2018, Vol. 61
2. 长江大学地球物理与石油资源学院, 武汉 430100;
3. 中国地质大学(武汉)地球物理与空间信息学院, 武汉 430074;
4. 中国地质科学院地球物理地球化学勘查研究所, 河北廊坊 065000;
5. 中国地质大学(武汉)资源学院, 武汉 430074
2. College of Geophysics and Petroleum Resources, Yangtze University, Wuhan 430100, China;
3. Institute of Geophysics & Geomatics, China University of Geosciences, Wuhan 430074, China;
4. Institute of Geophysical and Geochemical Exploration, Chinese Academy of Geological Sciences, Hebei Langfang 065000, China;
5. Faculty of Earth Resource, China University of Geosciences, Wuhan 430074, China
实际地球介质中包含不同尺度的非均匀性，但在传统的地球圈层结构、石油天然气储层、金属矿床、水文和工程勘探等研究中，为了降低研究的复杂程度，往往将地球介质简化为一系列均匀介质.随着各个领域研究的深入，基于均匀介质的研究已不能满足现代研究的需求.介质中的小尺度非均匀性与岩石孔隙度、粒序、裂隙、岩性等的空间变化密切相关，在介质物性分析、流体运移模拟等方面具有重要意义.介质的小尺度非均匀性在实际地震记录或探地雷达数据中通常表现为大量的不相干扰动，研究这些不相干扰动与观测数据之间的关系，是进行地质解释的前提与依据.随机介质模型理论可以灵活、快速的构建不同空间连续性的模型，为介质不同尺度非均匀性的研究提供了模型基础，目前已经被国内外很多地质及地球物理学家研究和应用，并取得了丰硕的研究成果.
Frankel和Clayton(1984)首先提出了二维各方向自相关长度相等的随机介质建模方法，并研究了其波场特征；Ikelle等(1993)提出了水平方向和垂直方向上具有不同自相关长度的二维平稳随机介质模型的建模方法，并利用二维弹性随机介质模型的有限差分波场模拟方法，研究了小尺度非均匀性产生的地震波响应特征.之后，混合随机介质模型(奚先和姚姚, 2002)，非平稳随机介质模型(奚先和姚姚, 2005)，随机孔隙介质模型(奚先等, 2005)的建模方法被先后提出，并应用于地球介质小尺度非均匀性对地震波场传播特征影响的研究中，总结了不同随机介质参数与直达波、散射波和反射波的振幅、能量、频率等波场特征之间的关系(奚先和姚姚, 2004; 李灿苹和刘学伟, 2009; L′Heureux et al., 2009; 殷学鑫和刘洋, 2011; 韩颜颜等, 2015).随机介质模型能够很好地描述很多特殊地球介质中的小尺度非均匀性，并用于研究该类介质中地震波传播、散射及成像特征，如孔洞介质(吴俊峰等, 2007; Liu et al., 2010, 2011)，裂缝介质(Zeng et al., 2004)，水平薄互层介质(郭乃川等, 2012)，玄武岩分层介质(Nelson et al., 2015)，复杂山地介质(孙章庆等, 2016)，近地表非均匀介质层(陈波等, 2016)等.随机介质模型同样被应用于工程物探领域，用来探索小尺度非均匀性对探地雷达波场的影响(Jiang et al., 2013; 郭士礼等, 2015; 冯德山和王珣, 2016).除了为理论研究提供模型基础外，随机介质模型还被应用于实际数据的处理和解释.Frenje和Juhlin(1998, 2000)对比分析了实际地震记录和合成地震记录之间的不同及其产生的原因，并提出了由VSP数据定量估计地震衰减的方法.Irving等(2009)，Scholer等(2010)，顾元等(2014)尝试利用随机介质理论从实际数据(探地雷达数据、叠后地震数据)中估计随机介质参数.吴何珍等(2008)，赵迎月等(2013)利用随机介质模型对复杂岩性储层进行了非均质性描述.目前，随机介质相关理论和算法已被扩展并应用到三维平稳及非平稳随机介质建模，三维随机孔洞介质建模，地震或探地雷达数据的随机介质参数估计，三维小尺度非均匀性波场模拟等领域(陈可洋, 2009; 顾元, 2013).
由此可见，随机介质模型已经在地质及地球物理研究中发挥着重要作用，但目前基于随机介质模型的相关研究多数是建立在平稳随机介质模型的基础上，而实际地球介质可能存在结构参数随空间变化等更复杂的情况.目前广泛应用的基于谱分解定理的随机介质建模方法存在构建非平稳随机介质模型效率低、随机数与模型之间不存在直观的空间对应关系等问题，限制了随机介质模型在工程、石油、水文、地质等领域更广泛的应用.因此，研究更加灵活的建模方法是必要的.
快速傅里叶变换滑动平均方法(FFT-MA)提供了一种在空间域产生随机数的建模方法(Le Ravalec et al., 2000).该方法是滑动平均方法(Moving Average, MA)在频率域的实现，可以构建满足指定空间相关关系的模型，比MA具有更高的建模效率.该方法提出后，主要在石油工程领域被用来构建满足生产数据(压力、出油率等)的储层参数模型(Le Ravalec-Dupin et al. 2004; Pourpak et al., 2009; Le Ravalec and Mouche, 2012)；王保丽等(2015)将该方法引入到地震反演中，但仅用于一维基于道的地震反演，水平方向的空间相关性未被考虑；而且相关研究均基于空间平稳分布的假设.本文主要阐述了该方法的基本原理，首次将FFT-MA引入到随机介质建模的研究中，并提出了基于FFT-MA的非平稳随机介质建模方法.与传统基于谱分解定理的随机介质建模方法相比，该方法在大模型分区域建模、模型局部修改及非平稳随机介质建模方面具有明显的优越性，为基于随机介质的相关研究提供模型基础，有利于进一步推动随机介质模型在地震波场模拟、工程和石油勘探等领域的应用.
1 平稳随机介质建模我们将地球介质(m(x, y, z))的非均匀性分为大、小两种尺度.大尺度的非均匀性(m0(x, y, z))描述介质的平均特性，即传统意义上的地质模型，是可以通过观测数据用确定性方法表示的部分.而小尺度的非均匀性(δm(x, y, z))是加在上述平均值上的随机扰动，是非均匀介质中细小又不能忽略的部分，通常使用一个均值为零的空间随机过程表示，如
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(1) |
介质的小尺度非均匀性超出了地球物理数据分辨率的范围，以随机扰动的方式记录在地震或其他地球物理数据中，用传统的确定性方法难以准确描述，但统计学方法为小尺度非均质性的描述提供了可行方法.当介质的小尺度非均匀性的空间统计特征不随空间位置的变化而变化时，即认为该模型为平稳随机介质模型.此时，仅用少量几个统计量(空间自相关函数类型、自相关长度、自相关角度、标准差)便可以描述.其中，自相关长度描述了介质属性(速度、密度、介电常数、孔隙度等)在空间上具有相关性的范围，如砂泥岩薄互层的水平自相关长度远远长于垂直自相关长度；自相关角度描述了介质属性展布的方向性，如构造运动使地层倾斜，从而使岩性展布方向与水平面形成了一定的夹角.
1.1 自相关函数自相关函数可以用来表示地球介质中的小尺度非均匀性.一些常用的解析形式如高斯型、指数型等(Frankel and Clayton, 1986)已在研究中广泛使用.奚先和姚姚(2002)对椭圆自相关函数所描述的特点进行了讨论总结，并提出了具有通用性的混合型随机介质模型.二维情况下，该随机介质模型可以通过两个自相关长度(a, b)、自相关角度(θ)和粗糙度因子r表示，其一般表达式为
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其中，Δx，Δz是水平和垂直方向的空间偏移量.r=0，表示高斯类型，r=1，表示指数类型；r由0变为1，模型变得越来越粗糙.
对于三维情况，自相关函数可以通过三个自相关长度a、b、c，三个自相关角度α、β、γ和粗糙度因子r进行描述.其中自相关角度可以通过坐标旋转方式进行考虑(顾元，2013).此时，三维混合型自相关函数表示为
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其中，根据坐标旋转关系，利用旋转矩阵可得：
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快速傅里叶变换滑动平均方法(Fast Fourier Transform Moving Average, FFT-MA)是滑动平均模型(Moving Average, MA)的频率域实现(Le Ravalec et al., 2000)，对于一维、二维及三维问题均适用.滑动平均模型可以将具有0均值、1方差的高斯白噪w转化为满足自相关函数C的(Oliver, 1995)高斯场v，以一维模型为例，其转化关系如公式(5)所示：
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(5) |
此式得到的模型v同样满足均值为0，方差为1的高斯分布.式中，g是自相关函数C的分解：
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将公式(5)变换到频率域为
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其中，V, G和W分别为v, g和w的傅里叶变换，kx表示波数.
根据维纳-辛钦定理，功率谱S是自相关函数C的傅里叶变换，公式(6)变换到频率域为
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(8) |
此时，G(或g)可以通过下式表示为
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(9) |
得到G之后，便可以求得均值为0，方差为1的模型v，然后通过公式(10)，便可以得到均值为m0(x)，方差为σ2的随机介质模型：
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(10) |
因此，基于FFT-MA的平稳随机介质建模方法可以分为以下几步：
(1) 构建符合需求的自相关函数C；
(2) 在模型网格上产生高斯白噪序列w；
(3) 计算w和C的傅里叶变换，分别给出W和功率谱S；
(4) 利用公式(9)由S推导出G；
(5) G和W相乘得到模型的频率域实现V；
(6) 计算V的反傅里叶变换，得到空间域模型实现v；
(7) 依据公式(10)，加上均值m0(x, y, z)和扰动标准差σ(x, y, z)，得到满足指定均值、标准差和自相关函数的平稳随机介质模型.
1.3 与基于谱分解定理的建模方法对比基于谱分解定理的随机介质建模方法的基本步骤为：先构建符合建模要求的自相关函数，并求其傅里叶变换；根据Wiener-Khintchine定理得到随机介质的振幅谱，加入随机值域在(0, 2π)内的随机相位后做傅里叶反变换，得到随机扰动模型；规范化后并加入均值和标准差即可得到符合要求的随机介质模型(Ikelle et al., 1993).由于随机数作为模型的相位谱，因此，所建的模型与随机数之间不存在空间上的对应关系.基于FFT-MA的建模方法在空间域产生随机数，这使得随机数与结构参数(自相关长度、自相关角度、粗糙度因子等)分离，模型可以与相同位置的随机数直接相关联.因此，建模过程中，整个模拟可以被划分为一些小的区域，每个小区域独立进行建模，然后组合在一起获得完整模型，为了保证相邻子区域的空间连续性，只需建模时包含自相关长度影响范围内(两倍以上的自相关长度)的随机数.图 1对子区域建模策略进行了说明.图中黑色实线表示要构建的随机介质模型区域，黑色虚线是高斯白噪区域，为了保证模型边界上节点属性的空间分布满足需要的结构参数，高斯白噪的区域需要大于模型区域；该模型被划分为12个子区域，每个子区域单独建模.图中灰色和黑色点线分别表示用来构建第5和第6个子区域的高斯白噪区域，它们均包含模型子区域外的高斯白噪序列.可以看到，参与子区域5和6建模的高斯白噪包含部分重叠区域，这保证了所建模型的子区域5和6之间的变化是连续的.另外，随机数与结构参数分离的特点使我们可以通过局部修改随机数来修改模型，而不影响自相关长度范围外的点，建模和修改更加灵活.
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图 1 FFT-MA子区域建模策略 Fig. 1 Subregional modeling strategy by using FFT-MA |
平稳随机介质模型是指模型某一物理量的空间统计特征不随空间变化的介质模型，即自相关函数、均值和标准差等参数的空间统计特征均为常数，而非平稳随机介质模型的自相关函数、均值和标准差可以随空间变化.对非平稳随机介质，三个自相关长度a、b、c和三个自相关角度α、β、γ变为与空间坐标(x, y, z)有关的变量，即a(x, y, z)、b(x, y, z)、c(x, y, z)和α(x, y, z)、β(x, y, z)、γ(x, y, z).本文将非平稳随机介质模型分为不同地质单元统计特征突变和统计特征随空间连续变化两种情况.
实际地质模型可能由不同的层或地质单元组成，每个地层或地质单元可以看作具有不同的均值、标准差和自相关函数的随机介质.该类模型往往是由于地质构造运动等作用，使得地质单元之间的物性突变，整体是非平稳的，不能通过单一的自相关函数描述全区的小尺度非均匀性，但每个地质单元内是平稳的.对于该类非平稳随机介质模型，应对每个地质单元产生满足其自相关函数的平稳随机介质模型，然后提取对应的单元节点，并组合在一起，形成一个全局的非平稳随机介质模型.其中，具有相同自相关函数单元的建模，可以在一次建模中产生.非平稳性对该类模型建模效率的影响不大，因此该类模型不作为本文讨论的重点.
实际地球介质中还存在空间结构参数连续变化的情况，如沉积环境中水动力和物源供给随空间的变化造成沉积物粒序、大小的连续变化.此时，自相关函数、均值、标准差等统计特征量是随空间缓慢变化的，介质物性连续，即统计特征连续变化的非平稳随机介质模型.奚先和姚姚(2005)将平稳随机介质理论推广到该类非平稳随机介质建模中，得到了构建复杂、非平稳随机介质模型的方法.但为了保证模型的连续性，该方法需要基于连续变化的局部自相关函数，在每个采样点通过第1.3节所介绍的随机建模过程构建一个完整大小的模型，然后取出这个采样点的建模结果；将所有采样点的建模结果组合到一起构成最终的随机介质模型.当模型较大时，一次建模所需时间增加，同时建模次数增加，因此，该方法效率较低.
基于FFT-MA的建模方法，模型与随机数之间存在空间对应关系，每个采样点的建模可以通过该点周围局部随机数构建，窗口大小可以根据局部自相关长度的变化而变化(图 2).不需要每次都构建完整大小的模型，在自相关长度远小于模型大小时，有效的提高建模效率.由于相邻采样点包含大量相同的随机数，因此可以保证所建模型的空间连续性.
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图 2 非平稳随机介质模型建模策略 Fig. 2 Modeling strategy of non-stationary random media |
另外，基于谱分解和FFT-MA的算法均需要多次傅里叶变换和反傅里叶变换，因此计算效率很大程度上取决于正、反傅里叶变换的效率.本文采用GPU并行处理来提高傅里叶变换的计算效率.GPU(Graphic Processing Unit)是用于处理3D图像渲染任务的可编程芯片，也是一种拥有大量运算单元的并行处理器，非常适合进行大规模的高性能计算.基于GPU的FFT算法已经非常成熟(Nukada and Matsuoka, 2013)，对此，我们只做了简单修改，就应用于随机介质建模的过程中，计算效率得到了大幅度的提高.
3 实验本文实验部分对两种建模方法的平稳随机介质建模效果(实验1)、分区域建模(实验2)、局部修改(实验3)特性、非平稳模型的建模效果和效率(实验4)以及三维非平稳随机介质建模(实验5)进行了实验验证.这些实验证明了本文所提出的方法比基于谱分解定理的方法具有优越性.
3.1 实验1平稳随机介质模型建模效果对比随机介质建模方法可以构建不同自相关长度、自相关角度、粗糙度因子等空间结构参数的随机介质模型.本实验分别用基于谱分解定理和FFT-MA的两种建模方法，构建了不同空间结构参数的随机介质模型，并对比了两种方法的建模效果.图 3展示了不同自相关函数类型及自相关长度的速度模型的建模结果，模型大小为400 m×400 m，网格间距1 m，速度的均值为2000 m·s-1，扰动标准差为200 m·s-1.图中可以看出：(1)自相关长度、角度保持不变时，随着粗糙度因子r从0增加到1，两种方法构建的模型均越来越粗糙(图 3(a—c))，细节越来越丰富；(2)当粗糙度因子保持不变，即自相关函数类型相同时，两种方法所建模型可以清楚的反映自相关长度的变化(图 3(c—e))；(3)传统谱分解定理的建模方法和本文所提出的FFT-MA建模方法所建模型具有相同的统计特征，但由于随机数在两种方法中所起的作用不同，因此不能保证构建细节一样的随机介质模型.综上所述，基于FFT-MA的随机介质建模方法，可以准确有效的构建满足空间结构需求的平稳随机介质模型.
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图 3
均值为2000 m·s-1，标准差为200 m·s-1，自相关角度θ=30°，不同粗糙度因子及自相关长度的平稳随机介质建模
左列为模型的自相关函数；中列为基于谱分解定理的建模结果；右列为基于FFT-MA的建模结果. (a) r=0，a=30 m，b=10 m; (b) r=0.5，a=30 m，b=10 m; (c) r=1，a=30 m，b=10 m; (d) r=1，a=10 m，b=10 m; (e) r=1，a=60 m，b=10 m. Fig. 3 Modeling of stationary random media with 2000 m·s-1 of mean, 200 m·s-1 of standard deviation, autocorrelation angle of θ=30°, different rough factors and different autocorrelation parameters The left column shows the autocorrelation functions of models; the middle column shows the modeling results by spectral decomposition theorem; the right column shows the modeling results by FFT-MA. |
利用随机介质进行地震波场等数值模拟时，或利用随机介质表征储层小尺度非均匀性时，为了保证模型具有足够的细节和波场模拟的精度，往往需要减小网格采样间距，此时模型规模变大，当使用GPU进行建模时，由于显存限制，难以构建特别大的模型，此时分区域建模非常重要.由于分区域建模需要保证不同区域之间的连续性，传统的基于谱分解定理的建模方法难以实现，而基于FFT-MA的建模方法是可以实现的(图 4).所设计的模型大小为400 m×400 m，网格间距1 m，速度的均值为2000 m·s-1，扰动标准差为200 m·s-1粗糙度因子r=1，自相关长度a=30 m，b=10 m，自相关角度θ=30°.图 4中这些建模结果表明，(1)当使用相同的高斯白噪序列时，整体建模和分区域建模可以得到具有相同分布的随机介质模型；(2)由于包含了模型区域外的高斯白噪序列，因此基于FFT-MA的分区域建模可以很好的保证不同区域之间的连续性.
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图 4 整体建模和分区域建模的对比 (a)整体建模的结果；(b)将完整模型分为2×2的子区域建模的结果；(c)将完整模型分为4×2的子区域建模的结果.黑色虚线表示模型的分区域方案. Fig. 4 Comparison between global modeling and subregion modeling (a) Model generated by global modeling; (b) Model generated by 2×2 subregion modeling; (c) Model generated by 4×2 subregion modeling. |
随机数和结构参数分离的特点同样有利于进行模型的局部修改，即通过局部扰动随机数修改模型，同时还保证模型满足空间结构特征.图 5a所示模型参数与实验2中的相同，采用相同的高斯白噪序列构建，对图 5a中略小于黑色窗口区域对应的高斯白噪序列进行了修改，得到图 5b所示的模型，可以看到，除了窗口内的修改区域，其他部分完全相同.两幅图的区别可以从残差图 5c中清楚看到.
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图 5 FFT-MA局部修改模型 除了窗口覆盖的区域，两个模型(a)和(b)在每个位置都有相同的值. (c)为(a)和(b)的残差. Fig. 5 Local modification by FFT-MA Two models (a) and (b) have the same values everywhere except the modified area in the window. (c) shows the residual between (a) and (b). |
图 6第一行和第二行分别是利用传统谱分解定理和本文提出的基于FFT-MA的非平稳随机介质建模方法构建的，结构参数随空间坐标连续变化的非平稳随机介质模型.自左至右依次表示：重力流作用下形成的，沉积物自下而上逐渐变细的浊积岩模型(a=40 m，b=(z/25+2)m，θ=0，r=1)；构造作用形成的褶皱模型(a=50 m，b=5 m，θ=－1+0.05x，r=1)；具有前积结构特征的沉积相模型(a=30 m，b=[6－0.01(x+z－400)]m，模型大小为400 m×400 m，网格间距1 m，速度的均值为2000 m·s-1，标准差为200 m·s-1.使用FFT-MA建模时，每个采样点的建模通过该点周围局部随机数构建，窗口半径选取3倍的局部自相关长度.建模结果表明，基于谱分解定理和FFT-MA的非平稳随机介质建模方法，均可以有效构建较为复杂的非平稳随机介质地球模型.
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图 6 非平稳随机介质建模效果对比 速度均值为2000 m·s-1，标准差为200 m·s-1，局部自相关参数随空间变化.第一行为基于谱分解定理的建模结果；第二行为基于FFT-MA的建模结果. Fig. 6 Modeling of non-stationary random media with 2000 m·s-1 of mean, 200 m·s-1 of standard deviation and spatially varying local autocorrelation parameters The upper row is models by spectral decomposition theorem modeling; the lower row is models by FFT-MA modeling. |
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为了说明基于FFT-MA的非平稳随机介质的建模方法比传统的基于谱分解定理的方法具有更高的计算效率，这里分别用两种方法构建了大小为400 m×400 m，不同网格间距的，具有前积相特征的非平稳随机介质模型(图 6中第三列).随着网格间距由2 m到0.125 m逐渐变小，模型包含的网格数逐渐增多，计算量增大.建模实验使用的计算机配置为：Intel(R) Core(TM) i7-4910MQ处理器，主频2.90 GHz，NVIDIA Quadro K2100M显卡，Windows 10专业版操作系统，以及Matlab R2014a运算平台.建模中FFT算法均使用Matlab提供的fft2和ifft2函数的CPU和GPU实现，计算用时如表 1和图 7所示，可以得出以下结论：
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表 1 不同方法非平稳随机介质建模的计算时间(单位：min) Table 1 Time cost of modeling of non-stationary random media by different method (Unit: min) |
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图 7 不同方法非平稳随机介质建模的计算时间 Fig. 7 Computation time of non-stationary random media modeling by different method |
(1) 对比两种建模方法，可以看出：基于FFT-MA的随机介质建模方法比基于谱分解的方法(FFT-PHASE)具有更高的建模效率.利用CPU进行计算，FFT-MA的建模效率能提高5~9倍，利用GPU计算时，FFT-MA的建模效率有2~4倍的提高；当模型较大时，绝对时间提升较为显著；
(2) 对比同一方法的GPU和CPU实现，可以看出：当模型较小时，GPU实现与CPU实现效率相差无几，GPU优势并不明显，主要原因是数据从内存到显存的传递消耗了时间；随着模型的增大，相同算法的GPU实现比CPU实现效率明显提高，总体来说，GPU的应用，显著提高了计算效率.
3.5 实验5三维非平稳随机介质建模三维问题已成为目前研究的常规问题，但三维非平稳随机介质建模计算量太大，限制了其在实际研究中的应用.基于FFT-MA的方法可以有效的提高建模效率，为三维非平稳随机介质建模提供可行办法.图 8是利用FFT-MA构建的三维随机介质模型(a=(20+0.05x)m，b=14 m，c=(6－0.02z)m，α=－0.0035(y－200)，模型大小为400 m×400 m×200 m，三个方向的网格间距均为2 m，可以看到三个方向具有不同的非平稳特征.利用与实验4中相同的计算机配置，该模型计算时间为17.65个小时，而传统方法需要170多个小时，建模效率提高了近10倍.
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图 8 三维非平稳随机介质建模及其切片 (a)三维模型；(b)水平切片；(c)沿x轴切片；(d)沿y轴切片. Fig. 8 Modeling of 3D non-stationary random media and its slices (a) 3D volume; (b) Horizontal slice; (c) Vertical slice along x axis; (d) Vertical slice along y axis. |
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本文将FFT-MA方法引入到随机介质建模中，并提出了基于FFT-MA的非平稳随机介质建模方法.该方法在空间域产生随机数序列，结构参数与随机数分离，随机数与模型之间存在空间对应关系.与基于谱分解定理的随机介质建模方法相比，该方法具有以下优点：(1)可以分区域建模，解决了常规建模方法受内存或显存大小限制，难以构建大模型的问题；(2)可以通过修改局部随机数做到局部模型修改，且不会改变整体与局部的随机介质结构参数，为研究随机介质局部变化对波场的影响和反演等提供了可行途径；(3)基于FFT-MA的非平稳随机介质建模，克服了传统建模方法每个采样点都要构建一次完整大小模型的不足，局部建模的大小可以根据局部自相关长度而改变，极大的提高了计算效率；(4)FFT的GPU算法实现，进一步提高了建模效率.综上所述，该方法能更灵活、高效的构建复杂的随机介质模型，为地球介质小尺度非均匀性的研究提供了模型基础.
在三维非平稳随机介质建模过程中，由于每个节点的模拟是独立的，因此后续研究除了将FFT的算法并行外，可以增加任务并行策略，同时对多个节点进行模拟.FFT-MA算法每次模拟的模型小于谱分解定理算法，在显存和GPU核心数一定的情况下，可同时模拟更多的节点，进一步提升建模效率.
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