2018, Vol. 61
2. 中国石油大学CNPC测井重点实验室, 山东青岛 266580;
3. 海洋国家实验室海洋矿产资源评价与探测技术功能实验室, 山东青岛 266071;
4. 中国石化石油工程技术研究院, 北京 100101
2. CNPC Key Well Logging Laboratory, China University of Petroleum, Shandong Qingdao 266580, China;
3. Laboratory for Marine Mineral Resources, Qingdao National Laboratory for Marine Science and Technology, Shandong Qingdao 266071, China;
4. Sinopec Research Institute of Petroleum Engineering, Beijing 100101, China
随着油气田开发和钻井技术的快速发展，大斜度井/水平井技术得到了广泛应用，随钻电磁波测井是获取大斜度井/水平井测井资料的重要方法(Bigelow and Cleneay, 1992；Holden et al., 2006；Mendoza et al., 2010, 2012；Guo et al., 2013).但在围岩/层厚，地层各向异性及复杂井眼轨迹等因素的综合影响下(Anderson et al., 1990；Schroeder et al., 1992；Yang et al., 2005；Løseth and Ursin, 2007)，其电阻率测井数据不宜直接用于地质导向及地层评价，电阻率测井解释仍为亟待解决的难题之一.电阻率反演可以有效的消除各复杂环境因素影响(邢光龙等，2002；邢光龙, 2003；李虎，2013；蔡军等，2016)，获取原始地层电阻率等，然后进行流体识别和饱和度计算等.20世纪90年代以来，复杂井眼环境中的随钻电磁波数值模拟研究已得到快速发展，主要采用有限元、有限差分等网格剖分方法(Druskin et al., 1999；Everett et al., 2000；Avdeev et al., 2002；Druskin and Knizhnerman, 2016)，但由于其时效性等因素限制，基于网格剖分方法的反演算法并不能满足实际现场需要，难以在实践中进行推广.为满足快速地层评价，目前，Schlumberger、Halliburton等石油服务公司研发的随钻电磁波测井反演模块主要基于简化的横向各向同性(Transversely Isotropic, TI)地层(Pardo and Torres-Verdín，2015).
传统的随钻电磁波测井资料仅提供仪器轴向分量，一般情况下，井斜和各项异性通常耦合在一起，难以通过反演方法同时获取，只有在地层电阻率对比度大及井斜角较大的情况下，利用边界附近的测量数据(采样点足够多)才有可能将井斜和各项异性区分开来(Chemali et al., 2007；Sun et al., 2014)，同时，其对边界探测能力差，缺乏方位信息，难以进行地质导向.因此，基于传统随钻电磁波测井进行多参数反演困难，需要借助其他测井资料减少耦合参数，如借助成像资料等确定地层界面、井斜等，然后反演地层电阻率信息.但随着复杂油气藏中大斜度井/水平井技术的不断推广，为满足测井精细解释和地层评价的需求，需要从电阻率测井资料中提取更多信息，开展井斜、各向异性及仪器距边界距离等多参数联合反演迫在眉睫.与传统随钻电磁波测井相比，随钻方位电磁波测井可同时提供仪器轴向与横向的电磁场分量(Bittar et al., 2009)，额外的横向电磁场分量提供了有效的方位信息，极大削弱了井斜和各项异性的耦合程度，尤其在大斜度井/水平井中，可以基于反演同时得到地层电阻率和井斜信息.此外，基于方位电磁波测井中的地质导向信号可以有效的反演地层界面，其中，相位差和幅度衰减均可作为地质导向信号，但相应的探测深度有所差别，斯伦贝谢公司(Li et al., 2005)认为当幅度比作为地质导向信号时，探测信号的阈值为0.25 dB；当相位差作为地质导向信号时，探测信号的阈值为1.5°.
本文中，基于TI地层模型，笔者首先利用高斯和汉克儿滤波混合数值积分建立了快速求解各电磁场分量的正演算法；其次，基于快速正演算法，分析了传统和随钻方位电磁波测井响应对各反演参数的敏感性，得到在不同地层条件下，影响测井响应特征的主控因素；然后基于斯伦贝谢公司(2005年)(Li et al., 2005)给出的地质导向信号阈值标准，对比了不同频率、不同源距下的相位差和幅度比作为地质导向信号时，相应探测范围的差异；最后，基于L2范数构建了反演目标函数，给出多参数联合反演方法，并采用实时开窗的方式建立了多参数联合反演流程；数值模拟表明：基于方位电磁波测井进行多参数联合反演是可行且稳定的，其反演结果可用于相应的电阻率测井精确解释.
1 随钻方位电磁波快速正演 1.1 高斯和汉克儿滤波数值积分钻井实时地质导向和快速地层评价要求正演算法具备高时效性.随钻方位电磁波正演主要基于横向各向同性(TI)地层，见图 1，忽略井眼、侵入等影响.仪器的发射线圈和接收线圈可以简化为磁偶极子，发射线圈和接收线圈的与仪器轴的夹角分别为ΦT和ΦR，设仪器在大地坐标系下的方位角为β，井斜角为θ.
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图 1 (a) 多层TI地层模型；(b)大地坐标系 Fig. 1 (a) Multiple-layer TI model; (b) Geodetic coordinate system |
基于大地直角坐标系下的磁偶极子源并矢格林函数Gc可以表示为
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(1) |
式中，Gcij表示i方向的磁偶极子在j方向的磁场分量.
将大地坐标系下的磁偶极子源并矢格林函数Gc转换到仪器坐标系下，表达式为
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(2) |
式中的转换系数R为
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(3) |
式中，β为井斜角，θ为仪器相对初始方位的方位角，可以推导得到接受线圈处的磁场为
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(4) |
计算各电磁场分量时，其表达式中均包含Sommerfeld无穷积分，该积分核函数为震荡函数.通常在磁偶极子相对垂直方向的倾角较低时，采用高斯积分求解，其优点是核函数震荡性弱，所需采样点少，可以自主选择积分步长，如图 2a，当井斜角小于75°时，积分函数震荡性弱，z方向的磁场分量Hzz的虚部在[0，75]区间内逐步达到收敛，因此，选取[0，75]作为积分变量的积分区间，便可以计算得到解析解；当磁偶极子相对垂直方向的倾角较高时(图 2b)，如井斜角大于85°，积分函数震荡性增强，收敛性降低，所需采样点增多，计算精度也会下降；当井斜角大于89°时，如图 2c，积分函数震荡剧烈，甚至呈发散趋势，此时基于有限采样点的高斯积分解误差极大，已不能得到精度较高的解析解.
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图 2 z方向的磁场分量Hzz的虚部与积分变量λ的关系(高斯积分) Fig. 2 Imaginary part of magnetic field component Hzz versus integral variable λ (Gaussian integration) |
为解决当井斜角大于85°，采用高斯积分难以得到精度较高的解析解的问题，可采用Guptasarma和Singh(1997)提出的改进的Hankel滤波算法，该算法可以有效的削弱积分核函数的震荡性，以保证积分的精度.图 3为采用Hankel滤波积分时，z方向的磁场分量Hzz的虚部与积分变量λ的关系.可以看到，不同井斜角情况下，其积分区间在[0，120]内均能达到收敛，可以计算得到收敛的积分解，但与高斯积分相比，当井斜角小于75°时，其积分区间为[0，120]，比高斯积分区间要长，计算效率会下降.为提高计算效率，本文采用了高斯和汉克儿滤波混合数值积分的方法求解层状电磁场的分布.
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图 3 z方向的磁场分量Hzz的虚部与积分变量λ的关系(汉克儿滤波积分) Fig. 3 Imaginary part of magnetic field component Hzz versus integral variable λ (Hankel integration) |
图 4为Schlumberger公司的PeriScope随钻方位电磁波测井仪器的线圈结构，采用了正交与倾斜线圈结合技术，有6个发射线圈和4个接受线圈，工作频率为100 kHz、400 kHz和2 MHz，方位信号的线圈距包括96、84、34、22 in(1 in=2.54 cm)，同时也可以提供传统随钻电磁波测井信息.笔者模拟了水平井中(井斜角为90°)，T5发射，R4接收的地质导向信号(幅度衰减信号)，以及T5发射，R1和R2接收的相位差和幅度比电阻率响应特征，地层参数见表 1，模拟结果见图 5.
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图 4 斯伦贝谢公司的PeriScope仪器 Fig. 4 Instrument PeriScope of Schlumberger company |
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表 1 三层地层模型及具体参数 Table 1 Three-layer model and parameters |
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图 5 T5发射，R1和R2接收的相位差和幅度比电阻率响应(a)及T5发射，R4接收的地质导向信号(b) Fig. 5 Phase shift and amplitude ratio as resistivity responses to transmitter T5 and receiver R1 and R2 (a) and geosterring signal for transmitter T5 and receiver R4 (b) |
可以看到，PeriScope仪器即提供了传统随钻电磁波电阻率信息，又能提供方位地质导向信号，当仪器从低阻层进入高阻层时，地质导向信号幅度增大，在界面处达到极大值；当仪器从高阻层进入低阻层时，地质导向信号幅度减小，在界面处达到极小值.
2 敏感性因素分析 2.1 井斜和各向异性图 6a为无限厚均匀地层，不同井斜和各向异性地层条件下的传统随钻电磁波测井响应(单发双收收线圈结构，线圈距分别为24、30 in，发射频率2 MHz).图中，λ表示各项异性系数，可以看到，当地层各向异性系数为1时(即各向同性)，幅度比和相位差均不随井斜变化而变化，基本不受井斜角影响，即对井斜不敏感.当各向异性系数不为1时，无论井斜角增大，或各向异性系数增大，均会导致相位差测量值降低.此外，在推导层状各向异性地层传统随钻电磁波测井电磁场分布时，可以明确传统随钻电磁波测井响应本质上是关于(1/λ2-1)sin2θ的函数(Fang et al., 2008)，如图 6b显示，不同各向异性系数的相位差曲线重合在一起，表明各向异性与井斜完全耦合.对于给定的地层模型(Rh0=2 Ωm, Rv0=10 Ωm, θ0=85°)，可基于正演算法构建反演相对误差图版，具体的相对误差表达式为
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(5) |
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图 6 (a) 不同井斜和各向异性系数条件下的传统随钻电磁波相位差(Rh=2.0 Ωm)；(b)传统随钻电磁波相位差与(1/λ2-1)sin2θ关系；(c)传统随钻电磁波测井反演误差图版 Fig. 6 (a) Traditional LWD phase shift under different dip angles and anisotropic coefficients (Rh=2.0 Ωm); (b) Traditional LWD phase shift versus (1/λ2-1)sin2θ; (c) Inversion errors of traditional LWD electromagnetic measurement |
式中，Misfit为相对误差，f(λ, θ)为数值模拟结果，f(λ0, θ0)为实际测井响应.误差图版见图 6c，可以看到，误差在0附近的区域(深蓝色)较大，说明满足反演误差的各向异性系数及井斜角并不唯一，存在较强的多解性.
图 7a为无限厚均匀地层，不同井斜和各向异性地层条件下的随钻方位探测信号(单发单收线圈结构，线圈距为24 in，频率为400 kHz)，当井斜角小于30°和大于75°时，可以发现，不同各向异性系数的相位差测量值接近重合，此时，井斜是影响测井响应的主控因素，而各向异性影响较弱.从图 7b可以看到，不同各向异性系数的曲线不再重合，表明井斜与各向异性耦合程度低.对于给定的地层模型(Rh=2 Ωm, Rv=10 Ωm, θ=85°)，基于随钻方位探测信号反演误差图版(图 7c)可以看到，误差在0附近的区域(深蓝色)主要集中在井斜角85°左右，各向异性对其影响较小.将随钻方位探测信号结合随钻电阻率数据建立的反演误差图版，见7d，误差在0附近的区域已经趋于唯一，因此，在随钻方位探测信号的协助下，基于随钻方位电磁波测井资料，同时得到井斜与各向异性系数是可行的.
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图 7 (a) 不同井斜和各向异性系数条件下的随钻方位电磁波相位差；(b)随钻方位电磁波相位差与(Rh/Rv-1)sin2θ关系；(c)随钻方位探测信号反演误差图版；(d)随钻方位电磁波测井反演误差图版 Fig. 7 (a) Azimuthal LWD phase shift under different dip angles and anisotropic coefficients (Rh=2.0 Ωm); (b) Azimuthal LWD phase shift versus (Rh/Rv-1)sin2θ; (c) Inversion errors of azimuthal LWD detection signal; (d) Inversion errors of azimuthal LWD electromagnetic measurement |
图 8为单界面地层模型，箭头指向仪器钻进方向.图 9为层状介质，不同井斜、地层电阻率对比度及各向异性系数条件下的传统电磁波相位差电阻率测井响应(幅度比电阻率类似)，R1和R2分别代表上下地层电阻率.可以看到，各向同性地层中，随着井斜角或地层电阻率对比度的增大，层界面附近相位电阻率均增大；各向异性地层中，越靠近地层界面，相位差电阻率受各向异性影响越小.因此，层界面附近的电阻率不仅与仪器距地层界面距离有关，还主要受井斜及地层电阻率对比度的影响(各向异性影响较弱)，难以基于反演获取较为准确的界面位置.
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图 8 两层地层模型 Fig. 8 Two-layer formation model |
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图 9 不同井斜、电阻率对比度及各向异性条件下的传统随钻电磁波测井响应 (a)不同井斜；(b)不同电阻率对比度；(c)不同各向异性系数. Fig. 9 Traditional LWD measurements under different dip angles, resistivity contrasts and anisotropies (a) Different dip angles; (b) Different resistivity contrasts; (c) Different anisotropic coefficients. |
图 10为层状介质，不同井斜、地层电阻率对比度及各向异性系数条件下的随钻方位电磁波测井的地质导向信号.与图 9相比，层界面附近地质导向信号受井斜、电阻率对比度及各向异性系数非常小，此时，仪器距地层界面距离成为主控因素，因此，基于随钻方位电磁波测井的地质导向信号，可以有效并准确的反演地层界面.
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图 10 不同井斜、电阻率对比度及各向异性条件下的方位随钻电磁波测井响应 (a)不同井斜；(b)不同电阻率对比度；(c)不同各向异性系数. Fig. 10 Azimuthal LWD measurements under different dip angles, resistivity contrasts and anisotropies (a) Different dip angles; (b) Different resistivity contrasts; (c) Different anisotropic coefficients. |
随钻方位电磁波对边界的探测能力也与源距、频率等因素有关，图 11和图 12显示不同频率和源距条件下，相位差和幅度比分别作为地质导向信号的边界探测能力.可以看到，相同源距和频率条件下，相位差的探测深度要比幅度比浅，但适用地层条件广(非蓝色区域)；相同源距条件下，无论采用相位差或幅度比作为地质导向信号，其发射线圈频率越高，适用地层条件越广，但在相同地层条件下，即围岩和目的层电阻率均一致的情况下，频率越低，探测深度越深；相同频率情况下，源距越长，探测深度越深，适用地层条件也越广.
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图 11 不同频率f及线圈距d的相位差探测深度 (a) f=100 kHz, d = 96 in; (b) f = 400 kHz, d = 96 in; (c) f=400 kHz, d=48 in. Fig. 11 Phase difference detection depths with different frequencies f and different spacing d (a) f = 100 kHz; d=96 in; (b) f = 400 kHz; d=96 in; (c) f=400 kHz, d = 48 in. |
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图 12 不同频率f及线圈距d的幅度比探测深度 (a) f=100 kHz; d=96 in; (b) f=400 kHz; d=96 in; (c) f=400 kHz; d=48 in. Fig. 12 Amplitude ratio detection depths with different frequencies f and different spacing d (a) f=100 kHz; d=96 in; (b) f=400 kHz; d=96 in; (c) f=400 kHz; d=48 in. |
另外，对单发双收的线圈结构，可以分别计算两个接受线圈距地层界面距离H1和H2，并结合两个接受线圈间距ΔD计算地层相对倾角，如图 13所示.
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图 13 地层相对倾角计算 Fig. 13 Computation of relative formation dip |
基于L2范数，构建反演目标函数为
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(6) |
其中y为实测电阻率数据，f(x)为数值模拟结果，m为测量点个数，x为待反演参数向量，包括井斜、地层横向电阻率、地层垂向电阻率及距界面距离等，xt为初始地层电阻率，λ为正则化参数.求解式(1)的方法很多，本文采用高斯牛顿法进行求解，具体不再详述，其中正则化参数的确定采用Pardo和Torres-Verdín(2015)提出的方法，公式为
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(7) |
其中J(x)代表雅克比矩阵.e(x)为误差，x0表示初试反演参数，其他参数说明与式(6)相同.
值得注意的是，在反演过程中，如果采用的实测数据为视电阻率，则在计算雅克比矩阵时，在“犄角”附近会出现不稳定，尤其在大斜度井/水平井中，会对反演结果造成较大影响，胡旭飞等(Hu and Fan, 2017)提出一种改进的数值微分方法计算雅克比矩阵，有效削弱了“犄角”影响，使得反演算法更加稳定及精确；如果实测数据采用相位差和幅度比，雅克比矩阵的计算则比较稳定，则受“犄角”影响小.为满足实时地质导向和地层评价需求，笔者采用逐步开窗的方式进行反演，如图 14所示，当仪器钻进到位置A时，实时方位电磁波测井资料可以作为窗口1；当仪器钻进到位置B时, 实时方位电磁波测井资料可以作为窗口2，其中窗口2中的测井数据包含窗口1中的测井数据.如此递推，不仅可以得到实时反演结果，后一个窗口还可以对前一个窗口反演得到的地层参数进行进一步更新，进而最终获取到全局最优解.图 15为具体反演流程.
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图 14 逐步开窗实时反演 Fig. 14 Real time inversion of windowing step by step |
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图 15 多参数联合反演流程 Fig. 15 Flow chart of multiple parameters joint inversion |
以Schlumberger公司的PeriScope仪器为例，图 16为五层层状各向异性地层及相应方位电磁波测井响应特征，井斜为85°，其余地层参数见表 2.可以看到，相位差电阻率(P40H和P34H)比幅度比电阻率(A40H和A34H)分辨更高，受围岩影响相对较小，其地质导向信号可以准确的确定其地层界面，还可以通过其方位指向特性，明确仪器是从高阻层进入低阻层还是从低阻层进入高阻层.当仪器从低阻层逐渐进入高阻层时，地质导向信号(相位差)幅度逐渐增大，当到达高阻层顶界时，信号达到峰顶；当仪器从高阻层逐渐进入低阻层时，地质导向信号(相位差)幅度信号逐渐减小，当到达低阻层顶界时，信号达到谷底.
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图 16 五层层状各向异性地层模型及方位电磁波测井响应特征 Fig. 16 Five-layer anisotropy formation model and the azimuthal LWD electromagnetic measurement responses |
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表 2 地层参数 Table 2 Formation parameters |
敏感性分析中可知，距界面距离为地质导向信号的主控因素，因此，可以基于地质导向信号，利用反演算法首先获取地层界面位置，然后依次为基础，逐步反演其他参数.
为验证算法的实时性和稳定性，笔者在本算例中选取了五个位置(A，B，C，D，E)进行开窗.当方位电磁波仪器钻进到所选的位置时，可首先利用地质导向信号反演界面位置，然后利用方位电磁波电阻率数据计算所穿越地层的电阻率.由于界面位置是影响地质导向信号的主控因素，因此，即使反演得到的地层电阻率有误差，但不会影响界面位置的确定.此外，每次开启的窗口包含之前所有的窗口，可对此前所有的窗口计算的地层参数进行进一步更新，保证每个窗口的反演参数能获取全局最优解.表 3显示了地层界面的反演结果，可以看到，基于方位地质导向信号，可以较为准确的确定地层界面.表 4为基于反演窗口计算得到的地层电阻率.当窗口位置在薄层，如窗口4，由于仪器仅测得部分4号层的电阻率数据，4号层的反演结果并不精确，该反演结果可以在下一个窗口5中进行进一步更新(包含完整的4号层电阻率信息)，获取到准确的地层电阻率.当窗口位置在厚层，即使最后一个层的电阻率数据不完整，即只是测量部分该层的电阻率，反演结果仍可满足一定精度要求.
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表 3 各地层界面位置反演结果 Table 3 Inversion of bottom boundaries of strata |
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表 4 各地层电阻率反演结果 Table 4 Inversion of resistivity of strata |
为模拟实际地层条件下的方位电磁波测井响应，笔者添加了不同信噪比(SNR)的高斯噪声，并对施加高斯噪声后的方位电磁波测井数据进行了反演，见图 17.反演的井斜角在84.5°~85.5°之间，因此，基于随钻方位电磁波测井多参数联合反演，可以有效得到各地层的界面位置、电阻率分布及井斜角.图 18为九层地层模型(井斜为90°)，不同信噪比情况下，基于随钻方位电磁波测井的多参数联合反演结果，反演的井斜角在88.2°~89.7°之间，可见，反演的地层界面及地层电阻率分布均能较好的匹配地层模型.
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图 17 不同信噪比情况下，五层地层模型反演结果(85°) (a) SNR=30; (b) SNR=25; (c) SNR=20. Fig. 17 Inversion of five-layer model under different SNR (85°) (a) SNR=30; (b) SNR=25; (c) SNR=20. |
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图 18 不同信噪比情况下，九层地层模型反演结果(90°) (a) SNR=30; (b) SNR=25; (c) SNR=20. Fig. 18 Inversion of nine-layer model under different SNR (90°) (a) SNR=30; (b) SNR=25; (c) SNR=20. |
(1) 基于高斯和汉克儿滤波混合数值积分建立了随钻方位电磁波测井快速正演算法，为快速反演奠定了基础.数值模拟表明：当井斜角小于75°，使用高斯数值积分时，积分区间较短，计算效率高；当井斜角大于75°，可以采用汉克儿滤波积分，其被积函数能在较短的积分区间内收敛，保证计算效率和精度.
(2) 敏感性分析表明：井斜和各向异性对基于共轴线圈设计的传统随钻电磁波测井响应的影响耦合在一起，难以剥离，如果采用反演算法，则获取的井斜和各向异性存在多解性，而随钻方位电磁波测井采用倾斜(或正交)线圈设计，提供了额外的与仪器轴向垂直的磁场分量，使井斜与各向异性的耦合程度降低，可以基于反演同时获取井斜和各向异性.
(3) 传统随钻电磁波测井响应在井斜、地层电阻率对比度等因素影响下，对边界探测能力有限，且缺乏方位信息，难以明确地层界面的位置，无法满足地质导向需求.随钻方位电磁波测井可其提供的额外方位信息，受井斜、各向异性等因素小，可以有效的指示地层界面位置，进行实时地质导向.
(4) 数值模拟研究表明：基于方位电磁波测井资料可以有效的进行多参数反演，获取层界面，井斜角及各向异性等信息，进而进行准确的地层评价，同时，多参数联合反演也具备一定的抗噪性，在信噪比较好的情况下，能得到可靠的地层参数.
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