地球物理学报  2018, Vol. 61 Issue (11): 4584-4597   PDF    
三相周期成层Patchy模型中地震波频散和衰减
杜天玮1,2, 吴国忱1,2, 吴建鲁1,2     
1. 中国石油大学(华东)地球科学与技术学院, 青岛 266580;
2. 海洋国家实验室海洋矿产资源评价与探测技术功能实验室, 青岛 266071
摘要:本文基于White周期层状模型,将传统两相流体(气,水)模型扩展至三相流体(油、气、水)周期层状模型,在Biot理论框架下将其延伸至高频,研究介观尺度地震频带下纵波在三相Patchy模型中的传播规律.应用孔隙介质弹性波波动方程解耦方法,结合等效边界条件,得到Biot1956年理论框架下的纵波速度频散与衰减的解析解.利用频率域有限差分方法,将Biot1941年、1956年理论方程中的微分算子离散化,正演得到纵波速度频散与衰减的数值解,结合由Biot-Gassmann-Hill公式和Biot-Gassmann-Wood公式计算得到的纵波速度上下限,证明了三相流体模型解析解的正确性.随后,研究了三种流体排列顺序对于纵波速度频散和衰减的影响.从受力分析角度来看,油层抵消部分水流对气层的力,使其受力减小,反之水流促进油流入气层,气层受到叠加力,因此改变流体顺序后气层受力情况不同,造成纵波频散和衰减结果有所差异.最后研究了含气饱和度变化对于纵波速度频散和衰减影响.
关键词: WIFF      介观尺度      孔隙介质      White模型      Biot理论      衰减     
Dispersion and attenuation of P wave in a periodic layered-model with Patchy saturation for three-phase
DU TianWei1,2, WU GuoChen1,2, WU JianLu1,2     
1. School of Geosciences, China University of Petroleum(East China), Qingdao 266580, China;
2. Laboratory for Marine Mineral Resources, Qingdao National Laboratory for Marine Science and Technology, Qingdao 266071, China
Abstract: Based on the White periodic layered-model, this work extended the traditional two-fluid (gas, water) model to a three-fluid (oil, gas, water) periodic layered-model, and further extended it to high frequency under the Biot theory framework, and studied P-wave's propagation law in this three-fluid model with Patchy saturation at the mesoscale of the seismic frequency band. Using the poroelastic equation uncoupled method and combining with equivalent boundary conditions, we derived the analytical solution of P-wave velocity dispersion and attenuation under the framework of the Biot1956 theory. Employing finite difference method in the frequency domain, we also derived the numerical solution of P-wave velocity dispersion and attenuation under the framework of the Biot1956 and Biot1941 theory. Combining the Biot-Gassmann-Hill and Biot-Gassmann-Wood equations, the upper and lower limits of calculated P-wave velocity were obtained, proving the correctness of analytical solution from the three-fluid model. Furthermore, the effect of three fluid's order on the P-wave velocity and attenuation was analyzed. From the force point of view, oil can offset part of force produced by water, but water can promote oil flowing into the gas layer, forming a superimposed force, so changing the fluids' order can lead to different forces to the gas layer, resulting in different P-wave dispersion and attenuation. Finally, the effect of gas saturation on the P-wave velocity dispersion and attenuation was studied.
Keywords: WIFF    Mesoscale scale    Porous media    White model    Biot theory    Attenuation    
0 引言

Biot(1941, 1956a, 1956b, 1962)双相介质理论是流体饱和孔隙介质研究的良好开端,该理论在干岩石骨架及流体性质已知的条件下,通常能够有效预测饱和介质的纵波速度.Biot理论在宏观背景下成立,波长尺度下压力平衡发生在纵波的波峰与波谷之间, 称为“Biot损耗”,然而流体在宏观背景下产生的损耗远远小于在地震频带条件下所测得的损耗(Pride et al., 2004).为此,Mavko和Nur(1979)提出一种微观机理用以解释孔隙中的地震波衰减,当地震波通过岩石造成颗粒尺度的背景破裂时,微裂隙内将产生比主要孔隙空间更大的流体压力从而造成流体从微裂隙涌入孔隙,称之为“喷射流”.Dvorkin等(1994)提出适用于流体饱和岩石的喷射流模型,并将其与Biot理论相结合得到BISQ理论.Ba等(2016)基于喷射流理论发展出一新的双孔隙模型,并提出一种新的边界用以预测饱和致密岩石的纵波速度.尽管喷射流理论可以完全解释并计算在超声频率条件下的衰减,但同样无法解释在地震频带下所产生的衰减,而且在近年来,巴晶等(2012)Rubino等(2009)均有力的证明了地震频带下纵波速度频散和衰减最主要的原因就是介观尺度下的地震波诱导孔隙内流体流动(Wave-induced fluid flow, WIFF).

综上,介观尺度下的WIFF相关机理是十分必要的.介观尺度指远小于波长尺度并远大于颗粒尺度的一种中间尺度(Müller et al., 2010).非均质性存在于各个尺度下,主要由岩性变化或不同种不相容流体斑块分布而成.当地震波在非均质介观尺度下传播时,将在地震频带产生大量衰减.当一个岩石样本为两种或以上流体填充的斑块饱和状态时,Brie等(1995)证明从干岩石速度到流体饱和速度,将会有一个连续的速度范围.White(1975)首先在介观尺度由WIFF造成衰减的前提下,提出了含水与含气层交错叠加而成的周期成层Patchy模型,计算纵波频散和衰减.Ba等(2017)在Biot孔隙理论框架下,推导了DDP (Double Double-Porosity,双倍双孔隙)理论方程,该理论方程可同时表征岩性变化与流体斑块分布形成的非均质性,并结合泥质粉砂岩、白云岩与致密砂岩三组实验数据,分析了岩石内部不同规模的非均质分布特征.Dutta和Odé(1979a1979b)对White模型进行补充和提升,得到了更为精确的纵波速度低频极限.Johnson(2001)在此基础上得出了斑块饱和的任意几何状态的一般解析解.Müler和Gurevich(2005)在三维非均质随机分布条件下提出了弹性波衰减模型.

利用数值模拟方法对介观尺度模型进行分析前人做了大量的工作.Vogelaar和Smeulders(2007)利用Biot理论分析White模型在全频带下的流体流量变化情况.邓继新等(2012)在该模型基础上给出流固相对运动速度及固体骨架位移解析表达式.吴国忱等(2014)研究了含裂隙周期成层介质中纵波衰减特征.吴建鲁等(2015)研究了含有混合裂隙周期成层介质中的纵波衰减规律.Borgomano等(2017)研究了包含两种孔隙的石灰岩介质中的纵波频散和衰减特征.Cao等(2017)利用蠕变实验分析了造成流体流通量变化的原因.Mallet等(2017)同样利用蠕变实验研究裂隙形状对纵波的衰减特征的影响.近年来正演模拟成为一种具有前瞻性、有效性的工具用以研究地震波衰减及频散(Masson et al., 2006; Masson and Pride, 2007, 2011; Rubino et al., 2011; Rubino and Holliger, 2012; Rubino and Müller, 2014; Quintal et al., 2011, 2014; Carcione et al., 2012; Milani et al., 2015),Masson和Pride(2007)提出准静态蠕变实验方法,用以预测介观尺度下WIFF诱导地震波衰减和频散.Quintal等(2011)利用有限元方法分别在时间域和频率域计算地震波衰减和频散.

本文在White周期成层Patchy模型的基础上,将两相流体(气,水)模型扩展至三相流体(油、气、水)模型,沿用前人所研究Biot1956年理论框架下对White周期成层模型的研究方法,利用Dutta提出的孔隙介质弹性波动方程解耦方法,结合纵波在该介质中传播的等效边界条件,计算得到Biot1956年理论框架下的纵波速度频散与衰减的解析解.随后,利用频率域有限差分方法分别对Biot1941年Biot1956年理论进行纵波频散与衰减数值解的求取,结合Biot-Gassmann-Hill及Biot-Gassmann-Wood公式计算得到的纵波速度上下限,证明了解析解的正确性,随后进一步分析了三种流体排列顺序及含气饱和度变化对纵波频散和衰减计算结果的影响.本文针对实际地下赋存多相流体的储层进行地震波衰减和频散方面的研究,目的是增加地震波在这种多相介质中传播规律的分析和认识,对这种复杂储层的地震勘探具有一定的实际指导和理论支撑作用.

1 Biot1956年理论介绍

1956年,Biot在广义坐标系下利用拉格朗日方程,考虑了流体和固体受力形变和流体流动的黏滞作用,建立了孔隙介质弹性波动理论,该理论假设孔隙介质为各向同性、完全弹性介质,流固之间相对运动由Darcy定律表征.

纵波在流体饱和孔隙介质中传播方程(Biot, 1962):

(1)

相对位移W=ϕ(U-u),其中uU分别表示固体位移和流体位移,下标tx代表对其分别求时间和方向的导数. ϕ表示介质的孔隙度,ρb=[(1-ϕ)ρs+ϕρf],ρsρf分别表示固体颗粒密度与流体密度.m= ζ表示结构因子,,对于球形固体颗粒r=0.5,阻力系数b与频率相关(Johnson, 1976):

(2)

η表示孔隙流体的黏滞系数,κ表示渗透率,ω表示频率,i表示虚数单位,ωB表示Biot特征频率,ωB= H=P+2Q+R.PQR表示孔隙介质中的弹性常数,利用孔隙介质物性参数可以将它们表示为:

(3)

(4)

(5)

K表示体积模量,下标s,d,f分别表示固体、骨架和流体.μ表示介质的剪切模量,α是Biot系数,表达式为孔隙介质中总的正应力τ和平均流体压力Pf可分别表示为:

(6)

2 三相周期成层Patchy模型介绍

前人对于White提出的周期成层模型做了很多研究,本文在White周期成层模型基础上,将两相流体扩展至三相流体模型,如图 1所示.含气饱和层a、含水饱和层b与含油饱和层c交替叠加形成层状结构,模型假设各层横向无限延伸,任取一特征单元,气层、水层和油层厚度分别为da+dd-dcdbdc-db.对特征单元上下界面同时施加简谐外力Peeiωt模拟纵波在孔隙介质中传播.

图 1 周期性层状孔隙介质模型 Fig. 1 Periodic layered porous model

同White模型一样,特征单元产生单轴应变θeiωt,三层模型等效平面波模量:

(7)

单轴应变表达式为:

(8)

其中,uaud分别为特征单元上下界面处的固体位移,此时模型的频散速度表达式为:

(9)

品质因子表达式为:

(10)

其中ρe表示等效密度:

(11)

ϕa, ϕb, ϕc分别为三层特征单元的孔隙度.

为验证三相模型的准确性,在此引入纵波速度的高低频极限.地震波在周期性层状孔隙介质中传播,其频率足够低时,可通过Wood公式(Wood,1955)加权平均法求取等效流体体积模量,利用Gassmann方程(Gassmann,1951)计算低频极限下流体饱和岩石平面波模量PBGW*(BGW代表Biot-Gassmann-Wood).

(12)

Kfw为利用Wood公式得到的等效流体体积模量.

(13)

当频率足够高时,可通过Hill公式(Hill, 1963)与Gassmann方程(Gassmann, 1951)计算高频条件下流体饱和岩石平面波模量PBGH*(BGH代表Biot-Gassmann-Hill).

(14)

KBGn为各相的流体饱和岩石体积模量.

(15)

3 孔隙弹性波动方程的解耦

利用Dutta和Odé (1979a)提出的双相介质弹性波动方程解耦方法,对孔隙介质弹性波波动方程(1)进行解耦,设其准静态的解的形式为:

(16)

在处理线性、耦合方程组时,首先单独对位移部分进行替换,固体位移拆分成ucud的和,流固相对位移可拆分成WcWd的和,对固体和流固相对位移进行解耦,表达式如下:

(17)

, , 与公式(17)同时代入公式(1)中得到两个弹性波动方程,表达式如下:

(18a)

(18b)

分别令公式(18a)与(18b)中的WcWd系数为零,进而得到:

(19)

快慢波波数kckd表达式分别为:

(20)

其中,

(21)

快慢波的位移系数σcσd满足方程:

(22)

通过对公式(19)求解,得到流固相对位移和固体位移表达式:

(23)

其中,B1B2B3B4是待定系数.

根据特征单元上下界面总的应力和流固位移相等,分界面处应力连续、孔隙压力、位移以及流体压力连续,建立如图 2边界条件.

图 2 边界条件示意图 Fig. 2 Sketch of boundary conditions

通过求解以上16个边界方程,得到一个16×16的系数矩阵,求解特征单元B1B1616个待定系数,代入公式(23)计算得到流固相对位移和固体位移,利用公式(7)—(10)计算得到三相周期性层状介质模型的纵波衰减和频散.

4 频率域有限差分数值解法

Biot1941理论位移形式如下:

(24)

其中λμ是拉梅参数,η为流体黏度,k为渗透率,αM表达式同第3节.

Biot1941年理论方程是低频条件下线性固结耦合的准静态方程,即当研究的频带范围小于Biot临界频率ωB时,孔隙流体黏滞边界层效应可忽略不计,利用该方程可以精确描述地震波在低频条件下的传播特征,而Biot1956年理论,如公式(1),其涉及参数较多并且在1941年理论基础上加入对高频的讨论,更加符合地下真实条件状况,本文利用Biot1941年理论可以验证本文基于Biot1956年理论框架所推导的三相模型在低频(包括地震频带)条件下的正确性.

Biot1941年理论的一维流体饱和孔隙介质在频率域的表达式如下:

(25)

Biot1956年理论的一维流体饱和孔隙介质在频率域的表达式如下:

(26)

τ为总的正应力,Pf为流体压力,uU分别为固体、流体位移,κ为渗透率,式中的Mα同第3节.

利用频率域有限差分算子(27)对方程(25)、(26)进行离散处理,经过差分离散后方程可组装成如公式(28)所示的形式,其中A为刚度矩阵,X为模型中各点待求参数(τPfuU),b为边界条件.通过求解该线性方程组可获得不同频率条件下待求参数,进而利用(7)、(8)公式求解模型的复平面波模量,最终计算出该模型地震波衰减和频散速度结果.

(27)

(28)

5 数值模拟结果及分析 5.1 1956年、1941年孔隙介质理论结果对比

根据表 1参数,利用第3节的方法,在Biot1956年理论框架下对周期成层Patchy三相模型求取纵波速度频散和衰减的解析解.随后,利用第4节正演方法得到Biot1956年、1941年理论纵波速度频散和衰减数值解,如图 3所示.

表 1 流体饱和孔隙介质参数 Table 1 Fluid saturated porosity medium parameters
图 3 (a) 纵波速度频散,(b)纵波速度衰减 Fig. 3 (a) P-wave velocity dispersion, (b) P-wave attenuation

图 3可知,三个计算结果在低频段符合良好,与Biot-Gassmann-Hill公式和Biot-Gassmann-Wood公式计算得到的纵波速度上下限(图 3a绿线)一致,由此证明三相流体模型的正确性.Biot1956年理论结果在高频段出现震荡现象,与Jocker(2004)Vogelaar和Smeulders(2007)得出的结果一致.随着频率越来越高,波长尺寸逐渐与地层厚度接近,当达到同一数量级时,将发生共振,计算结果上表现为震荡现象,此时的背景介质处于极端柔软状态.刘炯等(2009)认为,纵波速度在一定频率后出现下降,以及逆品质因子第二峰值之后的一段频率后出现再次增大的现象,是因为周期层状结构可视为声子晶体,频率增大到一定程度之后,纵波到达声子晶体的能量禁带,便出现上述现象.

将上述推导的Biot1956年理论框架下的三相模型退化至两相,同White周期成层Patchy两相模型进行对比,结果如图 4所示,两种模型在低频条件下符合良好,同样的在高频条件下Biot1956年理论出现震荡现象与White模型结果有所差异.进一步说明本文推导的三相模型的正确性.

图 4 (a) 纵波速度对比,(b)逆品质因子对比 Fig. 4 (a) P-wave velocity comparison, (b) Inverse quality factor comparison
5.2 流体顺序对纵波的频散和衰减的影响

为进一步分析三相流体周期层状模型,改变流体填充顺序,研究流体顺序对纵波速度频散和衰减的影响.如图 5所示,设置三组六种流体填充顺序.

图 5 (a) 层状模型gwo; (b)层状模型gow; (c)层状模型ogw; (d)层状模型owg; (e)层状模型wgo; (f)层状模型wog Fig. 5 (a) Layered model gwo; (b) Layered model gow; (c) Layer model ogw; (d) Layered model owg; (e) Layered model wgo; (f) Layered model wog

图 6a6b所示,三组流体填充顺序gwo-gow、ogw-owg、wgo-wog,前者为圆圈线,后者为实线,当固定第一种流体时,交换后两种流体顺序进行对比,每一组纵波衰减和频散结果均在低频段符合良好,在高频段出现震荡现象,即改变两种流体的顺序,对于纵波速度频散与衰减结果不造成影响.为进一步验证该结论,以White模型为基础,取两层特征单元填充不同种流体gw-wg、go-og和ow-wo,参数选取同表 1,结果如图 7所示,结论同上.

图 6 六种流体排列顺序 (a) 1956年纵波速度解析解对比; (b) 1956年逆品质因子解析解对比; (c) 1956年纵波速度数值解对比; (d) 1956年逆品质因子数值解对比; (e) 1941年纵波速度数值解对比; (f) 1941年逆品质因子数值解对比. Fig. 6 Sequence of six kinds of fluids (a) Comparison of analytical solutions of 1956 theory P-wave velocity; (b) Comparison of analytical solutions of 1956 theory inverse quality factor; (c) Comparison of numerical solutions of 1956 theory P-wave velocity; (d) Comparison of numerical solutions of 1956 theory inverse quality factor; (e) Comparison of numerical solutions of 1941 theory P-wave velocity; (f) Comparison of numerical solutions of 1941 theory inverse quality factor.
图 7 不同流体顺序条件下逆品质因子 Fig. 7 Inverse quality factor under different fluid order conditions

结合图 6c6d6e6f,红色曲线(gwo-gow)与黑色曲线(ogw-owg)符合得很好, 模型wgo-wog结果与其他两组不同,为方便观察分析,取图 6e6f中Biot1941年理论数值解结果进行对比分析, 如图 8所示.地震波在包含三种流体的层状介质中传播时,三种流体两两作用将产生三个衰减峰,图 8所示,三组流体顺序计算得到的逆品质因子,均只有两个衰减峰,因油与水的密度及模量差异较小,造成的衰减相较于其他两种流体组合小很多,故不在结果中显示,对比如图 7d7e7f,因此图 8中两个衰减峰均为油气,水气作用产生,根据图 7两相模型的衰减峰对应的频率,可判断图 8中衰减峰的形成原因.模型gwo-gow与ogw-owg第一个衰减峰主频与气油衰减峰主频一致,第二个衰减峰主频与水气衰减峰主频一致,由此确定衰减峰性质.分析模型wgo-wog结果不一致的原因,如图 9所示,对三组模型进行受力分析.

图 8 逆品质因子对比 Fig. 8 Comparison of inverse quality factor
图 9 三相模型受力分析 Fig. 9 Analysis of force on three-phase model

图 8可知,三相孔隙介质模型中,主要是由气相与水相、气相与油相之间的相对流动产生了明显的地震波衰减和频散.结合图 9不同模型中三相介质的受力分析可知,图 9中(a)(b)模型中气相介质的受力关系是一致的,从而导致水相和油相与气相之间的相对流动情况相同,进而产生的地震波衰减和频散相同.模型(c)中气相的受力关系与模型(a)(b)不同,从而导致气相与其他两相之间的相对流动结果不同,进而表现出不同的地震波衰减和频散特征.

Norris(1993)提出在流体饱和非均质孔隙介质中,流体压力分布受到耗散系数的制约:

(29)

其中N是孔隙弹性模量:N=ML/H, LH分别是干岩石和流体饱和岩石纵波模量.M的表达式为:

(30)

ϕ是孔隙度,KfKg分别为流体体积模量和颗粒体积模量,α=1-Kd/Kgκ为渗透率,η为流体黏度,ω为角频率.

Brajanovski等(2006)推导了周期成层模型中地震波衰减特征频率近似公式:

(31)

其中DsLs分别为流体模量较大一层的耗散系数和厚度.

对模型(c)进行分析,当介质受到压力,油流入气层,水流向油层与气层,水与油受力方向一致,可等效为气层受到水与油的叠加力,同时气层另一侧受到水的压力,因此较模型(a)(b)来说,气层受到更大的力,将气层压缩的更薄,水流入造成油层变厚,对于油气层来说,根据公式(31),Ls增大,主频移向低频,因水流推动油气间相互作用,衰减增强,因此峰值上升.对水气层来说,水流出造成水层变薄,根据公式(31),Ls减小,主频移向高频,气层两侧有水及水的叠加力作用,造成水气间力的抵消,水气间相互作用减弱,衰减减小,因此峰值下降.

5.3 含气饱和度对纵波频散和衰减的影响

为研究纵波频散和衰减与含气饱和度的关系,在保证特征单元总厚度不变的前提下,油层、水层厚度相同,设置六种不同的含气层厚度,模拟不同含气饱和度,分别为Sa=0.03,Sb=0.06,Sc=0.16,Sd=0.33,Se=0.5和Sf=0.66,其余参数同表 1,模型示意图如图 10所示.

图 10 不同含气饱和度地层厚度模型示意图 Fig. 10 Sketch of formation-thickness model with different gas saturation

图 11a所示,对比六种含气饱和度条件下的纵波速度,含气饱和度越大,纵波速度频散程度越低,速度的低频极限随含气饱和度的增大,先降低再升高.根据纵波速度计算公式可知,纵波速度同时受到流体饱和介质体积模量与密度的共同影响,含气饱和度较小时,体积模量对波速的影响较大,当含气饱和度开始增大时,背景介质的体积模量降低,导致纵波速度降低,当含气饱和度继续增大到一定程度,体积模量只发生细微变化,此时流体饱和介质的密度将主导波速变化情况,含气饱和度继续增大使密度减小,从而导致纵波速度的升高.

图 11 不同含气饱和度下的(a)纵波速度频散和(b)衰减 Fig. 11 (a) P-wave velocity dispersion and (b) attenuation under different gas saturation

图 11b中的纵波速度衰减结果可以看到,在含气饱和度开始增大时,衰减的峰值先增大,波峰移向低频,含气饱和度增大到一定程度,随后峰值减小且波峰移向高频.结果与Pride等(2004)刘炯等(2009)对于White模型研究得到的结论一致.

6 结论

White提出的周期层状模型仅考虑了两种流体(气,水)相互作用对于纵波在周期层状介质中传播的影响,本文在此基础上,研究了在介观尺度地震频带下,在含有三种流体(气,水,油)的周期层状介质中传播时,纵波频散和衰减的变化规律:

(1) 利用Dutta提出的弹性孔隙力学方程解耦方法结合16个等效边界条件,得到Biot1956年理论框架下的纵波频散和衰减的解析解,随后,利用频率域有限差分计算得到Biot1956年与1941年理论框架下的纵波频散和衰减的数值解,结合Biot-Gassmann-Hill公式和Biot-Gassmann-Wood公式计算得到的纵波速度上下限,三个结果均符合良好,证明三相流体周期层状模型解析解的正确性.

(2) 改变流体排列顺序,对于一组模型,将其中两种流体顺序交换,不改变计算结果,该结论与White模型结论一致.对于三相流体模型,gow-gwo与ogw-owg模型计算结果一致而与wgo-wog模型计算结果不同,从受力分析角度来看,油层抵消部分水流对于气层的力,从而减小其受力,而水流促进油流入气层,气层受力增大,两模型受力情况一致.相较于其他两组模型,wgo-wog模型中气层被压缩的更薄,油层增厚且油气相互作用强烈,水气相互作用受到抑制,使得油气衰减峰移向低频且峰值增大,水气衰减峰移向高频且峰值减小.

(3) 改变含气饱和度,其值越大,纵波速度频散程度越低.纵波速度低频极限随着含气饱和度的增大,先降低再升高,衰减峰峰值先增大,波峰移向低频,当含气饱和度增大到一定程度时,衰减峰值减小且波峰移向高频, 该结论与两相流体的White模型结果一致.

附录A

三相模型特征单元有5个界面,根据应力连续、位移连续以及流体压力连续构成16个边界条件.由流固相对位移以及固体位移表达式可知,每层有4个待定参数,B1, B2, B3, B4, 四层共16个待定参数.待定参数前面的系数构成16×16系数矩阵A.

致谢  感谢两位匿名审稿专家对本文提出的宝贵修改意见.
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