图 1),以及推导并分析了对应的理论模型.正如图 2所示黏土矿物与岩石基质间的接触关系,Zoback和Byerlee(1975)和Al-Wardy和Zimmerman(2004)提出了黏土矿物壳状孔隙性模型(图 1a,“1”、“2”、“3”分别代表不易压缩的岩石基质、黏土矿物和孔隙);在此基础上,Al-Wardy和Zimmerman(2004)推导与分析理论模型发现有效应力系数在一定的孔隙度ϕ、黏土含量fc和硬度比γ(即岩石弹性模量E2与黏土矿物弹性模量E1之比,γ=E2/E1)时为常数,随fc和γ的增大而增大,其值大于甚至远大于1.0;当不存在黏土矿物影响(即图 1a中不存在组分“2”或者组分“2”与“1”的性质一样)时,有效应力系数为小于1.0的常数,这解释了孔隙性岩石有效应力系数的线性特征(即不含黏土矿物时κ为小于1.0的常数(Nur et al., 1980),含黏土矿物时κ为大于1.0的常数(Zoback and Byerlee, 1975;Nur et al., 1980;Al-Wardy and Zimmerman,2004)).基于图 1b所示的椭圆模型(“1”、“2”分别代表岩石基质和孔隙)(Bernabé et al., 1982),Bernabé(1986)推导与分析理论模型发现裂缝性岩石有效应力系数κ小于1.0,且是椭圆纵横比ε(椭圆短半轴与长半轴之比,小数)的函数;纵横比ε会随岩石所受围压的增加或孔隙流体压力的降低而减小,即κ也是围压和孔隙流体压力的函数;同时,李闽等(2009)论证到此时有效应力系数的下限值为孔隙度,得到κ的变化范围是[ϕ,1.0],这为其实验结果(Warpinski and Teufel, 1992;李闽等,2009;肖文联等,2013;Li et al., 2014;Bernabé,1986)的解释提供了依据.可见,孔隙性岩石有效应力系数是常数(即具有线性特征,对应线性有效应力);而不含黏土矿物裂缝性岩石有效应力系数小于1.0且是应力的函数(即具有非线性特征,对应非线性有效应力);易于压缩矿物的存在(如黏土矿物等)会使得有效应力系数大于1.0.
既然如此,有效应力系数不是常数且大于1.0的情况还没有得到恰当的解释.为此,本文基于椭圆孔隙模型和岩石的矿物组成,提出了双组份椭圆裂缝岩石模型,且结合复变函数和保角变换推导了双组份椭圆裂缝岩石模型有效应力系数的计算式;随后,讨论了岩石的矿物组成、裂缝特征等对有效应力系数的影响,这为含易于压缩组分裂缝岩石的分析提供了理论基础.
1 模型与基本方程基于黏土矿物的分布特征(如图 2)和典型的裂缝孔隙(如图 1b),提出了图 3所示双组份椭圆裂缝岩石模型.岩石基质由易于压缩的黏土矿物(图 3a中标示为“黏土”)和不易压缩的矿物(基质中除了易于压缩的黏土矿物之外的矿物,图 3a中标示为“岩石”)组成,孔隙用椭圆截面孔表征(图 3a).同时,假设模型中的三个椭圆(椭圆的长半轴和短半轴分别见图 3a)共聚焦,其中“岩石环”是最外椭圆与中间椭圆的交集部分,“黏土环”是中间椭圆与最内椭圆的交集部分,最内椭圆是孔隙;“岩石环”和“黏土环”都是均匀、各向同性的弹性体.岩石环外壁受均匀压力(也称为“围压”) pc,黏土环内壁受均匀孔隙流体压力pf,岩石环与黏土环接触边界受均匀压力p.
当获取了任意压力[pc, pf]下内椭圆的长半轴A和短半轴a之后,根据椭圆孔隙渗透率计算式(Bernabé et al., 1982;邓海顺等,2004;肖文联,2009)可得到对应压力状态下岩石的渗透率k:
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式(2)表明渗透率与围压和孔隙流体压力间没有简单的表达式,用响应面方法(肖文联等,2013;Li et al., 2014;Bernabé,1986)分析式(2)确定不同围压和孔隙流体压力下的渗透率,得到渗透率与围压和孔隙流体压力间的函数表达式(式(3)所示,其中λ是box-cox转换系数,a1、a2、a3、a4、a5和a6是拟合系数).再结合式(4)可计算岩石对应压力状态下有效应力系数κ(肖文联等,2013;Bernabé,1986):
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将双组份裂缝岩石模型等效处理为两个独立的椭圆环模型(即图 3b所示岩石环与图 3c所示黏土环).进一步同时将两个椭圆环(以图 3c所示黏土环为例)的应力状态(如图 4a)等效为两个应力状态(如图 4b所示外边界受均匀压力p-pf且内边界受压力为零,和图 4c所示外边界和内边界同时受均匀压力pf)的叠加.
图 4b所受应力下,(x=A, y=0)、(x=0, y=a)和(x=B, y=0)、(x=0, y=b)处的法向位移分别为uA1、ua1和uB1、ub1;图 4c所受力下,(x=A, y=0)、(x=0, y=a)和(x=B, y=0)、(x=0, y=b)处的法向位移分别为uA2、ua2和uB2、ub2.根据叠加原理,黏土环内外壁(x=A, y=0)、(x=0, y=a)和(x=B, y=0)、(x=0, y=b)处的法向位移分别为uA= uA1+ uA2、ua=ua1+ua2和uB=uB1+uB2、ub=ub1+ub2.假设零应力状态下内椭圆环(黏土环内壁)的长半轴和短半轴分别是A0和a0,那么任意压力(pc, pf)下的长半轴A和短半轴a分别是
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图 4a中外椭圆和内椭圆共聚焦,于是椭圆的长半轴和短半轴满足以下方程:
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假设图 4a黏土环区域为S且位于复平面z,用保角变换可转化为平面ξ上区域为∑={ζ|α1≤ζ≤1}的圆环,对应的映射函数(Muskhelishvili,1977)为
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其中,映射参数R1=(B+b)/2,映射参数λ1=(B+b)/(B-b),内环半径α1=(A+a)/(B+b).弹性黏土环外部和内部均匀受作用力分别是pout=p和pin=pf,因此根据Muskhelishvili理论(1977)可知弹性体在区域Σ上的应力状态取决于复变函数φ(ζ)和ψ(ζ),两个函数满足如下边界条件:
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其中,C是未知常数,θ是极角.进一步整理边界条件, 有
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结合式(10)和式(11),有
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一旦根据式(12)求取了函数φ(ζ),那么结合式(10)或式(12)计算ψ(ζ),于是基于位移公式(13) (徐芝纶,2013)可计算对应应力状态下的位移变化量:
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其中,E1和μ1分别是黏土矿物的弹性模量和泊松比,uρ和uθ分别是径向和环向的位移分量.对于图 4c所示受力状态(pout= pin=pf),根据式(10)—(12), 有
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对于图 4b所示的应力状态(pout=p-pf,pin=0),将式(8)代入式(12),整理后得到
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将式(16)中的φ(ζ)用罗朗级数展开,且图 4b所示弹性体具有几何和受力的对称性(Batisa,1999),有
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其中,系数an为实数.将式(17)带入式(16),对比分析可以得到
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其中,
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从递推关系中可以得到
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其中,
在域Σ内,式(17)所示级数必定收敛(即n→∞时,an和bn都必须趋于0).于是对式(21)两边取极限,得到
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其中,
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联立式(18)和式(23),便可得到a0和b1的表达式,如下:
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于是结合式(21)可计算其他的参数,且L1的确定不必已知an和bn.既然如此,实际计算过程中Dn结构复杂,因此用数值方法计算L1.假设n=N时,L1满足计算精度,则将式(22)带入式(21),有
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计算发现当n>N(N的计算值在30~100之间)时,bn+1=0且an≈λan-1,简化式(17), 有
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其中,
于是结合式(10)得到ψ(ζ)的表达式,如下:
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将φ(ζ)和ψ(ζ)代入位移公式(17)得到黏土环上点A、a和B处的位移计算表达式,如下:
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可以将uB化为
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可以将式(33)写成式(34):
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其中,
对岩石环(图 3b)进行类似处理(岩石环的参数,如映射参数:R2=(C+c)/2,λ2=(C-c)/(C+c),α2=(B+b)/(C+c),w(ζ)=R2(ζ+λ2/ζ);泊松比和弹性模量:μ1→μ2,E1→E2;罗朗级数中的系数:
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其中
由于u′B和uB分别表示岩石环和黏土环在同一点(x=B, y=0)处的位移,于是有u′B=uB.同时,将an和
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基于p的计算式,岩石环外壁点C(x=C, y=0)和点c(x=0, y=c)处的位移公式:
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结合式(5)、(6)、(30)、(31)和(36)可分别计算得到任意压力下黏土环内壁的长半轴和短半轴的长度A和a.同时,假设零应力状态下岩石环外壁长半轴和短半轴分别为C0和c0,那么基于式(39)和(40)可计算得到对应的任意压力下岩石环外壁的C和c:
(39) |
(40) |
基于图 3a,得到该岩石模型的孔隙度ϕ、黏土矿物含量fc和椭圆孔隙截面纵横比ε的计算公式分别是ϕ=Aa/Cc、fc=(Bb-Aa)/(Cc-Aa)和ε=a/A.假设黏土环内椭圆长半轴长度为单位长度(即A=1.0)、岩石泊松比与黏土矿物泊松比相等且为0.25(即μ1=μ2=0.25)(Al-Wardy and Zimmerman, 2004),分别在参数fc(=0、0.05、0.1、0.15和0.2)、ϕ(=0.05和0.15)、γ(=1、5、10、20和50,且E2=40 GPa(Vanorio et al., 2003))和ε(=1.0、0.5和0.2)下,基于前面推导公式可计算任意压力(pf, pc)下的长半轴(A、C)和短半轴(a、c),同时结合式(2)和(3)获取渗透率与围压和孔隙流体压力的关系式,进而基于式(4)计算岩石的有效应力系κ.
当纵横比ε=1.0(即为双组份孔隙性岩石模型,如图 1a)时,有效应力系数κ(图 5)随硬度比γ和黏土矿物含量fc的增大而增大,甚至会远大于1.0;当fc越大时,κ随γ的线性增加更显著;当ϕ、fc和γ一定时(即为一特定的孔隙性岩石),有效应力系数为一常数,这与Al-Wardy和Zimmerman(2004)相同理论模型的计算结果一致.与此同时,当fc=0时,κ小于1.0,随孔隙度的增大而略有增大;但当fc大于零时,κ大于1.0,随孔隙度的增大而减小,这说明(结合有效应力系数计算式(4))岩石中存在易于压缩的黏土矿物时,孔隙流体压力对渗透率的相对影响程度增加了,然而在黏土矿物含量相同时孔隙空间(孔隙度)的增大降低了孔隙流体压力对渗透率的相对影响程度.
对于双组份裂缝岩石模型,当fc=0时(类似于图 1b所示模型),有效应力系数κ随着纵横比ε的减小而增大,其最大值不超过1.0,这与Bernabé(1986)的理论预测值一致.当fc大于0时(即为图 3a所示模型),有效应力系数κ随硬度比γ线性增加(如图 6和图 7),而随fc的增加而减小——这与双组份孔隙性岩石模型计算结果(图 5和图 7)的变化趋势相反;在ε越小且γ越大时增加fc引起有效应力系数的减小幅度更大(如图 7),原因是黏土矿物含量增加使得岩石更容易在围压的作用下变形,进而导致渗透率受围压的影响程度相对增加.此外,黏土矿物含量fc的增加和孔隙度ϕ的减小都将减弱ε对κ的影响;然而,一般来说岩石中裂缝的孔隙度相对较小(Nelson,2001),裂缝孔隙度对κ的影响也就会相对较小.因此,双组份椭圆裂缝岩石模型的有效应力系数κ主要受硬度比、纵横比和黏土矿物含量的影响;黏土矿物含量较低、硬度比较大时,κ受纵横比的影响较大,而黏土矿物含量较高时,κ受纵横比的影响将会减小,这为随压力变化的有效应力系数实验值的解释提供了理论依据.Zhao等(2011)实验砂岩的ϕ与fc的变化范围分别是(0.10, 0.14)和(15%, 20%),其κ变化范围主要落在(1.0, 10);基于Vanorio等(2003)和Mavko等(2009)关于硬度比的研究成果(γ最大值为25),对比分析发现双组份椭圆裂缝模型计算值(图 6—图 7)可涵盖了Zhao等(2011)的实验值,说明本文的研究成果使非线性有效应力的解释成为了可能.尽管如此,这方面仍需要进一步结合所研究岩石的孔隙特征、矿物组成及其力学性质开展更深入的研究工作.
此外,双组份椭圆裂缝岩石模型计算结果还表明,除了易于压缩的黏土矿物之外,只要岩石孔隙中存在易于压缩的组份,例如岩心制备过程中未完全清除的易于压缩的烃类物,那么当用性质不同的流体测定的有效应力系数就将会呈现出大于1.0且随压力变化而变化的现象.甚至是对于仅含黏土矿物的岩石,当用不同的流体(如气体、蒸馏水或者地层水)测定的有效应力系数也将会表现出不同变化特征的有效应力系数(Xiao et al., 2015).因此,任何易于压缩组份和裂缝的存在都会使得有效应力系数表现出复杂的变化特征,实验测定岩石有效应力系数时需要排除主观因素引起的误差.
4 结论(1) 提出了含黏土矿物裂缝岩石概念模型——双组份椭圆裂缝模型,且借助复变函数和保角变换得到了该模型渗透率随围压和孔隙流体压力的计算表达式.
(2) 当纵横比等于1.0时,有效应力系数为常数,随黏土矿物含量和硬度比的增大而增大,甚至远大于1.0,这与Al-Wardy和Zimmerman(2004)的计算结果一致;当不含黏土矿物时,有效应力系数随孔隙度的增大而增大,而存在黏土矿物时有效应力系数随孔隙度的增大而减小.
(3) 当不含黏土矿物时,有效应力系数随纵横比的减小而增大,其最大值不超过1.0,这与Bernabé (1986)的理论预测值一致.
(4) 双组份椭圆裂缝模型的有效应力系数不是常数,表现出了明显的非线性特征;有效应力系数随硬度比的增大而线性增加,随黏土矿物含量的增大而减小;纵横比对有效应力系数的影响受黏土矿物含量高低的影响,这为解释有效应力系数大于1.0且随围压和孔隙流体压力变化的实验结果提供了依据.
(5) 实验测定岩石有效应力系数时需要排除样品制备、测试流体选择等过程中存在的主观因素引起的误差.
致谢 美国麻省理工学院Yves Bernabé在模型求解与分析过程中给予了中肯的建议与意见,在此表示感谢!同时,感谢评审专家给予文章的宝贵建议和意见!
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